Методика определения термомеханической диаграммы для напряженных соединений цилиндров при их плоской деформации

Abstract

В статье представлена практическая методика определения диаграммы при измерении окружных деформаций свободных поверхностей цилиндров в их напряженных соединениях, представлены деформационно-силовые характеристики сплавов на основе TiNi с памятью формы в интервале мартенситных превращений.

Full Text

Основной деформационно-силовой характеристикой сплавов с эффектом памяти формы (ЭПФ) в интервале мартенситной неупругости является термомеханическая диаграмма [1]. Она представляет собой зависимость σ_R(ε_S) реактивных напряжений от величины деформации недовосстановления, причем ее однозначность подтверждена экспериментально в ряде работ [2–7].

При паспортизации специальных свойств материала термомеханическую диаграмму обычно определяют при заданной деформации растяжением ${\epsilon }_{ð}^{+}$. Для построения этой зависимости берется партия образцов одной плавки, одинакового химического состава и термообработки при изготовлении полуфабрикатов из исследуемого материала по единому технологическому процессу. Графическая иллюстрация методики ее экспериментального определения показана стрелками на рис. 1.

Рис. 1. Кривая растяжения сплава ТН1К в мартенсите 1 при Т_д ≤ М_к и методика построения термомеханической диаграммы 2 в условиях абсолютно жесткого противодействия.

Для термомеханических соединений трубопроводов (ТМС) муфты изготавливают из сплава ТН1К с интервалом фазовых переходов в области криогенных температур. Поэтому при исследовании такого материала предварительная деформация образцов в мартенсите по кривой растяжения 1 осуществляется в жидком азоте при температуре ниже точки М_к – конца прямого мартенситного превращения (МП).

После упругой разгрузки до нуля, которая имеет нелинейный характер, по линиям ab, сd, ef образцы нагреваются до нормальной температуры естественным путем. Отметим, что она заведомо выше точки ${А}_{\mathrm{к}}^{\mathrm{ф}}$ – температуры формовосстановления. В результате обратного мартенситного превращения в заневоленном состоянии в образцах развиваются реактивные напряжения термомеханического возврата, величина которых определяется прямыми bm, dn, fs. Таким образом, кривая mns описывает конечное деформационно-силовое состояние образца в результате термического формовосстановления с известным противодействием. Для упрощения испытаний методически термомеханическую диаграмму 2 обычно получают в условиях абсолютно жесткого противодействия, т. к. в этом случае заданная деформация равна деформации недовосстановления ε_p = ε_s.

Однозначность величины напряжения dn при ε_s = 6% показана стрелками на рис. 1. Так независимо от пути реализации процесса термомеханического возврата  σ_R= dn при абсолютно жестком противодействии, в результате генерирования реактивных напряжений по прямой fn с конечной жесткостью противодействия и при возврате с начальным свободным восстановлением размеров по линии fdn. В последних двух случаях деформация термического восстановления составляет ε_f = 2%. Поэтому при ε_p = 8%, ε_s = ε_p − ε_f  = 6%.

Обычно в расчетах силовых конструкций с ЭПФ используется только восходящая ветвь диаграммы 2. Максимальная величина напряжений возврата соответствует деформации недовосстановления, равной объему памяти формы ε_p = ε_V. Под объемом памяти понимают критическое значение заданной деформации, которая восстанавливается полностью при нагреве в свободном состоянии.

Экспериментальные исследования показывают, что при нагреве выше точки ${А}_{\mathrm{к}}^{\mathrm{ф}}$ реактивные напряжения мало меняются вплоть до температуры развития активных процессов релаксации и ползучести, связанных с увеличением диффузионной подвижности атомов. Для сплавов типа ТН1К и ТН1 она составляет Т_раб +280 град [8–13]. В интервале температур ${А}_{\mathrm{к}}^{\mathrm{ф}}$–Т_раб имеет место и обычная релаксация, однако она практически не влияет на величину напряжений возврата.

Нижняя граница термостабильности σ_R определяется температурой начала прямого МП М_н, т. е. интервал работоспособности ТМС составляет М_Н–Т_раб.

Несмотря на постоянное время выдержки при охлаждении и одинаковый диаметр стандартных образцов, их предварительная деформация может объективно осуществляться при различной температуре. Поэтому в общем случае растяжение образцов в мартенсите происходит по разным кривым деформирования 1, хотя по величине напряжений они отличаются незначительно. Однако даже при отсутствии термостатирования значения реактивных напряжений будут практически одинаковыми.

