Generalized solution of the initial-boundary-value problem for the wave equation with a mixed derivative and a general potential

Full Text

1. Постановка задачи, история вопроса, определения и вспомогательные результаты. Рассмотрим начально-граничную задачу

$\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}+p_1\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x\partial t}+p_2\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1.1)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (1.2)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1.3)

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; $p_1\mathrm{,}{p}_2\in ℝ$, все функции, входящие в (1.1)$–$(1.3), комплекснозначные.

Рассматривается случай волнового или гиперболического уравнения (1.1), т.е. выполняется условие

$p_1^2-4p_2\mathrm{<mo>></mo>0.}$

В этом случае корни ${\omega }_1$, ${\omega }_2$ характеристического уравнения

${\omega }^2+p_1\omega +p_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$

вещественны и различны.

Требуется найти решение начально-граничной задачи (1.1)$–$(1.3) в области $Q$ при как можно более слабых условиях на параметры задачи, т.е. на функции $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Уравнение (1.1) является уравнением поперечных колебаний продольно движущейся конечной струны. Такие уравнения актуальны для производственных процессов, связанных с продольным движением материалов (например, бумажного полотна). Исследование таких колебаний началось около 60 лет назад (см. [50–52]).

Излагаемые в данной статье результаты получены с использованием резольвентного и аксиоматического методов решения начально-граничных задач для волнового уравнения в полуполосе плоскости, предложенных А. П. Хромовым и наиболее просто описанных в [38, 39]. Такой подход к решению задачи сформировался не сразу. Историю формирования и развития этого подхода, а также полученные с помощью него результаты можно найти в [1, 2, 4–7, 9, 28–35, 40–48]. Этот подход использует идеи А. Н. Крылова [8] об ускорении сходимости тригонометрического ряда, а также идеи Л. Эйлера [49] о расходящихся рядах.

Аналогичный подход решения начально-граничных задач в полуполосе плоскости для телеграфного уравнения при других краевых условиях используется в [10–14].

Другой подход, отличный от используемого в данной и вышеупомянутых статьях и при других постановках начально-граничных задач, в частности, в первой четверти плоскости, получил развитие в [15–20].

Рассматриваются и другие задачи для уравнения (1.1), например, задача гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны [21, 22].

В зависимости от того, как будет пониматься решение задачи (1.1)$–$(1.3), накладываются различные требования на функции $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Далее будем говорить, что функция $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ переменных $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q$ есть функция класса $\mathcal{Q}$, если $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при любом $T\mathrm{<mo>></mo>0}$, где $Q_T\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, и будем кратко писать $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$.

Определение 1.1. Классическим решением задачи (1.1)$–$(1.3) называется функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ переменных $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q$, которая

(a) непрерывна вместе с частными производными $\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial x$ и $\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial t$, при этом $\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial x$ и $\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial t$ абсолютно непрерывны и по $x$, и по $t$, и почти всюду (п.в.) в $Q$ выполняется равенство

$\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t\partial x}\mathrm{<mo>;</mo>}$ (1.4)

(b) удовлетворяет условиям (1.2)$–$(1.3) на границе множества $Q$ и уравнению (1.1) п.в. в $Q$.

Отметим, что необходимость в условии (1.4) обусловлена тем, что в случае, когда ${\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial x\partial t$ и ${\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial t\partial x$ не являются непрерывными функциями, это равенство может не выполняться на множестве положительной меры (см. [36]).

Определение 1.2. Задачу (1.1)$–$(1.3), в которой ищется классическое решение, будем называть классической начально-граничной задачей.

Для классической задачи (1.1)$–$(1.3) по необходимости должны выполняться следующие условия (условия ( $N$ )):

(N₁) гладкость: $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ абсолютно непрерывны, функция $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ класса $\mathcal{Q}$;

(N₂) согласование: $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Если условия ( $N$ ) не выполняются, то речь о классическом решении уже не может идти. Возникает вопрос, как понимать эту задачу и ее решение.

