Тонкая структура поля плотности в двумерных периодических течениях на поверхности вязкой стратифицированной жидкости

Полный текст

1. Введение

Перенос вещества нелинейными потенциальными волнами на поверхности однородной жидкости, установленный методами теории возмущений еще в середине XIX века [1], продолжает изучаться и теоретически, и экспериментально в лабораторных и природных условиях [2–4] в силу распространенности и практической важности явления. В последние годы развитие исследований волнового переноса было активизировано изучением движения поплавков (лагранжевых дрифтеров) [5] и экологических проблем, вызванных увеличением объема плавающего пластика и других загрязнителей в морской среде [6–8]. О математической сложности задачи описания волнового переноса вещества свидетельствует парадоксальное отсутствие рассчитанного во втором порядке теории возмущений стоксова дрейфа [1] в теории вихревых волн Герстнера [9], природа которого продолжает активно изучаться [10].

В последние годы внимание уделяется анализу переноса вещества и в приповерхностном свободном [11–13], и в подледном [14], и в придонном пограничном слое [15]. Проводятся расчеты взаимодействия процесса волнового переноса с течениями [16–18] и вихрями Лэнгмюра [19]. сопровождающегося формированием полос плавающих водорослей и пузырьков, вытянутых вдоль направления ветра [20].

В большинстве оригинальных работ и базовых трактатах [21–23] теория поверхностных волн развивается в приближении однородной жидкости, хотя, как правило, и в природных, и лабораторных условиях жидкости гетерогенны вследствие неоднородности распределений давления, температуры, концентрации растворенных веществ и взвешенных частиц. В поле массовых сил плотности жидкостей возрастают с глубиной (уменьшаются с высотой в атмосфере) – среды естественно стратифицируются. Наряду с общей плавной стратификацией, и в атмосфере, и в океане наблюдается тонкая структура, в которой однородные слои разделены более тонкими высокоградиентными прослойками [24].

Общая стратификация создает необходимые условия для существования внутренних волн, теоретический анализ которых, впервые проведенный в [25], отражен в отдельных разделах трактатов [21, 23] и монографии [26]. В последние годы, наряду с изучением общих свойств волновых процессов в гетерогенных средах [27], внимание уделяется анализу волновых полей, создаваемых равномерно движущимися источниками [28–31].

Волновой перенос вещества в слоистых средах рассмотрен в [32]. Влияние вязкости на распространение поверхностных волн проанализировано в [33, 34]. Методика одновременного учета влияния стратификации и действия диссипативных факторов на динамику и структуру периодических течений предложена в [35].

Совместный анализ результатов теоретических и экспериментальных исследований динамики и структуры периодических гравитационных волн в жидкости показал, что ряд ключевых вопросов теории волнового дрейфа в однородной жидкости все еще нуждается в уточнении и экспериментальном подтверждении [36]. Цель данной работы – анализ распространения поверхностных периодических возмущений, включающих волны и тонкоструктурные компоненты [24, 37] с учетом эффектов стратификации и диссипации.

2. Математическая формулировка задачи

В основу рассмотрения положена система фундаментальных уравнений механики жидкостей, включающая определяющую среду уравнения состояния для потенциала Гиббса G и плотности ρ [35]. Система дифференциальных уравнений неразрывности, переноса импульса, температуры, концентрации примесей в пренебрежении эффектами Людвига–Соре и Дюфура имеет вид [21]:

$$\begin{gathered} G=G\left(P, T, S_i\right), \rho =\rho \left(P, T, S_i\right) \\ {\partial }_t\rho +{\nabla }_j\left(p^j\right)=Q_{\rho } \\ {\partial }_t\left(p^i\right)+{\nabla }_j{\Pi }^{ij}=\rho g^i+2{\epsilon }^{ijk}{p}_j{\Omega }_k+Q^i \\ {\partial }_t\left(\rho T\right)+{\nabla }_j\left(p^{j}T\right)=\Delta \left({\kappa }_T\rho T\right)+Q_T \\ {\partial }_t\left(\rho S_i\right)+{\nabla }_j\left(p^j{S}_i\right)=\Delta \left({\kappa }_{S,i}\rho S_i\right)+Q_{S,i} \end{gathered}$$ (2.1)

Здесь P, T, S_i – термодинамические величины, обозначающие давление, температуру и концентрацию i-ой примеси – производные термодинамических потенциалов [38], p_i – компоненты импульса, $Q_{\rho }, Q^i, Q_T, Q_{S_n}$ – источники массы, импульса, тепла и растворенного вещества соответственно, Π^ij – компоненты тензора плотности потока импульса, ε^ijk – символ Леви-Чивиты, Ω_k – угловая скорость, κ_T, κ_{S, i} – коэффициенты температуропроводности и диффузии i-ой примеси соответственно.

