Отправить статью по E-mail О предельных множествах простейших косых произведений на многомерных клетках
- Авторы: Ефремова Л.С.1, Шалагин М.А.1
-
Учреждения:
- Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
- Выпуск: Том 32, № 6 (2024)
- Страницы: 796-815
- Раздел: Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос
- URL: https://journal-vniispk.ru/0869-6632/article/view/272852
- DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-003134
- EDN: https://elibrary.ru/NDWRDI
- ID: 272852
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Цель работы состоит в описании двух важнейших типов предельных множеств простейших косых произведений отображений интервала, фазовым пространством каждого из которых является компактная n-мерная клетка (n ≥ 2): во-первых, неблуждающего множества и, во-вторых, ω -предельных множеств траекторий. Методы. Предложен метод исследования неблуждающего множества (новый даже для двумерного случая), основанный на использовании понятия C0 - Ω-взрыва в непрерывных отображениях отрезка, и введенного в работе понятия C0- Ω-взрыва в семействе непрерывных отображений в слоях. Для описания ω-предельных множеств использована техника специальных рядов, построенных по траектории и содержащих информацию о ее асимптотическом поведении. Результаты. Дано полное описание неблуждающего множества непрерывного простейшего косого произведения отображений интервала, то есть непрерывного косого произведения на компактной n-мерной клетке, множество (наименьших) периодов периодических точек которого ограничено. Результаты, полученные при описании неблуждающего множества, использованы при изучении ω-предельных множеств. В работе дано описание топологической структуры ω-предельных множеств рассматриваемых отображений. Найдены достаточные условия, при выполнении которых ω-предельным множеством траектории является периодическая орбита, а также необходимые условия существования одномерных ω-предельных множеств. Заключение. Дальнейшее развитие техники C0- Ω-взрыва в семействе отображений в слоях позволит описать структуру неблуждающего множества косых произведений одномерных отображений, в частности, с замкнутым множеством периодических точек, заданных на простейших многообразиях произвольной конечной размерности. Дальнейшее развитие теории специальных, построенных в работе расходящихся рядов позволит перейти к описанию ω-предельных множеств произвольной размерности d, где 2 ≤ d ≤ n - 1, n ≥ 3, в простейших косых произведениях.
Об авторах
Людмила Сергеевна Ефремова
Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
ORCID iD: 0000-0001-5821-6697
SPIN-код: 5317-5407
Scopus Author ID: 7004059595
ResearcherId: AAQ-8061-2021
603950 Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23
Матвей Андреевич Шалагин
Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)603950 Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23
Список литературы
- Efremova L. S. Remarks on the nonwandering set of skew products with a closed set of periodic points of the quotient map // In: Nonlinear maps and their applications. Springer Proc. Math. Statist., vol. 57. New York: Springer, 2014. P. 39–58. doi: 10.1007/978-1-4614-9161-3_6.
- Ефремова Л. С. Динамика косых произведений отображений интервала // Успехи матем. наук. 2017. Т. 72, № 1 С. 107–192. doi: 10.4213/rm9745.
- Ефремова Л. С. Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейших косых произведений отображений интервала // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 6. С. 93–130. doi: 10.4213/sm7551.
- Шарковский А. Н. О притягивающих и притягивающихся множествах // Докл. АН СССР 1965. Т. 160, № 5. С. 1036–1038.
- Шарковский А. Н. Аттракторы траекторий и их бассейны. Киев: Наукова Думка, 2013. 320 с.
- Blokh A., Bruckner A. M., Humke P. D., Smital J. The space of ω-limit sets of a continuous map of the interval // Transac. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 348, no 4. P. 1357–1372.
- Efremova L. S. Simplest skew products on n-dimensional (n ≥ 2) cells, cylinders and tori // Lobachevskii J. Math. 2022. Vol. 43. P. 1598-1618. doi: 10.1134/S1995080222100080.
- Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. 304 c.
