О производственных функциях, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу научно-технический прогресс

Аннотация

В работе рассматривается задача Х.Удзавы об аналитическом виде динамических агрегированных производственных функций, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу научно-технический прогресс. Описаны все классы агрегированных динамических производственных функций, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу научно-технический прогресс.

Полный текст

1. Постановка задачи и основной результат

Рассмотрим динамическую агрегированную производственную функцию (ПФ)

$Y=F(K,L,t)$, (1)

где Y – выпуск продукции, K – капитал, L – труд, t – параметр времени из числового луча $R_{+}=[0; + \infty )$, каждое значение которого выражает определенный уровень научно-технического прогресса (НТП), неотрицательная функция F является дважды непрерывно дифференцируемой на множестве $D=G\times R_{+}$, экономическая область $G$ из первого квадранта $R_{+}^2=\left\{\left(K,L\right):K\ge 0, L\ge 0\right\}, R$ – множество действительных чисел.

Начиная с 20-х годов XX века, исследователи пытались понять в чем состоит НТП с точки зрения макроэкономической динамики, какие экономические показатели он оставляет неизменными (нейтральными, инвариантными) во времени, а какие – изменяет. На основании понятия нейтральности были построены различные классификации НТП относительно заданных инвариантных соотношений между экономическими показателями. Одна из первых классификаций НТП была предложена в 1932 году Дж.Р. Хиксом (J.R. Hicks) в книге «Теория заработной платы» и была основана на изменении с течением времени предельной нормы технического замещения [1, с. 121 – 122]: «Если рассматривать два фактора, «труд» и «капитал», то изобретения можно классифицировать в соответствии с тем увеличивают ли они, оставляют неизменным, либо уменьшают отношение предельной производительности капитала к предельной производительности труда по сравнению с ее первоначальным состоянием. Такие изобретения будем называть «трудосберегающими», «нейтральными» и «капиталосберегающими», соответственно». Дж. Робинсон (J. Robinson) в своей монографии «Очерки по теории занятости» [2] при обсуждении влияния технологий на положения долгосрочного равновесия в теории занятости использовала классификацию Дж.Р. Хикса НТП при дополнительном условии: «фондовооруженность труда является величиной постоянной» [3]. В дальнейшем, данная модификация определения нейтральности НТП по Хиксу получила широкое распространение и сейчас в научной литературе используется в качестве основного понятия (см., например, [4 – 9]). Идея еще одной классификации НТП была заложены Р.Ф. Харродом (R.F. Harrod) в рецензии [10] на книгу Дж.В. Робинсон «Очерки по теории занятости» [2] и позднее в расширенном виде была изложена в его монографии «К динамической экономической теории» [11, с. 22 – 27]. Понятие «нейтральность НТП по Солоу», которое является симметричным по отношению к понятию «нейтральность НТП по Харроду», было введено и использовано в работах [12; 13] американского экономиста Р.М. Солоу (R.M. Solow). Для неоклассических ПФ (1) в статье Р. Сато (R. Sato) и М. Беккмана (M. Beckmann) [5] в зависимости от инвариантности относительно НТП различных соотношений (рассмотрены 15 случаев) между основными экономико-математическими характеристиками ПФ введены возможные определения нейтральности НТП и получены, соответствующие им, аналитические представления динамических линейно-однородных ПФ. В работе [14] классификация Сато – Беккмана обобщена и дополнена новыми условиями нейтральности НТП на общий случай аналитического задания динамической ПФ.

Сформулируем точнее концепции нейтральности НТП по Хиксу, Харроду и Солоу:

1. если предельная норма технического замещения (труда капиталом) $MRT{S}_{LK}$ изменяется с течением времени при фиксированной фондовооруженности труда, т.е.
   ${MRTS}_{LK}=const$ при $K/L=const$ , (2)
   то имеет место нейтральный по Хиксу НТП;
2. если предельная производительность капитала $M{P}_K$ не изменяется с течением времени при фиксированной фондоотдаче, т.е.
   $M{P}_K=const$ при $Y/K=const,$, (3)
   то будем говорить, что НТП является нейтральным по Харроду;
3. если предельная производительность труда $M{P}_L$ не изменяется с течением времени при фиксированной производительности труда, т.е.
   $M{P}_L=const$ при $Y/L=const$, (4)
   то НТП будет нейтральным по Солоу.

Общий вид агрегированных динамических ПФ учитывающих нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП описывают следующие утверждения (теоремы 1 и 2).

Теорема 1. Динамическая агрегированная ПФ (1) учитывает:

1. нейтральный по Хиксу НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [15] $Y=\Phi \left(\Psi \right(K,L),t)$, где $\Phi$ – некоторая неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция, переменных $\Psi$ и $t$, а $\Psi$ – линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция;
2. нейтральный по Харроду НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [16] $Y=\Phi (K,\Psi (L,t\left)\right)$, где $\Phi$ – некоторая неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция переменных $K$ и $\Psi$, а $\Psi ,$ – непрерывно дифференцируемая функция от переменных $L$ и $t$;
3. нейтральный по Солоу НТП тогда и только тогда, когда её можно представить в аналитическом виде [15] $Y=\Phi \left(\Psi \right(K,t),L)$, где $\Phi$ – некоторая неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция переменных $\Psi$ и $L$, а $\Psi$ – непрерывно дифференцируемая функция от переменных $K$ и $t$.