Определение 1.3. Задачу (1.1)$–$(1.3), в которой $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$, а $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, будем называть обобщённой начально-граничной задачей.

Определение обобщённого решения задачи (1.1)$–$(1.3) будет дано далее в разделе 0.2.

Обобщённая начально-граничная задача (1.1)$–$(1.3) является одним из наиболее сильных обобщений классической начально-граничной задачи. Внешний вид ее такой же, как и у классической задачи, но смысл совсем другой. В случае, когда $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$, задача (1.1)$–$(1.3) понимается чисто формально, так как ни о каком удовлетворении решения уравнению (1.1), граничным условиям (1.2) и начальным условиям (1.3) речь уже не может идти.

С задачей (1.1)$–$(1.3) тесно связана спектральная задача

$L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (1.5)

порожденная оператор-функцией $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определяемой следующим дифференциальным выражением с параметром $\lambda$:

$\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{y^{\prime }}^{\prime }+\lambda p_1{y}^{\prime }+{\lambda }^2{p}_{2}y$ (1.6)

и краевыми условиями типа Дирихле:

$U_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{U}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ (1.7)

Пусть $R_{\lambda }$ $—$ резольвента оператор-функции $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ её функция Грина. Обозначим через $R_{1\lambda }$ интегральный оператор с ядром $G_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В качестве фундаментальной системы решений уравнения $\mathcal{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ рассмотрим систему решений

$y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{e}^{\lambda {\omega }_{1}x}\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{e}^{\lambda {\omega }_{2}x}\mathrm{.}$

Тогда характеристический определитель $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. [23] имеет вид

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left|\begin{array}{cc}{U}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& U_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ U_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& U_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ e^{\lambda {\omega }_1}& e^{\lambda {\omega }_2}\end{array}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\lambda {\omega }_2}-e^{\lambda {\omega }_1}\mathrm{<mo>;</mo>}$ (1.8)

его корни, очевидно, равны

${\lambda }_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2k\pi i}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\dots \mathrm{.}$ (1.9)

и ${\lambda }_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Эти числа, кроме точки ${\lambda }_0$, являются простыми собственными значениями $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Число ${\lambda }_0$, как легко проверить, не является собственным значением.

Обозначим через ${\gamma }_k$ окружности $\mathrm{<mo>\{</mo>}\lambda \mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}\lambda -{\lambda }_k\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}\delta \mathrm{<mo>\}</mo>}$, где $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$ настолько мало, что внутри ${\gamma }_k$ находится по одному собственному значению.

Возможны только две принципиально разные ситуации:

${\omega }_1\mathrm{<mo><</mo>0<mo><</mo>}{\omega }_2\mathrm{,}$ (1.10)

$\mathrm{0<mo><</mo>}{\omega }_1\mathrm{<mo><</mo>}{\omega }_2\mathrm{.}$ (1.11)

В случае (1.10) соответствующая спектральная задача (1.5) является регулярной по Биркгофу (см. [23, с. 66–67]), а в случае (1.11) $—$ нерегулярной. Далее будем рассматривать только случай (1.10). Нерегулярный случай рассмотрен, в частности, в [25, 26].

2. Определение обобщённого решения и формула для него. Для того, чтобы дать определение обобщенного решения задачи (1.1)$–$(1.3), сформулируем теорему о единственности классического решения и представлении решения в виде ряда (см. [27]).

Теорема 2.1. Если $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ классическое решение задачи (1.1)$–$(1.3), выполняются условия $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, (1.10) и дополнительное условие: $u_{tt}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$, то это решение единственно и находится по формуле

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle \sum _k}{\displaystyle \underset{{\gamma }_k}{\int }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-p_1{e}^{\lambda t}{R}_{1\lambda }\phi +p_2{e}^{\lambda t}\lambda R_{\lambda }\phi +p_2{e}^{\lambda t}{R}_{\lambda }\psi +{\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{R}_{\lambda }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\lambda \mathrm{,}$ (2.1)

в которой ряд справа сходится абсолютно и равномерно по $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при любом фиксированном $t\mathrm{<mo>></mo>0}$.

