On the optimal control function diagrams in the problem of the movement of a platform with oscillators

全文:

Введение. Рассматривается система, состоящая из несущего твердого тела и прикрепленных к нему n линейных пружин с материальными точками на концах (рис. 1). Пружины параллельны горизонтальной оси, вдоль которой платформа движется поступательно. К ней приложена единственная управляющая сила, ограниченная по модулю наперед заданной величиной. Такая модель может приближенно описывать малые перемещения платформы с упругими звеньями или сосуда, частично заполненного жидкостью. Постановки задач управления подобными объектами сформулированы в [1], где с помощью принципа максимума Понтрягина [2] была решена задача наибыстрейшего перемещения платформы с одним осциллятором. Оптимальное управление оказалось кусочно-постоянным с тремя переключениями [1, 3]. В общем случае (для платформы с n осцилляторами) задача до сих пор не была решена. Управляемость такой системы гарантирована, если частоты собственных колебаний осцилляторов попарно различны [1, 4]. Несмотря на линейность системы, управление при дефиците внешних воздействий представляет известную сложность. Задачи перемещения таких объектов с гашением колебаний за конечное время в последнее время рассматривались в [5–7]. Были построены алгоритмы, достигающие цели при действии неизвестных возмущений и при неизмеряемых состояниях осцилляторов [8, 9]. В работе [10] предложен закон управления, переводящего платформу с n осцилляторами за конечное время в требуемое состояние покоя при неполной информации о состоянии и возмущениях, причем для некоторого типа начальных состояний найдена асимптотика времени движения в зависимости от числа n.

Рис. 1. Модель платформы с осцилляторами

В задаче оптимального по быстродействию перемещения платформы с n осцилляторами из одного состояния равновесия в другое, когда трение отсутствует, а фазовое состояние системы в каждый момент измеримо, удается использовать симметрию краевых условий. На этой основе функция оптимального управления была выражена через значения первых n моментов переключения, предварительно определяемых из системы нелинейных уравнений [11]. Для случая $n=2$ оптимальные режимы иллюстрировались на фазовой плоскости одного из осцилляторов [11], а также путем построения наглядного изображения, названного диаграммой функций оптимального управления [12]. Алгоритм построения диаграммы опирался на свойства вспомогательной «контрольной» кривой, геометрически отразившие решения сопряженной системы из принципа максимума Понтрягина. В настоящей работе этот подход обобщается на случай n осцилляторов с учетом того, что для малых перемещений платформы оптимальное управление на полутраектории имеет не более n переключений [13].

1. Постановка задачи и ее свойства симметрии. Повторяя использованные в [11] преобразования координат и времени, приведем уравнения движения системы (рис. 1) к форме с безразмерными переменными и временем:

${\ddot{x}}_0=u,$ ${\ddot{x}}_i+{\omega }_i^2{x}_i=u,$ $i=\overline{\mathrm{1,}n},$ $\left|u\right|\le \mathrm{1,}$ (1.1) 

где u – управляющая сила, а значения частот пронумерованы в порядке возрастания ($1={\omega }_1<{\omega }_2<\dots <{\omega }_n$). Переменные под знаками производных являются линейными комбинациями координат платформы и осцилляторов, причем одновременное обращение в нуль значений $x_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, соответствует ненапряженным состояниям пружин, а положение несущего тела характеризуется переменной $x_0$. Если ее значение при требуемом перемещении платформы меняется на величину 2b, то в середине этого отрезка назначим начало отсчета координаты $x_0$. Аналогичную «удвоенную» запись введем и для искомого общего времени $2T$ движения системы, что придаст краевым условиям симметричный вид.

Задача оптимального по быстродействию перемещения платформы с n осцилляторами формулируется следующим образом: требуется определить управление $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,} 2\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.17em}}T\right]$, переводящее систему (1.1) из состояния

$x_0\left(0\right)=-b,$ $x_i\left(0\right)={\dot{x}}_i\left(0\right)=0\text{},$ $i=\overline{\mathrm{1,}n},$ (1.2)

за наименьшее время $2T$ (заранее неизвестное) в состояние

$x_0\left(2T\right)=b.$ $x_i\left(2T\right)={\dot{x}}_i\left(2T\right)=0\text{}.$ $i=\overline{\mathrm{1,}n}.$ (1.3)

Поставленную задачу быстродействия будем рассматривать для взаимной вариационной задачи на максимум дальности $2b$ при заданном времени $2T$ (ввиду их монотонной взаимозависимости). Обобщая результаты [12], исследуем также эволюцию функций оптимального управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,} 2\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.17em}}T\right]$, с изменением значения T.

На основе принципа максимума Понтрягина было показано [11], что в задаче оптимального быстродействия (1.1) – (1.3) в смещенном времени $\tilde{t}=t-T$, $\tilde{t}\in \left[-T,T\right]$, оптимальное управление $u\left(\tilde{t}\right)$, а также все решения $x_i\left(\tilde{t}\right)$, $i=\overline{\mathrm{0,}n}$ будут нечетными функциями, а ${\dot{x}}_i\left(\tilde{t}\right)$, $i=\overline{\mathrm{0,}n}$ – четными функциями. Поэтому в конце оптимальной полутраектории выполняются соотношения

$u\left(T\right)=x_i\left(T\right)=\mathrm{0,}$ $i=\overline{\mathrm{0,}n}.$ (1.4)

Особые управления здесь невозможны в силу линейной независимости известных решений сопряженной системы из принципа максимума. В результате оптимальное управление будет кусочно-постоянным с нечетным числом переключений.

2. Необходимые условия оптимальности и их геометрическая интерпретация. Если моменту времени Т предшествуют j моментов времени переключения управления ${\tau }_1$, ${\tau }_2$, …, ${\tau }_j$, то через них (путем интегрирования дифференциальных уравнений (1.1)) в конце полутраектории можно выразить значения $x_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ [11]. Они равны нулю, согласно соотношениям (1.4), поэтому в обозначениях

${\gamma }_k=T-{\tau }_k,$ $k=\overline{\mathrm{1,}j},$ (2.1)

получается система из  нелинейных уравнений:

${\left(-1\right)}^j-\text{cos}{\omega }_{i}T+2\underset{k=1}{\overset{j}{}}{\left(-1\right)}^{k+1}\text{cos}{\omega }_i{\gamma }_k=\mathrm{0,}$ $i=\overline{\mathrm{1,}n}.$ (2.2)

Дальнейшие рассуждения будут основаны на эволюции корней ${\gamma }_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}j}$ системы (2.2) при изменении значений T. Каждой длительности T полутраектории соответствует свое количество j моментов переключения управления, заранее неизвестное, и свое множество корней, удовлетворяющее при этом неравенству

$T>{\gamma }_1>{\gamma }_2>\mathrm{...}>{\gamma }_j>0.$ (2.3)

Если в системе (1.1) все числа ${\omega }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ – рациональные, то в задаче оптимального быстродействия (1.1) – (1.3) имеют место следующие свойства [11].

Замечание 1. Существует оптимальное движение с одним переключением управления при $T=T_{*}$, где $T_{*}=2n_{*}\pi$, $n_{*}$ – общий знаменатель всех несократимых дробей ${\omega }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$.

Замечание 2. Если управление с моментами переключения ${\tau }_1$, ${\tau }_2$, …, ${\tau }_j$, T удовлетворяет краевым условиям (2.2), то им также удовлетворит:

1) управление с моментами переключения ${\tau }_1+T_{*}, {\tau }_2+T_{*}, ..., {\tau }_j+T_{*}, T+T_{*}$;

2) управление с моментами переключения ${\tau }_1+∆, {\tau }_2+∆, ..., {\tau }_{j-1}+∆, T+∆$ (при условии $\Delta =T_{*}-2T>0$).

Замечания 1, 2 дают возможность описать все сценарии оптимального поведения системы, периодически повторяющиеся с ростом параметра T. Если хотя бы одно из значений ${\omega }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ иррационально, то в системе (2.2) не будет общего периода $T_{*}$ всех функций, поэтому с ростом длительности T количество разных типов оптимального движения будет бесконечным, не поддающимся завершенному описанию.

На основе принципа максимума Понтрягина доказано утверждение [11], которое в терминах ${\gamma }_k$$k=\overline{\mathrm{1,}j}$, можно сформулировать следующим образом.

