Исследование влияния температурных напряжений на собственные колебания пластин

Полный текст

Введение

Одной из причин появления дополнительных погрешностей при проведении измерений выступает температура. Температурное расширение материалов приводит как к изменению самих объектов исследования, так и к изменению компонентов измерительного оборудования. Кроме этого, наличие температурного расширения может приводить к неточности инженерных расчетов, например при оценке собственных колебаний конструкций.

Влияние температуры на частоту собственных колебаний проводилось в [1; 2]. В указанных работах установлено, что с ростом температуры идет уменьшение собственных частот колебаний балок за счет изменения упругих свойств исследуемых объектов, в частности снижения модуля упругости. В работе [3] проведены исследования влияния температуры на колебания шарнирно опертой пластины, а в [4] — влияние температуры на отклик защемленной пластины на динамическое воздействие в зависимости от температуры. Обе работы также указывают на наличие зависимости частоты колебаний пластины от температуры.

С целью изучения влияния температуры на собственные колебания пластин проведены аналитические расчеты и компьютерное моделирование прямоугольных пластин при различных условиях закрепления.

1. Постановка задачи

Дифференциальное уравнение свободных колебаний изотропной пластины постоянной толщины имеет вид [5]:

$D\left(\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}\right)+m_0\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=0$

или

$D\Delta \Delta w+m_0\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=\mathrm{0,}$

где $w$ — прогиб; $m_0$ — масса пластины на единицу площади; $D$ — цилиндрическая жесткость пластины.

$D=\frac{E{h}^3}{12(1-{\mu }^2)},$

где $E$ — модуль упругости; $h$ — толщина пластины; $\mu$ — коэффициент Пуассона.

$m_0=\rho h,$

где $\rho$ — плотность материала пластины.

Решение уравнения должно удовлетворять граничным условиям, зависящим от способа закрепления краев пластины [6; 7]. В настоящей статье рассматривается пластина с защемленными и свободными краями (рис 1.1). Граничные условия на краях $x=a$, $y=b$:

1. Защемленный край. Прогиб и угол поворота равны нулю:

$\left\{\begin{array}{l}w=0;\frac{\partial w}{\partial x}=0приx=a;\\ w=0;\frac{\partial w}{\partial y}=0приy=b.\end{array}\right.$

2. Свободный край. Момент и поперечная сила равны нулю:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\mu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}=0;\frac{{\partial }^{3}w}{\partial x^3}+(2-\mu )\frac{{\partial }^{3}w}{\partial x\partial y^2}=0приx=a;\\ \frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+\mu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=0;\frac{{\partial }^{3}w}{\partial y^3}+(2-\mu )\frac{{\partial }^{3}w}{\partial y\partial x^2}=0приy=b.\end{array}\right.$

 

Рис. 1.1. Схема пластины

Fig. 1.1. Plate diagram

 

Пластины со всеми возможными случаями краевых условий исследованы с помощью метода Релея – Ритца.

Решение для частоты собственных колебаний следующее [8]:

$\omega =k_{mn}^2{\left(\frac{D}{m_0}\right)}^{\frac{1}{2}},$

где

$k_{mn}^2={\pi }^2{\left\{\frac{A_m^4}{a^4}+\frac{A_n^4}{b^4}+\frac{2}{a^2{b}^2}\left[\mu B_m{B}_n+(1-\mu )C_m{C}_n\right]\right\}}^{\frac{1}{2}},$

где $A_m, A_n, B_m, B_n, C_m, C_n$ — коэффициенты, зависящие от условий закрепления и количества узловых точек колебаний $m$ и $n$, включая края пластины; $m$ — количество узловых точек вдоль оси $x$ (вдоль стороны $a$), $n$ — количество узловых точек вдоль оси $y$ (вдоль стороны $b$) (см. рис. 1.1). Значения коэффициентов можно найти в [8; 9].

Повышение температуры приводит к изменению упругих свойств материала. У стали с повышением температуры снижаются модуль упругости и плотность, повышается коэффициент Пуассона. Кроме этого, повышение температуры приводит к температурному расширению материала. В случае наличия ограничения температурного расширения, например при жесткой заделке, появляется противодействующая сила со стороны опоры, которая приводит к появлению напряжений в самом материале.