Так как ряд справа в формуле (2.1) сходится абсолютно и равномерно по $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то этот ряд равен сумме рядов, соответствующих каждому слагаемому суммы, стоящей во внутренних круглых скобках. Ряды в формуле (2.1), соответствующие первому и второму слагаемым, обозначим $u_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u_{12}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно. Пусть $u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_{12}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Этот ряд соответствует задаче (1.1)$–$(1.3), в которой $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$. Ряд, соответствующий третьему слагаемому во внутренних скобках формулы (2.1), обозначим $u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Этот ряд соответствует задаче (1.1)$–$(1.3), в которой $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$. Ряд в формуле (2.1), соответствующий четвертому слагаемому, обозначим $u_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Этот ряд соответствует задаче (1.1)$–$(1.3), в которой $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$. Следовательно, классическое решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно представить в виде

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2.2)

Из теоремы 2.1 следует, что задача (1.1)$–$(1.3) и ряд справа в (2.1) тесно связаны, а именно, если эта задача имеет классическое решение, то для него справедлива формула (2.1). При этом функции $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ должны удовлетворять условиям ( $N$ ). Следуя методу, используемому в [38, 39], расширим понятие этой связи.

Ряд справа в (2.1) имеет смысл для любых функций $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$, хотя теперь он может и не быть сходящимся, т.е., вообще говоря, расходящийся. Будем считать, что он является формальным решением задачи (1.1)$–$(1.3), но понимаемой теперь чисто формально. Эта задача (1.1)$–$(1.3) в случае $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$ и $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, в определении 1.3 была названа обобщенной начально-граничной задачей. Введём понятие обобщенного решения задачи (1.1)$–$(1.3).

Определение 2.1. В случае $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$ и $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ будем называть ряд справа в (2.1) обобщённым решением задачи (1.1)$–$(1.3).

Найти обобщенное решение задачи (1.1)$–$(1.3) $—$ значит найти <<сумму>> ряда справа в (2.1) (слово «сумма» в кавычках означает, что это сумма понимается именно как сумма расходящегося ряда).

Трактуя ряд справа в формуле (2.1) изначально как расходящийся и соответствующим образом определяя (или, другими словами, назначая) <<сумму>> этого ряда можно, как и в [38, 39], значительно сократить выкладки при получении конечных формул для обобщенного решения и при этом не накладывать никаких дополнительных ограничений на $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, предполагая лишь, что $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$.

Понятия, касающиеся расходящихся рядов, а именно, как понимать их суммы (можно их определять по-разному), каким естественным свойствам эти суммы должны удовлетворять, чтобы с их помощью можно было получать <<правильные>> результаты, как использовать расходящиеся ряды в математике и приложениях, а также другие связанные с этим явлением понятия активно обсуждали еще во времена Эйлера (см. [49]), который является основоположником теории суммирования таких рядов. Сведения об этом можно найти в [37].

Для получения конечных формул для обобщённого решения важнейшую роль играют введенные в [37, с. 19] естественные аксиомы для преобразования расходящихся рядов:

(A) ${\displaystyle \sum }{a}_n\mathrm{<mo>=</mo>}s$ $\Rightarrow$ ${\displaystyle \sum }k{a}_n\mathrm{<mo>=</mo>}ks$;

(B) ${\displaystyle \sum }{a}_n\mathrm{<mo>=</mo>}s$, ${\displaystyle \sum }{b}_n\mathrm{<mo>=</mo>}t$ $\Rightarrow$ ${\displaystyle \sum }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_n+b_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}s+t$;

(C) ${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{a}_n\mathrm{<mo>=</mo>}s$ $\Rightarrow$ ${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{a}_n\mathrm{<mo>=</mo>}s-a_0$.

