Generalized solution of the Hamilton-Jacobi equation with a three-component Hamiltonian
- Authors: Shagalova L.G.1
-
Affiliations:
- Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН
- Issue: Vol 217 (2022)
- Pages: 63-72
- Section: Статьи
- URL: https://journal-vniispk.ru/2782-4438/article/view/270717
- DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-217-63-72
- ID: 270717
Cite item
Full Text
Abstract
On a bounded time interval, we consider the Cauchy problem for the of evolutionary Hamilton-Jacobi equation in the case where the dimension of the phase variable is equal to one.
The Hamiltonian depends on the phase and momentum variables and the dependence on the momentum variable is exponential. The domain in which the equation is considered is divided into three subdomains. Inside each of the three subdomains, the Hamiltonian is continuous, while at the boundaries of these subdomains it is discontinuous with respect to the phase variable. Based on the minimax/viscosity approach, we introduce the notion of a continuous generalized solution of the problem and prove its existence. The generalized solution is unique if the problem is considered in a domain bounded with respect to the phase variable.
About the authors
L. G. Shagalova
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН
Author for correspondence.
Email: shag@imm.uran.ru
Russian Federation, Екатеринбург
References
- Кружков С. Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независимыми переменными, I// Мат. сб. — 1966. — 70 (112), № 3. — С. 394-415.
- Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.
- Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1961.
- Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона—Якоби. — М.: Наука, 1991.
- Субботина Н. Н., Шагалова Л. Г. О решении задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби с фазовыми ограничениями// Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН. — 2011. — 17, № 2. — С. 191-208.
- Субботина Н. Н., Шагалова Л. Г. О непрерывном продолжении обобщенного решения уравнения Гамильтона—Якоби характеристиками, образующими центральное поле экстремалей// Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН. — 2015. — 21, № 2. — С. 220-235.
- Шагалова Л. Г. Непрерывное обобщенное решение уравнения Гамильтона—Якоби с некоэрцитивным гамильтонианом// Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз. — 2020. — 186. — С. 144-151.
- Capuzzo-Dolcetta I., Lions P.-L. Hamilton-Jacobi equations with state constraints// Trans. Am. Math. Soc. — 1990. — 318, № 2. — P. 643-683.
- Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations// Trans. Am. Math. Soc. — 1983. — 377, № 1. — P. 1-42.
- Mirica §. Generalized solutions by Cauchy’s method of characteristics// Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. — 1987. — 77. — P. 317-350.
- Saakian D. B., Rozanova O., Akmetzhanov A. Dynamics of the Eigen and Crow-Kimura models for molecular evolution// Phys. Rev. E. — 2008. — 78, № 4. — 041908.
- Subbotin A. I. Generalized Solutions of First-Order Partial Differential Equations. The Dynamical Optimization Perspective. — Boston: Birkhauser, 1995.
- Subbotina N. N. The method of characteristics for Hamilton-Jacobi equation and its applications in dynamical optimization// Mod. Math. Appl. — 2004. — 20. — P. 2955-3091.
- Yokoyama E., Giga Y., Rybka P. A microscopic time scale approximation to the behavior of the local slope on the faceted surface under a nonuniformity in supersaturation// Phys. D. — 2008. — 237. — P. 2845-2855.
Supplementary files
