Детерминистские и случайные аттракторы волновых уравнений со знакопеременной диссипацией

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Детально изучена динамика слабо диссипативных волновых уравнений в ограниченных трехмерных областях в случае, когда коэффициент диссипации явно зависит от времени и может менять знак. Показано, что в случае нелинейностей, растущих быстрее чем линейно, рассматриваемые уравнения остаются диссипативными, если некоторое весовое среднее коэффициента диссипации положительно, также продемонстрирована недостаточность подобного рода условий в случае линейных уравнений. Рассмотрены два принципиально различных случая. В первом случае, когда упомянутое выше среднее является равномерным (что соответствует случаю детерминистской диссипации), показано, что рассматриваемая динамическая система обладает гладким равномерным аттрактором, а также неавтономным экспоненциальным аттрактором конечной фрактальной размерности. Во втором случае, когда среднее диссипации не является равномерным (что соответствует случайной диссипации, например, порождаемой схемой Бернулли), построен случайный аттрактор умеренного роста. В отличие от стандартной ситуации, этот аттрактор видимо может иметь бесконечную хаусдорфову и фрактальную размерность. Упрощенный модельный пример, демонстрирующий бесконечномерность случайного аттрактора, также приведен.Библиография: 66 наименований.

Об авторах

Чинчуан Чанг

Lanzhou University

Email: ddli_dan@yeah.net

Дандан Ли

Lanzhou University

Email: ddli_dan@yeah.net

Чунью Сун

Lanzhou University

Email: ddli_dan@yeah.net

PhD, профессор

Сергей Витальевич Зелик

Lanzhou University; University of Surrey; Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: s.zelik@surrey.ac.uk