В [33] показано, что с использовнаием этих аксиом ряд справа в (2.1) сводится к сумме конечного числа рядов вида

${\displaystyle \sum _k}{a}_k{e}^{2k\pi ix}\mathrm{,}\text{где}{a}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-2k\pi i\xi }d\xi \mathrm{,}$ (2.3)

а функция $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ выражается по простым формулам через функции $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и суммируема в том и только в том случае, когда суммируемы функция $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$.

Таким образом, чтобы найти формулу для обобщённого решения, необходимо определить <<сумму>> ряда (2.3). Наиважнейшую роль в этом играет [24, теорема 3] об интегрировании тригонометрического ряда. Эта теорема потребуется далее в следующей формулировке.

Теорема 2.2. Пусть на промежутке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ задана суммируемая функция $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеющая ряд (2.3) своим рядом Фурье. Если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то

${\displaystyle {\int }_A^B}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _k}{\displaystyle {\int }_A^B}{a}_k{e}^{2k\pi ix}dx\mathrm{.}$

После формулировки этой теоремы в [24, c. 277] отмечено: «Иначе говоря, ряд Фурье суммируемой функции можно почленно интегрировать. Этот факт весьма замечателен, поскольку сам этот ряд может и не сходиться».

По сути эта теорема разрешает для тригонометрического ряда переставлять суммирование и интегрирование, даже если ряд расходится. Ввиду этого, в [38, 39] было предложено дополнить сформулированные выше три аксиомы для расходящихся рядов еще одной аксиомой:

(D) ${\displaystyle \int }{\displaystyle \sum }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum }{\displaystyle \int }$, где ${\displaystyle \int }$ $—$ определенный интеграл.

Используя теорему 2.2 (или иначе аксиому (D)), можно определить <<сумму>> расходящегося ряда (2.3). Справедливо следующее простое утверждение, полученное в [38, 39].

Теорема 2.3. Если (2.3) $—$ ряд Фурье функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и его сумма есть функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то п.в. на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Как указано в [37, с. 6-7], расходящиеся ряды не имеют суммы в обычном смысле (по Коши, как предела его частичных сумм), однако можно дать новое определение <<суммы>> ряда (иными словами, назначить <<сумму>>), применимое как ко всем сходящимся рядам, так и к некоторым расходящимся рядам. При этом от определения нужно требовать, чтобы для сходящихся рядов новая <<сумма>> совпадала с обычной (по Коши), т.е. определение <<суммы>> должно быть регулярным.

Из теоремы 2.3 следует, что функцию $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно назначить <<суммой>> ряда (2.3), которая очевидно является регулярной. Таким образом, можно дать следующее определение.

Определение 2.2. Если (2.3) $—$ ряд Фурье функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то эту функцию будем называть <<суммой>> ряда (2.3).

Это вполне согласуется с идеей Л. Эйлера (см. [49, с. 101]), что <<сумма>> некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого вытекает этот ряд.

На основании аксиом (A), (B) получаем, что для обобщенного решения (2.1) справедливо представление (2.2). Более того, для каждого ряда в сумме справа в (2.2) можно найти его <<сумму>> и, тем самым, получить конечную формулу для обобщённого решения (2.1).

Приведем конечную формулу для обобщённого решения задачи (1.1)$–$(1.3), полученную в [33, 34], которая потребуется в дальнейшем изложении. Чтобы сформулировать этот результат, введем необходимые обозначения:

$\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}$ (2.4)

$a\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{{\omega }_2}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{,}\alpha \equiv \alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{t+{\omega }_{2}x}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{,}\beta \equiv \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{t+{\omega }_{1}x}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{,}$

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & {\omega }_2\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\xi }{a}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & \xi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & {\omega }_1\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1-\xi }{1-a}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & \xi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\hfill \end{array}\right.\tilde{\Psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\xi }{a}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & \xi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1-\xi }{1-a}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & \xi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\hfill \end{array}\right.$ (2.5)

$v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\omega }_1{\omega }_2\tilde{\Psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$ (2.6)

здесь $\mathrm{<mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>\}</mo>}$ обозначает дробную часть числа $x\in ℝ$.