В случае, когда ПФ (1) является линейно-однородной из теоремы 1 следует

Теорема 2. Линейно-однородная динамическая ПФ (1) учитывает:

1. 1) нейтральный по Хиксу НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме (см., например, работу [5]) $Y=A\left(t\right)\Phi (K,L)$;
2. нейтральный по Харроду НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме [3; 4] $Y=\Phi (K,C(t\left)L\right)$;
3. нейтральный по Солоу НТП, если и только если она может быть представлена в аналитической форме (см., работу [5]) $Y=\Phi \left(B\right(t)K,L)$, где $\Phi$ – неотрицательная линейно-однородная непрерывно дифференцируемая функция, а строго возрастающие функции $A$, $B$ и $C$ такие, что $A\left(0\right)=B\left(0\right)=C\left(0\right)=1$, есть индексы НТП.

В 1961 году японский экономист Х.Удзава (H. Uzawa) поставил и решил [4] для линейно-однородных ПФ задачу об аналитическом виде динамических ПФ, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП. В работе [17] результаты Удзавы были распространены на однородные ПФ произвольной степени. В данной заметке полностью решена задача Удзавы: выделены общие классы динамических агрегированных ПФ, учитывающих одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП. Основной результат работы выражает

Теорема 3. Для того, чтобы динамическая агрегированная ПФ (1) одновременно учитывала нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу НТП необходимо и достаточно, чтобы она была представлена или в форме Кобба – Дугласа – Тинбергена

$F_1(K,L,t)=A\left(t\right)K^{\alpha }{L}^{\beta }$, (5)

или в аналитической форме

$F_2(K,L,t)=(a{K}^{1-\gamma }+b{L}^{1-\gamma }+A(t){)}^{1/(1-\gamma )}$, (6)

где числа $\alpha ,\beta ,\gamma ,a,b\in R, \gamma \ne 1$, а функция A зависит только от параметра НТП t.

2. Доказательство основного результата

Основываясь на понятиях [18, с. 48 – 49] предельной нормы технического замещения (труда капиталом), предельных производительностей капитала и труда, на основании определений нейтральности НТП по Хиксу (2), по Харроду (3) и по Солоу (4) получаем, что динамическая ПФ (1) одновременно учитывает НТП, нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу тогда и только тогда, когда существуют непрерывно дифференцируемые функции $h_1$, $h_2$ и $h_3$ такие, что имеют место дифференциальные тождества

$\frac{{\partial }_{L}F(K,L,t)}{{\partial }_{K}F(K,L,t)}=h_1\left(\frac{K}{L}\right), {\partial }_{K}F(K,L,t)=h_2\left(\frac{F}{K}\right),$ и${\partial }_{L}F(K,L,t)=h_3\left(\frac{F}{L}\right),$ (7)

где через  ${\mathrm{ }\partial }_K$ и  ${\mathrm{ }\partial }_L$ обозначены частные производные первого порядка по переменным $K$ и $L$, соответственно.

Необходимость. Из системы дифференциальных тождеств (7) следует, что функции $h_1$, $h_2$ и $h_3$ связаны функциональным уравнением

$h_3\left(\zeta \right)=h_1\left(\frac{\zeta }{\xi }\right)\cdot h_2\left(\xi \right)$, (8)

где введены переменные $\xi =F/K, \xi =F/L$.

Уравнение (8) есть обобщенное уравнение Коши относительно трех неизвестных функций, которое имеет единственное решение [19; 20, с. 89 – 90]

$h_1\left(\frac{\zeta }{\xi }\right)=C_1\cdot {\left(\frac{\zeta }{\xi }\right)}^{\gamma }$, $h_2\left(\xi \right)=C_2\cdot {\xi }^{\gamma }$, $h_3\left(\xi \right)=C_3\cdot {\zeta }^{\gamma }$, (9)

где $C_1$, $C_2$ и $C_3=C_1·C_2$ – произвольные вещественные числа, $\gamma \in \text{R}$.

Решим систему квазилинейных уравнений в частных производных (7) при условии (9) используя подход последовательного решения квазилинейных уравнений [21, С. 75 – 76] методом характеристик [22, С. 229].