Примем ряд упрощений для решения задачи. Будем производить рассмотрение в двумерной постановке в декартовой системе координат Oxz, в которой вертикальная ось Oz направлена вверх против ускорения свободного падения g, ось Ox определяет равновесное положение свободной поверхности вязкой равномерно стратифицированной жидкости, занимающей все нижнее полупространство z < 0. Рассмотрение будем проводить без указания природы стратификации в пренебрежении эффектами глобального вращения. В этом случае уравнение состояния заменяется выражением для неоднородной плотности:

$\rho ={\rho }_{00}\left(r\left(z\right)+\tilde{\rho }\left(x, z, t\right)\right)$.

Здесь ρ₀ (z) = ρ₀₀r (z) – профиль невозмущенной плотности, ρ₀₀ – ее значение на равновесном уровне z = 0, функция r (z) характеризует равновесную стратификацию жидкости, а периодические возмущения плотности, связанные со смещениями свободной поверхности, определяются функцией $\tilde{\rho }\left(x, z, t\right)$. Система уравнений в этом случае заметно упрощается:

$z<\zeta : \rho \left({\partial }_t\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{u}\cdot \nabla \right)\overrightarrow{u}\right)=\rho \nu \Delta \overrightarrow{u}-\nabla P+\rho \overrightarrow{g}$ (2.3)

${\partial }_t\rho +\overrightarrow{u}\cdot \nabla \rho +\rho div\overrightarrow{u}=0$ (2.4)

Здесь $\overrightarrow{u}=\left(u, w\right)$ – поле скоростей, давление в жидкости P определяется суммой атмосферного давления P₀, гидростатического $P_{\zeta }={\int }_z^{\zeta }\rho \left(x,\xi ,t\right)gd\xi$ и возмущением $\tilde{P}\left(x, z, t\right)$:

$P=P_0+P_{\zeta }+\tilde{P}\left(x, z, t\right)$ (2.5)

В приближении Буссинеска жидкость считается несжимаемой, а плотность – постоянной во всех слагаемых за исключением слагаемых, включающих ускорение свободного падения в уравнении Навье–Стокса и слагаемых, включающих градиент плотности в уравнении неразрывности. В этом случае компоненты вектора скорости можно представить в виде пространственных производных функции тока ψ:

$u={\partial }_z\psi , w=-{\partial }_x\psi$ (2.6)

После линеаризации уравнений движения математическая формулировка задачи (2.3)–(2.4) для поверхностных периодических возмущений принимает вид:

$$\begin{gathered} z<0: \\ {\rho }_{00}\left({\partial }_t\overrightarrow{u}-\nu \Delta \overrightarrow{u}\right)+\nabla P-\rho \overrightarrow{g}=0 \\ {\rho }_{00}\left({\partial }_t\tilde{\rho }+\overrightarrow{u}\cdot \nabla r\left(z\right)\right)=0 \end{gathered}$$ (2.7)

С учетом (2.2) и (2.6) из уравнений (2.7) можно получить уравнение, содержащее только функцию тока. Для этого распишем первое уравнение в (2.7) по компонентам, произведем перекрестное дифференцирование по координатам и вычтем одно из другого:

${\partial }_t\Delta \psi -\nu \Delta \Delta \psi -g{\partial }_x\tilde{\rho }=0$ (2.8)

Дифференцирование по горизонтальной координате x второго уравнения и умножение на модуль ускорения свободного падения g приводит к выражению:

$g\left({\partial }_{xt}\tilde{\rho }-{\partial }_{z}r{\partial }_{xx}\psi \right)=0$ (2.9)

Продифференцировав (2.8) по времени и вычитая из результата (2.9) получим уравнение, содержащее только скалярную функцию тока ψ и равновесное начальное распределение стратификации r (z):

