Том 25, № 2 (2025)
Математика
Об оценках наилучших M-членных приближений функций многих переменных в пространстве с равномерной метрикой
Аннотация
В статье рассматриваются пространство непрерывных функций с равномерной метрикой и анизотропное пространство Лоренца – Зигмунда периодических функций многих переменных и класс Никольского – Бесова в этом пространстве. Установлены оценки наилучших M-членных тригонометрических приближений функций из класса Никольского – Бесова в равномерной метрике.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):154-166
154-166
Оценка разности частичных сумм разложений по корневым функциям дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье
Аннотация
Рассматривается линейный обыкновенный дифференциальный оператор, определяемый дифференциальным выражением $n$-го порядка с ненулевым коэффициентом при $(n-1)$-й производной и регулярными по Биркгофу двухточечными краевыми условиями. Исследуется вопрос о равномерной равносходимости разложений функции в ряд по корневым функциям оператора $L$ и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также об оценке разности соответствующих частичных сумм. Получены оценки разности частичных сумм этих разложений в терминах общих (интегральных) модулей непрерывности разлагаемой функции и коэффициента при $(n-1)$-й производной. Доказательство существенно использует ранее полученную автором оценку разности частичных сумм разложений функции в ряд по корневым функциям оператора $L$ и в модифицированный тригонометрический ряд Фурье, а также полученный автором аналог теоремы Штейнгауза в терминах общих модулей непрерывности.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):167-172
167-172
О проекционном методе решения уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью
Аннотация
В настоящей работе изложены некоторые результаты возможности использования проекционного метода наименьших квадратов для решения уравнений теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью на полупрямой. Дана порядковая оценка погрешности рассмотренной проекционной схемы, соответствующей приближенному решению уравнения теплопроводности с использованием базиса из многочленов Лагерра – Якоби. Приведены результаты расчетов для двумерной модельной задачи.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):173-183
173-183
Разрывный оператор Стеклова и аппроксимационные полиномиальные сплайны
Аннотация
Для непрерывной функции, заданной на равномерной сетке отрезка [0,1], представлен метод построения аппроксимационных полиномиальных сплайнов. Метод не требует никакой дополнительной информации о функции и обеспечивает равномерную сходимость к ней. Эта сходимость имеет место и для приближенно заданной сеточной функции. В случае параболического сплайна приведены формулы, готовые для непосредственного использования.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):184-188
184-188
Механика
Табулирование решения задачи Римана в методе Годунова для уравнения состояния Соаве – Редлиха – Квонга
Аннотация
В работе рассматриваются вопросы использования точных решений задачи Римана для описания течений реальных газов, описываемых уравнением состояния Соаве – Редлиха – Квонга. Формулируются основные математические выражения для построения точного решения задачи о распаде произвольного разрыва. Исследуются особенности поведения функций, входящих в состав решения. Показано, что форма уравнения состояния Соаве – Редлиха – Квонга не допускает явного выражения зависимости между давлением и внутренней энергией газа. Связь между данными параметрами определяется через температуру, что значительно усложняет процедуру нахождения точного решения на разрывах. Возникающие сложности определяются, во-первых, особенностями математической постановки задачи, которая включает ряд нелинейных уравнений и интегралов, требующих привлечения итерационных методов поиска решения. Это приводит к существенному повышению трудоемкости алгоритма. Во-вторых, специфическое поведение ряда функций в составе математической модели не гарантирует корректное построение точного решения задачи Римана при использовании итерационных методов. Все это делает классический подход неприменимым для решения сложных задач нестационарной газовой динамики для реального газа Соаве – Редлиха – Квонга. Предлагаемый в работе подход использует интерполирование решений на основе предварительных точных расчетов задачи Римана, выполненных без дополнительных допущений во всем диапазоне изменения газодинамических параметров задачи. Использование табулированных значений гарантирует точность построения приближенного решения и сокращает трудоемкость вычислительного алгоритма. Описанный подход используется для численного моделирования течения водорода в ударной трубе в широком диапазоне изменения газодинамических величин в областях классической и неклассической газовой динамики, а также для численного моделирования газодинамики водородного предохранительного клапана. Полученные результаты подтверждают, что применение табулированных параметров оправданно в очень широком диапазоне изменения параметров, а предложенный подход может быть использован для решения сложных задач нестационарной газовой динамики, в том числе с областями смешанной нелинейности.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):189-202
189-202
Задача о введении жидкости в пористый сферический композит с учётом анизотропии
Аннотация