Величины напряжений возврата для различных партий сплавов ТН1К и ТН1 имеют относительно большой разброс, поскольку они существенно зависят от содержания примесей внедрения, наличия неметаллических дисперсионных выделений, текстуры и других факторов, определяющих уровень механических свойств аустенита, а также термообработки и скорости нагрева в интервале обратного МП. Отметим, что скорость нагрева связана с историей термического нагружения материала.

Методика определения термомеханической диаграммы для напряженных соединений цилиндров при их плоской деформации. На основании работы [14] при решении плоской задачи теории упругости в полярных координатах симметричное распределение напряжений относительно оси цилиндра описывается следующими выражениями [15]:

${\sigma }_r\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{D}{{\rho }^2}+C\mathrm{,}{\sigma }_t\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{D}{{\rho }^2}+C\mathrm{,}$ (1)

где D, С – произвольные постоянные, определяемые из условий на контуре; ${\sigma }_r\left(\rho \right)$, ${\sigma }_t\left(\rho \right)$ – радиальные и окружные напряжения соответственно.

Соотношения (1) получены из уравнений равновесия малого элемента при условии его плоской деформации, т. е. справедливы и в пластической области. Сумма σ_r + σ_t постоянна по всей толщине стенки тела. Поэтому напряжения σ_r и σ_t вызывают равномерное удлинение или сжатие цилиндра вдоль оси вращения и сечения, перпендикулярные к ней, остаются плоскими в результате его деформации.

Произвольные постоянные для наружного силового элемента ТМС найдем из следующих условий:

при $\rho$ = R ${\sigma }_{1r}\left(R\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-q\mathrm{,}$

при $\rho$ = b ${\sigma }_{1r}\left(b\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Отсюда получаем

$\left\{\left.\begin{array}{c}{\sigma }_{1r}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q{R}^2}{b^2-R^2}\left(1-\frac{b^2}{{\rho }^2}\right)\\ {\sigma }_{1t}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q{R}^2}{b^2-R^2}\left(1-\frac{b^2}{{\rho }^2}\right)\end{array}\right\}\right.\mathrm{.}$ (2)

Граничные условия на контуре внутренней втулки имеют вид

при $\rho$ = r ${\sigma }_{2r}\left(r\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-q$,

при $\rho$ = a ${\sigma }_{2r}\left(a\right)\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

С учетом данных краевых условий распределение напряжений по радиусу описывается равенствами

$\left\{\left.\begin{array}{c}{\sigma }_{2r}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{q{r}^2}{r^2-a^2}\left(1-\frac{a^2}{{\rho }^2}\right)\\ {\sigma }_{2t}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{q{r}^2}{r^2-a^2}\left(1+\frac{a^2}{{\rho }^2}\right)\end{array}\right\}\right.\mathrm{.}$

Согласно теории малых упругопластических деформаций [16] связь между компонентами напряжений и деформаций определяется соотношениями

$\left\{\left.\begin{array}{c}{\epsilon }_r\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3{\epsilon }_i}{2{\sigma }_i}\left({\sigma }_r-{\sigma }_0\right)\\ {\epsilon }_t\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3{\epsilon }_i}{2{\sigma }_i}\left({\sigma }_t-{\sigma }_0\right)\\ {\epsilon }_x\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3{\epsilon }_i}{2{\sigma }_i}\left({\sigma }_x-{\sigma }_0\right)\end{array}\right\}\right.\mathrm{,}$ (3)

где σ_i, ε_i, σ_r – интенсивности напряжения и деформации: σ_r, σ_t, σ_x – радиальная, окружная и осевая компонента напряжения.

В силу принятого допущения ${\epsilon }_{1x}$ = 0 из условия несжимаемости ${\epsilon }_{1r}+{\epsilon }_{1t}+{\epsilon }_{1x}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ получаем, что для наружного цилиндра ${\epsilon }_{1t}\mathrm{<mo>=</mo>}{\epsilon }_{1r}$. Учитывая это равенство, устанавливаем связь между окружной составляющей и интенсивностью деформации недовосстановления

${\epsilon }_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\epsilon }_S\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2}{\sqrt{3}}{\epsilon }_{1t}\mathrm{.}$ (4)

Таким образом, теоретический объем памяти формы при радиальном растяжении составляет 9.24%.

