Гиперэллиптические касательные накрытия и четные конечнозонные потенциалы: туда и обратно

Обозначим через $\pi\colon (\Gamma,p) \to (X,\omega_0)$ разветвленное накрытие степени $n$ с отмеченной гладкой точкой $p$ над эллиптической кривой. Рассмотрим (рациональное) отображение Абеля $\mathrm{Ab}_p\colon \Gamma \to \operatorname{Jac}\Gamma$ и двойственное к нему отображение $\pi^\vee:= \mathrm{Ab}_p\circ\pi^* \colon X \to \operatorname{Jac}\Gamma$ в якобиан кривой $\Gamma$. Назовем $\pi$ гиперэллиптическим касательным накрытием (ГК-накрытием), если $\Gamma$ – гиперэллиптическая кривая, $p\in \Gamma$ – точка Вейерштрасса, а образы $\Gamma$ и $X$ в $\operatorname{Jac}\Gamma$ касаются друг друга в начале координат. Каждому ГК-накрытию $\pi$ сопоставляется целочисленный вектор $\mu \in \mathbb{N}^4$, называемый типом, для которого $\mu_0+1\equiv \mu_1 \equiv \mu_2 \equiv \mu_3 \equiv n \ \operatorname{mod}2$ и $2n+1-\sum_i \mu_i^2=4d$ при некотором $d\in \mathbb{N}$. Если кривая $\Gamma$ гладкая, то тип $\mu$ показывает, сколько точек Вейерштрасса кривой $\Gamma$ (отличных от $p$) лежит над каждым полупериодом $\omega_i$, $i=0,\dots,3$. Обозначим через $\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d)$ множество ГК-накрытий степени $n$ и типа $\mu$. Тогда четные $\Lambda$-периодические конечнозонные потенциалы, ассоциированные с $\mathcal{S}\mathcal{D}_X(\mu,d)= \{(\pi,\xi)\colon \pi\in\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d),\, \xi - \text{ некоторая тэта-характеристика } \pi\}$, представляются в виде
\( u_\xi(x)=\sum_0^3\alpha_i(\alpha_i+1)\wp(x-\omega_i) +2\sum_{j=1}^m \bigl(\wp(x-\rho_j)+\wp(x+\rho_j)\bigr) \)

для некоторых $(\alpha,m)\in \mathbb{N}^4\times \mathbb{N}$, удовлетворяющих уравнению $2n=\sum_i\alpha_i(\alpha_i+1)+4m$.
Множество $\mathcal{P}ot_X(\alpha,m)$ таких потенциалов конечно, и имеется биекция
\( (\pi,\xi) \in \bigcup_{(\mu,d)}\mathcal{S}\mathcal{D}_X(\mu,d) \mapsto u_\xi \in \bigcup_{(\alpha,m)}\mathcal{P}ot_X(\alpha,m). \)

Задача состоит в том, чтобы найти обратное отображение и мощности множеств $\#\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d)$, $\#\mathcal{P}ot_X(\alpha,m)$. Последний вопрос уже был подробно изучен для $\mathcal{P}ot_X(0)$ и $\mathcal{P}ot_X(1)$. Мы покажем, что $\#\mathcal{P}ot_X(\alpha,2)= 27$ для эллиптической кривой $X$ общего положения, и найдем прообраз $\mathcal{P}ot_X(\alpha,m)$. Отсюда следуют оценки типов и арифметических родов спектральных данных, порождающих элементы этого множества. В завершение мы сформулируем как гипотезу рекуррентную по $d\in \mathbb{N}$ формулу для $\#\mathcal{P}ot_X(\alpha,d)$ и $\#\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d)$.
Настоящая статья посвящается памяти Жана-Луи Вердье и Игоря Моисеевича Кричевера.
Библиография: 30 названий.