Том 60, № 9 (2024)
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СМЕНА УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С РАЗНОМАСШТАБНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Аннотация
Рассмотрены инвариантные многообразия со сменой устойчивости дифференциальных систем с разномасштабными переменными, интерес к которым обусловлен их эффективным использованием при описании критических явлений в широком круге различных прикладных задач. Исследованы вопросы существования непрерывных инвариантных многообразий со сменой устойчивости в трёх критических случаях.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1155–1166
1155–1166
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО
Аннотация
Рассмотрен новый класс интегральных уравнений Ито, который содержит как многие классические задачи, например задачу Коши для дифференциальных уравнений целого и дробного порядков со стохастическими возмущениями и без них, так и некоторые менее известные и малоизученные виды уравнений, введённые за последнее время. Найдены достаточно общие условия, гарантирующие существование и единственность решений таких уравнений с учётом их особенностей. В статье использовано специальное обобщённое условие Липшица, которое в силу своей гибкости позволяет получать эффективные признаки разрешимости в терминах правых частей уравнений. Рассмотрены многочисленные примеры, охватывающие, в частности, дифференциальные уравнения Ито дробного порядка с последействием и без него, уравнения с дробными винеровскими процессами, уравнения Ито с несколькими шкалами времени, а также их обобщения.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1167–1189
1167–1189
ОБЪЁМНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ НИЗКОЧАСТОТНОГО РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В АНИЗОТРОПНЫХ СТРУКТУРАХ
Аннотация
Изучен спектр интегральных операторов объёмных сингулярных интегральных уравнений, описывающих задачи низкочастотного рассеяния электромагнитных волн в ограниченных трёхмерных анизотропных структурах. Представлена в явном виде область расположения спектра оператора на комплексной плоскости для низкочастотного случая. Описан обобщённый метод простой итерации, для применения которого необходимо знание области расположения спектра оператора на комплексной плоскости. Для дискретизации интегральных уравнений применён метод коллокации на равномерной сетке, что позволило, использовав быстрое дискретное преобразование Фурье, построить алгоритм быстрого умножения матрицы системы линейных уравнений на вектор. Приведены результаты численного решения рассматриваемых задач.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1190–1204
1190–1204
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
О СУЩЕСТВОВАНИИ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ ДИКМАНА–ЛОУ В СЛУЧАЕ КУСОЧНО-КОНСТАНТНЫХ ЯДЕР
Аннотация
Для модели логистической динамики, разработанной У. Дикманом и Р. Лоу, проведён анализ нелинейного интегрального уравнения, описывающего состояние равновесия одновидового сообщества при трёхпараметрическом замыкании третьего пространственного момента в случае, когда ядра разброса и конкуренции представляют собой кусочнопостоянные функции. Установлены достаточные условия разрешимости этого уравнения.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1205–1215
1205–1215
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ, ПОКРЫТОМ ГРАФЕНОМ
Аннотация
Рассмотрена задача о резонансных частотах диэлектрических тел, покрытых графеном, без учёта его нелинейности. Краевая задача сведена к системе интегро-дифференциальных уравнений по поверхности графена. Доказано свойство фредгольмовости этой системы при выполнении достаточных условий. Установлена дискретность спектра оператор-функции, отвечающей системе интегро-дифференциальных уравнений, в области комплексной плоскости спектрального параметра (круговой частоты).
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1216–1224
1216–1224
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ПУАНКАРЕ–СТЕКЛОВА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ С ПОКРЫТИЕМ
Аннотация
Рассматривается оператор Пуанкаре–Стеклова для однородной изотропной упругой полуплоскости со стратифицированным упругим покрытием, отображающий на части границы покрытия нормальные напряжения в нормальные перемещения. Для построения передаточной функции этого оператора используется вариационная формулировка краевой задачи для трансформант перемещений. Даётся определение и доказываются существование и единственность обобщённого решения вариационной задачи. Аппроксимация этой задачи проводится методом конечных элементов. Для численного решения полученной системы линейных алгебраических уравнений используется предобусловленный метод сопряжённых градиентов. Проводится верификация разработанного вычислительного алгоритма.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1225–1240
1225–1240
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕЙВЛЕТОВ ХААРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация
Разработан численный метод решения одномерного гиперсингулярного интегрального уравнения, использующий аппроксимации матриц разреженными матрицами. Этот метод имеет тот же порядок сходимости, что и известные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, но является более эффективным как по числу арифметических операций, так и по объёму памяти.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1241–1260
1241–1260
ДВУХТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ РАЗБИЕНИЯХ
Аннотация
Построена квадратурная формула для вычисления гиперсингулярного интеграла по отрезку с использованием концов интервалов разбиения отрезка в качестве узлов кусочнопостоянной интерполяции плотности интеграла, а также особым образом выбранных точек коллокации. Отличительной особенностью предложенной формулы является возможность вычисления значений интеграла от функций, имеющих конечное число точек разрыва первого рода на отрезке интегрирования. На основе полученной квадратурной формулы построена численная схема решения соответствующего характеристического гиперсингулярного интегрального уравнения при нерегулярном разбиении области поиска решения. Доказаны оценки скорости сходимости приближённых решений к точным в классе кусочно-гёльдеровских функций.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1261–1275
1261–1275
СХОДИМОСТЬ МЕТОДА КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ И КОЛЛОКАЦИЙ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ С ГРАНИЦЕЙ
Аннотация
Рассмотрено гиперсингулярное интегральное уравнение на выпуклом ограниченном множестве на плоскости с интегралом, понимаемым в смысле конечной части по Адамару. Уравнения такого типа, в частности, возникают при решении краевой задачи Неймана для уравнений Лапласа и Гельмгольца на плоском экране в случае, когда решение ищется в виде потенциала двойного слоя. Для численного решения уравнения применена численная схема, основанная на кусочно-линейной аппроксимации неизвестной функции по треугольной конформной сетке и методе коллокаций. Доказана равномерная сходимость численных решений к точному на сетке при стремлении максимального диаметра ячеек к нулю.
Дифференциальные уравнения. 2024;60(9):1276–1296
1276–1296