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Список литературы

  1. L. I. Schiff, “Nonlinear meson theory of nuclear forces. I. Neutral scalar mesons with point-contact repulsion”, Phys. Rev. (2), 84:1 (1951), 1–9
  2. I. E. Segal, “The global Cauchy problem for a relativistic scalar field with power interaction”, Bull. Soc. Math. France, 91 (1963), 129–135
  3. J. J. Mazo, A. V. Ustinov, “The sine-Gordon equation in Josephson-junction arrays”, The sine-Gordon model and its applications, Nonlinear Syst. Complex., 10, Springer, Cham, 2014, 155–175
  4. W. H. Hayt, Engineering electromagnetics, 5th ed., McGraw-Hill, Inc., New York, 1989, 472 pp.
  5. S. V. Marshall, G. G. Skitek, Electromagnetic concepts and applications, 3rd ed., Prentice-Hall International, Inc., London, 1990, xviii+507 pp.
  6. A. Majda, Introduction to PDEs and waves for the atmosphere and ocean, Courant Lect. Notes Math., 9, New York Univ., Courant Inst. Math. Sci., New York; Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, x+234 pp.
  7. J. Pedlosky, Geophysical fluid dynamics, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1987, xiv+710 pp.
  8. K. P. Hadeler, “Reaction telegraph equations and random walk systems”, Stochastic and spatial structures of dynamical systems (Amsterdam, 1995), Konink. Nederl. Akad. Wetensch. Verh. Afd. Natuurk. Eerste Reeks, 45, North-Holland, Amsterdam, 1996, 133–161
  9. M. G. Grillakis, “Regularity and asymptotic behaviour of the wave equation with a critical nonlinearity”, Ann. of Math. (2), 132:3 (1990), 485–509
  10. J. Shatah, M. Struwe, “Well-posedness in the energy space for semilinear wave equations with critical growth”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1994:7 (1994), 303–309
  11. J. Shatah, M. Struwe, “Regularity results for nonlinear wave equations”, Ann. of Math. (2), 138:3 (1993), 503–518
  12. C. D. Sogge, Lectures on non-linear wave equations, 2nd ed., International Press, Boston, MA, 2008, x+205 pp.
  13. Ж.-Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Мир, М., 1972, 587 с.
  14. А. В. Бабин, М. И. Вишик, Аттракторы эволюционных уравнений, Наука, M., 1989, 296 с.
  15. R. Temam, Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics, Appl. Math. Sci., 68, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1997, xxii+648 pp.
  16. V. V. Chepyzhov, M. I. Vishik, Attractors for equations of mathematical physics, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xii+363 pp.
  17. S. Zelik, “Asymptotic regularity of solutions of singularly perturbed damped wave equations with supercritical nonlinearities”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 11:2-3 (2004), 351–392
  18. K. Jörgens, “Das Anfangswertproblem im Grossen für eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen”, Math. Z., 77 (1961), 295–308
  19. J. Ginibre, G. Velo, “The global Cauchy problem for the non linear Klein–Gordon equation”, Math. Z., 189:4 (1985), 487–505
  20. R. S. Strichartz, “Restrictions of Fourier transforms to quadratic surfaces and decay of solutions of wave equations”, Duke Math. J., 44:3 (1977), 705–714
  21. M. D. Blair, H. F. Smith, C. D. Sogge, “Strichartz estimates for the wave equation on manifolds with boundary”, Ann. Inst. H. Poincare C Anal. Non Lineaire, 26:5 (2009), 1817–1829
  22. N. Burq, G. Lebeau, F. Planchon, “Global existence for energy critical waves in 3-D domains”, J. Amer. Math. Soc., 21:3 (2008), 831–845
  23. N. Burq, F. Planchon, “Global existence for energy critical waves in 3-D domains: Neumann boundary conditions”, Amer. J. Math., 131:6 (2009), 1715–1742
  24. A. Haraux, “Dissipativity in the sense of Levinson for a class of second-order nonlinear evolution equations”, Nonlinear Anal., 6:11 (1982), 1207–1220
  25. A. Haraux, “Two remarks on hyperbolic dissipative problems”, Nonlinear partial differential equations and their applications, Collège de France seminar (Paris, 1983–1984), v. 7, Res. Notes in Math., 122, Pitman, Boston, MA, 1985, 161–179
  26. J. K. Hale, Asymptotic behavior of dissipative systems, Math. Surveys Monogr., 25, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, x+198 pp.
  27. J. K. Hale, “Stability and gradient dynamical systems”, Rev. Mat. Complut., 17:1 (2004), 7–57
  28. T. Caraballo, J. A. Langa, F. Rivero, A. N. Carvalho, “A gradient-like nonautonomous evolution process”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 20:9 (2010), 2751–2760
  29. J. Arrieta, A. N. Carvalho, J. K. Hale, “A damped hyerbolic equation with critical exponent”, Comm. Partial Differential Equations, 17:5-6 (1992), 841–866
  30. Dandan Li, Chunyou Sun, Qingquan Chang, “Global attractor for degenerate damped hyperbolic equations”, J. Math. Anal. Appl., 453:1 (2017), 1–19
  31. E. Feireisl, “Asymptotic behaviour and attractors for a semilinear damped wave equation with supercritical exponent”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 125:5 (1995), 1051–1062
  32. L. Kapitanski, “Minimal compact global attractor for a damped semilinear wave equation”, Comm. Partial Differential Equations, 20:7-8 (1995), 1303–1323
  33. V. Kalantarov, A. Savostianov, S. Zelik, “Attractors for damped quintic wave equations in bounded domains”, Ann. Henri Poincare, 17:9 (2016), 2555–2584
  34. А. К. Савостьянов, С. В. Зелик, “Равномерные аттракторы для волнового уравнения с нелинейностью пятой степени и мерой в качестве внешней силы”, УМН, 75:2(452) (2020), 61–132