Утверждение 1. Если в задаче (1.1)–(1.3) полутраектория оптимальна по быстродействию и реализуется кусочно-постоянным управлением с n переключениями на промежутке $t\in [\mathrm{0,} T)$ в моменты времени ${\tau }_1, {\tau }_2, ..., {\tau }_n$, то управляющая функция имеет вид

$u=\text{sign}\left(\xi \text{\hspace{0.17em}det}{Q}_{n+1}\left(t\right)\right),$ $Q_{n+1}=||\begin{array}{ccccc}T-t& {\gamma }_1& {\gamma }_2& \dots & {\gamma }_n\\ \sin {\omega }_1(T-t)& \sin {\omega }_1{\gamma }_1& \sin {\omega }_1{\gamma }_2& \dots & \sin {\omega }_1{\gamma }_n\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \sin {\omega }_n(T-t)& \sin {\omega }_n{\gamma }_1& \sin {\omega }_n{\gamma }_2& \dots & \sin {\omega }_n{\gamma }_n\end{array}||,$ (2.4)

знак константы $\xi$ определяется известным (по условию) значением управления $u\left(t\right)$ при $t\in [0, {\tau }_1)$.

Для каждой заданной длительности полутраектории T сначала нужно найти из системы (2.2) предполагаемый набор значений моментов переключения. Затем нужно проверить его на соответствие необходимым условиям оптимальности, применяя утверждение 1: если при действии управления (2.3) возникнут другие моменты переключения, кроме ожидаемых ${\tau }_1, {\tau }_2, ..., {\tau }_n$, то это расписание не оптимально. В случае, когда найденное из системы (2.2) количество переключений превосходит n, т.е. $j>n$, то для них условие остается прежним [11]: все эти j значений должны автоматически проявиться при действии управления (2.4). Если же у системы (2.2) количество корней $j<n$, то в формуле для управляющей функции (2.4) вместо определителя $Q_{n+1}$ берется лишь его левый верхний минор размерами $(j+1)\times (j+1)$ [11].

Геометрический смысл таких необходимых условий оптимальности можно иллюстрировать с помощью линии в n-мерном пространстве, названной в [12] контрольной кривой. Для этого заметим, что равенство нулю определителя $Q_{n+1}$ равносильно условию

$||\begin{array}{ccccc}1& 1& & \dots & 1\\ \psi \left({\omega }_1\right(T-t\left)\right)& \psi \left({\omega }_1{\gamma }_1\right)& & \dots & \psi \left({\omega }_1{\gamma }_n\right)\\ \dots & \dots & & \dots & \dots \\ \psi \left({\omega }_n\right(T-t\left)\right)& \psi \left({\omega }_n{\gamma }_1\right)& & \dots & \psi \left({\omega }_n{\gamma }_n\right)\end{array}||=\mathrm{0,}$ (2.5)

где введена вспомогательная функция

$\psi \left(\rho \right)=\frac{\sin \rho }{\rho },$ (2.6)

доопределенная значением $\psi \left(0\right)=1$. Согласно утверждению 1, условие (2.4) должно выполняться лишь при $T-t={\gamma }_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}$, т.е. лишь когда первый столбец определителя численно совпадет с одним из n последующих. Эти n столбцов представим как векторы $\overline{O{B}_k}$, отложенные от начала О в аффинном пространстве с координатами (${\gamma }_1, {\gamma }_2, ..., {\gamma }_n$) и порождающие гиперплоскость. Ее пересечение с гиперплоскостью y₀ = 1 даст $(n-1)$-мерную плоскость, содержащую все точки $B_k$ (ввиду одинаковости их первой координаты). Поэтому множество векторов $\overline{O{B}_k}$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}$ можно однозначно спроецировать на подпространство с координатами ${({\gamma }_1, ..., {\gamma }_n)}^T$, получая лежащие в нем векторы $\overline{O{A}_k}={\left(\psi \left({\omega }_1{\gamma }_k\right),\mathrm{...,}\psi \left({\omega }_n{\gamma }_k\right)\right)}^T$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}$. Тогда окажется, что все точки $A_k$ принадлежат общей кривой, задаваемой в n–мерном пространстве вектор-функцией

$r={\left(\psi \left({\omega }_1\rho \right),\mathrm{...,}\psi \left({\omega }_n\rho \right)\right)}^T,$ $\rho \in [\mathrm{0,} T]\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}.$ (2.7)

Линию (2.7) назовем контрольной кривой. Ее форма зависит от сочетания значений ${\omega }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, но всегда линия начинается в точке $K_0\left(\mathrm{1,}\mathrm{1,...,1}\right)$ при  и проходит через точку $O\left(\mathrm{0,}\mathrm{0,}\mathrm{...,0}\right)$ при $\rho =T_{*}/2$ (если $T_{*}/2<T$). Ее актуальный участок завершается в точке W с параметром $\rho =T$ и содержит точки $A_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}$, расположенные последовательно соответственно значениям их параметров (2.3). В смещенном времени $\tilde{t}\in \left[-T,T\right]$ можно следить за движением по контрольной кривой изображающей точки, которая дважды пройдет дугу $W{K}_0$ (из конца W в начало $K_0$ и обратно). При этом определитель $Q_{n+1}$ будет каждый раз менять знак при прохождении через пункты $A_k$, т.е. в точках пересечения контрольной кривой с гиперплоскостью $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$. Геометрический смысл необходимого условия оптимальности заключается в том, что контрольная кривая не должна иметь с гиперплоскостью $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$ других точек пересечения, кроме тех, чьим параметрам ${\gamma }_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}j}$ соответствуют запланированные моменты ${\tau }_1, {\tau }_2, ..., {\tau }_j$ переключений.

Например, при $n=2$ (случай платформы с двумя осцилляторами) контрольная кривая лежит в двумерной плоскости. На рис. 2 дано ее изображение для значений ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=3$, а на рис. 3 – для значений ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=7$.

Для платформы с тремя осцилляторами ($n=3$) контрольная кривая лежит в трехмерном пространстве $(y_1, y_2, y_3)$. На рис. 4 показан случай ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=3$, ${\omega }_3=7$ (пунктиром отмечены фрагменты кривой, лежащие ниже горизонтальной плоскости $(y_1, y_2)$). Проекции этой линии на плоскости $(y_1, y_2)$ и $(y_1, y_3)$ выглядят, как на рис. 2 и рис. 3.

Рис. 2. Контрольная кривая в случае $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{2}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{/}{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{3}$

Рис. 3. Контрольная кривая в случае $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{2}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{/}{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{7}$

Рис. 4. Контрольная кривая в случае $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{2}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{/}{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{3}$

Заметим, что на рис. 2 начальный участок кривой (от $K_0$ до первой точки перегиба) вогнутый, т.е. может содержать только две коллинеарные точки $A_1$ и $A_2$, но не может содержать третьей. Поэтому здесь прямая $A_1{A}_2$ – это «гиперплоскость», не имеющая с актуальным участком контрольной кривой других пересечений, кроме $A_1$ и $A_2$. Отсюда следует, что для достаточно малых значений Т (не превышающих параметр точки перегиба) оптимальное управление имеет не более двух моментов переключения на полутраектории. Аналогично можно показать, что при $n=3$ начальный участок контрольной кривой не может содержать более трех компланарных точек, т.е. на малом промежутке $Т$ оптимальное управление платформой с тремя осцилляторами будет иметь не более трех переключений. Эта закономерность доказана [13] в виде следующего утверждения.

Утверждение 2. В задаче (1.1)–(1.3) существует такое значение $T_0$, что для всех $T\in (\mathrm{0,} T_0]$ функции $u\left(t\right)$, $t\in [\mathrm{0,} T)$, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, будут иметь не более  моментов времени переключения.

Доказательство сводилось к обоснованию того, что на достаточно малом участке $W{K}_0$ контрольной кривой (2.7) любые ($n+1$) ее точек $A_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}n+1}$ не могут принадлежать общей гиперплоскости, т.е. вектор $\overline{A_1{A}_{n+1}}$ не сможет принадлежать подпространству, порождаемому векторами $\overline{A_1{A}_i}$, $i=\overline{\mathrm{2,}n}$. Построенный на этих векторах определитель будет положительным [13], по крайней мере, при условии

$T_0=\sigma \pi /{\omega }_n.$ $\sigma =\mathrm{0.597670.}$ (2.8)

Такая оценка является весьма грубой и обусловлена стилем доказательства (путем разложения элементов определителя в ряды Маклорена). На рис. 2 (где $n=2$, ω_n = 3) точка W имеет параметр $T=\pi /2$. Другими словами, для платформы с двумя осцилляторами при ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=3$, в диапазоне $T<\pi /2$ оптимальным полутраекториям соответствуют ровно два момента переключения управления.

