Existence and uniqueness of solutions to the Goursat–Darboux system with integral boundary conditions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Currently, local boundary value problems for hyperbolic-type differential equations have been studied in considerable details. However, mathematical modeling of various real-world processes leads to nonlocal boundary value problems for nonlinear hyperbolic differential equations, which remain insufficiently investigated. This paper is devoted to a general integral boundary value problem in a characteristic rectangle for hyperbolic equations. Under natural conditions on the input data, we construct the Green’s function and establish uniqueness criteria for the solution. The proofs of the main results demonstrate the essential nature of the imposed conditions: their violation makes it impossible to construct the Green’s function and leads to the loss of required solvability properties. For a special case, by using Banach’s contraction mapping principle, we obtain sufficient conditions for the existence and uniqueness of the boundary value problem solution. A specific example is provided to illustrate the obtained results.

About the authors

Misir J. Mardanov

Institute of Mathematics and Mechanics, Azerbaijan National Academy of Sciences; Baku State University

Author for correspondence.
Email: misirmardanov@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0003-3901-0719
Scopus Author ID: 55646639800
ResearcherId: Q-4480-2016
https://www.mathnet.ru/rus/person21841

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Corresponding Member of ANAS; Director of Institute; Professor; Dept. of Higher Mathematics

Azerbaijan, AZ1141, Baku, Bakhtiyar Vahabzade st., 9; AZ1148, Baku, Z. Khalilov st., 33

Yagub A. Sharifov

Institute of Mathematics and Mechanics; Baku State University; Azerbaijan Technical University

Email: sharifov22@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0001-5273-6384
https://www.mathnet.ru/rus/person76177

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Leading Researcher; Dept. of Optimal Control; Professor; Dept. of Engineering Mathematics and Artificial Intelligence; Professor; Dept. of Applied Mathematics

Azerbaijan, AZ1141, Baku, Bakhtiyar Vahabzade st., 9; AZ1148, Baku, Z. Khalilov st., 33; AZ1073, Baku, Hussein Javid prosp., 25

References

  1. Samarskii A. A. Some problems of the theory of differential equations, Differ. Uravn., 1980, vol. 16, no. 11, pp. 1925–1935 (In Russian).
  2. Nakhushev A. M. Zadachi so smeshcheniem dlia uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Boundary Value Problems with Shift for Partial Differential Equations]. Moscow, Nauka, 2006, 287 pp. (In Russian). EDN: PDBUIH.
  3. Ptashnik B. I. Nekorrektnye granichnye zadachi dlia differentsial’nykh uravnenii s chastnymi proizvodnymi [Ill-Posed Boundary Value Problems for Partial Differential Equations]. Naukova Dumka, Kiev, 1984, 264 pp. (In Russian)
  4. Pul’kina L. S. Zadachi s neklassicheskimi usloviiami dlia giperbolicheskikh uravnenii [Problems with Nonclassical Conditions for Hyperbolic Equations]. Samara University, Samara, 2012, 194 pp. (In Russian)
  5. Byszewski L. Existence and uniqueness of solution of nonlocal problems for hyperbolic equation $u_{xt}=F(x,t,u,u_x)$, J. Appl. Math. Stoch. Anal., 1990, vol. 3, no. 3, pp. 163–168. http://eudml.org/doc/46588.
  6. Zhestkov S. V. The Goursat problem with integral boundary conditions, Ukr. Math. J., 1990, vol. 42, no. 1, pp. 119–122. EDN: XLTFER. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01066375.
  7. Paneah B., Paneah P. Nonlocal problems in the theory of hyperbolic differential equations, Trans. Moscow Math. Soc., 2009, vol. 70, pp. 135–170. DOI: https://doi.org/10.1090/S0077-1554-09-00179-4.
  8. Assanova A. T. Nonlocal problem with integral conditions for a system of hyperbolic equations in characteristic rectangle, Russian Math. (Iz. VUZ), 2017, vol. 61, no. 5, pp. 7–20. EDN: XNIJGX. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X17050024.
  9. Assanova A. T. A generalized integral problem for a system of hyperbolic equations and its applications, Hacet. J. Math. Stat., 2023, vol. 52, no. 6, pp. 1513–1532. EDN: OFOULD. DOI: https://doi.org/10.15672/hujms.1094454.
  10. Bouziani A. Solution forte d’un problème mixte avec conditions non locales pour une classe d’équations hyperboliques, Bulletins de l’Académie Royale de Belgique, 1997, vol. 8, no. 1–6, pp. 53–70. https://www.persee.fr/doc/barb_0001-4141_1997_num_8_1_27797.
  11. Kozhanov A. I., Pul’kina L. S. On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations, Differ. Equ., 2006, vol. 42, no. 9, pp. 1233–1246. EDN: KDUGPW. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266106090023.
  12. Assanova A. T., Dzhumabaev D. S. Well-posedness of nonlocal boundary value problems with integral condition for the system of hyperbolic equations, J. Math. Anal. Appl., 2013, vol. 402, no. 1, pp. 167–178. EDN: XKUPFV. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.01.012.
  13. Assanova A. T. On the solvability of a nonlocal problem for the system of Sobolev-type differential equations with integral condition, Georgian Math. J., 2021, vol. 28, no. 1, pp. 49–57. EDN: QHOEWV. DOI: https://doi.org/10.1515/gmj-2019-2011.254
  14. Assanova A. T. On a nonlocal problem with integral conditions for the system of hyperbolic equations, Differ. Equ., 2018, vol. 54, no. 2, pp. 201–214. EDN: YBZFKX. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118020076.
  15. Golubeva N. D., Pul’kina L. S. A nonlocal problem with integral conditions, Math. Notes, 1996, vol. 59, no. 3, pp. 326–328. EDN: OKGZPD. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02308548.
  16. Pul’kina L. S. The $L_2$ solvability of a nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic equation, Differ. Equ., 2000, vol. 36, no. 2, pp. 316–318. EDN: LFVPFH. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02754219.
  17. Oussaeif T. E., Bouziani A. Solvability of nonlinear Goursat type problem for hyperbolic equation with integral condition, Khayyam J. Math., 2018, vol. 4, no. 2, pp. 198–213. DOI: https://doi.org/10.22034/kjm.2018.65161.
  18. Mardanov M. J., Sharifo Y. A. An optimal control problem for the systems with integral boundary conditions, Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2023, no. 1, pp. 110–123. EDN: PFRKML. DOI: https://doi.org/10.31489/2023M1/110-123.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».