Из условия несжимаемости материала получаем, что

${\sigma }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{3}\left({\sigma }_{1r}+{\sigma }_{1t}+{\sigma }_{1x}\right)\mathrm{.}$

При подстановке этого соотношения в уравнения (3) находим

${\epsilon }_{1r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }_{1i}}{{\sigma }_{1i}}\left[{\sigma }_{1r}-\frac{1}{2}\left({\sigma }_{1t}+{\sigma }_{1x}\right)\right]\mathrm{,}$ (5)

${\epsilon }_{1t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }_{1i}}{{\sigma }_{1i}}\left[{\sigma }_{1t}-\frac{1}{2}\left({\sigma }_{1r}+{\sigma }_{1x}\right)\right]\mathrm{,}$

${\epsilon }_{1x}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }_{1i}}{{\sigma }_{1i}}\left[{\sigma }_{1x}-\frac{1}{2}\left({\sigma }_{1r}+{\sigma }_{1t}\right)\right]\mathrm{.}$

Согласно выражениям (2) для охватывающего тела можем записать

${\sigma }_{1r}+{\sigma }_{1t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2q}{K_1^2-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{ñ}onst\mathrm{,}{K}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{b}{R}\sim \frac{b_S}{r_K}\mathrm{,}$

где $r_K$ – радиус контактной поверхности после образования ТМС.

При подстановке этого равенства в последнее уравнение (5) имеем

${\sigma }_{1x}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q}{K_1^2-1}\mathrm{.}$ (6)

Таким образом, с учетом выражений для напряжений (2) и (6) составляющие радиальной и окружной деформации силового элемента равны

$\left\{\begin{array}{c}{\epsilon }_{1r}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{3{\epsilon }_{1i}}{2{\sigma }_{1i}}\left(\frac{q}{K_1^2-1}\right)\frac{b^2}{{\rho }^2}\\ {\epsilon }_{1t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3{\epsilon }_{1i}}{2{\sigma }_{1i}}\left(\frac{q}{K_1^2-1}\right)\frac{b^2}{{\rho }^2}\end{array}\right\}\mathrm{.}$

Следовательно, величина окружной деформации на контактной поверхности отверстия наружного цилиндра при $\rho$ = R составляет

${\epsilon }_{1t}\left(R\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3{\epsilon }_{1i}\left(R\right)}{2{\sigma }_{1i}\left(R\right)}\left(\frac{q{K}_1^2}{K_1^2-1}\right)\mathrm{.}$

Воспользовавшись уравнением термомеханической диаграммы 1 и соотношением (4) для интенсивности деформации, в результате простых преобразований получаем

${\epsilon }_{1t}\left(R\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{3}}{2}{\left[\frac{\sqrt{3}q{K}_1^2}{A_1^{+}\left(K_1^2-1\right)}\right]}^{\frac{1}{m_1^{+}}}\mathrm{.}$

Связь между значениями окружной деформации на внешней ${\epsilon }_{1t}\left(b\right)$ и внутренней ${\epsilon }_{1t}\left(R\right)$ поверхностях наружного цилиндра нетрудно установить из условия постоянства его объема при образовании ТМС. Так, в соответствии с рис. 2а справедливо равенство

$\pi l\left(b^2-R^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\pi l\left\{b^2{\left[1+{\epsilon }_{1t}\left(b\right)\right]}^2-R^2{\left[1+{\epsilon }_{1t}\left(R\right)\right]}^2\right\}\mathrm{.}$

Рис. 2. К расчету окружной деформации свободных поверхностей сопрягаемых цилиндров при формировании ТМС: (а) – наружная деталь; (б) – внутренняя деталь; 1 – положение и размеры поперечного сечения втулки при изготовлении; 2 – после образования напряженной посадки.