Далее для описания эволюции функций оптимального управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,} 2\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.17em}}T\right]$, с изменением параметра Т будем применять наглядное изображение, предложенное в [12] и названное диаграммой функций оптимального управления.

Например, на рис. 5 показана диаграмма для случая $n=2$, ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=3$. Вверх по оси симметрии отложена ось Т. Каждое горизонтальное сечение диаграммы, прочитываемое слева-направо, символизирует одну кусочно-постоянную функцию оптимального управления $u\left(\tilde{t}\right)$, $\tilde{t}\in \left[-T,T\right]$. Серым отрезкам горизонтали соответствуют промежутки времени, где , а белым отрезкам – где $u=-1$. Например, сечение $EJ$ задает при $T=\pi /2$ функцию оптимального управления с пятью переключениями. Участок $EF$ кодирует график $u\left(t\right)$ для «полутраектории», показанный на рис. 6 в несмещенном времени $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$. Моментам переключения ${\tau }_1=\pi /10, {\tau }_2=3\pi /10$  соответствуют корни ${\gamma }_1=2\pi /5, {\gamma }_2=\pi /5$  системы (2.2) при $j=2$, $T=\pi /2$. На контрольной кривой (рис. 2) им отвечают точки W ($\rho =\pi /2$), $A_1$ ($\rho =2\pi /5$) и $A_2$ ($\rho =\pi /5$). Здесь прямая $A_1{A}_2$ не имеет других пересечений с дугой $W{K}_0$, поэтому функция $u\left(t\right)$ удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в задаче быстродействия (1.1)–(1.3).

Рис. 5. Диаграмма функций оптимального управления в случае $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{2}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{/}{\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{3}$

Рис. 6. График функции $\mathit{u}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}$ в случае $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{2}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{/}{\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{3}$, $\mathit{T}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{2}$

При рассмотренных целочисленных значениях ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=3$, согласно замечанию 1, величина $T_{*}=2\pi$ является «периодом» для повторения формы диаграммы. Ее продолжение, согласно замечанию 2, строится путем зеркального отражения треугольника $OBC$ (с его закрашенными областями) относительно горизонтали$BC$ , что дало бы симметричный треугольник $O_{1}BC$. При продолжении вертикальной оси Т внутри угла $BOC$ будут периодически повторяться квадраты $OB{O}_{1}C$ с их раскрашенными областями.

Далее рассмотрим закономерности, позволяющие строить диаграммы функций управления в задаче оптимального по быстродействию перемещения платформы с n осцилляторами.

3. Свойства диаграммы функций оптимального управления при малых значениях параметра Т. Рассмотрим устройство диаграммы в ее самой нижней части, т.е. в окрестности вершины О. Поскольку для $T\in \left(\mathrm{0,}{T}_0\right]$, согласно утверждению 2, количество моментов переключений управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,}T\right)$ не превышает n, то из вершины О будут выходить не более n кривых. В обозначениях ${\gamma }_k=T-{\tau }_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}$, где выполнены неравенства (2.3), можно рассматривать эти кривые как графики функций ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}m}$, $m\le n$. С увеличением параметра T такая эволюция соответствует изменению корней системы n уравнений (2.2), записанной при $j=n$. При меньшем числе переключений управления $m<n$ в этой системе можно формально считать ${\gamma }_j\equiv 0$, $j=\overline{m+\mathrm{1,}n}$.

Далее в предположении о малости значений T (а значит, и всех ${\gamma }_k,k=\overline{\mathrm{1,}n}$) используем разложения в ряды Маклорена:

$\cos \left({\omega }_{i}T\right)\approx 1+\sum _{j=1}^n{(-1)}^j\frac{{\left({\nu }_{i}t\right)}^j}{\left(2j\right)!},$ $\cos \left({\omega }_i{\gamma }_k\right)\approx 1+\sum _{j=1}^n{(-1)}^j\frac{{\left({\nu }_i{\theta }_k\right)}^j}{\left(2j\right)!},$

$t=T^2,$ ${\nu }_i={\omega }_i^2,$ $i=\overline{\mathrm{1,}n},$ ${\theta }_k={\gamma }_k^2,$ $k=\overline{\mathrm{1,}n}.$   (3.1)

Подставляя соотношения (3.1) в (2.2), перегруппируем слагаемые, выделяя в них выражения:

$p_j=\frac{{(-1)}^j}{\left(2j\right)!}\left[\frac{t^j}{2}+\sum _{k=1}^n{(-1)}^k{\theta }_k^j\right],$ $j=\overline{\mathrm{1,}n}.$ (3.2)

Тогда, вводя вектор $p={(p_1,p_2\mathrm{,...,}{p}_n)}^T$, преобразуем систему (2.2) к виду

$\Omega p=\mathrm{0,}$ $\Omega =\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu }_1& \mathrm{...}{\nu }_1^{n-1}\\ \begin{array}{l}1\\ \mathrm{...}\end{array}& \begin{array}{l}{\nu }_2\\ \mathrm{...}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{...}{\nu }_2^{n-1}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ 1& {\nu }_n& \mathrm{...}{v}_n^{n-1}\end{array}\right].$ (3.3)

Поскольку определитель Вандермонда

$\det \Omega =\prod _{1\le i<j\le n}^n({\nu }_i-{\nu }_j)\ne \mathrm{0,}$ при ${\omega }_j\ne {\omega }_i$ ($j\ne i$),

то из матричного соотношения (3.3) следует $p_i=0$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, что приводит к системе n уравнений относительно n переменных ${\alpha }_i={\theta }_i/t$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$:

$\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\left(-1\right)}^{k+1}{\alpha }_k^i=\frac{1}{2},$ $i=\overline{\mathrm{1,}n}.$ (3.4)

Можно показать, что такая система (3.4) всегда имеет n корней ${\alpha }_1>{\alpha }_2>\mathrm{...}>{\alpha }_n>0$, причем значения ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_n$, ${\alpha }_2$ и ${\alpha }_{n-1}$ и т.д. дополняют друг друга до единицы. Детали вычислений приведем отдельно для двух случаев.

С л у ч а й 1. Если n – четное, т.е. $n=2k$, $k\in N$, то можно ввести новые переменные ${\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{...,}{\beta }_k$, представив

${\alpha }_i=\frac{1}{2}+{\beta }_i,$ $i=\overline{\mathrm{1,}k},$ ${\alpha }_j=\frac{1}{2}-{\beta }_{n-j+1},$ $j=\overline{k+\mathrm{1,}n},$ (3.5)

где

$1/2>{\beta }_1>{\beta }_2>\mathrm{...}>{\beta }_k>0.$ (3.6)

При подстановке выражений (3.5) в систему (3.4) ее каждое второе уравнение повторит предыдущее, так что останется лишь k уравнений, порождающих в новых переменных ${\delta }_i={(-1)}^{i+1}{\beta }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}k}$, симметрическую систему

$\underset{i=1}{\overset{k}{}}{\delta }_i^{2j-1}={\left(\frac{1}{4}\right)}^j,$ $j=\overline{\mathrm{1,}k}.$

Она решается введением симметрических многочленов, числовые значения которых найдутся стандартными процедурами, чтобы затем (согласно теореме Виета) стать коэффициентами «порождающего» алгебраического уравнения k–й степени с корнями ${\delta }_1,{\delta }_2,\mathrm{...,}{\delta }_k$. При $k>4$ эти уравнения решаются лишь численно, но для малых k корни находятся в явном виде:

1) при $k=1$ (т.е. $n=2$) имеем ${\beta }_1=1/4$ (т.е. ${\alpha }_1=3/4$, ${\alpha }_2=1/4$),

2) при $k=2$ (т.е. $n=4$) имеем ${\beta }_1=(\sqrt{5}+1)/8$, ${\beta }_2=(\sqrt{5}-1)/8$ (т.е. ${\alpha }_1=(5+\sqrt{5})/8$, ${\alpha }_2=(3+\sqrt{5})/8$, ${\alpha }_3=(5-\sqrt{5})/8$, ${\alpha }_4=(3-\sqrt{5})/8$),

3) при $k=3$ (т.е. $n=6$) возникает «порождающее» уравнение

${\delta }^3-\frac{1}{4}{\delta }^2-\frac{1}{8}\delta +\frac{1}{64}=\mathrm{0,}$

корни которого находятся по формулам Кардано

${\delta }_i=\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{7}}{6}\cos \left[\phi +\frac{2\pi }{3}(i-1)\right],$ $i=\overline{\mathrm{1,3}}$, $\phi =\frac{1}{3}\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{28}}\right).$

Им соответствуют численные значения ${\beta }_1\approx 0.45048441$, ${\beta }_2\approx 0.31174485$, ${\beta }_3\approx 0.11126044$, дающие по формулам (3.5) все корни ${\alpha }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,6}}$ системы (3.4).