Пористые сферические композиты широко встречаются как в природных объектах, так и в технических приложениях. Для описания механического поведения таких структур необходимо учитывать взаимодействие твёрдой и жидкой фаз, поскольку жидкость внутри пористого тела воспринимает и перераспределяет часть внешней нагрузки. В данной работе предложена модель сферического композита, включающего пористое ядро и упругую трансверсально-изотропную оболочку. Предложенная модель применяется для анализа напряжений и деформаций в различных режимах нагружения, включая воздействие внешнего нормального давления и введение дополнительного объёма жидкости, например, при моделировании интравитреальных инъекций в биомедицинских исследованиях. Проведённый анализ показал, что при моделировании интравитреальных инъекций и описании глазного яблока как пороупругого композита падение внутриглазного давления при увеличении степени анизотропии оказывается менее значительным, чем в случае модели с упругой оболочкой, находящейся под воздействием только внутреннего давления. Увеличение степени анизотропии оказывается более существенным для снижения давления в пористом ядре в режиме приложения внешнего нормального давления, чем при введении дополнительного объёма жидкости. В работе также исследовано влияние геометрии и механических свойств порового ядра на изменение толщины оболочки. Полученные результаты обеспечивают комплексное понимание распределения напряжений и давления жидкости, что позволяет учитывать влияние анизотропии оболочки, пористости ядра и их механических характеристик на поведение сферических композитов.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):203-213
203-213
Распространение гармонических волн в вязкоупругих средах, описываемых моделями с дробными производными
Аннотация
В данной работе исследуются характеристики гармонических волн, распространяющихся в трехмерных изотропных вязкоупругих средах, с помощью обобщенных моделей Кельвина – Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела с дробными производными. Найдены асимптотические значения скоростей продольных и поперечных волн, их коэффициентов затухания и логарифмических декрементов.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):214-230
214-230
К вопросу об изучении структурных и механических характеристик губчатой костной ткани крупного рогатого скота
Аннотация
Натурные эксперименты с человеческими костями затруднены, поэтому многие авторы исследуют механические параметры губчатой кости крупного рогатого скота, которая по своим свойствам близка к кости человека. Известны исследования по оценке эффективного модуля упругости губчатой кости позвонков и других костей коров. Однако ее механические свойства в зависимости от направления нагружения и структурных свойств не изучены. Цель работы состояла в комплексном исследовании механических свойств губчатой кости крупного рогатого скота в зависимости от направления нагружения, объемной минеральной плотности и пористости. Задачами данной работы являлись: разработка требований к размерам образцов при их одноосном сжатии для оценки эффективного модуля упругости в рамках стержневой теории; проведение одноосных механических экспериментов по сжатию образцов костей в трех направлениях; измерение объемной минеральной плотности и пористости образцов; построение регрессионных зависимостей, связывающих механические и структурные свойства губчатой кости. В результате исследования выявлены зависимости, связывающие эффективный модуль упругости с минеральной плотностью, а также пористостью губчатой кости. Была разработана и представлена авторская методика определения пористости губчатой кости. В работе также представлены требования к относительной высоте (отношение высоты к наибольшему размеру поперечного сечения) образцов губчатой кости. Выявлено, что при проведении одноосных экспериментов по сжатию и дальнейшем расчете эффективного модуля упругости по стержневой теории относительная высота образцов должна составлять не менее 5 единиц.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):231-245
231-245
Влияние тепловой нагрузки на конвекцию в системе двух бинарных смесей с фазовым переходом
Аннотация
В работе рассматривается математическая модель конвективного течения в горизонтальном канале с испарением на границе раздела бинарной жидкости и газопаровой смеси, выведенная на основе уравнений Навье – Стокса в приближении Обербека – Буссинеска с учетом эффекта термодиффузии. С помощью построенного точного решения уравнений, описывающих течение, проводится апробация различных типов граничных условий для температуры на стенках канала, внутри которого находится двухслойная система сред с фазовым переходом. В качестве граничных условий может рассматриваться нагрев обеих стенок, теплоизоляция обеих стенок или комбинация этих условий. Учитывается разный характер зависимости (линейная и квадратичная) поверхностного натяжения от концентрации одного из компонентов в жидком слое. Изучено, какие из исследуемых постановок задач имеет смысл обсуждать с точки зрения анализа процесса испарения. На примере рассчитанных характеристик течения в системе «70%-й водный раствор этанола — смесь паров этанола и азота» показано, что построенное решение адекватно отражает основные признаки процесса испарения: связь скорости испарения с тепловой нагрузкой стенки канала и расходом спутного потока газа. Проведено качественное сравнение с имеющимися экспериментальными данными.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):246-258
246-258
Пластическое деформирование биметаллической трубы под действием внутреннего давления
Аннотация
Рассмотрена задача деформирования двухслойной (биметаллической) толстостенной трубы под воздействием внутреннего давления. Выведена зависимость для определения критической нагрузки, при которой впервые зародится область пластического течения либо в начале внутреннего слоя, либо в начале внешнего, в зависимости от физико-геометрических параметров изделия. Выведены соотношения для полуаналитического решения задачи необратимого деформирования двухслойной трубы под воздействием внутреннего давления. Рассмотрен частный случай деформирования биметаллической трубы из стали 09Г2С с внутренним плакирующим слоем из коррозионностойкой стали 13ХФА при различных толщинах последнего. Произведён расчёт задачи автофретирования с целью повышения эксплуатационных свойств изделия. Делаются выводы о выборе оптимальной (в плане прочностных свойств) толщины плакирующего слоя, исходя из физических параметров используемых материалов и геометрических размеров изделия.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):259-270