Исключая малые величины более высокого порядка, находим

${\epsilon }_{1t}\left(b\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{K_1^2}{\epsilon }_{1t}\left(R\right)\mathrm{.}$

Следовательно,

${\epsilon }_{1t}\left(b\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{3}}{2K_1^2}{\left[\frac{\sqrt{3}q{K}_1^2}{A_1^{+}\left(K_1^2-1\right)}\right]}^{\frac{1}{m_1^{+}}}\mathrm{.}$ (7)

Для внутреннего цилиндра в силу принятого допущения ${\sigma }_{2x}\left(\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>0}$ из последнего уравнения (3) осевая компонента деформации равна

${\epsilon }_{2x}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{3{\epsilon }_{2i}}{2{\sigma }_{2i}}{\sigma }_0\mathrm{.}$

Так как

${\sigma }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{3}\left({\sigma }_{1r}-{\sigma }_{1t}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{2}{3}\left(\frac{q{K}_2^2}{K_2^2-1}\right)\mathrm{,}$

тогда

${\epsilon }_{2x}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3{\epsilon }_{2i}}{2{\sigma }_{2i}}\left(\frac{q{K}_2^2}{K_2^2-1}\right)\mathrm{.}$

Отсюда выражения для компонент деформаций (3) запишутся как

$\left\{\left.\begin{array}{c}{\epsilon }_{2r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }_{2i}}{2{\sigma }_{2i}}\left(\frac{q{K}_2^2}{K_2^2-1}\right)\left(3\frac{a^2}{{\rho }^2}-1\right)\\ {\epsilon }_{2t}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\epsilon }_{2i}}{2{\sigma }_{2i}}\left(\frac{q{K}_2^2}{K_2^2-1}\right)\left(3\frac{a^2}{{\rho }^2}+1\right)\\ {\epsilon }_{2x}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3{\epsilon }_i}{{\sigma }_i}\left(\frac{q{K}_2^2}{K_2^2-1}\right)\end{array}\right\}\right.\mathrm{.}$

На контактной поверхности охватываемого тела составляющие деформации при $\rho$ = r принимают значения

${\epsilon }_{2r}\left(r\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\zeta \left(3-K_2^2\right)\mathrm{,}{\epsilon }_{2t}\left(r\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\zeta \left(3+K_2^2\right)\mathrm{,}{\epsilon }_{2x}\left(r\right)\mathrm{<mo>=</mo>2}\zeta K_2^2$ (8)

при обозначении

$\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }_{2i}q}{2{\sigma }_{2i\left(K_2^2-1\right)}}\mathrm{.}$ (9)

Подставим равенства (8) с учетом обозначения (9) в уравнение интенсивности деформации

${\epsilon }_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{{\left({\epsilon }_{2t}-{\epsilon }_{2r}\right)}^2+{\left({\epsilon }_{2r}-{\epsilon }_{2x}\right)}^2+{\left({\epsilon }_{2x}-{\epsilon }_{2t}\right)}^2}\mathrm{.}$

Отсюда получаем

${\epsilon }_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }_{2i}}{{\sigma }_{2i}}q\left(\frac{\sqrt{3+K_2^4}}{K_2^2-1}\right)\mathrm{.}$

Таким образом, окружная составляющая связана с интенсивностью деформации контактной поверхности внутренней детали соотношением

${\epsilon }_{2t}\left(r\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-{\epsilon }_{2i}\left(r\right)\frac{3+K_2^2}{2\sqrt{3+K_2^4}}\mathrm{.}$

Учитывая уравнение деформационной кривой ${\sigma }_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_2{\epsilon }_{2i}^m$ [1], преобразуем выражение для окружной деформации (8) к виду

${\epsilon }_{2t}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\epsilon }_{2i}^{1-m_2}}{2A_2}q\left(\frac{K_2^2+3}{K_2^2+1}\right)\mathrm{.}$

Подставим в эту величину взаимосвязь между значениями ${\epsilon }_{2t}$ и ${\epsilon }_{2i}$:

${\epsilon }_{2t}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{2{\epsilon }_{2t}\sqrt{K_2^4+3}}{K_2^2+3}\right)}^{1-m_2}\frac{q}{2A_2}\left(\frac{K_2^2+3}{K_2^2-1}\right)\mathrm{.}$

В результате элементарных преобразований окончательно получаем

${\epsilon }_{2t}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{K_2^2+3}{2}{\left[\frac{q{\left(\sqrt{K_2^4+3}\right)}^{1-m_2}}{A_2\left(K_2^2-1\right)}\right]}^{\frac{1}{m_2}}\mathrm{.}$

Величину окружной деформации на поверхности его отверстия ${\epsilon }_{2t}\left(a\right)$ найдем из условия постоянства объемов в исходном состоянии и после образования напряженной посадки. В соответствии с рис. 2б запишем

