A spin nematic in a strong magnetic field

全文:

Введение

Понятие “нематик” появилось в конце XIX века в связи с открытием жидкокристаллических фаз. Жидкие кристаллы сочетают в себе, казалось бы, взаимоисключающие свойства, т.е. как свойства жидкости (отсутствие кристаллической решетки, текучесть), так и кристалла (анизотропия). Почти столетие такие состояния считали экзотическими, прежде чем они стали повсеместными в технике [1, 2]. Термин “спиновый нематик” отражает тот факт, что в такой системе имеет место некоторое промежуточное состояние [3, 4], которое характеризуется определенным спиновым упорядочением, не связанным с нарушением симметрии относительно обращения времени ($t\to -t$). Это состояние связано со спиновым мультипольным (например, квадрупольным) упорядочением, и спонтанное нарушение симметрии определяется бесследовым тензором второго ранга:

$Q_{\alpha \beta }=S_{\alpha }{S}_{\beta }+S_{\beta }{S}_{\alpha }-{\delta }_{\alpha \beta }\left[S\left(S+1\right)/3\right]$  ,

где $S_{\alpha }(\alpha =x,y,z)$ – проекции оператора спина [3, 5–8]. Средние значения компонент этого тензора определяют параметры порядка. Такие состояния с мультипольным упорядочением реализуются в сильно коррелированных магнитных материалах [7–11], в фрустрированных магнетиках со спином ½ [12–21] и в ультрахолодных атомарных газах [22].

Состояние спинового нематика может возникать из-за корреляции спинов на различных узлах. При этом симметрия относительно отражения времени для всей системы не нарушена [14]. Вероятно, такие состояния обнаружены для низкоразмерного магнетика LiCuVO₄ [5, 14, 23]. Не менее интересна возможность реализации нематических состояний за счет существования спиновых мультипольных параметров порядка, в которые входят произведения средних значений проекций оператора спина на одном и том же узле.

Так, для магнетиков со спином магнитного иона S=1 реализация нематического упорядочения определяется большим биквадратичным обменным взаимодействием. В стандартныx магнитных системах биквадратичный обмен обычно считается малым по сравнению с билинейным (гейзенберговским) обменным взаимодействием. Однако анализ результатов экспериментов с магнитными материалами на основе никеля [4, 24] и бозе-конденсатом ультрахолодных атомов [25, 26] показывают, что биквадратичное спин-спиновое взаимодействие имеет важное значение. Спиновые нематики обладают интересными динамическими свойствами. В них возникают дополнительные ветви спиновых колебаний. Эти возбуждения связаны с изменением длины вектора магнитного момента и являются слабо затухающими [7, 27–30]. В последнее время большое внимание уделяется также нелинейным явлениям в спиновых нематиках, см., напр., [24, 31].

Свойства спиновых нематиков обычно исследуют для изотропных магнитоупорядоченных систем (со спином $S\ge 1$) в отсутствие внешнего магнитного поля [3, 7, 27, 32, 34–36, 38–40]. В работах [33, 37] было исследовано влияние внешнего магнитного поля на свойства изотропных магнетиков с билинейным и биквадратичным обменными взаимодействиями. Понятно, что включение внешнего магнитного поля приведет к возникновению ненулевого магнитного момента. В работаx [41–43] рассматривали влияние магнитного поля на динамические свойства и стабильность фазовых состояний 1D-магнетиков со спином магнитного иона S=1 с учетом различных релятивистских взаимодействий (одноионная анизотропия, магнитоупругое взаимодействие). В работе [44] рассмотрено влияние внешнего поля и температуры на динамические свойства и фазовые состояния негейзенберговского магнетика со спином единица, при наличии взаимодействия Дзялошинского–Мории. Также активно исследуется возможность реализации нематических состояний во фрустрированных магнитоупорядоченных системах со спином магнитного иона S=1/2 и влияние магнитного поля на это состояние [45–47]. Необходимо отметить, что реализация состояния спинового нематика в этом случае связана с ненулевыми разноузельными спиновыми корреляторами. Однако вопрос о влиянии внешнего магнитного поля на устойчивость (и трансформацию) нематического состояния в 3D-магнетиках со спином магнитного иона S=1, и учетом биквадратичного обменного взаимодействия остается открытым. Таким образом, целью данной работы является исследование трансформации нематического состояния в 3D-ферромагнетике с S=1 в сильном магнитном поле.