С л у ч а й 2. Если n – нечетное, т.е. $n=2k+1$, $k\in N$, то корни системы (3.4) выразятся через новые переменные в виде:

${\alpha }_i=\frac{1}{2}+{\beta }_i,$ $i=\overline{\mathrm{1,}k},$ ${\alpha }_{k+1}=\frac{1}{2},$ ${\alpha }_j=\frac{1}{2}-{\beta }_{n-j+1},$ $j=\overline{k+\mathrm{2,}n},$ (3.7)

где вновь выполнится неравенство (3.6).

При подстановке выражений (3.7) в систему (3.4) ее нечетные уравнения вырождаются в тождества, а четные выразятся лишь через ${\beta }_i^2$, $i=\overline{\mathrm{1,}k}$, так что при замене ${\tilde{\alpha }}_i=4{\beta }_i^2$, $i=\overline{\mathrm{1,}k}$, система в точности повторит вид системы (3.4) для $n=k$. Иначе говоря, получим значения ${\beta }_i=\sqrt{{\tilde{\alpha }}_i/4}$, где ${\tilde{\alpha }}_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}k}$, – корни системы (3.4) для $n=k$. Таким образом, получим:

1) при $n=3$ корни ${\alpha }_1=(2+\sqrt{2})/4$, ${\alpha }_2=1/2$, ${\alpha }_3=(2-\sqrt{2})/4$,

2) при $n=5$ корни ${\alpha }_1=(2+\sqrt{3})/4$, ${\alpha }_2=3/4$, ${\alpha }_3=1/2$, ${\alpha }_4=1/4$, ${\alpha }_5=(2-\sqrt{3})/4$,

3) при $n=7$ корни ${\alpha }_1=(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})/4$, ${\alpha }_2=(2+\sqrt{2})/4$, ${\alpha }_3=(2+\sqrt{2-\sqrt{2}})/4$, ${\alpha }_4=1/2$, ${\alpha }_5=(2-\sqrt{2-\sqrt{2}})/4$, ${\alpha }_6=(2-\sqrt{2})/4$, ${\alpha }_7=(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})/4$ и т.д.

Замечание 3. Подставляя корни ${\alpha }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ системы (3.4) в выражение

$S=\sum _{j=1}^n{(-1)}^{j+1}{\alpha }_j^{n+1}-1/2,$ (3.8)

при любом n получим неравенство $S<0$.

Можно показать (подробности опускаем), что при $n=2k$, $k\in N$, выражение (3.8) принимает значение $S=-(2k+1)/2^{4k+1}$, а при $n=2k+1$, $k\in N$, – значение $S=-(k+1)/2^{4k+2}$.

Поскольку среди корней системы (3.4), имеющих исходный смысл ${\alpha }_i={\gamma }_i^2/T^2$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, нет нулевых значений, а сама система порождена представлением (3.1), то в предположении о малости T показана справедливость следующего свойства.

Утверждение 3. В задаче быстродействия (1.1)–(1.3) при достаточно малом значении T функция оптимального управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,}T\right)$ имеет ровно n переключений. На соответствующей диаграмме из вершины О выходят ровно n кривых ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, имеющих в этой точке угловые коэффициенты:

$k_i={\left.\frac{d{\gamma }_i}{dT}\right|}_{T=0}=\sqrt{{\alpha }_i},$ $i=\overline{\mathrm{1,}n},$ (3.9)

где ${\alpha }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, – корни системы (3.4).

В силу гладкости участвующих в (2.2) функций и с учетом вышесказанного, существует диапазон $T\in \left[\mathrm{0,}{T}_0\right)$, на котором функции ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ непрерывны и дифференцируемы, так что если применить разложение

${\gamma }_i\left(T\right)\approx {\gamma }_i\left(0\right)+{\dot{\gamma }}_i\left(0\right)T+{\ddot{\gamma }}_i\left(0\right)T^2/\mathrm{2,}$ $i=\overline{\mathrm{1,}n},$ (3.10)

то ${\gamma }_i\left(0\right)=0$, ${\dot{\gamma }}_i\left(0\right)=\sqrt{{\alpha }_i}$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$.

Заметим, что система (3.3) порождена приближением (3.1) с учетом n степеней переменной $t=T^2$. Если разложение (3.1) дополнить степенью $t^{n+1}$, подразумевая при этом увеличение обсуждаемого диапазона T, то после подстановки в систему (2.2) в ней появилась бы наряду с выражениями (3.2) новая компонента:

$h=\frac{{(-1)}^{n+1}}{\left(2\right(n+1\left)\right)!}\left[\frac{t^{n+1}}{2}+\sum _{k=1}^n{(-1)}^k{\theta }_k^{n+1}\right].$ (3.11)

Тогда вместо однородного матричного уравнения (3.3) окажется неоднородное

$\Omega p=-hq$, $q={({\nu }_1^n,{\nu }_2^n,\mathrm{...,}{\nu }_n^n)}^T$. (3.12)

Из него методом Крамера последует значение $p_1=-h\det {\Omega }_1/\det \Omega$, где матрица ${\Omega }_1$ получается из $\Omega$ заменой первого столбца на столбец q. Поэтому

$\det {\Omega }_1={(-1)}^{n+1}\prod _{k=1}^n\left({\nu }_k\right)\cdot \det \Omega ,$

откуда

$p_1=-h{(-1)}^{n+1}\prod _{k=1}^n\left({\nu }_k\right).$ (3.13)

Сравнивая соотношения (3.8) и (3.11), получим

$-h{(-1)}^{n+1}=\frac{t^{n+1}}{\left(2\right(n+1\left)\right)!}S,$

т.е. знак нового выражения (3.13) для $p_1$ совпадет со знаком прежнего выражения (3.8) для S. Таким образом, при достаточно малом значении T, согласно утверждению 2 и замечанию 3, ранее имели оценки $p_1=0$ и $S<0$. Теперь с небольшим увеличением параметра T знак выражения S сохранится, а знак выражения

$p_1=\frac{t}{2!}({\alpha }_1-{\alpha }_2+\mathrm{...}+{(-1)}^{n+1}{\alpha }_n-1/2)$ (3.14)

станет отрицательным, что приводит к следующему выводу.

Замечание 4. Для достаточно малых значений T выражение $w=({\dot{\gamma }}_1^2-{\dot{\gamma }}_2^2+\mathrm{...}+{(-1)}^{n+1}{\dot{\gamma }}_n^2)$ убывает, т.е.

$\frac{dw}{dT}<0.$ (3.15)

Этот факт позволяет для достаточно малых значений T уточнить знак оптимального управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,}T\right)$, при $t=0$. С этой целью введем в рассмотрение функцию времени t, определенную на промежутке $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$ и зависящую от параметра $\tau$:

$v(t, \tau )=\left\{\begin{array}{ll}0 при& 0\le t\le \tau ,\\ 1 при& \tau <t\le T.\end{array}\right.$

Тогда кусочно-постоянную функцию управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$, характеризуемую моментами переключения ${\tau }_1$, ${\tau }_2$, …, ${\tau }_n$, T (где 0<${\tau }_1$<...<${\tau }_n$<T) и принимающую значение $u\left(0\right)=1$, можно представить в виде

$u\left(t\right)=v\left(t\mathrm{,0}\right)+2\sum _{i=1}^n{(-1)}^{i}v(t,{\tau }_i).$ (3.16)

Если бы в начальный момент было $u\left(0\right)=-1$, то в формуле (3.16) правая часть была бы умножена на «–1». Для дифференциального уравнения ${\ddot{x}}_0=u$, $x_0\left(0\right)={\dot{x}}_0\left(0\right)=0$, характеризующего перемещение платформы из «нулевого» положения под действием управления (3.16), решением будет

$x_0\left(t\right)=\frac{1}{2}{(t-0)}^2+\sum _{i=1}^n{(-1)}^i{(t-{\tau }_i)}^2.$

Поэтому перемещение платформы за время T в обозначениях (2.1) примет вид

$x_0\left(T\right)=\frac{1}{2}{T}^2+\sum _{i=1}^n{(-1)}^i{{\gamma }_i}^2$ (3.17)

(с умножением правой части на «–1» в случае $u\left(0\right)=-1$).

