New formula for the angular velocity of rotation of liquid equilibrium figures

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The aim of the work is to derive a new dynamic formula for the angular velocity of rotation of equilibrium figures of a gravitating fluid with a polytropic equation of state. In this formula, the angular velocity of rotation depends not only on the polytropic index 0 ≤ n ≤ 5, but, and this is the main thing, on the components of the internal and external gravitational energy of the figure. When solving the problem, the integration constant in the full potential was expressed through three global characteristics: mass, full gravitational energy and rotation energy of the equilibrium figure. The validity of the new formula was confirmed by the limiting transition at n = 0 to classical homogeneous Maclaurin spheroids and Jacobi ellipsoids. The results of the work expand the scope of application of the theory of equilibrium figures.

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Теория фигур равновесия гравитирующей вращающейся жидкости глубоко разработана во многих аспектах и имеет много приложений в астрономии, физике и астрофизике, см. обзор Тодхантера [1], книги Аппеля [2] и Чандрасекара [3]. На практике теорию фигур равновесия применяют не только к планетам и спутникам, см., например, Пицетти [4], Мюррей и Дермотт [5], но и к вращающимся звездам (см. монографии Тассуля [6] и Кокса [7]), а также к звездным системам и к галактикам (см., например, Огородников [8], Binney и Tremaine [9], Кондратьев [10]).

Для любой фигуры равновесия надо знать, прежде всего, угловую скорость вращения; именно эта характеристика задает форму и динамику тела, а также определяет всю последовательность фигур равновесия. В аналитическом виде угловая скорость известна только для классических однородных сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби. Для сфероидов Маклорена с полуосями a 1 a 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadggapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaaapaqabaGcpeGaeyyzImRaamyya8aadaWgaaWcbaWdbiaaioda a8aabeaaaaa@3703@  и плотностью ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeg8aYbaa@32EB@  квадрат нормализованной угловой скорости равен (см., например, [2, 3, 10]):

Ω 2 2πGρ = A 1 1 e 2 A 3 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaKqzagGaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaK qzagGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaaGOmaiabec8aWjaadEeacqaHbpGC aaGaeyypa0JaamyqaOWaaSbaaSqaaKqzafGaaGymaaWcbeaajugGbi abgkHiTOWaaeWaaeaajugGbiaaigdacqGHsislcaWGLbGcdaahaaWc beqaaKqzagGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaaKqzagGaamyqaOWaaS baaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaajugGbiaacYcaaaa@4CCB@  (1)

где коэффициенты A i MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadgeapaWaaSbaaSqaa8qaca WGPbaapaqabaaaaa@3339@  внутреннего потенциала однородного сжатого сфероида зависят от его эксцентриситета e= 1 a 3 2 a 1 2 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadwgacqGH9aqpdaGcaaWdae aapeGaaGymaiabgkHiTmaalaaapaqaa8qacaWGHbWdamaaDaaaleaa peGaaG4maaWdaeaapeGaaGOmaaaaaOWdaeaapeGaamyya8aadaqhaa WcbaWdbiaaigdaa8aabaWdbiaaikdaaaaaaaqabaGccqGHKjYOcaaI Xaaaaa@3D56@  и равны

A 1 = 1 e 2 e 3 arcsine 1 e 2 e 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadgeapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaaapaqabaGcpeGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbmaakaaapaqaa8qa caaIXaGaeyOeI0Iaamyza8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIYaaaaaqaba aak8aabaWdbiaadwgapaWaaWbaaSqabeaapeGaaG4maaaaaaGcciGG HbGaaiOCaiaacogacaGGZbGaaiyAaiaac6gacaWGLbGaeyOeI0YaaS aaa8aabaWdbiaaigdacqGHsislcaWGLbWdamaaCaaaleqabaWdbiaa ikdaaaaak8aabaWdbiaadwgapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaa aaaa@4799@ ;

A 3 = 2 e 2 2 1 e 2 e 3 arcsine MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadgeapaWaaSbaaSqaa8qaca aIZaaapaqabaGcpeGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaikdaa8aabaWd biaadwgapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGHsislcaaIYa WaaSaaa8aabaWdbmaakaaapaqaa8qacaaIXaGaeyOeI0Iaamyza8aa daahaaWcbeqaa8qacaaIYaaaaaqabaaak8aabaWdbiaadwgapaWaaW baaSqabeaapeGaaG4maaaaaaGcciGGHbGaaiOCaiaacogacaGGZbGa aiyAaiaac6gacaWGLbaaaa@4579@ . (2)

Что касается трехосных эллипсоидов Якоби, то здесь ситуация несколько сложнее. Во-первых, для них вместо (1) имеем выражение для квадрата угловой скорости

Ω 2 2πGρ = A 1 e 12 2 A 2 e 12 2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaKqzagGaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaK qzagGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaaGOmaiabec8aWjaadEeacqaHbpGC aaGaeyypa0JcdaWcaaqaaKqzagGaamyqaOWaaSbaaSqaaKqzafGaaG ymaaWcbeaajugGbiabgkHiTiaadwgakmaaDaaaleaajugqbiaaigda caaIYaaaleaajugGbiaaikdaaaGaamyqaOWaaSbaaSqaaKqzafGaaG OmaaWcbeaaaOqaaKqzagGaamyzaOWaa0baaSqaaKqzafGaaGymaiaa ikdaaSqaaKqzagGaaGOmaaaaaaGaaiilaaaa@4FE8@  (3)

где e 12 = 1 a 2 2 a 1 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadwgapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiabg2da9maakaaapaqaa8qacaaIXaGa eyOeI0YaaSaaa8aabaWdbiaadggapaWaa0baaSqaa8qacaaIYaaapa qaa8qacaaIYaaaaaGcpaqaa8qacaWGHbWdamaaDaaaleaapeGaaGym aaWdaeaapeGaaGOmaaaaaaaabeaaaaa@3CC6@  и e 13 = 1 a 3 2 a 1 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadwgapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaGaaG4maaWdaeqaaOWdbiabg2da9maakaaapaqaa8qacaaIXaGa eyOeI0YaaSaaa8aabaWdbiaadggapaWaa0baaSqaa8qacaaIZaaapa qaa8qacaaIYaaaaaGcpaqaa8qacaWGHbWdamaaDaaaleaapeGaaGym aaWdaeaapeGaaGOmaaaaaaaabeaaaaa@3CC8@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  эксцентриситеты сечений эллипсоида с полуосями a 1 a 2 > a 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadggapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaaapaqabaGcpeGaeyyzImRaamyya8aadaWgaaWcbaWdbiaaikda a8aabeaak8qacqGH+aGpcaWGHbWdamaaBaaaleaapeGaaG4maaWdae qaaOWdbiaac6caaaa@3AED@  Во-вторых, для эллипсоидов Якоби есть добавочное соотношение

a 1 2 a 2 2 A 2 A 1 a 1 2 a 2 2 = A 3 a 3 2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadggakmaaDaaaleaajugqbiaaigdaaS qaaKqzagGaaGOmaaaacaWGHbGcdaqhaaWcbaqcLbuacaaIYaaaleaa jugGbiaaikdaaaGcdaWcaaqaaKqzagGaamyqaOWaaSbaaSqaaKqzaf GaaGOmaaWcbeaajugGbiabgkHiTiaadgeakmaaBaaaleaajugqbiaa igdaaSqabaaakeaajugGbiaadggakmaaDaaaleaajugqbiaaigdaaS qaaKqzagGaaGOmaaaacqGHsislcaWGHbGcdaqhaaWcbaqcLbuacaaI YaaaleaajugGbiaaikdaaaaaaiabg2da9iaadgeakmaaBaaaleaaju gqbiaaiodaaSqabaqcLbyacaWGHbGcdaqhaaWcbaqcLbuacaaIZaaa leaajugGbiaaikdaaaGccaGGSaaaaa@55FE@  (4)

в неявном виде связывающее e 12 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadwgapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaGaaGOmaaWdaeqaaaaa@33E6@  и e 13 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadwgapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaGaaG4maaWdaeqaaOWdbiaac6caaaa@34B3@  Сами коэффициенты A i MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadgeapaWaaSbaaSqaa8qaca WGPbaapaqabaaaaa@3339@  для трехосного эллипсоида сложным образом (через стандартные неполные эллиптические интегралы Лежандра) зависят от отношений полуосей (см., например, [3, 10]).

Согласно формулам (1) и (3), угловая скорость вращения определяется геометрической формой фигуры равновесия. И хотя эта связь не всегда однозначная (так, для сфероидов Маклорена в интервале 0 Ω 2 2πGρ <0.224665 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaaicdacqGHKjYOdaWcaaWdae aapeGaeuyQdC1damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaak8aabaWdbiaa ikdacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdihaaiabgYda8iaaicdacaGGUaGaaG OmaiaaikdacaaI0aGaaGOnaiaaiAdacaaI1aaaaa@4272@  для каждого значения Ω 2 2πGρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaalaaapaqaa8qacqqHPoWvpa WaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaOWdaeaapeGaaGOmaiabec8aWjaa dEeacqaHbpGCaaaaaa@391E@  существуют два сфероида разной сплюснутости), именно знание угловой скорости и позволило ввести понятие последовательности фигур равновесия. К сожалению, для подавляющего большинства других фигур равновесия, например, для неэллипсоидальных фигур, открытых Пуанкаре и Ляпуновым (см. [2, 13, 10]), аналогичных формул для угловой скорости не существует. По этой причине, для каждой неэллипсоидальной серии фигур равновесия приходится подбирать свой главный параметр.