- Kolyada S. F. On dynamics of triangular maps of the square // Ergodic Theory Dynam. Systems, 1992. Vol. 12, no 4. P. 749–768. doi: 10.1017/S0143385700007082.
- Kloeden P. E. On Sharkovsky’s cycle coexistence ordering // Bull. Austral. Math. Soc. 1979. Vol. 20, no. 2. P. 171–177. doi: 10.1017/S0004972700010819.
- Ефремова Л. С. О неблуждающем множестве и центре треугольных отображений с замкнутым множеством периодических точек в базе // В кн.: Динамические системы и нелинейные явления. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1990. С. 15–25.
- Бронштейн И. У. Неавтономные динамические системы. Кишинев: Штиинца, 1984. 291 с.
- Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986. 278 с.
- Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73, no. 6. P. 747–817. doi: 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
- Palis J. Ω-explosions // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 27, no. 1. P. 85–90. doi: 10.1090/S0002-9939-1971-0270400-3.
- Hirsch M. W., Pugh C. C. Stable manifolds and hyperbolic sets // Global analysis (Berkeley, CA, 1968), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 14, Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1970. P. 133–163.
- Стенькин О. В., Шильников Л. П. Гомоклинический Ω-взрыв и области гиперболичности // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 4. С. 125–144.
- Гонченко С. В., Стенькин О. В. Гомоклинический Ω-взрыв: интервалы гиперболичности и их границы // Нелинейная динам. 2011. Т. 7, № 1. С. 3–24.
- Ефремова Л. С., Махрова Е. Н. Одномерные динамические системы // Успехи матем. наук. 2021. Т. 76, № 5. С. 81-146. doi: 10.4213/rm9998.
- Ефремова Л. С. О C0- Ω-взрывах в гладких косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек // Вестн. Нижегородского гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. 2012. № 3(1). C. 130–136.
- Шарковський О. М. Неблукаючi точки та центр неперервного вiдображення прямоi в себе // Допов. АН УРСР. 1964. Т. 7. С. 865–868.
- Nitecky Z. Maps of the interval with closed periodic set // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 85, no. 3. P. 451–456.
- Block L. S., Coppel W. A. Dynamics in One Dimension. Lecture Notes in Math., vol. 1513. Berlin: Springer-Verlag, 1992. 252 p. doi: 10.1007/BFb0084762.
- Шарковский А. Н. О циклах и структуре непрерывного отображения // Укр. матем. журнал. 1965. Т. 17, № 3. С. 104–111.
- Федоренко В. В., Шарковский А. Н. Непрерывные отображения интервала с замкнутым множеством периодических точек // В кн.: Исследование дифференциальных и дифференциальноразностных уравнений / Под ред. А. Н. Шарковского. Киев: Институт матем. АН УССР, 1980. С. 137–145.
- Efremova L. S. C1-Smooth Ω-Stable Skew Products and Completely Geometrically Integrable Self-Maps of 3D-Tori, I: Ω-Stability // Regular and Chaotic Dynamics. 2024. Vol. 29, no. 3. P. 491–514.
- Efremova L. S. Skew products and geometrically integrable maps: Results, problems and prospects // New Developments in Discrete Dynamical Systems, Difference Equations and Applications. Springer Proc. Math. Statist. New York: Springer, 2024 (to appear).
- Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. 594 с.
- Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция. Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. С. 1–18.
- Balibrea F., Guirao J. L. G., Casado J. I. M. A triangular map on I2 whose ω-limit sets are all compact interval of {0} * I // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2002. Vol. 8, no. 4. P. 983–994. doi: 10.3934/dcds.2002.8.983.
- Balibrea F., Guirao J. L. G., Casado J. I. M. On ω-limit sets of triangular maps on the unit cube // J. Difference Equ. Appl. 2003. Vol. 9, no. 3–4. P. 289–304. doi: 10.1080/1023619021000047734.
- Райков Д. А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 416 с.
- Зорич В. А. Математический анализ. Т. 1. M.: Наука, 1981. 543 с.
Дополнительные файлы