Если для малых значений T в выражениях (3.10) ограничиться линейными компонентами, то при их подстановке в (3.17) правая часть выродится в нуль, поскольку равна нулю правая часть в (3.14). Поэтому для отыскания знака величины $x_0\left(T\right)$ понадобится выражение (3.10) с учетом квадратичной компоненты. Подставляя его в (3.17), сокращая подобные слагаемые и пренебрегая величинами четвертого порядка малости, получим

$x_0\left(T\right)\approx -T^3\left[{\dot{\gamma }}_1\left(0\right){\ddot{\gamma }}_1\left(0\right)-{\dot{\gamma }}_2\left(0\right){\ddot{\gamma }}_2\left(0\right)+\mathrm{...}+{(-1)}^{n+1}{\dot{\gamma }}_n\left(0\right){\ddot{\gamma }}_n\left(0\right)\right]$ (3.18)

(с домножением на «-1» в случае $u\left(0\right)=-1$). Поскольку выражение в квадратных скобках (3.18) отрицательно ввиду неравенства (3.15), то дальность $x_0\left(T\right)$ окажется положительной лишь в случае $u\left(0\right)=1$. Таким образом, справедливо следующее свойство.

Утверждение 4. В задаче быстродействия (1.1)–(1.3) при достаточно малом значении T функция оптимального управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,}T\right)$, на начальном этапе (при $t\in \left[\mathrm{0,}{\tau }_1\right)$) положительна.

4. Общий подход к построению диаграммы функций оптимального управления. Все вышеизложенное позволяет начать построение диаграммы функций оптимального управления, выводя из вершины О кривые ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ с угловыми коэффициентами (3.9), закрашивая серые и белые области между ними в соответствии с утверждением 4.

Эволюцию значений ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ можно описать, дифференцируя соотношения (2.2) по параметру T. Сокращая каждое i-е уравнение на $\text{2}{\omega }_i$, получим систему

$\underset{k=1}{\overset{j}{}}{\left(-1\right)}^{k+1}{\dot{\gamma }}_k\text{sin}{\omega }_i{\gamma }_k=\frac{1}{2}\text{sin}{\omega }_{i}T,$ $i=\overline{\mathrm{1,}n}.$ (4.1)

Она разрешается (ввиду $j=n$) относительно производных

$\frac{\mathrm{d}{\gamma }_i}{\mathrm{d}T}=\frac{{\Delta }_i}{\Delta }.$ $i=\overline{\mathrm{1,}n}.$ (4.2)

$\Delta =\eta D,$ ${\Delta }_i={\eta }_i{D}_i,$ $\eta =\prod _{k=1}^n\left({\omega }_k{\gamma }_k\right),$ ${\eta }_i=\eta T/\left(2{\gamma }_i\right),$   

где

$D=||\begin{array}{ccccc}\psi \left({\omega }_1{\gamma }_1\right)& \psi \left({\omega }_1{\gamma }_2\right)& & \dots & \psi \left({\omega }_1{\gamma }_n\right)\\ \psi \left({\omega }_2{\gamma }_1\right)& \psi \left({\omega }_2{\gamma }_2\right)& & \dots & \psi \left({\omega }_2{\gamma }_n\right)\\ \dots & \dots & & \dots & \dots \\ \psi \left({\omega }_n{\gamma }_1\right)& \psi \left({\omega }_n{\gamma }_2\right)& & \dots & \psi \left({\omega }_n{\gamma }_n\right)\end{array}||.$ (4.3)

Определители $D_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, получаются из D заменой ${\gamma }_i$ на T в i-м столбце с одновременным его переносом на место левее первого столбца.

При численном интегрировании уравнений (4.2) на каждом этапе требуется проверка необходимого условия оптимальности: гиперплоскость, проведенная через точки $A_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}$ (с координатами в виде столбцов определителя D), не должна пересекать контрольную кривую в иных точках. С этой целью для каждого очередного набора T, ${\gamma }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ можно табулировать параметр $t\in \left[\mathrm{0,}T\right)$, чтобы убедиться, что соотношение (2.5) выполняется только  раз. В противном случае промежуток интегрирования признается завершенным, поскольку уравнения (4.2) сохраняют свой смысл только при тех значениях T, которым соответствует ровно n корней системы (2.2).

Частный случай $n=2$ был исследован в [12], где диаграмма могла состоять из нескольких слоев, разделяемых горизонталями $T=T_k$, $k\in N$. Внутри каждого слоя происходила своя непрерывная эволюция значений ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}j}$ со своим конкретным количеством j, т.е. интегрировалась очередная система дифференциальных уравнений.

Для произвольного значения n завершение «первого слоя» диаграммы (при $T=T_1$) тоже может быть двух вариантов. Если $T_1=T_{*}$ («тривиальный» вариант), то диаграмма состоит из одного слоя, внутри которого у всех оптимальных полутраекторий управление имеет n переключений. Для «нетривиального» варианта, представляющего интерес в дальнейшем, в конце первого слоя при $T_1<T_{*}$ системе (2.2) соответствует количество корней $j<n$. Такое уменьшение числа корней может произойти либо из-за обращения в нуль функции ${\gamma }_n\left(T\right)$, либо из-за совпадения значений ${\gamma }_i={\gamma }_{i+1}$, $i\in \overline{\mathrm{1,}n-1}$ и т.д. При этом если системе (2.2) отвечает решение, в котором численно совпадут два «соседних» значения ${\gamma }_i={\gamma }_{i+1}$, то ей удовлетворит и решение, в котором эти два значения заменены нулями. Таким образом, существование управления с количеством переключений $j<n$ при некотором значении T подразумевало бы для системы (2.2) наличие решения $({\gamma }_1,{\gamma }_2\mathrm{,...,}{\gamma }_j\mathrm{,0,...,0})$, т.е. справедливость условия

${\gamma }_m=0$,  $m=\overline{j+\mathrm{1,}n}$. (4.4)

Замечание 5. Условие (4.4) может выполняться только для изолированных точек на числовой оси T, т.е. не может продолжаться на непрерывном промежутке этой оси.

Действительно, если систему (4.1) при $j<n$ записать «в дифференциалах» (умножив уравнения на $dT$), то из нее не удастся выразить $d{\gamma }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}j}$, через $dT$, поскольку получится система (n уравнений с j неизвестными) несовместная (ввиду линейной независимости строк). Поэтому для параметра $T+dT$ не найдется продолжения в виде ${\gamma }_i+d{\gamma }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}j}$.

Из замечания 5 вытекает следствие.

Замечание 6. Для непрерывной эволюции функций ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}j}$ их количество должно быть $j\ge n$.

Приведем еще два утверждения, относящихся к частным случаям соотношений (4.4).

Замечание 7. Если при некотором значении T система (2.2) допускает множество корней при ${\gamma }_m=0$, $m=\overline{\mathrm{2,}n}$, то соответствующее ему управление (с тремя переключениями в моменты времени $T-{\gamma }_1$, T, $2T-{\gamma }_1$) при $u\left(0\right)=1$ удовлетворяет необходимым условиям оптимальности.

Действительно, если в задаче (1.1)–(1.3) при некотором n существует режим с тремя переключениями, то он существует и для системы, полученной из (1.1) формальным исключением последних ($n-1$) уравнений. Но для такой платформы с одним осциллятором режим с тремя переключениями является оптимальным [1, 3]. Достигаемая при $n=1$максимальная дальность $x_0\left(2T\right)$ будет не меньшей, чем для системы (1.1) при $n>1$, т.е. для системы с ограничениями в виде дополнительных ($n-1$) дифференциальных уравнений.