В данной работе исследуется трансформация геометрического образа нематического состояния в спиновом пространстве в зависимости от внешнего магнитного поля, а также устойчивость нематической фазы как изотропного, так и анизотропного (с одноосной одноионной анизотропией) негейзенберговского магнетика с большим биквадратичным обменным взаимодействием в сильном магнитном поле.

Изотропный ферромагнетик с S=1 во внешнем магнитном поле

Рассмотрим изотропный спиновый нематик со спином магнитного иона S=1 с квадратной решеткой во внешнем поле. Изотропная система не имеет выделенного направления, и, следовательно, направление оси квантования (оси OZ) может быть выбрано произвольно, поэтому удобно связать ее с ориентацией внешнего магнитного поля. Гамильтониан такой системы имеет вид:

$\begin{array}{l}\mathcal{H}=-\frac{1}{2}\sum _{n,n\text{'}}J\left(n-n\text{'}\right)\left(S_n{S}_{n\text{'}}\right)-\\ -\frac{1}{2}\sum _{n,n\text{'}}K\left(n-n\text{'}\right){\left(S_n{S}_{n\text{'}}\right)}^2-H\sum _n{S}_n^z,\end{array}$ (1)

где $J,K>0-$ константы билинейного и биквадратичного обменных взаимодействий, соответственно; $H-$внешнее магнитное поле в энергетических единицах; $S_n^i\left(i=x,y,z\right)-$i-я компонента спинового оператора в узле $n.$ Мы предполагаем, что $K>J.$

Аналогичная модель численно исследована в работе [48] для случая конечных температур. В настоящей работе проводится аналитический анализ структуры нематического состояния при Т→0°К. Это позволит выявить влияние магнитного поля на квантовые эффекты, исключив влияние тепловых флуктуация.

В отсутствие внешнего поля в системе реализуется хорошо изученное [27, 30, 33, 34, 37, 40] нематическое состояние, которое характеризуется следующими параметрами порядка:

$\begin{array}{l}〈S^z〉=\mathrm{0,}{q}_2^0=3〈{\left(S^z\right)}^2〉-2=\mathrm{1,}\\ q_2^2=〈{\left(S^x\right)}^2〉-〈{\left(S^y\right)}^2〉=-\mathrm{1,}\end{array}$

$〈{\left(S^z\right)}^2〉=〈{\left(S^y\right)}^2〉=\mathrm{1,}〈{\left(S^x\right)}^2〉=0.$ (2)

Соотношения (2) можно трактовать как результат вычисления квазисредних Боголюбова при бесконечно малом поле.

Как видно из соотношений (2), геометрическим образом нематической фазы является бесконечно тонкий диск, ориентированный в плоскости ZOY в спиновом пространстве (рис. 1). Вектор-директор в этом случае ориентирован по оси OX, т.е. перпендикулярен плоскости нематического диска:

$〈{\left(S^x\right)}^2〉=\mathrm{0,}〈{\left(S^z\right)}^2〉=〈{\left(S^y\right)}^2〉=1.$

При этом из соотношений (2) следует, что спонтанное нарушение вращательной симметрии связано с компонентами тензора $Q_{\alpha \beta }.$

 

Рис. 1. Бесконечно тонкий диск.

