Затухание Zitterbewegung в структурах на основе дираковских кристаллов

Аннотация

Исследованы возможности управления временем затухания осцилляций Zitterbewegung в графене и графеновой сверхрешетке. Для графена вычислено время существования Zitterbewegung в присутствии высокочастотного излучения. Результат демонстрирует увеличение продолжительности данного эффекта при включении переменного поля. Для графеновой сверхрешетки показано, что время затухания Zitterbewegung регулируется путем изменения соотношения между периодом сверхрешетки и шириной электронного волнового пакета.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Графеноподобные кристаллы (графен, германен, силицен и т.д.) являются весьма удобной платформой для изучения эффектов квантовой электродинамики [1, 2]. Уникальность таких материалов, называемых дираковскими кристаллами [3], объясняется наличием в гамильтониане слагаемых, связывающих импульс носителя заряда с его псевдоспиновой степенью свободы. Известно, что одним из следствий такой связи является эффект Zitterbewegung (ZB) – быстрые осцилляции скорости свободного (псевдо)релятивисткого электрона, обязанные интерференции состояний с положительной и отрицательной энергиями. Высокая частота соответствующих осцилляций (~1021 Гц) делает затруднительным наблюдение ZB для свободного электрона в вакууме. Существенно более низкая частота ZB в структурах, описываемых гамильтонианом релятивистского типа [4, 5], значительно облегчает экспериментальное обнаружение указанного эффекта [6].

Возможность ZB для электронов в графене теоретически показана в [7, 8]. На сегодняшний момент это явление учитывается в исследовании, например, проводящих свойств дираковских и полудираковских кристаллов [9]. Отметим, что для анализа основных особенностей спектра ZB, а также для сравнения численных результатов с результатами приближенных аналитических вычислений, в качестве начального вектора состояния в импульсном пространстве вполне можно использовать узкий дельтаобразный волновой пакет [10]. Однако такие пакеты полностью делокализованы в пространстве, что вносит определенную трудность в реализацию соответствующих осцилляций. С целью получения результатов, близких к возможным экспериментальным наблюдениям, следует рассматривать пакеты конечной ширины, которые хорошо локализованы как в импульсном, так и в реальном пространстве. Конечный размер пакета позволяет говорить о среднем положении частицы, а также вычислить групповую скорость. При этом, как показано в [10], факт конечности пакета не меняет основных свойств ZB. Тем не менее, здесь придется столкнуться с другой проблемой. Дело в том, что колебания волнового пакета конечной ширины являются затухающими, причем время затухания находится в прямой зависимости от ширины пакета. Некоторые варианты решения проблемы затухания ZB предложены в [10, 11]. В их основе лежат особенности взаимодействия дираковских кристаллов с внешним высокочастотным (ВЧ) полем [12, 13]. Так, в [11] для восстановления электронных осцилляций использован механизм обращения во времени групповой скорости носителей заряда, изученный в [14]. В [10] увеличение времени жизни ZB в графене оказалось возможным благодаря наличию в спектре электронных осцилляций гибридных частот (частот Раби), зависящих как от внутризонной энергии частицы, так и от параметров электромагнитного (ЭМ) излучения, которому подвергается образец. Отметим, что для полудираковских материалов частота Раби, кроме всего прочего, определяется еще и направлением поляризации ЭМ волны [15].

В данной работе решаются следующие задачи: (1) разработка аналитического метода, позволяющего устанавливать время затухания ZB как функцию амплитуды ВЧ излучения, которому подвержен 2D кристалл с дираковским спектром (например, графен); (2) поиск возможностей увеличения времени затухания ZB. В рамках первой задачи предложено использование гамильтонианов, перенормированных действием ВЧ поля. В рамках второй задачи изучен ZB в графеновых сверхрешетках (ГСР).