Замечание 8. Если при некотором значении T система (2.2) допускает множество корней при ${\gamma }_m=0$, $m=\overline{\mathrm{3,}n}$, то соответствующее ему управление (с пятью переключениями в моменты времени $T-{\gamma }_1$, $T-{\gamma }_2$, T, $2T-{\gamma }_2$, $2T-{\gamma }_1$) при $u\left(0\right)=1$ удовлетворит необходимым условиям оптимальности в том случае, когда хотя бы одна кривая

$y_k=\psi \left({\omega }_k\rho \right),$ $y_s=\psi \left({\omega }_s\rho \right),$ $\rho \in \left[\mathrm{0,}T\right]$ (4.5)

на плоскости $(y_k, y_s)$ имеет только две общие точки с прямой $A_1{A}_2$, проведенной через взятые на кривой точки $A_1$ и $A_2$ с параметрами ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$.

Доказательство аналогично замечанию 6: если в задаче (1.1)–(1.3) при некотором n существует режим с пятью переключениями, то он существует и для системы меньшего порядка – относительно переменных $x_0$, $x_k$, $x_s$. Для нее выполнено необходимое условие оптимальности в геометрической форме для контрольной кривой (4.5), поэтому достигаемая платформой с двумя осцилляторами дальность $x_0\left(2T\right)$ будет максимально возможной. Для исходной системы (1.1), стесненной дополнительными дифференциальными уравнениями, дальность не может быть больше.

В замечании 7 к режимам с тремя переключениями не было дополнительных геометрических требований потому, что порождаемое лишь одной точкой (с параметром ${\gamma }_1$) множество, т.е. нульмерная плоскость, заведомо не может иметь других пересечений с контрольной кривой. Что касается замечания 8, то оно заменяет проверку отсутствия «лишних» пересечений контрольной кривой с прямой $A_1{A}_2$ в n-мерном пространстве. Естественным обобщением замечаний 7 и 8 является следующий факт.

Замечание 9. Если при некотором значении  система (2.2) допускает множество корней с условием (4.4), то соответствующее ему управление (с k переключениями на полутраектории, $k=n-j$) при $u\left(0\right)=1$ удовлетворит необходимым условиям оптимальности в том случае, когда из чисел ${\omega }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ можно выбрать k (перенумерованных) значений ${\omega }_j$, $j=\overline{\mathrm{1,}k}$, для которых соответствующая кривая $\overline{r}={\left(\psi \left({\omega }_1\rho \right),\mathrm{...,}\psi \left({\omega }_k\rho \right)\right)}^T$, $\rho \in [\mathrm{0,} T]$ в k-мерном пространстве имеет только k общих точек с плоскостью $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_k$, проведенной через взятые на кривой точки с параметрами ${\gamma }_j$, $j=\overline{\mathrm{1,}k}$.

Далее рассмотрим разновидности нетривиальных сценариев, относя их к завершению не только «первого слоя» диаграммы (при $T=T_1$), но и любого очередного слоя с некоторым номером k (при $T=T_k$). Перечислим некоторые возможные типы завершения непрерывной эволюции -го слоя в связи с изменением количества корней системы (2.2).

Т и п 1. Пусть при $T=T_k$ количество корней стало ($n-1$). Это возможно, например, в ситуации обращения в нуль функции ${\gamma }_n\left(T\right)$, когда на контрольной кривой в n–мерном пространстве изображающая точка $A_n$ совмещается с началом $K_0$. Согласно замечанию 5, дальнейшая непрерывная эволюция переменных возможна лишь с увеличением их количества. Для оптимальной функции управления $u\left(t\right)$ это возможно лишь путем добавления двух новых сколь угодно близких моментов переключения [12], что на графике соответствует «игольчатой» вариации. При таком значении параметра $T=T_k$ на контрольной кривой гиперплоскость должна пройти через точки $A_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n-1}$, но не должна быть секущей к этой кривой, иначе в графике $u\left(t\right)$ возникли бы скачкообразные изменения. Поэтому гиперплоскость пройдет как касательная к контрольной кривой. Параметр ${\gamma }_M$ искомой точки M касания можно определить из условия принадлежности к гиперплоскости не только точки $A_M$, но и вычисленного в ней касательного вектора $\nu ={\left(\phi \left({\omega }_1{\gamma }_M\right),\mathrm{...,}\phi \left({\omega }_k{\gamma }_M\right)\right)}^T$, выраженного через функцию $\phi \left(\omega \rho \right)=\left[\cos \right(\omega \rho )-\psi (\omega \rho \left)\right]/\rho$. Точка M касания на контрольной кривой получит статус «сдвоенной», как и соответствующие моменты переключения $\tau =T-{\gamma }_M$ на графике функции $u\left(t\right)$ управления. На диаграмме на горизонтали $T=T_k$ добавится точка с параметром ${\gamma }_M$, из которой в следующем слое будут выходить две новые кривые, так что эволюция перенумерованных функций ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n+1}$ будет описываться системой с количеством дифференциальных уравнений $n+1$.

Т и п 2. Пусть при $T=T_k$ количество корней убавилось до ($n-2$). Это возможно, например, в ситуации сближения «соседних» значений ${\gamma }_i\left(T\right)$ и ${\gamma }_{i+1}\left(T\right)$, вплоть до совпадения, когда на контрольной кривой совместятся изображающие точки $A_i$ и $A_{i+1}$. Для продолжения непрерывной эволюции, согласно замечанию 6, потребуется как минимум еще две переменные ${\gamma }_k\left(T\right)$, что на контрольной кривой соответствует появлению «сдвоенной» точки. В отличие от предыдущего случая (тип 1), где такая точка определялась построением касательной гиперплоскости, сейчас для такой процедуры недостаточно имеющихся точек $A_i$. Если через ($n-1$) точек можно было провести не более двух касательных гиперплоскостей к контрольной кривой, то через ($n-2$) точек их можно провести бесконечно много. Поэтому для отыскания на горизонтали $T=T_k$ «сдвоенной» точки (назовем ее L) удобнее обратиться к системе (4.1). Ее коэффициенты вычисляются при известных значениях $T=T_k$ и ($n-2$) «старых» переменных ${\gamma }_i$. Параметр искомой сдвоенной точки обозначим ${\gamma }_L$, считая его общим для двух новых переменных ${\gamma }_j$ и ${\gamma }_{j+1}$. В системе будет ровно n неизвестных, в том числе параметр ${\gamma }_L$, разность $x={\dot{\gamma }}_j-{\dot{\gamma }}_{j+1}$ и производные ($n-2$) «старых» переменных. Исключая из системы производные, получим тригонометрическое уравнение с одним неизвестным ${\gamma }_L$. Искомый корень ${\gamma }_L$ должен удовлетворять двум условиям, проверяемым интегрированием множества функций ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$, на сколь угодно малом промежутке $[T_k,T_k+\Delta T]$:

а) соблюдение неравенства (2.3),

б) отсутствие лишних точек пересечения контрольной кривой и гиперплоскости, проведенной через точки с параметрами ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$.

Заметим, что рассмотренные выше типы 1 и 2 дают исчерпывающий перечень возможных «дефицитов» корней (4.4) лишь для случая $n=3$. Обобщением могут быть ситуации, когда для продолжения непрерывной эволюции, согласно замечанию 6, понадобится три и более недостающих точек $A_i$. На графике функции $u\left(t\right)$ это может соответствовать двум и более игольчатым вариациям. Количество возможных сценариев (при разных комбинациях параметров ${\omega }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$) бесконечно, поэтому вместо конечного алгоритма речь можно вести лишь об общем подходе к продолжению диаграммы функций оптимального управления. Он заключается в совместном рассмотрении диаграммы и геометрических свойств контрольной кривой.

Т и п 3. Пусть при $T\ge T_k$ у системы (2.2) число корней $j=n+m$, $m\in N$. Тогда эволюция функций ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}n+m}$ опишется набором ($n+m$) дифференциальных уравнений, первые n из которых имеют вид (4.1), а остальные m уравнений получаются дифференцированием по параметру T соотношений вида (2.5), где вместо ($T-t$) подставлены каждая из m переменных ${\gamma }_i\left(T\right)$, $i=\overline{n+\mathrm{1,}n+m}$.