Случай $\gamma =1$. При $h_1(K/L)=C_1\cdot (K/L)$ из первого уравнения

$C_{1}K\cdot {\partial }_{K}F-L\cdot {\partial }_{L}F=0$

системы в частных производных (7) находим функционально-независимые первые интегралы $K\cdot L^{C_1}={\tilde{C}}_1$ и $t={\tilde{C}}_2$(${\tilde{C}}_1$ и ${\tilde{C}}_2$ есть произвольные вещественные постоянные) характеристической системы $\frac{dK}{C_{1}K}=\frac{dL}{-L}=\frac{dt}{0}$ и строим его общее решение $F(K,L,t)=\Phi (K\cdot L^{C_1},t)$, где $\Phi$ ‒ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Подставляя полученную функцию $F$ во второе уравнение системы в частных производных (7) при $h_2(F/K)=C_2\cdot (F/K)$, для определения функции $\Phi$ получаем дифференциальное уравнение

${\partial }_u\Phi (u,t)=C_2\frac{\Phi (u,t)}{u}$,

где $u=K\cdot L^{C_1}$, с общим решением $\Phi (u,t)=A\left(t\right)u^{C_2}$. А значит, функция $F$ примет следующий вид $F(K,L,t)=A\left(t\right)K^{C_2}{L}^{C_1{C}_2}$.

Подставляя функцию $F$ в третье уравнение системы в частных производных (7) при $h_3(F/L)=C_3\cdot (F/L)$ получаем верное тождество. Следовательно, функция (5) является решением системы (7) при условиях (9) и $\gamma =1$, где положено $\alpha =C_2$, $\beta =C_1{C}_2$, а $A$ есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП.

Случай $\gamma \ne 1$. При $h_1(K/L)=C_1\cdot (K/L{)}^{\gamma }$ из первого уравнения

$C_1{K}^{\gamma }\cdot {\partial }_{K}F-L^{\gamma }\cdot {\partial }_{L}F=0$

системы в частных производных (7) находим функционально-независимые первые интегралы $K^{1-\gamma }+C_1\cdot L^{1-\gamma }={\tilde{C}}_1$ и $t={\tilde{C}}_2$ (${\tilde{C}}_1$и ${\tilde{C}}_2$ есть произвольные вещественные постоянные) характеристической системы $\frac{dK}{C_1{K}^{\gamma }}=\frac{dL}{-L^{\gamma }}=\frac{dt}{0}$ и строим его общее решение $F(K,L,t)=\Phi (K^{1-\gamma }+C_1\cdot L^{1-\gamma },t)$, где $\Phi$ ‒ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Подставляя полученную функцию $F$ во второе уравнение системы в частных производных (7) при $h_2(F/K)=C_2\cdot (F/K{)}^{\gamma }$, для определения функции $\Phi$ получаем дифференциальное уравнение

${\partial }_u\Phi (u,t)=\frac{{С}_2}{1-\gamma }\cdot {\Phi }^{\gamma }(u,t)$,

которое имеет общее решение $\Phi (u,t)=(C_{2}u+A(t){)}^{1/(1-\gamma )}$, где $u=K^{1-\gamma }+C_1\cdot L^{1-\gamma }$, $A$ есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП. А значит, функция $F$ примет следующий вид $F(K,L,t)=(C_2{K}^{1-\gamma }+C_1{C}_2{L}^{1-\gamma }+A(t){)}^{1/(1-\gamma )}$.

Подставляя функцию $F$ в третье уравнение системы в частных производных (7) при$h_3(F/L)=C_3\cdot (F/L{)}^{\gamma }$ получаем верное тождество. Таким образом, функция (6) является общим решением системы квазилинейных уравнений (7) при условиях (9) и $\gamma \ne 1$, где положено $a=C_1, b=C_1{C}_2$, а $A$ есть произвольная функция, зависящая только от параметра НТП.

Достаточность. Пусть динамическая ПФ (1) представима или аналитической форме (5) или в форме (6). Тогда вычисляя частные производные от функций $F_1$ и $F_2$ по факторам производства $K$ и $L$ получаем:

1. $MRT{S}_{LK}\left(F_1\right)=\frac{\beta }{\alpha }\frac{K}{L}$, $M{P}_K\left(F_1\right)=\alpha \frac{F}{K}$, $M{P}_L\left(F_1\right)=\beta \frac{F}{L}$,т.е. имеют место тождества (7) при $h_1\left(\xi \right)=\frac{\beta }{\alpha }\xi$, $h_2\left(\zeta \right)=\alpha \zeta$ и $h_3\left(\rho \right)=\beta \rho$, а значит ПФ (5) учитывает НТП, одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу;
2. $MRT{S}_{LK}\left(F_2\right)=\frac{b}{a}\cdot {\left(\frac{K}{L}\right)}^{\gamma }$, $M{P}_K\left(F_2\right)=a\cdot {\left(\frac{F}{K}\right)}^{\gamma }$, $M{P}_L\left(F_2\right)=b\cdot {\left(\frac{F}{L}\right)}^{\gamma }$,
   т.е. имеют место тождества (7) при $h_1\left(\xi \right)=\frac{b}{a}{\xi }^{\gamma }$, $h_2\left(\zeta \right)=a{\zeta }^{\gamma }$ и $h_3\left(\rho \right)=b{\rho }^{\gamma }$, а значит ПФ (6) учитывает НТП, одновременно нейтральный по Хиксу, Харроду и Солоу.