${\partial }_{tt}\Delta \psi -\nu {\partial }_t\left(\Delta \Delta \psi \right)-g{\partial }_{z}r{\partial }_{xx}\psi =0$ (2.10)

Уравнение (2.10) для жидкости с экспоненциальной стратификацией r (z) = exp (−z / Λ) с масштабом Λ = |−dlnρ₀ / dz|⁻¹, частотой $N=\sqrt{g/\Lambda }$ и периодом плавучести T_b = 2π / N приобретает вид:

${\partial }_{tt}\Delta \psi -\nu {\partial }_t\left(\Delta \Delta \psi \right)+N^2\exp \left(-z_{\Lambda }\right){\partial }_{xx}\psi =0$ (2.11)

Для упрощения выражений в дальнейшем используется безразмерная высота z_Λ = z / Λ, нормированная на масштаб плавучести Λ.

3. Решение линеаризованной задачи

Подстановка в (2.9) решения в виде бегущих монохроматических поверхностных волн вида:

$\psi =A\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{z}z\right)$ (3.1)

c положительно определенной частотой ω и комплексным волновым числом $\overrightarrow{k}=\left(k_x, k_z\right)$ приводит к дисперсионному соотношению:

$\omega \left(k_x^2-k_z^2\right)\left(i\nu k_x^2-i\nu k_z^2+\omega \right)-N^2{k}_x^2\exp \left(-z_{\Lambda }\right)=0$ (3.2)

Геометрия задачи естественным образом выделяет вертикальную компоненту волнового вектора k_z, вдоль которой невозмущенная среда неоднородна. Поэтому решение уравнения (3.2) в настоящей работе ищется в виде зависимости k_z (k_x, ω).

Уравнение (3.2) имеет два типа корней: регулярные и сингулярные. Принципы, согласно которым решения относятся к тому или иному типу можно понять, если рассмотреть задачу в безразмерных переменных, в которых в качестве параметров обезразмеривания выбраны собственные масштабы задачи: обратная частота плавучести τ_N = N⁻¹ и вязкий волновой масштаб ${\delta }_N^{g\nu }={\left(g\nu \right)}^{1/3}{N}^{-1}$. В случае малой вязкости отношение вязкого ${\delta }_g^{\nu }={\nu }^{2/3}{g}^{-1/3}$ и вязкого волнового масштаба определяет безразмерный параметр $\epsilon ={\delta }_g^{\nu }/{\delta }_N^{g\nu }=N{\nu }^{1/3}/g^{2/3}$. В этом случае дисперсионное уравнение (3.2) записывается следующим образом:

${\omega }_{*}^2\left({k_{*}^2}_x-{k_{*}^2}_z\right)+i\epsilon {\omega }_{*}{\left({k_{*}^2}_x-{k_{*}^2}_z\right)}^2-{k_{*}^2}_x\exp \left(-z_{\Lambda }\right)=0$ (3.3)

Здесь нижним индексом «*» обозначены соответствующие безразмерные величины. В жидкостях с малой вязкостью или со слабой стратификацией параметр ε << 1. Малый коэффициент, который при этом появляется в слагаемом с наибольшим показателем степени, позволяет отнести (3.3) к классу сингулярно возмущенных уравнений, асимптотические методы анализа которых развиты в [39]. Методы теории сингулярных возмущений позволяют строить полные решения уравнений вида (3.3), содержащие два типа корней: традиционные регулярные и сингулярные:

$$\begin{gathered} {k_{*}}_z\simeq \pm {k_{*}}_x\frac{\sqrt{{\omega }_{*}^2-\exp \left(-z_{\Lambda }\right)}}{{\omega }_{*}}\pm \epsilon \frac{i{k_{*}}_x\exp \left(-z_{\Lambda }\right)}{2{\omega }_{*}^2\sqrt{{\omega }_{*}^2-\exp \left(-z_{\Lambda }\right)}} \\ {k_{*}}_l\simeq \pm \frac{1-i}{\sqrt{2\epsilon }}\sqrt{{\omega }_{*}}\pm \sqrt{\epsilon }\frac{\left(1+i\right){k_{*}^2}_x\left({\omega }_{*}^2-\exp \left(-z_{\Lambda }\right)\right)}{2\sqrt{2}{\omega }_{*}^{5/2}} \end{gathered}$$ (3.4)