ГРАФЕН В ПОЛЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ВОЛНЫ

Влияние ВЧ поля на затухание ZB в графене исследовано численно в [10], где продемонстрирована возможность увеличения времени жизни ZB за счет изменения амплитуды ВЧ излучения, которому подвергается образец. Аналитические выводы относительно спектра ZB, также присутствующие в [10], выполнены в рамках двух известных аппроксимаций: Rotating Wave Approximation (RWA) и High Driving Frequency (HDF). В случае (a) частота излучения w считалась сравнимой с Ω_ZB – частотой ZB в отсутствие поля. В случае (b) использовано приближение, когда ω >> Ω_ZB, но амплитуда волны полагалась достаточно малой. Приведем сейчас для ZB в графене некоторые аналитические результаты, справедливые для более широкого круга значений амплитуды волны. Они явно подтвердят возможность управления затуханием ZB за счет изменения амплитуды ЭМ излучения, предсказанное в [10] численно.

Свяжем с графеновым листом плоскость xy и поместим его в поле ВЧ излучения, распространяющегося вдоль оси Oz и поляризованного вдоль Ox. Для векторного потенциала электрической составляющей запишем ${\overrightarrow{A}}_{ac}=\left\{\left(E_0/\omega \right)\cos \omega t\mathrm{,0}\right\}$, где E₀ – амплитуда электрического поля, причем для частоты излучения выполнено неравенство ω >> Ω_ZB. Здесь, поступая стандартно, мы пренебрегаем координатной зависимостью потенциала поля, учитывая, что толщина графена значительно меньше длины волны падающего ЭМ излучения. Спинор ψ подчиняется уравнению

$i\frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi +{\upsilon }_F{p}_0{\hat{\sigma }}_x\psi \cos \omega t$, (1)

где $\hat{H}={\upsilon }_F{p}_x{\hat{\sigma }}_x+{\upsilon }_F{p}_y{\hat{\sigma }}_y$ – исходный гамильтониан, ${\widehat{\sigma }}_{x,y,z}$ – матрицы Паули, $p_0=e{E}_0/\omega$. Как уже сказано выше, задача об эволюции состояния дираковского электрона в ВЧ поле аналитически решалась в [10] методом итераций по малому параметру a₀ << 1. Однако в рамках флоке-формализма эту же проблему удается свести к задаче на собственные значения перенормированного в ВЧ поле гамильтониана ${\hat{H}}_0$. При этом удобно воспользоваться следующим преобразованием $\psi ={\hat{U}}^{+}\phi$, где $\hat{U}=e^{i{a}_0{\hat{\sigma }}_x\sin \omega t}$, $a_0={\upsilon }_F{p}_0/\omega$ – безразмерная амплитуда переменного электрического поля. Применение унитарного оператора $i\dot{\chi }={\hat{H}}_{eff}\chi$ позволит получить для квантовомеханической скорости электрона в условиях ZB результат, справедливый для более широкого круга значений a₀ чем в [10]. После усреднения уравнения для φ по периоду ВЧ поля придем к новому уравнению:  в котором спинор χ описывает сглаженную по ВЧ возмущениям эволюцию состояния дираковского электрона, а ренормализованный гамильтониан имеет вид [16]:

${\hat{H}}_{eff}={\upsilon }_F{p}_x{\hat{\sigma }}_x+{\upsilon }_F{p}_y{\hat{\sigma }}_y$, (2)

где $u_F=J_0\left(2a_0\right){\upsilon }_F$ – перенормированная действием ВЧ поля скорость Ферми, J_n(ξ) – функция Бесселя n-го порядка. Условием применимости выражения для ${\hat{H}}_{eff}$ (2) является выполнение следующего неравенства [16]:

${\left|J_n\left(2a_0\right){\widehat{p}}_y{c}_n\left(\overrightarrow{r}\right)\right|}_{n\ne 0}\ll \left|J_0\left(2a_0\right){\widehat{p}}_y{c}_0\left(\overrightarrow{r}\right)\right|$, (3)

позволяющего считать высокочастотные поправки к амплитудам вероятности достаточно малыми. Здесь ${\widehat{p}}_y=-i{\partial }_y$, $c_n\left(\overrightarrow{r}\right)$ – амплитуда вероятности поглощения/излучения носителями заряда n квантов ЭМ поля. Заметим, что выражение для υ_F, полученное в [16], совпало с результатом для постоянной составляющей компоненты скорости многомодового ZB, ортогональной к плоскости поляризации волны и вычисленной в [15] для произвольных амплитуд переменного электрического поля. Для спинора c имеем