5. Результаты численных экспериментов для платформы с тремя осцилляторами.

Пример 1. На рис. 7 для значений ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=3$, ${\omega }_3=5$ показана правая часть диаграммы функций оптимального управления (ее левая часть – зеркальная, но с переменой местами белого и серого цветов). Из вершины О выходят кривые ${\gamma }_1\left(T\right)$, ${\gamma }_2\left(T\right)$, ${\gamma }_3\left(T\right)$ с угловыми коэффициентами, вычисленными по формулам (3.9) (для случая 2) в виде

$k_1=\sqrt{2+\sqrt{2}}/\mathrm{2,}$ $k_2=\sqrt{2}/\mathrm{2,}$ $k_3=\sqrt{2-\sqrt{2}}/2.$ (5.1)

Уравнения (4.2), $n=3$ интегрировались численно с одновременной проверкой отсутствия «лишних» пересечений контрольной кривой с плоскостью, проведенной через точки с параметрами ${\gamma }_1\left(T\right)$, ${\gamma }_2\left(T\right)$, ${\gamma }_3\left(T\right)$. Процесс завершился при $T_1=\pi$, ${\gamma }_1=\pi /2$, ${\gamma }_2={\gamma }_3=0$. Согласно замечанию 1, для целочисленных значений частот величина $T_{*}=2\pi$ является «периодом» повторения формы диаграммы, зеркально удвоенной относительно прямой $T=\pi$и породившей квадрат. Через его вершину пройдет горизонталь $T=2\pi$, символизирующая режим с одним моментом переключения управления. Таким образом, рисунок 7 содержит все возможные фрагменты продолжаемой бесконечно диаграммы. При любых значениях T здесь возможны лишь режимы с количествами 1, 3, 7 переключений оптимального управления.

Рис. 7. Правая (зеркальная) часть диаграммы для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{3}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{1}$, ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}$, ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{5}$

Пример 2. На рис. 8 показана правая (зеркальная) часть диаграммы для случая ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=3$, ${\omega }_3=7$. Кривые ${\gamma }_1\left(T\right)$, ${\gamma }_2\left(T\right)$, ${\gamma }_3\left(T\right)$ выходят из вершины О с теми же угловыми коэффициентами (5.1), но интегрирование системы завершается уже при $T_1=\pi /2$ ввиду обращения в нуль функции ${\gamma }_3\left(T\right)$. Значения ${\gamma }_1=2\pi /5$, ${\gamma }_2=\pi /5$ при $T_1=\pi /2$ удовлетворяют не только системе (2.2), но и необходимым условиям оптимальности в виде замечания 8. Действительно, пространственная контрольная кривая (рис. 4) имеет проекцию на плоскость ($y_1,y_2$) в виде рис. 2, на котором проведенная через точки $A_1$ и $A_2$ (с параметрами $2\pi /5$ и $\pi /5$) прямая не имеет других пересечений с контрольной кривой. Согласно замечанию 8, этого достаточно, несмотря на то что, например, проекция на плоскость ($y_1,y_3$) (рис. 3) такому свойству не удовлетворяет.

Рис. 8. Правая (зеркальная) часть диаграммы для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{3}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{1}$, ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}$, ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{7}$

На горизонтали $T_1=\pi /2$ наличие лишь двух точек из трех соответствует описанному выше типу 1. Параметр ${\gamma }_M\approx 1.150466$ третьей точки M найден из условия касания плоскости $A_1{A}_{2}M$ с контрольной кривой (эти точки показаны на рис. 4). С увеличением параметра T касательная плоскость превращается в секущую, из пункта M на контрольной кривой выйдут две новые точки. Второй слой диаграммы начинается при перенумерованных значениях переменных ${\gamma }_1=2\pi /5$, ${\gamma }_2={\gamma }_3\approx 1.150466$, ${\gamma }_4=\pi /5$, причем интегрируется новая система уравнений. Она соответствует типу 3: к трем уравнениям (4.1) добавится четвертое, полученное дифференцированием по параметру T соотношения (2.5) при $n=3$, куда вместо ($T-t$) подставляется ${\gamma }_4$. Результирующая система разрешится относительно производных в виде

$\frac{\mathrm{d}{\gamma }_i}{\mathrm{d}T}=\frac{R_i}{R},$ $i=\overline{\mathrm{1,4}},$

$R=2({\mu }_1{V}_{234}+{\mu }_2{V}_{134}+{\mu }_3{V}_{124}+{\mu }_4{V}_{123})/T,$ ${\mu }_i=G_i/{\gamma }_i^2,$ $i=\overline{\mathrm{1,4}},$ (5.2)

$R_1=({\mu }_2{V}_{034}+{\mu }_3{V}_{024}+{\mu }_4{V}_{023})/{\gamma }_1,$ $R_2=(-{\mu }_1{V}_{034}+{\mu }_3{V}_{014}+{\mu }_4{V}_{013})/{\gamma }_2,$

$R_3=(-{\mu }_1{V}_{024}-{\mu }_2{V}_{014}+{\mu }_4{V}_{012})/{\gamma }_3,$ $R_4=(-{\mu }_1{V}_{023}-{\mu }_2{V}_{013}-{\mu }_3{V}_{012})/{\gamma }_4.$

Здесь использованы столбцы $g_i={\left(\psi \left({\omega }_1{\gamma }_i\right),\psi \left({\omega }_2{\gamma }_i\right),\psi \left({\omega }_3{\gamma }_i\right)\right)}^T$, $i=\overline{\mathrm{1,4}}$ и столбец $g_0={\left(\psi \left({\omega }_{1}T\right),\psi \left({\omega }_{2}T\right),\psi \left({\omega }_{3}T\right)\right)}^T$ $g_0={\left(\psi \left({\omega }_{1}T\right),\psi \left({\omega }_{2}T\right),\psi \left({\omega }_{3}T\right)\right)}^T$. Определитель третьего порядка $G_i$, $i=\overline{\mathrm{1,4}}$ получается из определителя $G=||(g_1-g_2)(g_2-g_3)(g_3-g_4)||$ формальной заменой $g_i$ на столбец  $h_i={\left(\cos \left({\omega }_1{\gamma }_i\right),\cos \left({\omega }_2{\gamma }_i\right),\cos \left({\omega }_3{\gamma }_i\right)\right)}^T$, $h_i={\left(\cos \left({\omega }_1{\gamma }_i\right),\cos \left({\omega }_2{\gamma }_i\right),\cos \left({\omega }_3{\gamma }_i\right)\right)}^T$, $i=\overline{\mathrm{1,4}}$ а все определители $V_{ijk}=||\left(g_i\right)\left(g_j\right)\left(g_k\right)||$ составлены из столбцов с возрастающими номерами.

Интегрирование системы (5.2) завершается при $T_2\approx 1.982313$ ввиду совпадения значений функций ${\gamma }_3\left(T\right)$ и ${\gamma }_2\left(T\right)$. Их графики на диаграмме (рис. 8) пересекаются в вершине H «чечевицы», начатой вверх из точки M. На контрольной кривой в исчезающей «сдвоенной» точке ${\gamma }_2={\gamma }_3\approx 1.0760698$ пройдет момент касания с гиперплоскостью, после чего оставшаяся точка $A_1$ (${\gamma }_1\approx 1.459590$) сохранит имя, а $A_4$.(${\gamma }_4\approx 0.624976$) переименуется в $A_2$. В роли третьей точки $A_3$ далее выступит $K_0$ (${\gamma }_3=0$), поскольку, как показывает численная проверка, только такая плоскость $A_1{A}_2{A}_3$ не пересекает контрольной кривой в других точках. При $T_2>1.982313$эволюция функций ${\gamma }_1\left(T\right)$, ${\gamma }_2\left(T\right)$, ${\gamma }_3\left(T\right)$ находится интегрированием уравнений (4.2) при $n=3$. Этот третий слой завершается значениями $T_3=\pi$, ${\gamma }_1=\pi /2$, ${\gamma }_2={\gamma }_3=0$ и является последним на диаграмме (рис. 8). В каждом слое диаграммы цифрой указано соответствующее количество переключений управления $u\left(t\right)$, $t\in \left[\mathrm{0,} 2\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.17em}}T\right]$.