Точное решение биквадратного уравнения (3.2), построенное без обращения к технике асимптотических вычислений, имеет вид:

$$\begin{gathered} k_l=\pm \sqrt{k_x^2-\frac{i\left({\omega }^2+\left(1+i\right)\tilde{R}\left(k_x, z\right)\right)}{2\nu \omega }}, k_z=\pm \sqrt{k_x^2-\frac{i\left({\omega }^2-\left(1+i\right)\tilde{R}\left(k_x, z\right)\right)}{2\nu \omega }} \\ \tilde{R}\left(k_x, z\right)=\sqrt{\frac{4\nu \omega N^2{k}_x^2\exp \left(-z_{\Lambda }\right)-i{\omega }^4}{2}} \end{gathered}$$ (3.5)

При переходе к безразмерному виду главные члены полученных решений (3.5) определяются соотношениями:

${k_{*}}_l\approx \pm \frac{1-i}{\sqrt{2\epsilon }}\sqrt{{\omega }_{*}}, {k_{*}}_z\approx \pm {k_{*}}_x\frac{\sqrt{{\omega }_{*}^2-\exp \left(-z_{\Lambda }\right)}}{{\omega }_{*}}$ (3.6)

Сравнение показывает, что главные члены асимптотического решения (3.4) и асимптотики точного решения (3.6) совпадают.

Отметим, что соотношения, соответствующие регулярным решениям k_z отвечают за волновой компонент периодического течения, а соответствующие сингулярным решениям k_l определяют лигаментный компонент, задающий тонкую структуру течения.

В выражении (3.1) компоненты волнового вектора полагаются независящими от координат, в то же время в решении (3.5) появляется зависимость от вертикальной координаты z и в волновом k_z и в лигаментном k_l решении. Такое приближение будет справедливо, если в решении ограничиваться областью, определяемой безразмерной глубиной, на которой проводится рассмотрение, остается малой величина z_Λ << 1. В реальных жидкостях масштаб стратификации принимает значения порядка километров и больше, поэтому описанные соображения незначительно ограничивают область применения полученных выражений.

С учетом выражений, определяющих волновой k_z и лигаментный k_l компонент течения (3.5) решение для функции тока (3.1) трансформируется в:

$\psi =\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\left(A\exp \left(k_{z}z\right)+B\exp \left(k_{l}z\right)\right)$ (3.7)

В качестве управляющего параметра периодического течения выступает положительно определенная частота ω. Связь между частотой и компонентой волнового вектора k_x находится из стандартных кинематических и динамических граничных условий на свободной поверхности и условием затухания движения с глубиной:

$$\begin{gathered} z=\zeta : \\ \frac{D\left(z-\zeta \right)}{Dt}=0 \\ P-2\rho \nu \overrightarrow{n}\cdot \left(\left(\overrightarrow{n}\cdot \nabla \right)\overrightarrow{u}\right)+\sigma div\overrightarrow{n}=0 \\ \left(\overrightarrow{\tau }\cdot \left(\left(\overrightarrow{n}\cdot \nabla \right)\overrightarrow{u}\right)+\overrightarrow{n}\cdot \left(\left(\overrightarrow{\tau }\cdot \nabla \right)\overrightarrow{u}\right)\right)=0 \end{gathered}$$ (3.8)

$$\begin{gathered} z\to -\infty : \overrightarrow{u}\to 0 \\ \overrightarrow{n}=\frac{\nabla \left(z-\zeta \right)}{\left|\nabla \left(z-\zeta \right)\right|}=\left(\frac{-{\partial }_x\zeta }{\sqrt{1+{\left({\partial }_x\zeta \right)}^2}},\frac{1}{\sqrt{1+{\left({\partial }_x\zeta \right)}^2}}\right), \overrightarrow{\tau }=\left(\frac{1}{\sqrt{1+{\left({\partial }_x\zeta \right)}^2}},\frac{{\partial }_x\zeta }{\sqrt{1+{\left({\partial }_x\zeta \right)}^2}}\right) \end{gathered}$$ (3.9)

Здесь $\overrightarrow{n}, \overrightarrow{\tau }$ – орты нормали и касательной к свободной поверхности соответственно, D / Dt – материальная производная, а σ – коэффициент поверхностного натяжения. Более подробно вывод граничных условий на свободной поверхности в вязкой жидкости разобран в [21, 40, 41]. Стоит отметить, что условие затухания движения с глубиной (3.9) накладывает ограничения на полученные ранее решения (3.5), (3.6). С учетом вида решения (3.1) физически реализуемыми решениями в (3.5) и (3.6) оказываются корни, с положительной действительной частью Re (k_{z, l}) > 0, Re (k_{*z, l}) > 0.