Если в срединной плоскости пластины действуют продольные усилия $N_{11}, N_{12}, N_{22}$ уравнение колебаний выглядит как [9]:

$D\Delta \Delta w+m_0\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=N_{11}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+2N_{12}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}+N_{22}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}.$

В случае когда усилия $N_{11}, N_{22}$ постоянны, а $N_{12}$ равно нулю, частота свободных колебаний будет иметь вид:

$\omega =k_{mn}^2{\left(\frac{D}{m_0}\right)}^{\frac{1}{2}},$

где

$k_{mn}^2={\pi }^2{\left\{\frac{A_m^4}{a^4}+\frac{A_n^4}{b^4}+\frac{2}{a^2{b}^2}\left[\mu B_m{B}_n+(1-\mu )C_m{C}_n\right]+2(\frac{q_1{C}_m}{a^4}+\frac{q_2{C}_n}{b^4}\right\}}^{\frac{1}{2}},$

где

$q_1=\frac{N_{11}{a}^2}{2\pi D},q_2=\frac{N_{22}{b}^2}{2\pi D}.$

Таким образом, температурные изменения упругих свойств материала и наличие температурных напряжений будут влиять на частоту собственных колебаний пластины.

Расчеты влияния температуры на частоту собственных колебаний проводились на следующем объекте исследования: стальная пластина с геометрическими размерами: $a=200$ мм, $b=200$ мм, $h=2$ мм; упругие свойства материала: $E=200$ ГПа, $\rho =7850$ кг/м, $\mu =0,3$, $\alpha =1,5·{10}^{-5}$ 1/$°$С.

Аналитические решения найдены по вышеприведенным формулам, компьютерное моделирование проводилось методом конечных элементов в программе Ansys.

2. Результаты и обсуждения

1. Колебания пластины, защемленной по всему контуру.

В таблице 2.1 представлены данные аналитического расчета и компьютерного моделирования десяти мод свободных колебаний, а также свободных колебаний при изменении температуры на 10 °С. Погрешность расхождения результатов аналитического расчета и компьютерного моделирования составляет менее 1%.

 

Таблица 2.1

Table 2.1

Мода	Расчетная частота, Гц	Частота модели Ansys, Гц	Расчетное изменение частоты при $∆T=10$ °C, Гц	Изменение частоты модели Ansys при $∆T=10$ °C, Гц	Процент изменения частоты при $∆T=10$ °C, %
2/2	439,48	438,83	353,46	353,81	19,37
3/2	896,99	894,31	801,98	800,25	10,52
3/3	1323,33	1317,60	1223,35	1219,40	7,45
4/2	1611,54	1601,50	1512,97	1502,60	6,18
4/3	2017,62	2006,80	1915,63	1906,10	5,02
5/2	2570,73	2558,80	2469,71	2458,00	3,94
4/4	2686,90	2673,20	2582,96	2570,50	3,84
5/3	2967,51	2940,90	2864,21	2837,90	3,50
5/4	3618,41	3595,20	3513,39	3491,20	2,89
5/5	4530,89	4498,90	4424,79	4393,80	2,34

 

При условии жесткого закрепления пластины по всему контуру изменение температуры на 10 °С, приводит к появлению в пластине напряжения $\sigma =33,6$ МПа, что, в свою очередь, ведет к возникновению сжимающих продольных сил $N_{11}$, $N_{22}$. Наличие сжимающих сил уменьшает частоту собственных колебаний, что хорошо видно по результатам аналитического расчета и моделирования.

На рис. 2.1 построен график зависимости изменения частоты от моды колебания. По графику можно сделать вывод, что сильнее всего меняются низшие частоты.

 

Рис. 2.1. График изменения мод при изменении температуры на 10 °С

Fig. 2.1. Graph of the mode change when the temperature changes by 10 °С

 

Дальнейшее повышение температуры приводит к исчезновению низших частот, а также к изменению форм колебаний. Результаты отображены на рис. 2.2 и 2.3.

 

Рис. 2.2. Графики изменения частот мод колебаний с повышением температуры

Fig. 2.2. Graphs of frequency changes of oscillation modes with increasing temperature

 

Рис. 2.3. Изменение формы колебаний моды 5/2 с повышением температуры

Fig. 2.3. Changing the shape of the oscillation of the 5/2 mode with increasing temperature

 

2. Колебания пластины с защемленными противоположными краями (защемление по стороне $b$).

В таблице 2.2 отражены данные аналитического расчета и компьютерного моделирования двадцати первых мод свободных колебаний, а также свободных колебаний при изменении температуры на 10°С.