Теперь можно сформулировать теорему о конечной формуле для обобщённого решения задачи (1.1)$–$(1.3). Формула для решения дана в удобном для дальнейшего применения виде.

Теорема 2.4. Пусть $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$ и пусть выполняется условие (1.10). Тогда для обобщённого решения $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (1.1)$–$(1.3) имеет место следующая формула для п.в. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q$:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}$ (2.7)

где

$\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo>\{</mo>}s\mathrm{<mo>\}</mo>}}{a}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-\mathrm{<mo>\{</mo>}s\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\mathrm{<mo>\{</mo>}s\mathrm{<mo>\}</mo>}}{1-a}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}s\mathrm{<mo>\}</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (2.8)

является непрерывной кусочно линейной функцией при $s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. рис. 1) и удовлетворяет неравенству

$0\le \eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 1.$ (9)

Рис. 1. Функция $\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3. Обобщённыe решения в случае ненулевого потенциала. В данном разделе будут рассмотрены две начально-граничные задачи с потенциалом $q$. Первая задача с потенциалом $q\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет вид

$\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}+p_1\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x\partial t}+p_2\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.1)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (3.2)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.3)

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; $p_1\mathrm{,}{p}_2\in ℝ$; функции, входящие в (3.1)$–$(3.3), комплекснозначные, $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$, а вторая задача с потенциалом $q\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет вид

$\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}+p_1\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x\partial t}+p_2\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.4)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (3.5)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.6)

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; $p_1\mathrm{,}{p}_2\in ℝ$; функции, входящие в (3.4)$–$(3.6), комплекснозначные, $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$ и $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$.

Как понимается обобщённое решение задач (3.1)$–$(3.3) и (3.4)$–$(3.6), будет пояснено далее.

3.1. Обобщённое решение в случае потенциала $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В этом разделе будем рассматривать начально-граничную задачу (3.1)$–$(3.3). Применим к решению задачи подход, предложенный для потенциала $q\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в [5, 38, 39] (в случае $p_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$ ), и обобщённый затем в [31, 33]] (в случае $p_1\ne 0$ ). Так же, как и в [5, 31, 33, 38, 39], будем считать правую часть $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в уравнении (3.1) как возмущение в уравнении (1.1) задачи (1.1)$–$(1.3). Тогда по теореме 2.4 от задачи (3.1)$–$(3.3) приходим к интегральному уравнению:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$ (3.7)

Отметим, что такой подход к построению обобщённого решения задачи (3.1)$–$(3.3) при наших предположениях относительно исходных данных задачи, состоящий в сведении задачи (3.1)$–$(3.3) к интегральному уравнению типа (3.7) и затем решения этого уравнения методом последовательных подстановок, был впервые использован в [5].

Таким образом, задача (3.1)$–$(3.3) и интегральное уравнение (3.7) тесно связаны. Но в интегральном уравнении (3.7) функции $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ могут быть самого общего вида. А именно, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ может быть функцией класса $\mathcal{Q}$, что верно при самых общих предположениях $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, и функция $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ также может быть самого общего вида, т.е. $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, но при условии, что произведение $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$. Естественно дать следующее определение.

Определение 3.1. Будем называть решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ интегрального уравнения (3.7), в котором $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, но при этом $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{Q}$, обобщённым решением начально-граничной задачи (3.1)$–$(3.3), а саму задачу (3.1)$–$(3.3) $—$ обобщённой начально-граничной задачей.