  35. C. Bardos, G. Lebeau, J. Rauch, “Sharp sufficient conditions for the observation, control, and stabilization of waves from the boundary”, SIAM J. Control Optim., 30:5 (1992), 1024–1065
  36. N. Burq, R. Joly, “Exponential decay for the damped wave equation in unbounded domains”, Commun. Contemp. Math., 18:6 (2016), 1650012, 27 pp.
  37. E. Feireisl, E. Zuazua, “Global attractors for semilinear wave equations with locally distributed nonlinear damping and critical exponent”, Comm. Partial Differential Equations, 18:9-10 (1993), 1539–1555
  38. J. Rauch, M. Taylor, “Exponential decay of solutions to hyperbolic equations in bounded domains”, Indiana Univ. Math. J., 24 (1974), 79–86
  39. E. Zuazua, “Exponential decay for the semilinear wave equation with locally distributed damping”, Comm. Partial Differential Equations, 15:2 (1990), 205–235
  40. A. Haraux, P. Martinez, J. Vancostenoble, “Asymptotic stability for intermittently controlled second-order evolution equations”, SIAM J. Control Optim., 43:6 (2005), 2089–2108
  41. A. Haraux, M. A. Jendoubi, “Asymptotics for a second order differential equation with a linear, slowly time-decaying damping term”, Evol. Equ. Control Theory, 2:3 (2013), 461–470
  42. P. Martinez, J. Vancostenoble, “Stabilization of the wave equation by on-off and positive-negative feedbacks”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 7 (2002), 335–377
  43. R. A. Smith, “Asymptotic stability of $x"+a(t)x'+x = 0$”, Quart. J. Math. Oxford (2), 12:1 (1961), 123–126
  44. A. H. Nayfeh, D. T. Mook, Nonlinear oscillations, Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 1995, 720 pp.
  45. G. Fragnelli, D. Mugnai, “Stability of solutions for some classes of nonlinear damped wave equations”, SIAM J. Control Optim., 47:5 (2008), 2520–2539
  46. G. Fragnelli, D. Mugnai, “Stability of solutions for nonlinear wave equations with a positive–negative damping”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 4:3 (2011), 615–622
  47. P. Freitas, “On some eigenvalue problems related to the wave equation with indefinite damping”, J. Differential Equations, 127:1 (1996), 320–335
  48. R. Joly, “New examples of damped wave equations with gradient-like structure”, Asymptot. Anal., 53:4 (2007), 237–253
  49. V. Kalantarov, S. Zelik, “A note on a strongly damped wave equation with fast growing nonlinearities”, J. Math. Phys., 56:1 (2015), 011501, 10 pp.
  50. J. H. E. Cartwright, V. M. Eguiluz, E. Hernandez-Garcia, O. Piro, “Dynamics of elastic excitable media”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9:11 (1999), 2197–2202
  51. А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, М., 1999, 768 с.
  52. X. Цикон, Р. Фрeзе, В. Кирш, Б. Саймон, Операторы Шрeдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии, Мир, M., 1990, 408 с.
  53. W. Magnus, S. Winkler, Hill's equation, Intersci. Tracts Pure Appl. Math., 20, Interscience Publishers John Wiley & Sons, New York–London–Sydney, 1966, viii+127 pp.
  54. V. Chepyzhov, M. Vishik, “A Hausdorff dimension estimate for kernel sections of non-autonomous evolution equations”, Indiana Univ. Math. J., 42:3 (1993), 1057–1076
  55. P. E. Kloeden, J. A. Langa, “Flattening, squeezing and the existence of random attractors”, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 463:2077 (2007), 163–181
  56. A. N. Carvalho, J. A. Langa, J. C. Robinson, Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems, Appl. Math. Sci., 182, Springer, New York, 2013, xxxvi+409 pp.
  57. A. Eden, C. Foias, B. Nicolaenko, R. Temam, Exponential attractors for dissipative evolution equations, RAM Res. Appl. Math., 37, Masson, Paris; John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1994, viii+183 pp.
  58. A. Miranville, “Exponential attractors for nonautonomous evolution equations”, Appl. Math. Lett., 11:2 (1998), 19–22
  59. M. Efendiev, S. Zelik, A. Miranville, “Exponential attractors and finite-dimensional reduction for non-autonomous dynamical systems”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 135:4 (2005), 703–730
  60. A. Miranville, S. Zelik, “Attractors for dissipative partial differential equations in bounded and unbounded domains”, Handbook of differential equations: evolutionary equations, v. IV, Handb. Differ. Equ., Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2008, 103–200
  61. H. Crauel, F. Flandoli, “Attractors for random dynamical systems”, Probab. Theory Related Fields, 100:3 (1994), 365–393
  62. L. Arnold, Random dynamical systems, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, New York, 1998, xvi+586 pp.
  63. H. Crauel, F. Flandoli, “Hausdorff dimension of invariant sets for random dynamical systems”, J. Dynam. Differential Equations, 10:3 (1998), 449–474
  64. A. Debussche, “Hausdorff dimension of a random invariant set”, J. Math. Pures Appl. (9), 77:10 (1998), 967–988
  65. A. Shirikyan, S. Zelik, “Exponential attractors for random dynamical systems and applications”, Stoch. Partial Differ. Equ. Anal. Comput., 1:2 (2013), 241–281
  66. J. Aaronson, “On the ergodic theory of non-integrable functions and infinite measure spaces”, Israel J. Math., 27:2 (1977), 163–173

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Chang Q., Li D., Sun C., Зелик С.В., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».