Пример 3. На рис. 9 показана правая (зеркальная) часть диаграммы для случая ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=7$, ${\omega }_3=13$. Сюжет подобран для иллюстрации ситуации типа 2, поскольку система (2.2) заведомо допускает решение $T=\pi /2$, ${\gamma }_1=\pi /3$, ${\gamma }_2={\gamma }_3=0$.

Рис. 9. Правая (зеркальная) часть диаграммы для $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{3}$ при ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{1}$, ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{7}$, ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{13}$

Здесь вновь кривые ${\gamma }_1\left(T\right)$, ${\gamma }_2\left(T\right)$, ${\gamma }_3\left(T\right)$ выходят из вершины О с теми же угловыми коэффициентами (5.1), но интегрирование системы (4.2) завершается при $T_1\approx 0.946912$, где ${\gamma }_3\left(T_1\right)=0$. В этот момент на контрольной кривой точка $A_3$ совместится с $K_0$. К двум оставшимся точкам $A_1$ и $A_2$ (тип 1) далее добавится третья – после отыскания параметра ${\gamma }_R\approx 0.690766$ точки R касания контрольной кривой и плоскости $A_1{A}_{2}R$. Во втором слое диаграммы интегрирование системы (5.2) завершается при $T_2\approx 1.146912$ ввиду ${\gamma }_4\left(T_2\right)=0$. В третьем слое интегрируется система (4.2) при $n=3$, пока не произойдет пересечение кривых ${\gamma }_2\left(T\right)$ и ${\gamma }_3\left(T\right)$ в точке P. На горизонтали $T_3=\pi /2$ остается лишь одна точка (${\gamma }_1=\pi /3$) вместо трех. Для отыскания новой точки L по описанной выше схеме (см. тип 2) составляем систему уравнений (4.1) с заменой $x={\dot{\gamma }}_2-{\dot{\gamma }}_3$ в виде

${\dot{\gamma }}_1\text{sin}\left(\frac{{\omega }_i\pi }{3}\right)-x\text{\hspace{0.17em}sin(}{\omega }_i{\gamma }_L)=\frac{1}{2}\text{sin}\left(\frac{{\omega }_i\pi }{2}\right),$ $i=\overline{\mathrm{1,3}}.$ (5.3)

Подставляя значения ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=7$, ${\omega }_3=13$, исключим из системы переменные ${\dot{\gamma }}_1$ и $x$, получая уравнение $\text{\hspace{0.17em}sin(}{\gamma }_L)=\text{\hspace{0.17em}sin(13}{\gamma }_L)$. В актуальном диапазоне ($0<{\gamma }_L<\pi /2$) оно имеет пять корней, из которых только ${\gamma }_L\approx 0.2243995$ удовлетворяет одновременно условиям а) и б), упомянутым в комментариях (см. тип 2).

В четвертом слое диаграммы (рис. 9) из точки L выходят кривые ${\gamma }_2\left(T\right)$ и ${\gamma }_3\left(T\right)$, которые вместе с ${\gamma }_1\left(T\right)$ определяются интегрированием системы (4.2) при $n=3$. Процесс прерывается при $T_4\approx 1.736850$, когда контрольная кривая касается плоскости $A_1{A}_2{A}_3$ в дополнительной точке Q с параметром ${\gamma }_Q\approx 1.466848$. На диаграмме в пятом слое из точки R выходят две новые кривые, поэтому к трем уравнениям (4.1) добавятся четвертое и пятое, полученные дифференцированием по параметру T соотношения (2.5) при $n=3$, куда вместо ($T-t$) подставляются соответственно ${\gamma }_4$ и ${\gamma }_5$. Результирующая система сводится к виду

$\frac{\mathrm{d}{\gamma }_i}{\mathrm{d}T}=\frac{H_i}{H},$ $i=\overline{\mathrm{1,5}},$

$H=2\left[\begin{array}{c}{V}_{345}({\mu }_2{\lambda }_1-{\mu }_1{\lambda }_2)+\\ +V_{245}({\mu }_3{\lambda }_1-{\mu }_1{\lambda }_3)+V_{145}({\mu }_3{\lambda }_2-{\mu }_2{\lambda }_3)+\\ +{\mu }_4({\lambda }_1{V}_{235}+{\lambda }_2{V}_{135}+{\lambda }_3{V}_{125})-\\ -{\lambda }_5({\mu }_1{V}_{234}+{\mu }_2{V}_{134}+{\mu }_3{V}_{124}+{\mu }_4{V}_{123})\end{array}\right]/T,$

${\mu }_i=G_i/{\gamma }_i^2,$ $i=\overline{\mathrm{1,4}},$ ${\lambda }_i=F_i/{\gamma }_i^2,$ $i=\mathrm{1,2,3,5,}$ (5.4)

$H_1=\left[\begin{array}{c}{V}_{045}({\mu }_3{\lambda }_2-{\mu }_2{\lambda }_3)+\\ +{\mu }_4({\lambda }_2{V}_{035}+{\lambda }_3{V}_{025})-\\ -{\lambda }_5({\mu }_2{V}_{034}+{\mu }_3{V}_{024}+{\mu }_4{V}_{023})\end{array}\right]/{\gamma }_1,$

$H_2=\left[\begin{array}{c}{V}_{045}({\mu }_1{\lambda }_3-{\mu }_3{\lambda }_1)+\\ +{\mu }_4(-{\lambda }_1{V}_{035}+{\lambda }_3{V}_{015})-\\ -{\lambda }_5(-{\mu }_1{V}_{034}+{\mu }_3{V}_{014}+{\mu }_4{V}_{013})\end{array}\right]/{\gamma }_2,$

$H_3=\left[\begin{array}{c}{V}_{045}({\mu }_2{\lambda }_1-{\mu }_1{\lambda }_2)+\\ +{\mu }_4(-{\lambda }_1{V}_{025}-{\lambda }_2{V}_{015})-\\ -{\lambda }_5(-{\mu }_1{V}_{024}-{\mu }_2{V}_{014}+{\mu }_4{V}_{012})\end{array}\right]/{\gamma }_3.$

$H_4=\left[\begin{array}{c}{V}_{035}({\mu }_2{\lambda }_1-{\mu }_1{\lambda }_2)+\\ +V_{025}({\mu }_3{\lambda }_1-{\mu }_1{\lambda }_3)+\\ +V_{015}({\mu }_3{\lambda }_2-{\mu }_2{\lambda }_3)-\\ -{\lambda }_5(-{\mu }_1{V}_{023}-{\mu }_2{V}_{013}-{\mu }_3{V}_{012})\end{array}\right]/{\gamma }_4,$

$H_5=\left[\begin{array}{c}{V}_{034}({\mu }_2{\lambda }_1-{\mu }_1{\lambda }_2)+\\ +V_{024}({\mu }_3{\lambda }_1-{\mu }_1{\lambda }_3)+\\ +V_{014}({\mu }_3{\lambda }_2-{\mu }_2{\lambda }_3)+\\ +{\mu }_4({\lambda }_1{V}_{023}+{\lambda }_2{V}_{013}+{\lambda }_3{V}_{012})\end{array}\right]/{\gamma }_5.$

Здесь к ранее введенным в (5.2) столбцам $g_i$, $i=\overline{\mathrm{0,4}}$ добавлен новый $g_5={\left(\psi \left({\omega }_1{\gamma }_5\right),\psi \left({\omega }_2{\gamma }_5\right),\psi \left({\omega }_3{\gamma }_5\right)\right)}^T$ $g_5={\left(\psi \left({\omega }_1{\gamma }_5\right),\psi \left({\omega }_2{\gamma }_5\right),\psi \left({\omega }_3{\gamma }_5\right)\right)}^T$. Определитель третьего порядка $F_i$, $i=\mathrm{1,2,3,5}$ получается из определителя $F=||(g_1-g_2)(g_2-g_3)(g_3-g_5)||$ формальной заменой $g_i$ на столбец $h_i={\left(\cos \left({\omega }_1{\gamma }_i\right),\cos \left({\omega }_2{\gamma }_i\right),\cos \left({\omega }_3{\gamma }_i\right)\right)}^T$, $i=\mathrm{1,2,3,5}$, а все определители $V_{ijk}=||\left(g_i\right)\left(g_j\right)\left(g_k\right)||$ составлены из столбцов с возрастающими номерами.