Резонанс в ограниченных нелинейных системах маятникового типа

Решение нелинейных дифференциальных уравнений с внешними силами имеет важное значение для понимания резонансных явлений в физике колебаний. В статье эта проблема анализируется на примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка маятникового типа, когда нелинейность описывается синусоидальным слагаемым. Построена фазовая плоскость такого осциллятора и изучены ее периодические траектории. Показано, что ограниченная нелинейность играет роль только на промежуточных амплитудах. Возбуждение нелинейного осциллятора осуществляется с помощью ограниченной двухкомпонентной силы; одна из ее компонент соответствует колебанию на резонансной частоте линейного осциллятора, а вторая представляет собой ограниченную функцию с переменной частотой. Показывается, что при соответствующем выборе внешней силы можно получить неограниченное усиление колебаний в осцилляторе маятникового типа с амплитудой, линейно пропорциональной времени. Спектральный состав внешней силы исследуется с помощью оконного преобразования Фурье. Демонстрируется, что для поддержания резонансного режима частота внешней силы должна непрерывно расти. Выполнены энергетические оценки внешней силы и колебаний осциллятора в зависимости от времени. Рассмотренный пример важен для понимания резонансных условий в нелинейных задачах.