259-270
Информатика
Структурно-параметрическая идентификация граничных условий в обратных задачах теплопроводности с использованием ансамбля классов корректности
Аннотация
Предложен подход к структурно-параметрической идентификации граничных условий процессов технологической теплофизики на основе решения обратных задач теплопроводности. В условиях априорной неопределенности этап структурной идентификации сводится к генерации альтернатив возможных классов решений, заданных в виде компактных множеств. Производится декомпозиция исходной некорректно поставленной задачи к совокупности условно-корректных задач, учитывающих ограничения на принадлежность решения соответствующим классам. На этапе параметрической идентификации с учетом заданной модельной структуры проводится параметризация идентифицируемой характеристики и соответствующей ей результирующей функции состояния и осуществляется редукция полученных задач к задачам параметрической оптимизации. Их решение реализуется на основе методов оптимального управления системами с распределенными параметрами при оценивании температурной невязки в равномерной метрике. Аналитический метод минимаксной оптимизации, учитывающий альтернансные свойства оптимальных распределений, обеспечивает решение задач математического программирования относительно значений вектора параметров для каждой из сформулированных альтернатив. Выбор адекватной математической модели из всех доступных вариантов осуществляется на базе минимаксного критерия, и ее структура может быть уточнена за счет расширения классов решений. Представленный подход демонстрирует удовлетворительное качество идентификации при типовых режимах работы тепловых установок на множествах достаточно гладких функций с минимально возможным для требуемой точности решения числом параметров. Подход направлен на обеспечение информационной поддержки процесса принятия решения о структуре модельного оператора в обратных задачах теплопроводности. Улучшение качества идентификации при сложных режимах работы оборудования осуществляется за счет генерации гипотез в виде классов корректности, параметризуемых вектором параметров более высокой размерности.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):271-280
271-280
Статистическое моделирование деполяризующих свойств оптически плотных дисперсных систем в режиме малоуглового рассеяния зондирующего излучения
Аннотация
Представлены результаты статистического моделирования эффекта убывания степени поляризации линейно поляризованного лазерного пучка при распространении вперед в многократно рассеивающих ансамблях сферических диэлектрических частиц с различными значениями волнового параметра. Алгоритм моделирования основан на итеративной процедуре трансформации векторов Джонса парциальных составляющих рассеянного светового поля в последовательностях актов рассеяния, реализуемой с использованием метода Монте-Карло. В качестве параметров, характеризующих скорость убывания степени линейной поляризации лазерного излучения, рассмотрены среднее число актов рассеяния, соответствующее убыванию степени поляризации в $e$ раз, и отношение характерной длины поляризации к транспортной длине распространения излучения в ансамбле частиц. Установлено, что максимальное значение длины деполяризации достигается при значениях волнового параметра частиц в окрестностях первого резонанса Ми на зависимости фактора эффективности рассеяния от диаметра частиц. Результаты моделирования сопоставлены с экспериментальными и теоретическими данными, полученными с использованием гибридного подхода в рамках диффузионного приближения теории переноса излучения.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):281-294
281-294
Эвристические методы оптимизации для линейного упорядочивания автоматов
Аннотация
Стремительное развитие общества связано с двумя ключевыми направлениями науки и технологий: методами работы с большими данными (Big Data) и искусственным интеллектом (Artificial Intelligence). Есть распространенное мнение, что до 80% процесса анализа данных — это время, потраченное на их подготовку. Одним из аспектов подготовки данных к анализу является структурирование и приведение в порядок наборов данных, так называемое data tidying. Отношения порядка встречаются повсеместно: мы встречаем их, когда рассматриваем числа, булевы алгебры, разбиения, мультимножества, графы, логические формулы и многие другие математические объекты. С одной стороны, отношения порядка используются для представления данных и знаний, с другой стороны, они служат важными инструментами для описания моделей и методов анализа данных, таких как деревья решений, случайные леса, пространства версий, правила ассоциации и т. д. Поскольку серьезным ограничением многих методов анализа шаблонов является вычислительная сложность, важно иметь эффективный алгоритм упорядочивания данных. В данной работе рассматриваются детерминированные автоматы без выходных сигналов и исследуется задача линейного упорядочения таких автоматов, заключающаяся в построении на множестве состояний автомата данного линейного порядка, который будет согласован с действием каждого входного сигнала автомата. Для решения этой задачи мы рассматриваем эвристические методы глобальной оптимизации: метод имитации отжига и алгоритм пчелиной колонии. Для обоих методов написана программная реализация и проведено тестирование на автоматах специального вида.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(2):295-302
295-302