$\chi \left(t\right)=e^{-i{\hat{H}}_{eff}t}{\chi }_0$. (4)

Таким образом, результаты, основанные на равенстве (3), останутся справедливыми и для интенсивных ВЧ полей, но таких, чтобы параметр 2a₀ не был близок к нулям функции J₀(2a₀). Последнее требование продиктовано условием нерезонансности излучения (3). Сказанное отличает применяемый здесь аналитический подход от примененного в [10] метода итераций. Для времени затухания ZB удается получить аналитическое выражение, если начальный волновой пакет c₀ в p-пространстве считать δ-образным для компоненты p_x (т.е. полностью делокализованному вдоль Ox) и гауссовским для p_y. В результате вычислений получим для квантовомеханической скорости ${\upsilon }_x\equiv {\upsilon }_F<\chi \left|{\hat{\sigma }}_x\right|\chi >$ следующее выражение

${\upsilon }_x={\upsilon }_F{e}^{-{\nu }_{eff}^2{t}^2}\sin \left(2u_F{p}_{y}t\right)$, (5)

где b – ширина гауссовского пакета вдоль Oy,

${\nu }_{eff}=\frac{{\upsilon }_F}{b}\left|J_0\left(2a_0\right)\right|$. (6)

Параметр ${\nu }_{eff}^{-1}$ имеет смысл времени затухания. В отсутствие переменного электрического поля (a₀ = 0) время затухания ZB равно $\tau =b{\upsilon }_F^{-1}$. Так как |J₀(2a₀)| < 1 при a₀ ≠ 0, время затухания ${\nu }_{eff}^{-1}$, как это видно из (6), всегда превышает время затухания τ в отсутствие излучения.

Далее будем считать волновой пакет локализованным во всех направлениях плоскости xy, выбирая для состояния, описываемого спинором χ₀, гауссовский профиль волнового пакета, с которым, как правило, имеют дело [4, 10, 17]:

${\chi }_0=\frac{b}{\sqrt{\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{b}^2{\left({\overrightarrow{p}}^{\text{'}}-\overrightarrow{p}\right)}^2}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$. (7)

Последнее может быть сформировано путем воздействия ультракороткого лазерного импульса [18]. Для центра волнового пакета будем полагать $\overrightarrow{p}=\left\{0, p\right\}$. Тогда для квантовомеханической скорости имеем

${\upsilon }_x={\upsilon }_F<{\chi }_0\left|e^{i{\hat{H}}_{eff}t}{\hat{\sigma }}_x{e}^{-i{\hat{H}}_{eff}t}\right|{\chi }_0>$. (8)

После подстановки (2) и (7) в (8), запишем

${\upsilon }_x=\frac{{\upsilon }_F{J}_0\left(2a_0\right)}{2\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-\xi }d\xi \times \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\alpha \sin \left(2\nu t\sqrt{\xi {\cos }^2\theta +J_0^2\left(2a_0\right){\alpha }^2}\right)d\theta }{\sqrt{\xi {\cos }^2\theta +J_0^2\left(2a_0\right){\alpha }^2}}$, (9)

где $\alpha \left(\xi ,\theta \right)=pd+\sqrt{\xi }\sin \theta$, ν = τ^–1. На рис. 1 представлены осцилляции групповой скорости при различных значениях амплитуды ВЧ поля, построенные по формуле (9). Видно, что с ростом амплитуды время затухания увеличивается. Здесь и далее для численного анализа используются значения параметров p и b из [10]: p = 1.2 мкм^–1, b = 4 мкм. На графиках отсутствуют дополнительные гармоники осцилляций, которые предсказывались в [10], т.к. результат получен с использованием усредненного по ним гамильтониана ${\hat{H}}_{eff}$. Однако продолжительность осцилляций и ее увеличение с ростом амплитуды совпадают по порядку величины с результатами [10]. Последнее говорит о правомерности используемого аналитического подхода с целью анализа зависимости продолжительности ZB от интенсивности ВЧ поля.