В линеаризированной постановке после проведения процедуры сноса граничных условий на равновесную поверхность z = 0 граничные условия принимают вид:

$$\begin{gathered} z=0: \\ {\partial }_t\zeta +{\partial }_x\psi =0 \\ \tilde{P}+2{\rho }_{00}\nu {\partial }_{xz}\psi +\sigma {\partial }_{xx}\zeta =0 \\ {\partial }_{xx}\psi -{\partial }_{zz}\psi =0 \end{gathered}$$ (3.10)

$z\to -\infty : {\partial }_x\psi \to \mathrm{0,} {\partial }_z\psi \to 0$ (3.11)

Подставляя выражения для давления из уравнения Навье–Стокса (2.7) в динамическое граничное условие получим, с учетом кинематического граничного условия (3.10), запись динамических граничных условий, содержащих только функцию тока:

$$\begin{gathered} z=0: \\ \nu {\partial }_{zt}\Delta \psi -{\partial }_{ttz}\psi +2\nu {\partial }_{tzxx}\psi +g{\partial }_{xx}\psi -\gamma {\partial }_{xxxx}\psi =0 \\ {\partial }_{xx}\psi -{\partial }_{zz}\psi =0 \end{gathered}$$ (3.12)

Здесь γ = σ / ρ₀₀ – нормированный на равновесное значение плотности на поверхности коэффициент поверхностного натяжения. Подставляя в (3.11) выражение для функции тока (3.7), получим условие совместности, определяющее дисперсионное соотношение между компонентами волнового вектора и частотой периодического течения:

$$\begin{gathered} \left(k_x^2+k_z^2\right)\left(-g{k}_x^2-i\nu \omega k_l^3+\omega k_l\left(3i\nu k_x^2+\omega \right)-\gamma k_x^4\right)- \\ -\left(k_x^2+k_l^2\right)\left(-g{k}_x^2+3i\nu \omega k_x^2{k}_z+\omega k_z\left(-i\nu k_z^2+\omega \right)-\gamma k_x^4\right)=0 \end{gathered}$$ (3.13)

Выражение (3.13) допускает численное или приближенное решение, по которому строятся дисперсионные характеристики волнового и лигаментного компонента периодического течения.

Построим решения для неизвестных функций с учетом слагаемых, определяющих тонкую структуру течения. Вид искомых функций отклонения свободной поверхности от равновесного положения, периодической составляющей плотности и давления с учетом выражения для функции тока (3.7) записывается следующим образом:

$$\begin{gathered} \zeta =Z\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right) \\ \tilde{\rho }=\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\left(G\exp \left(k_{z}z\right)+H\exp \left(k_{l}z\right)\right) \\ \tilde{P}=\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\left(K+L\exp \left(k_{z}z\right)+M\exp \left(k_{l}z\right)\right) \end{gathered}$$ (3.14)

Из динамического граничного условия на касательные напряжения найдем связь между амплитудными множителями для лигаментного и волнового компонента функции тока:

$B=-A\frac{k_x^2+k_z^2}{k_x^2+k_l^2}$ (3.15)

Подставляя (3.7), (3.11) и (3.12) в кинематическое граничное условие, найдем связь между амплитудой отклонения свободной поверхности и амплитудами компонентов периодического движения функции тока:

$A=Z\frac{\omega \left(k_x^2+k_l^2\right)}{k_x\left(k_l^2-k_z^2\right)}, B=-Z\frac{\omega \left(k_x^2+k_z^2\right)}{k_x\left(k_l^2-k_z^2\right)}$ (3.16)

Амплитуды волнового G и лигаментного H компонента в выражении для периодической части плотности, которые определяются из уравнения неразрывности (2.7), с учетом (3.16) можно записать в виде:

$G=Z\exp \left(-z_{\Lambda }\right)\frac{k_x^2+k_l^2}{\Lambda \left(k_l^2-k_z^2\right)}, H=-Z\exp \left(-z_{\Lambda }\right)\frac{k_x^2+k_z^2}{\Lambda \left(k_l^2-k_z^2\right)}$ (3.17)