Решим уравнение (3.7). Для этого введем оператор

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{B}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}$ (3.8)

отображающий свою область определения $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Очевидно оператор $\mathcal{B}$ есть линейный оператор. Сужение этого оператора на пространство $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем обозначать $B$. С использованием этого оператора уравнение (3.7) кратко можно записать в виде

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{B}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.9)

Лемма 3.1. Оператор $B$ является линейным ограниченным оператором из $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и при $n\ge 1$ имеют место оценки

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}^{n}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{t\parallel q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n\frac{1}{n\mathrm{<mo>!</mo>}}\forall \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T\mathrm{<mo>;</mo>}$ (3.10)

$\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}^{n}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{T\parallel q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n\frac{1}{n\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{,}$ (3.11)

где ${\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\min \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}{\omega }_1\mathrm{<mo>|</mo>,}{\omega }_2\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

Доказательство. Линейность оператора $B$ очевидна. Далее, если $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то из формулы для оператора $\mathcal{B}$ и его сужения на $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непосредственно следует, что функция $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Bf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ также непрерывна.

Неравенства (3.11) являются прямым следствием неравенств (3.10). Поэтому, достаточно установить лишь неравенства (3.10). Воспользуемся принципом математической индукции.

При $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$ из определения оператора $B$ будем иметь

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Bf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{{\omega }_2+\mathrm{<mo>|</mo>}{\omega }_1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \mathrm{<mo>|</mo>}{\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Учитывая неравенства (9) для функции $\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и определение ${\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, далее получим при $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T$ 

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Bf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \le \parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{t\parallel q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{1}{\mathrm{1<mo>!</mo>}}\mathrm{.}$

Это и есть оценка (3.10) при $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$, из которой непосредственно вытекает оценка (3.11) при $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$, а это означает, что оператор $B$ является ограниченным в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Предположим, что оценка (3.10) выполняется при некотором $n\in \mathbb{N}$. Покажем, что она выполянется и при $n+1$. В самом деле, справедливы соотношения

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}^{n+1}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}^{n}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }_2+\mathrm{<mo>|</mo>}{\omega }_1}\mathrm{<mo>|</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}^{n}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>|</mo>}\le \frac{1}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}^{n}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \le$

$\le \frac{1}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\parallel q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\frac{{\tau }^n}{n\mathrm{<mo>!</mo>}}d\tau {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{t\parallel q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{2{\omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+1}\frac{1}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>;</mo>}$

это и есть оценка (3.10) в случае $n+1$. Тем самым, оценка (3.10), а следовательно, и оценка (3.11), установлены для всех $n\ge 1$. Лемма доказана.

Лемма 3.2. Если $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то и $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и выполняется оценка

$\parallel \zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le C_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}x{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+\parallel \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.12)

где постоянная $C_T$ не зависит от $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. На основании формулы (2.6) имеет место оценка

$\parallel \zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le \frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+\parallel \tilde{\Psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.13)

Далее, из определений (2.5) функции $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функции $\tilde{\Psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получаем соотношения

$\parallel \widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}{{\omega }_2-{\omega }_1}\parallel \phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{,}\parallel \tilde{\Psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel \Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le \parallel \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$ (3.14)

Из (3.13)$–$(3.14) тогда следует утверждение леммы (3.13). Тем самым лемма 3.2 установлена.

Введем теперь пока чисто формально функцию

$w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{B}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.15)

Ввиду специальной структуры этой функции справедлива следующая лемма.

Лемма 3.3. Если $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является функцией из пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при любом $T\mathrm{<mo>></mo>0}$ и выполняется оценка

$\parallel w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le C_T\parallel q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+\parallel \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.16)

где постоянная $C_T$ не зависит от $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Из леммы 3.2 в случае, если $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, следует, что $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Далее, с учетом формулы (2.6) для $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно получить следующее представление для $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.17)

Проведем дальнейшие рассуждения только для $K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, так как для $K_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ рассуждения аналогичны. Итак, докажем непрерывность функции

$K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi$ (3.18)

в области $Q_T$. Так как $\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ непрерывная функция (теорема 2.4), а $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ линейные функции своих аргументов, то область интегрирования $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в интеграле (3.18) является измеримым множеством при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T$ и ее мера Лебега есть непрерывная функция по $x$ и $t$. Таким образом, в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега (см. [3, теорема 5, с. 301]), чтобы доказать непрерывность функции $K_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, достаточно установить суммируемость функции $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $Q_T$.

Лемма 3.4. Функция $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть измеримая функция в $Q_T$.

Доказательство. Обозначим $\stackrel{⌣}{\zeta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}s\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $s\in ℝ$. Тогда

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \stackrel{⌣}{\zeta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T$, то

$0\le \alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \frac{\tau +{\omega }_2\xi }{{\omega }_2-{\omega }_1}\le \frac{T+{\omega }_2}{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{<mo>=</mo><mo>:</mo>}{b}_T\mathrm{.}$

Поскольку из определения (2.6) видно, что $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ измеримая функция на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (ввиду измеримости функций $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\tilde{\Psi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ), то и функция $\stackrel{⌣}{\zeta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ также будет измеримой функцией на любом конечном отрезке, в частности на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{b}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Это следует из того, что $\stackrel{⌣}{\zeta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть $1$ -периодическая функция на всей вещественной оси и на каждом промежутке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}k\mathrm{,}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in \mathbb{Z}$, совпадает с измеримой функцией $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, по определению измеримой по Лебегу функции измеримыми будут линейные (или, что то же самое, одномерные) множества

$Y_{Tc}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{b}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}\stackrel{⌣}{\zeta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}c\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (3.19)

при любом $c\mathrm{<mo>></mo>0}$. Зафиксируем $T$ и $c$ и для краткости обозначим $Y\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{Y}_{Tc}$. Таким образом, для доказательства измеримости по Лебегу в $Q_T$ функции двух переменных $\stackrel{⌣}{\zeta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ нужно доказать измеримость по Лебегу плоского (или, что то же самое, двумерного) множества

$\mathcal{Y}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\mathcal{Y}}_{Tc}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T\mathrm{<mo>|</mo>}\stackrel{⌣}{\zeta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\tau +{\omega }_2\xi }{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}c\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

С учетом (3.19) это множество можно представить в виде

$\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T\mathrm{<mo>|</mo>}\frac{\tau +{\omega }_2\xi }{{\omega }_2-{\omega }_1}\mathrm{<mo>=</mo>}s\mathrm{,}s\in Y\mathrm{<mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T\mathrm{<mo>|</mo>}\tau +{\omega }_2\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{⌣}{s}\mathrm{,}\stackrel{⌣}{s}\in \stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }_2-{\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Y\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Ясно, что множество $\stackrel{⌣}{Y}\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T+{\omega }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ есть измеримое линейное множество, так как измеримо множество $Y$.

Докажем прежде измеримость не множества $\mathcal{Y}$, а множества

$\stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\stackrel{⌣}{Q}}_T\mathrm{<mo>|</mo>}\tau +{\omega }_2\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{⌣}{s}\mathrm{,}\stackrel{⌣}{s}\in \stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>\}</mo>,}$

где множество ${\stackrel{⌣}{Q}}_T$ $—$ параллелограмм $OABC$ на рис. 2. На этом же рисунке изображено множество $Q_T$ $—$ прямоугольник $OMBN$.

Рис. 2. Множества $Q_T$ и ${\stackrel{⌣}{Q}}_T$.

По определению измеримого по Лебегу линейного множества (см. [24, c. 68]) и определения внутренней меры ${\mu }_{\mathrm{1<mo>*</mo>}}$, внешней меры ${\mu }_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ и просто линейной меры Лебега ${\mu }_1$ (см. [24, c. 65]) справедливы соотношения

$\underset{F\subset \stackrel{⌣}{Y}}{{\displaystyle \sup }}{\mu }_{1}F\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{\mathrm{1<mo>*</mo>}}\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{G\supset \stackrel{⌣}{Y}}{{\displaystyle \inf }}{\mu }_{1}G\mathrm{,}$ (3.20)

где $\inf$ берется по всевозможным замкнутым ограниченным множествам $F$, а $\inf$ $—$ по всевозможным открытым ограниченным множествам $G$. Следовательно, существуют такие последовательность закнутых множеств

$F_1\subset F_2\subset \dots \subset F_n\subset \dots \subset \stackrel{⌣}{Y}$

и последовательность открытых множеств

$G_1\supset G_2\supset \dots \supset G_n\supset \dots \supset \stackrel{⌣}{Y}$

что

$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_1{F}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_1{G}_n\mathrm{.}$ (3.21)

Введем множества

${\mathcal{F}}_n\xi \mathrm{,}\tau \in {\stackrel{⌣}{Q}}_T\tau +{\omega }_2\xi \stackrel{⌣}{s}\mathrm{,}\stackrel{⌣}{s}\in F_n$

${\mathcal{G}}_n\xi \mathrm{,}\tau \in {\stackrel{⌣}{Q}}_T\tau +{\omega }_2\xi \stackrel{⌣}{s}\mathrm{,}\stackrel{⌣}{s}\in G_n$

которые являются соответственно замкнутыми и открытыми и для которых справедливы вложения

${\stackrel{⌣}{\mathcal{F}}}_1\subset {\stackrel{⌣}{\mathcal{F}}}_2\subset \dots \subset {\stackrel{⌣}{\mathcal{F}}}_n\subset \dots \subset \stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}\mathrm{,}{\stackrel{⌣}{\mathcal{G}}}_1\supset {\stackrel{⌣}{\mathcal{G}}}_2\supset \dots \supset {\stackrel{⌣}{\mathcal{G}}}_n\supset \dots \supset \stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}\mathrm{.}$

Ясно (см. рис. 2), что наряду с точкой $\stackrel{⌣}{s}\in \stackrel{⌣}{Y}\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T+{\omega }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ плоскому множеству $\stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}$ принадлежит и весь отрезок $DE$ прямой $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}-{\omega }_2\xi +\stackrel{⌣}{s}$, для точек которого $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\stackrel{⌣}{Q}}_T$. Аналогично обстоит дело и для плоских множеств ${\mathcal{F}}_n$ и ${\mathcal{G}}_n$, определяемых линейными множествами $F_n$ и $G_n$ соответственно.

Учитывая формулу для подсчета площади параллелограмма и тот факт, что по построению замкнутые множества ${\mathcal{F}}_n$ и открытые множества ${\mathcal{G}}_n$ суть объединения некоторого количества замкнутых и открытых параллелограммов, имеющих единичные высоты, получим

${\mu }_2{\mathcal{F}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1{F}_n\cdot \mathrm{1<mo>=</mo>}{\mu }_1{F}_n\mathrm{,}{\mu }_2{\mathcal{G}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1{G}_n\cdot \mathrm{1<mo>=</mo>}{\mu }_1{G}_n\mathrm{,}$

где ${\mu }_2$ обозначает плоскую меру Лебега. Следовательно,

$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_2{\mathcal{F}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_1{F}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{,}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_2{\mathcal{G}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_1{G}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{.}$

Но тогда

${\mu }_1\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_2{\mathcal{F}}_n\le \underset{\mathcal{F}\subset \stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}}{{\displaystyle \sup }}{\mu }_2\mathcal{F}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{\mathrm{2<mo>*</mo>}}\stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}\le {\mu }_2^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\mathcal{G}\supset \stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}}{{\displaystyle \inf }}{\mu }_2\mathcal{G}\le \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\mu }_2{\stackrel{⌣}{\mathcal{G}}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_1\stackrel{⌣}{Y}\mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно, $\stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}$ есть измеримое по Лебегу плоское множество.

Измеримость множества $\mathcal{Y}$ является следствием того, что $\mathcal{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\stackrel{⌣}{\mathcal{Y}}\cap Q_T$, т.е. является пересечением измеримых множеств (см. [3, с. 257]). Итак, измеримость функции $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $Q_T$ установлена и лемма 3.4 доказана.

Если $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ измерима в $Q_T$, то произведение $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ также измеримая функция в $Q_T$ как произведение измеримых функций (см. [3, с.~283]).