 

Энергия основного состояния в нематической фазе, при $H=\mathrm{0,}$ равна $E_{\text{gs}}=-\frac{K_0}{3},$ а волновая функция основного состояния имеет вид: $\left|{\psi }_{\text{gs}}\right.〉=\frac{\left|1\right.〉-\left|-1\right.〉}{\sqrt{2}}.$

Рассмотрим теперь, как изменится нематическое состояние при включении внешнего магнитного поля, т.е. ситуацию, описываемую гамильтонианом (1).

В этом случае ситуация более интересная. Используя приближение среднего поля, можно показать, что в присутствии внешнего магнитного поля энергия основного состояния имеет вид:

$E_{\text{gs}}=-\frac{K_0}{3}-H\cos 2\alpha +\frac{1}{2}\left(K_0-J_0\right){\cos }^{2}2\alpha$ , (3)

а вектор состояния можно представить, как 

$\left|{\psi }_{\text{gs}}\right.〉=\cos \alpha \left|1\right.〉+\sin \alpha \left|-1\right.〉.$

Здесь $J_0,K_0-$ нулевые фурье-компоненты констант билинейного и биквадратичного обменных взаимодействий, соответственно; a – параметр обобщённого u–v-преобразования (параметр a< 0) [49], который определяется уравнением

$H\sin 2\alpha -\left(K_0-J_0\right)\sin 2\alpha \cos 2\alpha =0$. (4)

Кроме того, этот параметр связан как с дипольным параметром порядка, так и нематическими

$〈S^z〉=\cos 2\alpha$, $q_2^2=\sin 2\alpha$.

Как следует из соотношений (3) и (4), выражение для параметра α имеет вид:

$\cos 2\alpha =\frac{H}{K_0-J_0}$. (5)

Таким образом, включение внешнего магнитного поля приводит к возникновению дипольного параметра порядка, т.е. магнитного момента, параллельного магнитному полю и линейно зависящего от магнитного поля:

$〈S^z〉=\cos 2\alpha =\frac{H}{K_0-J_0}$ .

Возникает вопрос, можно ли данное состояние считать нематической фазой, или это некое метастабильное (промежуточное) состояние? Как уже отмечали, нематическое упорядочение характеризуется спонтанным нарушением вращательной симметрии, которое связано со спиновыми квадрупольными параметрами $〈Q_{ik}〉=〈S_i{S}_k+S_k{S}_i〉$, $i,k=x,y,z$ [27, 30, 32–40]. Следовательно, необходимо исследовать поведение компонент тензора квадрупольных моментов при $H\ne 0$. Простые вычисления позволяют определить одноузельные квадратичные корреляторы компонент спиновых операторов:

$\begin{array}{l}〈{\left(S^x\right)}^2〉=\frac{1}{2}\left(1+\sin 2\alpha \right),\\ 〈{\left(S^y\right)}^2〉=\frac{1}{2}\left(1-\sin 2\alpha \right),〈{\left(S^z\right)}^2〉=1.\end{array}$

Как видно из этих соотношений, включение магнитного поля приводит к трансформации плоского диска (при –$H=0$ рис. 1) в двухосный эллипсоид (рис. 2), оси которого $\left(〈{\left(S^i\right)}^2〉\right)$ соотносятся как

$〈{\left(S^z\right)}^2〉>〈{\left(S^y\right)}^2〉>〈{\left(S^x\right)}^2〉$.

При этом вектор-директор ориентирован вдоль оси OX. Параметры порядка определяются соотношениями (2), и в рассматриваемом случае принимают вид:

$〈S^z〉=\cos 2\alpha =\frac{H}{K_0-J_0}$, $q_2^0=\mathrm{1,}{q}_2^2=\sin 2\alpha$.