Рис. 1. Групповая скорость электрона в графене как функция времени в присутствии (сплошная линия) и в отсутствие (пунктирная линия) ВЧ излучения. 1) E₀ = 0.5 кВ · м^–1; 2) E₀ = 1.0 кВ · м^–1; 3) E₀ = 2.0 кВ · м^–1

ГРАФЕНОВАЯ СВЕРХРЕШЕТКА

В последнее время весьма актуальны исследования транспортных свойств различных структур на основе дираковских кристаллов, например – графеновых сверхрешеток (ГСР) [19–21]. Причина такого внимания заключается в возможности перестройки энергетической щели в СР [19], что с точки зрения приложений в наноэлектронике выгодно отличает ГСР от графена, обладающего полуметаллическими свойствами. Численный подход к исследованию ZB осцилляций в ГСР с прямоугольными барьерами предложен в [22]. Ниже рассмотрен аналитический подход, использующий следующий модельный гамильтониан для носителей заряда в СР на основе дираковского кристалла [23]:

${\hat{H}}_{GSL}={\upsilon }_F{p}_x{\hat{\sigma }}_x+\frac{2{\upsilon }_F}{d}\sin \left(\frac{d{p}_y}{2}\right){\hat{\sigma }}_y$, (10)

где d – период СР. Для вычисления скорости электрона произведем в (8) замену ${\hat{H}}_{eff}\to {\hat{H}}_{GSL}$ и вместо (7) используем следующий начальный спинор [22]:

${\chi }_0=\sqrt{\frac{b_{1}b}{\pi }}{e}^{-\frac{b_1^2{p}_x^2}{2}}{e}^{-\frac{b^2{\left(p_y-p\right)}^2}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$. (11)

Здесь b₁ и b – ширина волнового пакета вдоль направлений x и y, соответственно, причем b₁ >> b. После некоторых математических преобразований находим для групповой скорости:

${\upsilon }_x\left(t\right){=}_F\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-\frac{{\left(2n+1\right)}^2{d}^2}{16b^2}}{J}_{2n+1}\left(2\Omega t\right)\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)pd$, (12)

где Ω = υ_Fd^–1. Для периода СР d = 100 нм [23] значение параметра Ω составит 10 ТГц. Графики зависимости групповой скорости (12) от времени показаны на рис. 2. Их анализ позволяет сказать, что, во-первых, время затухания ZB растет с уменьшением отношения периода СР к ширине волнового пакета d:b. Во-вторых, приближение центра электронного волнового пакета p к потолку минизоны СР также дает возможность существенно увеличить время осцилляций ZB.

Рис. 2. Групповая скорость электрона в ГСР как функция времени для d:b = 1:10 (сплошная линия) и d = b (пунктирная линия). 1) Середина минизоны; 2) потолок минизоны

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выше исследовано затухание ZB в графене и ГСР. В случае, когда начальный волновой пакет, делокализован вдоль одного направления и локализован в поперечном направлении найдено аналитическое выражение для эффективного времени затухания ZB. Из этого выражения явно следует, что время затухания должно увеличиться при включении ВЧ электрического поля, что согласуется с численными расчетами [10]. Кроме того, показано, что зависимость времени жизни ZB является немонотонной функцией амплитуды ВЧ излучения.

В случае ГСР показано, что, количество колебаний ZB растет с уменьшением величины d:b, что согласуется с численными расчетами [22]. Таким образом, изготовление ГСР с необходимым периодом позволит добиться увеличения наблюдаемого числа колебаний ZB. Кроме того, существенного роста продолжительности ZB можно добиться путем смещения центра волнового пакета p к потолку минизоны ГСР.

Работа поддержана ФГБОУ ВО ВолгГТУ в рамках текущего финансирования и внутривузовского гранта ФГБОУ ВО ВГСПУ. Никаких дополнительных источников финансирования или грантов со стороны других организаций не привлекалось.