Амплитуды для компонентов давления K, L, M определяются из уравнения Навье–Стокса с учетом (3.14)–(3.17):

$$\begin{gathered} K=-Z\frac{g\Lambda {\rho }_{00}\left(k_x^2+k_z{k}_l\left(-1+k_z\Lambda +k_l\Lambda \right)\right)}{\left(k_z+k_l\right)\left(k_z\Lambda -1\right)\left(k_l\Lambda -1\right)} \\ L=-Z\frac{g{\rho }_{00}\left(k_x^2+k_l^2\right)\exp \left(-z_{\Lambda }\right)}{\left(k_z^2-k_l^2\right)\left(k_z\Lambda -1\right)}-Z\frac{i{k}_z\omega {\rho }_{00}\left(k_x^2+k_l^2\right)\left(\nu k_z^2-\nu k_x^2+i\omega \right)}{k_x^2\left(k_z^2-k_l^2\right)} \\ M=-Z\frac{g{\rho }_{00}\left(k_x^2+k_z^2\right)\exp \left(-z_{\Lambda }\right)}{\left(k_l^2-k_z^2\right)\left(k_l\Lambda -1\right)}-Z\frac{i{k}_l\omega {\rho }_{00}\left(k_x^2+k_z^2\right)\left(\nu k_l^2-\nu k_x^2+i\omega \right)}{k_x^2\left(k_l^2-k_z^2\right)} \end{gathered}$$ (3.18)

Получим выражение для градиента плотности. При этом рассмотрим отдельно волновой и лигаментный компоненты плотности. В общем виде можно записать выражение для волнового компонента периодического возмущения плотности ${\tilde{\rho }}_w$ следующим образом:

${\tilde{\rho }}_w=\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)G\left(z\right)\exp \left(k_z\left(z\right)z\right)$ (3.19)

Для лигаментного компонента периодического возмущения плотности  в общем виде выражение записывается:

${\tilde{\rho }}_l=\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)H\left(z\right)\exp \left(k_l\left(z\right)z\right)$ (3.20)

В явном виде после подстановки дисперсионных соотношений (3.5) градиент волнового компонента периодического возмущения плотности определяется выражениями:

$$\begin{gathered} {\partial }_x{\tilde{\rho }}_w=\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}Z{k}_x\left(k_x^2+k_l^2\right)\nu \omega }{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)\Lambda }\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{z}z-z_{\Lambda }\right) \\ {\partial }_z{\tilde{\rho }}_w=\frac{Z\nu \omega }{4\sqrt{2}{k}_z\tilde{R}{\left(k_x,z\right)}^3{\Lambda }^2}\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{z}z-2z_{\Lambda }\right)\times \\ \times \left[-k_x^2\left(k_x^2+k_l^2\right)N^2\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)z+4{\left(-1\right)}^{1/4}\exp \left(z_{\Lambda }\right)k_z^2\left(k_x^2+k_l^2\right)\tilde{R}{\left(k_x,z\right)}^2\Lambda +2k_z\times \right. \\ \left.\times \left(2{\left(-1\right)}^{1/4}{k}_x^2\left(k_x^2+k_l^2\right)N^2\nu \omega +\sqrt{2}{k}_x^2{N}^2\tilde{R}\left(k_x,z\right)-2{\left(-1\right)}^{1/4}\exp \left(z_{\Lambda }\right)\left(k_x^2+k_l^2\right)\tilde{R}{\left(k_x,z\right)}^2\right)\right] \end{gathered}$$ (3.21)

Для градиента лигаментного компонента возмущения плотности в явном виде получим:

$$\begin{gathered} {\partial }_x{\tilde{\rho }}_l=-\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}Z{k}_x\left(k_x^2+k_z^2\right)\nu \omega }{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)\Lambda }\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{l}z-z_{\Lambda }\right) \\ {\partial }_z{\tilde{\rho }}_l=-\frac{Z\nu \omega }{4\sqrt{2}{k}_l\tilde{R}{\left(k_x,z\right)}^3{\Lambda }^2}\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{l}z-2z_{\Lambda }\right)\times \\ \times \left[-k_x^2\left(k_x^2+k_z^2\right)N^2\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)z+4{\left(-1\right)}^{1/4}\exp \left(z_{\Lambda }\right)k_l^2\left(k_x^2+k_z^2\right)\tilde{R}{\left(k_x,z\right)}^2\Lambda +2k_l\times \right. \\ \left.\times \left(2{\left(-1\right)}^{1/4}{k}_x^2\left(k_x^2+k_z^2\right)N^2\nu \omega +\sqrt{2}{k}_x^2{N}^2\tilde{R}\left(k_x,z\right)-2{\left(-1\right)}^{1/4}\exp \left(z_{\Lambda }\right)\left(k_x^2+k_z^2\right)\tilde{R}{\left(k_x,z\right)}^2\right)\right] \end{gathered}$$ (3.22)

Для экспериментальных наблюдений поверхностных волн отдельный интерес представляет горизонтальная компонента градиента плотности. На поверхности амплитуда волновой R_w и лигаментной R_i частей горизонтальной компоненты градиента плотности определяются выражениями:

$z=0: R_w=\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}Z{k}_x\left(k_x^2+k_l^2\right)\nu \omega }{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x, 0\right)\Lambda }, R_l=\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}Z{k}_x\left(k_x^2+k_z^2\right)\nu \omega }{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x, 0\right)\Lambda }$ (3.23)

Выражения (3.23) характеризуют масштабы лигаментной и волновой части градиента плотности вдоль горизонтальной координаты в зависимости от частоты периодического течения. Масштаб лигаментного компонента горизонтальной составляющей градиента плотности относительно волнового определяется отношением амплитуд:

$\frac{R_l}{R_w}=\frac{k_x^2+k_z^2}{k_x^2+k_l^2}=\frac{4\nu \omega k_x^2-i\left({\omega }^2-\left(1+i\right)\tilde{R}\left(k_x, 0\right)\right)}{4\nu \omega k_x^2-i\left({\omega }^2+\left(1+i\right)\tilde{R}\left(k_x, 0\right)\right)}$ (3.24)

В безразмерном виде, подставляя приближенные значения (3.6) в (3.24) с точностью до членов более высокого порядка малости, получим:

$\frac{R_l}{R_w}=\frac{{k_{*}^2}_x+{k_{*}^2}_z}{{k_{*}^2}_x+{k_{*}^2}_l}\approx \frac{\epsilon {k_{*}^2}_x\left(2{\omega }_{*}^2-1\right)}{{\omega }_{*}^2\left(\epsilon {k_{*}^2}_x-i{\omega }_{*}\right)}\approx \frac{i\epsilon {k_{*}^2}_x\left(2{\omega }_{*}^2-1\right)}{{\omega }_{*}^3}+O\left({\epsilon }^2\right)$ (3.25)

При переходе в (3.25) от безразмерных переменных к размерным значениям получим для жидкостей с малой вязкостью:

$\frac{R_l}{R_w}\approx i{k}_x^2{\left({\delta }_{\omega }^{\nu }\right)}^2\left(2-\frac{N^2}{{\omega }^2}\right)$ (3.26)

Здесь ${\delta }_{\omega }^{\nu }=\sqrt{\nu /\omega }$ – вязкий масштаб Стокса. Стоит отметить, что выражением, аналогичным (3.26) определяется соотношение лигаментной и волновой составляющей функции тока: из (3.7) и (3.15) следует:

$\frac{\left|B\right|}{\left|A\right|}=\frac{k_x^2+k_z^2}{k_x^2+k_l^2}\approx i{k}_x^2{\left({\delta }_{\omega }^{\nu }\right)}^2\left(2-\frac{N^2}{{\omega }^2}\right)$ (3.27)

Подставляя в (3.26)–(3.27) решение дисперсионного уравнения (3.13), можно получить связь между масштабами лигаментного и волнового компонентов периодического течения в явном виде.