Таким образом, в магнетике с сильным биквадратичным обменным взаимодействием спонтанное нарушение вращательной симметрии сохраняется и при наличии магнитного поля. Нематическое состояние является устойчивым во внешнем поле, при полях $H<K_0-J_0$. Магнитное поле при этом трансформирует квадрупольный эллипсоид, понижая его симметрию, и приводит к ориентации вектор-директора в направлении, перпендикулярном магнитному полю. Если поле достигает величины $H_{\text{С}}=K_0-J_0$, то среднее значение магнитного момента достигает насыщения $〈S^z〉=\cos 2\alpha =1$, а остальные параметры порядка принимают значения $q_2^0=\mathrm{1,}{q}_2^2=0.$ Следовательно, при этом значении поля $〈{\left(S^x\right)}^2〉=〈{\left(S^y\right)}^2〉=\frac{1}{2};〈{\left(S^z\right)}^2〉=1$, т.е. квадрупольный эллипсоид становится одноосным (эллипсоидом вращения), и при поле $H_{С}$ магнетик переходит в парамагнитную фазу.

 

Рис. 2. Двухосный эллипсоид ⟨(S ^z)²⟩ > ⟨(S ^y)²⟩ > > ⟨(S ^x)²⟩.

 

Анизотропный ферромагнетик с S=1 во внешнем магнитном поле

Рассмотрим теперь влияние одноосной анизотропии на устойчивость нематического состояния во внешнем магнитном поле. Как и ранее предполагается, что спин магнитного иона S=1, константа биквадратичного обмена превосходит константу билинейного обмена $\left(K>J\right)$, и температура близка к нулю ($T\to 0^{0}K$).

Рассмотрим вначале одноионную анизотропию типа “легкая ось”. Гамильтониан такой системы имеет вид:

$\begin{array}{l}\mathcal{H}=-H\sum _n{S}_n^z-\beta \sum _n{\left(S_n^z\right)}^2-\\ -\frac{1}{2}\sum _{n_1\ne n_2}\left[J\left(n-n\text{'}\right)\left(S_n{S}_{n\text{'}}\right)+K\left(n-n\text{'}\right){\left(S_n{S}_{n\text{'}}\right)}^2\right].\end{array}$ (6)

Здесь $\beta >0$ – константа одноионной анизотропии типа “легкая ось”, легкая ось – ось OZ. Внешнее магнитное поле направлено вдоль оси анизотропии.

Вначале рассмотрим случай $H=0$. Энергия основного состояния равна $E_{gs}=-\frac{K_0}{3}-\beta ,$ а волновая функция основного состояния совпадает с волновой функцией изотропного спинового нематика. Параметры порядка в этом случае имеют вид, определяемый соотношениями (2). Таким образом, в нулевом поле анизотропия типа “легкая ось” не изменяет состояния спинового нематика, а геометрическим образом этого состояния в спиновом пространстве является бесконечно тонкий диск, лежащий в плоскости ZOY (рис. 1).

Как показывают достаточно простые вычисления, включение внешнего поля, параллельного оси анизотропии, приводит к тем же результатам, что и в изотропном случае. При этом энергия основного состояния естественно отличается от выражения (3) и имеет вид:

$E_{gs}=-\frac{K_0}{3}-\beta -H\cos 2\alpha +\frac{1}{2}\left(K_0-J_0\right){\cos }^{2}2\alpha$.

Параметр α, как и ранее, имеет смысл параметра u–v-преобразования и определяется уравнением:

$\left(H+\left(J_0-\frac{K_0}{2}\right)〈S^z〉\right)\sin 2\alpha =\frac{K_0}{2}{q}_2^2\cos 2\alpha$.

Решение этого уравнения имеет вид:

$\cos 2\alpha =\frac{H}{K_0-J_0}$.

Параметры порядка в этом случае равны:

$〈S^z〉=\cos 2\alpha =\frac{H}{K_0-J_0},$

$q_2^0=\mathrm{1,}{q}_2^2=\sin 2\alpha$, (7)

где

$〈{\left(S^x\right)}^2〉=\frac{1}{2}\left(1+\sin 2\alpha \right);$

$〈{\left(S^y\right)}^2〉=\frac{1}{2}\left(1-\sin 2\alpha \right);〈{\left(S^z\right)}^2〉=1$.