 

Таблица 2.2

Table 2.2

Мода	Расчетная частота, Гц	Частота модели Ansys, Гц	Расчетное изменение частоты при $∆T=10$ °C, Гц	Изменение частоты модели Ansys при $∆T=10$ °C, Гц	Процент изменения частоты при $∆T=10$ °C, %
2/0	272,26	270,32	215,11	215,65	20,22
2/1	323,65	321,42	277,31	279,77	12,96
2/2	536,69	529,29	510,09	499,69	5,59
3/0	750,27	745,35	677,46	676,15	9,28
3/1	822,93	817,45	757,14	758,49	7,21
2/3	982,30	968,00	968,02	946,96	2,17
3/2	1076,47	1063,80	1027,05	1012,70	4,80
4/0	1470,54	1461,60	1392,41	1387,90	5,04
3/3	1532,84	1508,40	1498,54	1466,80	2,76
4/1	1551,90	1540,70	1478,08	1474,50	4,30
2/4	1679,74	1659,00	1671,43	1641,80	1,04
4/2	1832,78	1812,70	1770,71	1751,00	3,40
3/4	2215,52	2181,40	2191,94	2146,50	1,60
4/3	2314,77	2279,60	2265,94	2225,60	2,37
5/0	2430,89	2415,10	2349,73	2338,60	3,17
5/1	2517,11	2496,50	2438,82	2426,20	2,82
2/5	2626,26	2597,20	2620,95	2582,20	0,58
5/2	2816,127	2784,9	2746,373	2716,70	2,45
4/4	3003,621	2959,8	2966,154	2913,10	1,58
3/5	3143,754	3095,8	3127,175	3064,70	1,00

 

На рис. 2.4 точками показаны степени изменения мод при изменении температуры на 10 °С. По представленным данным видно, что изменение частоты идет неравномерно и зависит от порядкового номера моды. Кроме этого, замечено, что, поскольку одни моды с ростом температуры убывают быстрее других, при достижении определенных температур порядковые номера мод меняются.

 

Рис. 2.4. Изменения мод при изменении температуры на 10 °С

Fig. 2.4. Mode changes when the temperature changes by 10 °C

 

Выдвинуто предположение о том, что данное неравномерное распределение зависимости частоты от температуры от номера моды обусловлено неравномерным распределением напряжений по осям пластины. Моды, имеющие форму колебаний преимущественно по оси напряжения (вдоль оси $x$), претерпевают большее изменение.

Для каждой моды вычислена скорость изменения в определенном диапазоне начальных и конечных значений в выделенной области температур. Далее проведен кластерный анализ методом -средних, в результате которого было определено три кластера (рис. 2.5).

 

Рис. 2.5. Результаты кластерного анализа: 1 — кластер 1; 2 — кластер 2; 3 — кластер 3

Fig. 2.5. Results of cluster analysis: 1 — cluster 1; 2 — cluster 2; 3 — cluster 3

 

Разложение форм колебаний согласно кластерному анализу (рис. 2.6) подтвердило выдвинутую гипотезу.

 

Рис. 2.6. Результаты кластерного анализа: сверху — кластер 1; в середине — кластер 2; снизу — кластер 3

Fig. 2.6. Results of cluster analysis: above is cluster 1; in the middle is cluster 2; below is cluster 3

 

3. Колебания пластины, защемленной по одной стороне.

При защемлении пластины по одной стороне вследствие отсутствия ограничений теплового расширения и температурных напряжений на изменение частоты оказывает влияние только изменение упругих свойств материала. Изменение частоты при изменении температуры на 10°С составляет менее 1 %.

Заключение

В результате проведенного математического и компьютерного моделирования установлено, что изменение температуры приводит к изменению частоты собственных колебаний.

Ограничение теплового расширения объекта ведет к возникновению внутренних напряжений, что, в свою очередь, оказывает сильное влияние на частоту собственных колебаний.

Наибольшее изменение претерпевают низшие частоты, которые пропадают с ростом температуры. Помимо изменения частот собственных колебаний, также меняются и формы колебаний.

При неравномерном распределении внутренних напряжений скорость изменения частоты зависит от порядкового номера моды колебаний.

Об авторах

Антон Владимирович Суслов

Самарский государственный технический университет

Email: a.v.suslov@inbox.ru
ORCID iD: 0009-0004-1076-1257

старший преподаватель кафедры информационно-измерительной техники

Россия, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Екатерина Евгеньевна Ярославкина

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: yaroslavkina7@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7633-2154

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой информационно-измерительной техники

Россия, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы