Determination of dynamic modes in a two-mode hereditary dynamo system

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

This study presents a computational analysis of a hereditary dynamical system modeling a two-mode hydromagnetic dynamo with memory. We conduct a numerical investigation of dynamic regimes emerging under variation of the system’s control parameters. The hereditary dynamical system is described by a set of integro-differential equations.
Lyapunov exponent analysis serves as a principal method for examining dynamic regimes. To implement this approach, the integro-differential system was reduced to a system of ordinary differential equations. The paper provides a description of the corresponding class of kernels and the reduction result.
As an alternative approach, we employ the 0-1 test for chaos detection. A comparative analysis between the 0-1 test and Lyapunov exponents for a particular case demonstrates their qualitative agreement. Subsequent investigations are primarily utilized the 0-1 test for analyzing the integro-differential system’s dynamic regimes.
Notably, this method only discriminates between regular (periodic and asymptotically stationary) and chaotic regimes. For finer classification of regular regimes, we propose an auxiliary method based on analyzing the autocorrelation function characteristics of the solution’s time series. Empirical results show that computing the autocorrelation function’s expected value effectively distinguishes periodic/quasi-periodic regimes from asymptotically stationary ones.
Both instantaneous and delayed hereditary feedback cases are examined. Simulation results reveal that the model reproduces various dynamic regimes characteristic of actual cosmic dynamo systems.

About the authors

Evgeny A. Kazakov

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Far East Division, Russian Academy of Sciences

Email: kazakov@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0001-7235-4148
SPIN-code: 3564-6783
Scopus Author ID: 57204824921
https://www.mathnet.ru/rus/person129133

Junior Researcher; Lab. of Electromagnetic Propogation

Russian Federation, 684034, Kamchatkiy kray, Paratunka, Mirnaya str., 7

Gleb M. Vodinchar

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Far East Division, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: vodinchar@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0002-5516-1931
SPIN-code: 2079-6494
Scopus Author ID: 56514066300
ResearcherId: F-4653-2017
https://www.mathnet.ru/rus/person32636

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Lab. Simulation of Physical Processes

Russian Federation, 684034, Kamchatkiy kray, Paratunka, Mirnaya str., 7

References

  1. Zel’dovich Ya. B., Ruzmaikin A. A., Sokolov D. D. Magnitnyye polya v astrofizike [ Magnetic Fields in Astrophysics]. Moscow, Izhevsk, Regular and Chaotic Dynamics, 2006, 436 pp. (In Russian)
  2. Krause F., Rädler K.-H. Mean-Field Magnetohydrodynamics and Dynamo Theory. New York, Pergamon Press, 1980, 271 p. DOI: https://doi.org/10.1016/C2013-0-03269-0.
  3. Merril R. T., McElhinny M. W., McFadden P. L. The Magnetic Field of the Earth: Paleomagnetism, the Core, and the Deep Mantle, International Geophysics, vol. 63. London, Academic Press, 1996, xiv+531 pp.
  4. Brandenburg A. Memory effects in turbulent transport, Astrophys. J, 2009, vol. 706, no. 1, pp. 712–726. DOI: https://doi.org/10.1088/0004-637x/706/1/712.
  5. Hori K., Yoshida S. Non-local memory effects of the electromotive force by fluid motion with helicity and two-dimensional periodicity, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 2008, vol. 102, no. 6, pp. 601–632. DOI: https://doi.org/10.1080/03091920802260466.
  6. Vodinchar G. Hereditary oscillator associated with the model of a large-scale $alphaomega$-dynamo, Mathematics, 2020, vol. 8, no. 11, 2065. DOI: https://doi.org/10.3390/math8112065.
  7. Kazakov E. A. Hereditary low-mode dynamo model, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2021, vol. 35, no. 2, pp. 40–47 (In Russian). EDN: RDPQER. DOI: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2021-35-2-40-47.
  8. Kazakov E. A. Two-mode model of a hydromagnetic dynamo with memory, Comput. Technol., 2022, vol. 27, no. 6, pp. 19–32 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.25743/ICT.2022.27.6.003.
  9. Gottwald G. A., Melbourne I. The 0–1 test for chaos: A review, In: Chaos Detection and Predictability, Lecture Notes in Physics, 915. Berlin, Heidelberg, Springer, pp. 221–247. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-48410-4_7.
  10. Vodinchar G. M., Kazakov E. A. Elimination of the integral term in the equations of one hereditary system related to the hydromagnetic dynamo, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2023, vol. 42, no. 1, pp. 180–190. EDN: BRDBZK. DOI: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-180-190.
  11. Vodinchar G., Kazakov E. The Lorenz system and its generalizations as dynamo models with memory, E3S Web Conf., 2018, vol. 62, 02011. EDN: HUZOAB. DOI: https://doi.org/10.1051/e3sconf/20186202011.
  12. Barbashin E. A. Funktsii Lyapunova [Lyapunov Functions], Physico-Mathematical Heritage: Mathematics (Theory of Differential Equations). Moscow, URSS, 2012, 246 pp. EDN: QKAKBH.
  13. Bathe K.-J., Wilson E. L. Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice-Hall Civil Engineering and Engineering Mechanics Series. Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1976, xv+528 pp.
  14. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M. Lyapunov Characteristic Exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory, Meccanica, 1980, vol. 15, no. 1, pp. 9–20. DOI: https://doi.org/10.1007/bf02128236.
  15. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part II: Numerical application, Meccanica, 1980, vol. 15, no. 1, pp. 21–30. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02128237.
  16. Sergienko A. B. Tsifrovaya obrabotka signalov [Digital Signal Processing]. St. Petersburg, BHV-Petersburg, 2011, 768 pp. (In Russian)
  17. Uchaykin V. V. Metod drobnykh proizvodnykh [The Method of Fractional Derivatives]. Ulyanovsk, Artishok, 2008, 510 pp. (In Russian). EDN: QJVANP.
  18. Parovik R. I. Chaotic regimes of a fractal nonlinear oscillator, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018, vol. 22, no. 2, pp. 364–379 (In Russian). EDN: UXHTLO. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1611.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. (online in color) Map of dynamic regimes for the Lorenz system obtained using Lyapunov exponents: red color — asymptotically stationary regimes; yellow color — periodic regimes; black color — chaotic regimes

Download (49KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. (online in color) Map of dynamic regimes for the Lorenz system obtained using 0–1 test: yellow color — regular regimes (asymptotically stationary and periodic); black color — chaotic regimes

Download (48KB)
Indexing metadata
4. Figure 3. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with exponential kernel $K(t) = e^{-bt}$; the color coding follows Fig. 2

Download (135KB)
Indexing metadata
5. Figure 4. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with power-law kernel $K(t) = (1+t)^{-b}$; the color coding follows Fig. 2

Download (119KB)
Indexing metadata
6. Figure 5. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with delayed-response exponential kernel $K(t) = te^{-bt}$; the color coding follows Fig. 2

Download (221KB)
Indexing metadata
7. Figure 6. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with delayed-response exponential kernel $K(t) = te^{-bt}$; the color coding follows Fig. 2

Download (156KB)
Indexing metadata
8. Figure 7. Autocorrelation functions and time series for various dynamical regimes: (a) asymptotically stationary regime ($D=5$, $b=2.7$); (b) periodic regime ($D=220$, $b=2.7$)

Download (242KB)
Indexing metadata
9. Figure 8. (online in color) Dynamical regime maps of system (1) for different kernels: (a) $K(t) = e^{-bt}$ (exponential without delay); (b) $K(t) = te^{-bt}$ (exponential with delay); (c) $K(t) = (1+t)^{-b}$ (power-law without delay); (d) $K(t) = t(1+t)^{-(b+1)}$ (power-law with delay). The maps were constructed using the 0–1 test and autocorrelation function analysis; color coding follows Fig. 1

Download (640KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».