Как следует из соотношений (7), в анизотропном случае состояние спинового нематика сохраняется в достаточно сильном магнитном поле, вплоть до $H_{\text{С}}=K_0-J_0$. Включение поля приводит к трансформации геометрического образа нематического состояния: бесконечно тонкий диск, лежащий в плоскости ZOY (при $H=0$), преобразуется в двухосный эллипсоид (рис. 2) при $H<K_0-J_0$. Как и в изотропном случае, в легкоосном нематике магнитное поле не приводит к изменению ориентации квадрупольного эллипсоида в спиновом пространстве. При достижении критического поля H_C система переходит в парамагнитную фазу, а двухосный эллипсоид трансформируется в одноосный.

Аналогичные результаты можно достаточно просто получить и для магнетика с одноионной анизотропией типа “легкая плоскость”. Для простоты вычислений рассмотрим случай, когда внешнее магнитное поле перпендикулярно базисной плоскости. Гамильтониан такой системы имеет вид:

$\begin{array}{l}\mathcal{H}=-H\sum _n{S}_n^x+\beta \sum _n{\left(S_n^x\right)}^2-\\ -\frac{1}{2}\sum _{n_1\ne n_2}\left[J\left(n-n\text{'}\right)\left(S_n{S}_{n\text{'}}\right)+K\left(n-n\text{'}\right){\left(S_n{S}_{n\text{'}}\right)}^2\right].\end{array}$ (8)

Здесь $\beta >0-$константа легкоплоскостной анизотропии, базисной плоскостью является плоскость ZOY, магнитное поле перпендикулярно этой плоскости. Как и ранее $K>J$, но магнитное поле в данном случае направлено параллельно оси OX.

При $H=0$ мы получаем стандартную ситуацию: в системе реализуется нематическое состояние с параметрами порядка $〈\left(S^z\right)〉=\mathrm{0,}{q}_2^0=\mathrm{1,}{q}_2^2=-\mathrm{1,}$ а квадрупольный эллипсоид представляет собой бесконечно тонкий диск, лежащий в плоскости ZOY, т.е. $〈{\left(S^x\right)}^2〉=0;〈{\left(S^y\right)}^2〉=1;〈{\left(S^z\right)}^2〉=1$ (рис. 1).

При включении внешнего поля вдоль оси OX возникает ненулевой магнитный момент, параллельный направлению поля, т.е. $〈S^x〉\ne 0$. Энергия основного состояния имеет вид:

$E_{\text{gs}}=-\frac{K_0}{3}+\beta -H\cos 2\alpha +\frac{1}{2}\left(K_0-J_0\right){\cos }^{2}2\alpha$,

где, как и ранее, $\alpha -$параметр u–v-преобразования, который теперь определяется уравнением

$\left(H+\left(J_0-\frac{K_0}{2}\right)〈S^x〉\right)\sin 2\alpha =\frac{K_0}{4}\left(q_2^0+q_2^2\right)\cos 2\alpha$.

Решение этого уравнения (или же уравнения на минимум энергии основного состояния) позволяет определить параметр α:

$\cos 2\alpha =\frac{H}{K_0-J_0}$. (9)

Параметры порядка, определенные соотношением (2), в этом случае имеют вид:

$〈S^x〉=\cos 2\alpha ,q_2^0=\frac{3\sin 2\alpha -1}{2},q_2^2=\frac{1+\sin 2\alpha }{2}$ .

Включение внешнего поля приводит к тому, что геометрическим образом данного состояния в спиновом пространстве становится двухосный эллипсоид (рис. 3) с осями:

$\begin{array}{l}〈{\left(S^x\right)}^2〉=\mathrm{1,}〈{\left(S^y\right)}^2〉=\frac{1}{2}\left(1-\sin 2\alpha \right),\\ 〈{\left(S^z\right)}^2〉=\frac{1}{2}\left(1+\sin 2\alpha \right).\end{array}$ (10)

Оси эллипсоида соотносятся как $〈{\left(S^x\right)}^2〉>〈{\left(S^y\right)}^2〉>〈{\left(S^z\right)}^2〉$ (здесь учтено, что $\alpha <0$). Вектор-директор при этом направлен вдоль оси OZ (рис. 3). Как видно из выражений (10), для одноузельных двухспиновых корреляторов в системе реализуется нематическое состояние даже при ненулевом магнитном поле, меньшем некоторого критического. При этом влияние магнитного поля на нематичекое состояние легкоплоскостного магнетика приводит не только к трансформации квадрупольного эллипсоида, но и к повороту его главной оси в спиновом пространстве. Из выражения (9) для $〈S^x〉$ следует, что при достижении критического значения магнитного поля $H_{\text{c}}=K_0-J_0$, намагниченность достигает насыщения $\left(〈S^x〉=1\right)$.

 

Рис. 3. Двухосный эллипсоид ⟨(S ^x)²⟩ > ⟨(S ^y)²⟩ > > ⟨(S ^z)²⟩.

 

При этом $\sin 2\alpha =0$, а это означает, что квадрупольный эллипсоид становится эллипсоидом вращения, т.е. $〈{\left(S^x\right)}^2〉=\mathrm{1,}〈{\left(S^y\right)}^2〉=〈{\left(S^z\right)}^2〉=\frac{1}{2}$. Таким образом, при $H=H_{\text{c}}$ магнетик переходит в парамагнитное состояние.

Заключение

В настоящей работе исследована трансформация геометрического образа нематического состояния в спиновом пространстве в зависимости от внешнего магнитного поля. Показано, что как в изотропном, так и в анизотропном спиновом нематике внешнее магнитное поле сохраняет нематическое состояние в случае преобладающего биквадратичного обменного взаимодействия даже при наличии внешнего магнитного поля.

Геометрический образ спинового нематика со спином магнитного иона S=1 трансформируется от бесконечно тонкого диска (при $H=0$) к двухосному эллипсоиду (при $H\ne 0$), при этом ориентация малых полуосей эллипсоида определяется направлением магнитного поля. Эта ситуация присуща как изотропной системе, так и при наличии одноосной анизотропии. Такое поведение одноузельных спиновых корреляторов (определяющих тензорные параметры порядка) свидетельствует о сохранении нематического состояния даже при достаточно больших магнитных полях.

При достижении критического значения магнитного поля $H_{\text{c}}=K_0-J_0$ (являющегося, фактически, обменным полем) квадрупольный эллипсоид становится эллипсоидом вращения, т.е. его малые полуоси сравниваются. Это означает, что при таком значении магнитного поля спиновый нематик переходит в парамагнитное состояние с максимально возможным значением магнитного момента.

Необходимо отметить, что этот переход происходит при одном и том же значении магнитного поля как в изотропном, так и в анизотропном спиновом нематике.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (грант № 23-22-00054 https://rscf.ru/project/23-22-00054/, ФГАОУ ВО Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского, Республика Крым. Авторы благодарят профессора Иванова Б.А. за интересную дискуссию и полезные замечания.

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

作者简介

Ya. Matyunina

Vernadsky Crimean Federal University

Email: yuriifridman@gmail.com
俄罗斯联邦, 295006, Simferopol', Republic of Crimea

O. Kosmachev

Vernadsky Crimean Federal University

Email: yuriifridman@gmail.com
俄罗斯联邦, 295006, Simferopol', Republic of Crimea

Yu. Fridman

Vernadsky Crimean Federal University

编辑信件的主要联系方式.
Email: yuriifridman@gmail.com
俄罗斯联邦, 295006, Simferopol', Republic of Crimea

参考

补充文件