Проследим за импульсом жидкости, переносимым периодическим волновым движением и распишем его по компонентам: отдельно лигаментный и волновой компоненты. В линейном приближении для волнового компонента импульса ${\overrightarrow{p}}_w=\left(p_{wx}, p_{wz}\right)$, используя (2.2), (3.7) и (3.16) справедливы соотношения:

$$\begin{gathered} p_{wx}={\rho }_{00}\exp \left(-z_{\Lambda }\right){\partial }_z{\psi }_w=Z\frac{{\rho }_{00}\nu {\omega }^2}{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)}\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{z}z-z_{\Lambda }\right)\times \\ \times \left[{\left(-1\right)}^{1/4}\frac{\left(k_x^2+k_l^2\right)}{k_x}\left(k_z-\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}\exp \left(-z_{\Lambda }\right)k_x^2{N}^{2}z}{2k_z\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)\Lambda }\right)-\right. \\ \left.-\exp \left(-z_{\Lambda }\right)\left(\frac{k_x{N}^2}{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x, z\right)\Lambda }-\frac{{\left(-1\right)}^{1/4}{k}_x\left(k_x^2+k_l^2\right)N^2\nu }{\tilde{R}{\left(k_x, z\right)}^2\Lambda }\right)\right] \\ {p}_{wz}=-{\rho }_{00}\exp \left(-z_{\Lambda }\right){\partial }_x{\psi }_w= \\ =-Z\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}{\rho }_{00}\nu {\omega }^2\left(k_x^2+k_l^2\right)}{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x, z\right)}\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{z}z-z_{\Lambda }\right) \end{gathered}$$ (3.28)

Для лигаментного компонента импульса ${\overrightarrow{p}}_l=\left(p_{lx}, p_{lz}\right)$ в линейном приближении получим выражения:

$$\begin{gathered} p_{lx}={\rho }_{00}\exp \left(-z_{\Lambda }\right){\partial }_z{\psi }_l=Z\frac{{\rho }_{00}\nu {\omega }^2}{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)}\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{l}z-z_{\Lambda }\right)\times \\ \times \left[-{\left(-1\right)}^{1/4}\frac{\left(k_x^2+k_z^2\right)}{k_x}\left(k_l+\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}\exp \left(-z_{\Lambda }\right)k_x^2{N}^{2}z}{2\sqrt{2}{k}_l\tilde{R}\left(k_x, z\right)\Lambda }\right)-\right. \\ \left.-\exp \left(-z_{\Lambda }\right)\left(\frac{k_x{N}^2}{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x,z\right)\Lambda }+\frac{{\left(-1\right)}^{1/4}{k}_x\left(k_x^2+k_z^2\right)N^2\nu }{\tilde{R}{\left(k_x, z\right)}^2\Lambda }\right)\right] \\ {p}_{lz}=-{\rho }_{00}\exp \left(-z_{\Lambda }\right){\partial }_x{\psi }_l= \\ =Z\frac{{\left(-1\right)}^{3/4}{\rho }_{00}\nu {\omega }^2\left(k_x^2+k_z^2\right)}{\sqrt{2}\tilde{R}\left(k_x, z\right)}\exp \left(i{k}_{x}x-i\omega t\right)\exp \left(k_{l}z-z_{\Lambda }\right) \end{gathered}$$ (3.29)

Выражения (3.28)–(3.29) характеризуют импульс, передаваемый отдельными компонентами периодического течения, распространяющегося вдоль свободной поверхности стратифицированной вязкой жидкости. При этом формулы (3.28) определяют часть импульса, вызванного крупномасштабными волновыми компонентами периодического течения, а формулы (3.29) – часть, обусловленную тонкоструктурными лигаментными компонентами течения.

Заключение

Методами теории сингулярных возмущений в линейном приближении проведен расчет динамики и тонкой структуры полей плотности, градиента плотности, функции тока, давления и импульса в периодических возмущениях свободной поверхности в модели двумерной несжимаемой экспоненциально стратифицированной вязкой жидкости.

Полученные выражения, совместно с оценками собственных пространственных и временных масштабов определяющей системы уравнений, задают требования к технике измерений, позволяющей наблюдать тонкую структуру периодических поверхностных течений, которые включают волны, изменяющие положения свободной поверхности, и лигаменты, расслаивающие поле плотности.

Научный и практический интерес представляет расчет влияния лигаментов на эволюцию картины поля плотности в бегущих возмущениях в полной нелинейной постановке.

Благодарности. Работа выполнена по теме государственного задания (номер госрегистрации 124012500442-3).

Об авторах

А. А. Очиров

Автор, ответственный за переписку.
Email: otchirov@mail.ru
Россия, Москва

Ю. Д. Чашечкин

Email: yulidch@gmail.com
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы