Splitting transformation for a linear nonstationary singularly perturbed system with constant delay in the equation for the slow variable

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A method of splitting with respect to rates in change of variables is developed for a linear nonstationary singularly perturbed system with constant delay in the equation for slow variables. The splitting method is based on an algebraic approach, namely, the immersion of the system with delay into a family of systems with an extended state space, and a nonlocal change of variables. The existence is proved and the asymptotics of the Lyapunov transformation is constructed, which generalizes the splitting Chang transformation to systems with delay and performs a complete splitting of a two-rate system with constant delay into two independent subsystems of lower dimensions than the original system: separately for the fast and slow variables. We prove that the split system is algebraically and asymptotically equivalent to the original system in the extended state space. The asymptotics is constructed and the action of asymptotic approximations of the splitting transform is examined.

About the authors

Olga Borisovna Tsekhan

Yanka Kupala State University of Grodno

Author for correspondence.
Email: tsekhan@grsu.by
Belarus, Grodno

References

  1. Абгарян К. А. Расщепление сингулярно возмущенной многотемповой системы// Изв. АН АрмССРю— 1979. — 14, № 5. — С. 327–337.
  2. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. — Минск: Университетское, 1988.
  3. Астровский А. И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем. — Минск: МИУ, 2007.
  4. Астровский А. И., Гайшун И. В. Равномерная и аппроксимативная наблюдаемость линейных нестационарных систем// Автомат. телемех. — 1998. — № 7. — С. 3–13.
  5. Астровский А. И., Гайшун И. В. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений. — Минск: Беларуская навука, 2013.
  6. Астровский А. И., Гайшун И. В. Оценивание состояний линейных нестационарных систем наблюдения// Диффер. уравн. — 2019. — 55, № 3. — С. 370–379.
  7. Барабанов Е. А. Кинематическое подобие линейных дифференциальных систем с параметром-множителем при производной// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 2014. — № 30. — С. 42-–63.
  8. Богданов Ю. С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах// Диффер. уравн. — 1965. — 1, № 6. — С. 707–716.
  9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике//в кн.: Тр. Междунар. симп. по нелин. колеб.. — Киев: Изд-во АН УССР, 1963. — 1. — С. 93–154.
  10. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.
  11. Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления//Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. — 1982. — 20. — С. 3–77.
  12. Воропаева Н. В., Соболев В. А. Декомпозиция линейно-квадратичной задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными// Автомат. телемех. — 2006. — № 8. — С. 3—11.
  13. Воропаева Н. В., Соболев В. А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. —М.: Физматлит, 2009.
  14. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. — Минск: Ин-т мат. НАН Беларуси, 1999.
  15. Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления// Автомат. телемех.— 2006. — № 1. — С. 3–51.
  16. Калинин А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. — Минск: Экоперспектива, 2000.
  17. Калман П., Фалб М., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
  18. КирилловаФ.М., МарченкоВ.М.Функциональные преобразования и некоторые канонические фор-мы в линейных системах с запаздыванием. — Минск: Изд-во Ин-та математики АН БСССР, 1978.
  19. Копейкина Т. Б. Об управляемости линейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием//Диффер. уравн. — 1989. — 25, № 9. — С. 1508–1518.
  20. Курина Г. А. О поведении множеств достижимости линейных матрично сингулярно возмущенных систем// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 1995. — 211. — С. 316–325.
  21. Курина Г. А. О расщеплении линейных систем, не разрешенных относительно производной// Изв. вузов. Мат. — 1992. — № 4. — С. 26–33.
  22. Курина Г. А., Калашникова М. А. Сингулярно возмущенные задачи с разнотемповыми быстрыми переменными// Автомат. телемех. — 2022. — № 11. — С. 3–61.
  23. Мазаник С. А. Преобразования Ляпунова линейных дифференциальных систем. — Минск: БГУ, 2008.
  24. МарченкоВ.М.Преобразования систем с запаздывающим аргументом// Диффер. уравн. — 1977. —12, № 10. — С. 1882–1884.
  25. МарченкоВ.М.,ЛуазоЖ.-Ж.Реализация динамических систем в шкалах систем с последействием: I.Реализуемость// Диффер. уравн. — 2006. — 42, № 11. — С. 1515–1523.
  26. Осипова О. В., Черевко I. М. Асимптотична декомпозицiя лiнiйних сингулярно збурених систем//Буковин. мат. ж. — 2013. — 1, № 3-4. — С. 114–118.
  27. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. — М.: Физматлит, 2019.
  28. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Метод декомпозиции в задачах управления манипуляционными роботами// Мат. XVI Междунар. науч. конф. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого). — М.: Ин-т пробл. управл. им. В. А. Трапезникова РАН, 2022. — С. 410–413.
  29. Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. — М.: Наука, 1988.
  30. Хартовский В. Е. Управление линейными системами нейтрального типа: качественный анализ и реализация обратных связей. — Гродно, 2022.
  31. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984.
  32. Цехан О. Б. Расщепляющее преобразование для линейной стационарной сингулярно возмущенной системы с запаздыванием и его применение к анализу и управлению спектром// Весн. Гродз. дзярж. ун-та iмя Янкi Купалы. Сер. 2. Мат. Фiз. Iнфарм. Вылiч. тэхн. кiраванне. — 2017. — 7, № 1. — С. 50–61.
  33. Цехан О. Б. Достаточные условия спектральной управляемости на основе декомпозиции линейной стационарной сингулярно возмущенной системы с запаздыванием// Весн. Гродз. дзярж. ун-та iмя Янкi Купалы. Сер. 2. Мат. Фiз. Iнфарм. Вылiч. тэхн. кiраванне. — 2017. — 7, № 3. — С. 51–65.
  34. Цехан О. Б. Декомпозиция сингулярно возмущенной функционально-дифференциальной системы на основе невырожденного преобразования// Итоги науки техн. Сер. Совр. мат. прилож. Темат. обз. —2021. — 190. — С. 130–143.
  35. Цехан О. Б. Асимптотическая аппроксимация решения одной линейной нестационарной сингулярно возмущенной системы с постоянным запаздыванием// Весн. Гродз. дзярж. ун-та iмя Янкi Купалы. Сер. 2. Мат. Фiз. Iнфарм. Вылiч. тэхн. кiраванне. — 2024. — 14, № 1. — С. 37–47.
  36. Abed E. Decomposition and stability for multiparameter singular perturbation problems// IEEE Trans. Automat. Control. — 1986. — 31, № 10. — P. 925–934.
  37. Califano C., Moog C. H. Canonical forms of time-delay systems// Proc. 51st IEEE Conference on Decision and Control (CDC) (December 10-13, 2012, Maui, Hawaii, USA), 2012. — P. 3862–3867.
  38. Chang K. Singular perturbations of a general boundary value problem// SIAM J. Math. Anal. — 1972. —3, № 3. — P. 520–526.
  39. Cherevko I. M., Osypova O. Asymptotic decomposition of linear singularly perturbed multiscale systems//Miskolc Math. Notes. — 2015. — 16, № 2. — P. 729–745.
  40. Fridman E. Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control. — Cham: Birkhäuser, 2014.
  41. Fridman E. Decoupling transformation of singularly-perturbed systems with small delays and its applications// Z. Angew. Math. Mech. Berlin — 1996. — 76. — P. 201–204.
  42. Fridman E. Exact slow-fast decomposition of the nonlinear singularly perturbed optimal control problem//Systems Control Lett. — 2000. — 40. — P. 121–131.
  43. Gajic Z., Shen X. Parallel Algorithms for Optimal Control of Large Scale Linear Systems. — London: Springer, 1993.
  44. Glizer V. Y. Stabilizability conditions for one class of linear singularly perturbed differential-difference systems// Proc. 2019 IEEE 15th Int. Conf. on Control and Automation (ICCA) (July 16-19, 2019, Edinburgh, Scotland), 2019. — P. 1167–1172.
  45. Glizer V. Y. Controllability of Singularly Perturbed Linear Time Delay Systems. — Cham: Birkhäuser, 2021.
  46. Glizer V. Y., Feigin Y., Fridman E., Margaliot M. A new approach to exact slow-fast decomposition of singularly perturbed linear systems with small delays// Proc. 53rd IEEE Conf. on Decision and Control (December 15-17, 2014, Los Angeles, California, USA), 2014. — P. 451–456.
  47. Glizer V. Y., Fridman E., Feigin Y. A Novel approach to exact slow-fast decomposition of linear singularly perturbed systems with small delays// SIAM J. Control Optim. — 2017. — 55, № 1. — P. 236–274.
  48. Kokotovic P. V., Khalil H. K., O’Reilly J. Singular Perturbations Methods in Control: Analysis and Design.— New York: Academic Press, 1999.
  49. Kurina G. A., Dmitriev M. G., Naidu Desineni S. Discrete singularly perturbed control problems (a sur-vey)// Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B. Appl. Algorithms. — 2017. — 24. — P. 335–370.
  50. Ladde G. S., Siljak D. D. Multiparameter singular perturbations of linear systems with multiple time scales// Automatica. — 1983. — 19, № 4. — P. 385–394.
  51. Magalhaes L. T. Invariant manifolds for singularly perturbed linear functional differential equations// J. Dif-fer. Equations. — 1984. — 54, № 3. — P. 310–345.
  52. Mitropol’skii Yu. A. , Fodchuk V. I. Klevchuk I. I. Integral manifolds, stability, and bifurcation of solutions of singularly perturbed functional-differential equations// Ukr. Mat. Zh. — 1986. — 38, № 3. — P. 335–340.
  53. Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview// Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B. Appl. Algorithms. — 2002. — № 9. — P. 233-278.
  54. Naligama C. A., Tsekhan O. B. Decoupling of three-time-scale linear time-invariant singularly perturbed control systems with state delay based on a nondegenerate transformation// Vesn. Yanka Kupala State Univ. Grodno. Ser. 2. Math. Phys. Inform. Comput. Technol. Control. — 2021. — 11, № 3. — P. 27–36.
  55. Pawluszewicz E., Tsekhan O. Stability and stabilisability of the singularly perturbed system with delay on time scales: a decomposition approach// Int. J. Control. — 2021. — 95, № 9. — P. 2406–2419.
  56. Pekar L., Gao Q. Spectrum analysis of LTI continuous-time systems with constant delays: A literature overview of some recent results// IEEE Acc. — 2018. — 6, № 1. — P. 35457–35491.
  57. Perestyuk M. O., Cherevko I. M. Decomposition of linear singularly perturbed functional differential equa-tions// Nonlin. Oscil. — 2001. — 4, № 3. — P. 345–353.
  58. Perestyuk N., Cherevko I. M. Investigation of the integral manifolds of singularly perturbed functional differential equations// Miskolc Math. Notes. — 2002. — 3, № 1. — P. 47–58.
  59. Phillips R. G. The equivalence of time-scale decomposition techniques used in the analysis and design of linear systems// Int. J. Control. — 1983. — 37, № 6. — P. 1239–1257.
  60. Prljaca N., Gajic Z. General transformation for block diagonalization of multitime-scale singularly perturbed linear systems// IEEE Trans. Automat. Control. — 2008. — 53, № 5. — P. 1303–1305.
  61. Sobolev V. A. Integral manifolds, stability and decomposition of singularly perturbed systems in Banach space// Acta Sci. Math. — 1987. — 51, № 3-4. — P. 491-500.
  62. Shimjith S. R., Tiwari A. P., Bandyopadhyay B. Modeling and Control of a Large Nuclear Reactor: A three-time-scale Approach. — Berlin: Springer, 2013.
  63. StryginV.V., Sharuda D.V.Asymptotic expansion of a solution of stiff systems of delay differential equations// IFAC Proc. Vol. — 2000. — 33, № 23. — P. 287–289.
  64. Tsekhan O. B. Complete controllability conditions for linear singularly perturbed time-invariant systems with multiple delays via Chang-type transformation// Axioms. — 2019. — 8. — P. 1–19. — 71.
  65. Tsekhan O., Pawluszewicz E. Slow-fast decomposition of singularly perturbed system with delay on time scales// Proc. ICCC’2019 20th Int. Carpath. Control Conf. (May 26–29, 2019, Krakow-Wieliczka), 2019. — P. 1–5.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Цехан О.B.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».