$\begin{array}{c}\pi l\left(r^2-a^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\pi l\left(1+{\epsilon }_{2x}\right)\times \\ \times \left\{r^2{\left[1-{\epsilon }_{2x}\left(r\right)\right]}^2-a^2{\left[1+{\epsilon }_{2t}\left(a\right)\right]}^2\right\}\mathrm{.}\end{array}$

В результате элементарных преобразований, исключая малые величины более высокого порядка, имеем

${\epsilon }_{2x}\left(K_2^2-1\right)-2K_2^2{\epsilon }_{2t}\left(r\right)+2{\epsilon }_{2t}\left(a\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Из равенств (8) находим, что

${\epsilon }_{2x}\mathrm{<mo>=</mo>}-{\epsilon }_{2t}\left(r\right)\frac{2K_2^2}{K_2^2+3}\mathrm{.}$

Отсюда получаем

${\epsilon }_{2t}\left(a\right)\mathrm{<mo>=</mo>2}{\epsilon }_{2t}\left(r\right)K_2^2\left(\frac{K_2^2+1}{K_2^2+3}\right)\mathrm{.}$

Таким образом,

${\epsilon }_{2t}\left(a\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-K_2^2\left(K_2^2+1\right){\left[\frac{q{\left(\sqrt{K_2^4+3}\right)}^{1-m_2}}{A_2\left(K_2^2-1\right)}\right]}^{\frac{1}{m_2}}\mathrm{.}$ (10)

Из уравнения (10) выразим контактную нагрузку в напряженном соединении

$q\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_2\frac{K_2^2-1}{{\left(\sqrt{K_2^4+3}\right)}^{1-m_2}}{\left[-\frac{{\epsilon }_{2t}\left(a\right)}{K_2^2\left(K_2^2+1\right)}\right]}^{m_2}\mathrm{.}$ (11)

Подставляя выражение (11) в равенство (7), можем записать

$\begin{array}{c}\frac{2K_1^2}{\sqrt{3}}{\epsilon }_{1t}\left(b\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{\left\{\frac{\sqrt{3}{K}_1^2\left(K_2^2-1\right)A_2}{{\left(\sqrt{K_2^4+3}\right)}^{1-m_2}\left(K_1^2-1\right)A_1^{+}}{\left[-\frac{{\epsilon }_{2t}\left(a\right)}{K_2^2\left(K_2^2+1\right)}\right]}^{m_2}\right\}}^{\frac{1}{m_1^{+}}}\mathrm{.}\end{array}$

Таким образом, при статистической обработке результатов измерений определяется корреляция между величинами, установленными расчетно-экспериментальным путем для каждого напряженного соединения цилиндров:

$Y\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2K_1^2}{\sqrt{3}}{\epsilon }_{1t}\left(b\right)\mathrm{,}X\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{3}{K}_1^2\left(K_2^2-1\right)A_2}{{\left(\sqrt{K_2^4+3}\right)}^{1-m_2}\left(K_1^2-1\right)}{\left[-\frac{{\epsilon }_{2t}\left(a\right)}{K_2^2\left(K_2^2+1\right)}\right]}^{m_2}\mathrm{,}$

и строится эмпирическая линия регрессии согласно методике работы [3]

Y = ВХ. (12)

После определения значений В и n вычисляют параметры диаграммы

$m_1^{+}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>}n{\mathrm{,}}_1^{+}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>}{B}^{m_1^{+}}\mathrm{.}$

Для нахождения коэффициентов ${À}_2^{-}$, $m_2^{-}$ термомеханической кривой при заданной деформации сжатием по результатам измерений окружных деформаций свободных поверхностей цилиндров в напряженном соединении определяется корреляция между величинами

$Y\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{2{\epsilon }_{2t}\left(a\right)}{\sqrt{3}{K}_2^2}\mathrm{,}X\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{3}\left(K_1^2-1\right)A_1}{\left(K_2^2-1\right){\left(\sqrt{3K_1^4+1}\right)}^{1-m_1}}{\left[\frac{K_1^2{\epsilon }_{1t}\left(b\right)}{K_1^2+1}\right]}^{m_1}\mathrm{,}$

и строится эмпирическая линия регрессии (12).

После вычисления значений В и n получают параметры диаграммы

$m_2^{-}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>}n{\mathrm{,}}_2^{-}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>}{B}^{m_2^{-}}\mathrm{.}$

Выводы. В статье предложена новая практическая методика определения диаграммы при измерении окружных деформаций свободных поверхностей цилиндров в их напряженных соединениях.