В данной работе получена новая формула для угловой скорости неоднородных фигур равновесия вращающейся жидкой массы с политропным уравнением состояния. Важной особенностью этой формулы является то, что угловая скорость выражается через компоненты внутренней и внешней гравитационной энергии фигуры, введенные ранее в монографии [10]. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напомним определение понятий внутренней и внешней частей гравитационной энергии тела. В разделе 3 изложен метод вывода новой формулы для угловой скорости на примере однородных фигур равновесия. Здесь в 3.1. дана постановка задачи и получена сама формула для угловой скорости вращения. В 3.2. установлена адекватность данной формулы и показано, что она дает правильные значения угловой скорости для классических фигур равновесия однородных сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби. В разделах 4 и 5 дано решение основной задачи для неоднородных тел и получено выражение для угловой скорости фигур равновесия с политропным уравнением состояния. В разделе 4.1. получено выражение уровенной поверхности. В разделе 4.2. решена оригинальная вспомогательная задача и постоянная интегрирования уравнений равновесия выражена через три глобальные характеристики фигуры равновесия. В разделе 5 подробно излагается метод получения выражения угловой скорости для политропных фигур равновесия.

2. КОМПОНЕНТЫ ВНУТРЕННЕЙ И ВНЕШНЕЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛА

По определению (см. [3, 10]), ньютоновская (потенциальная) энергия гравитирующей массы объемом V, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadAfacaGGSaaaaa@32B6@  распределением плотности ρ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeg8aYnaabmaapaqaa8qaca WG4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@3590@  и внутренним потенциалом φ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeA8aQnaabmaapaqaa8qaca WG4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@358D@  равна

W t = 1 2 V ρφ dV. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadEfakmaaBaaaleaaruavP1wzZbItLD his9wBH5gaiqaajugGbiaa=rhaaSqabaqcLbyacqGH9aqpcqGHsisl kmaalaaabaqcLbyacaaIXaaakeaajugGbiaaikdaaaGcdaWdrbqaaK qzagGaeqyWdiNaaGPaVlabeA8aQbWcbaqcLbyacaWGwbaaleqajugG biabgUIiYdGaaGPaVlaadsgacaWGwbGaaiOlaaaa@4FE3@  (5)

Это выражение после замены под знаком интеграла плотности ρ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeg8aYnaabmaapaqaa8qaca WG4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@3590@  с помощью уравнения Пуассона

Δ Δφ=4πGρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaaKt5acqaHgpGAcqGH9aqpcq GHsislcaaI0aGaeqiWdaNaam4raiabeg8aYbaa@3B5F@  (6)

и применения второй формулы Грина приводится к сумме двух членов

W t = 1 8πG V gradφ 2 dV+ 1 8πG S φ φ n dS, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadEfakmaaBaaaleaaruavP1wzZbItLD his9wBH5gaiqaajugGbiaa=rhaaSqabaqcLbyacqGH9aqpcqGHsisl kmaalaaabaqcLbyacaaIXaaakeaajugGbiaaiIdacqaHapaCcaWGhb aaaOWaa8quaeaadaqadaqaaKqzagGaa83zaiaa=jhacaWFHbGaa8hz aiabeA8aQbGccaGLOaGaayzkaaaaleaajugqbiaadAfaaSqabKqzag Gaey4kIipakmaaCaaaleqabaqcLbyacaaIYaaaaiaadsgacaWGwbGa ey4kaSIcdaWcaaqaaKqzagGaaGymaaGcbaqcLbyacaaI4aGaeqiWda Naam4raaaakmaapufabaqcLbyacqaHgpGAkmaalaaabaqcLbyacqGH ciITcqaHgpGAaOqaaKqzagGaeyOaIylcemGaa4NBaaaacaaMc8oale aajugqbiaadofaaSqabKqzagGaeSyeUhTaey4kIipacaWGKbGaam4u aiaacYcaaaa@7008@  (7)

где n есть внутренняя нормаль к поверхности S. Если распространить интегрирование в (7) на все пространство, второй член исчезнет, и мы приходим к формуле Дирихле

W t = 1 8πG V φ x 1 2 + φ x 2 2 + φ x 3 2 dV. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadEfakmaaBaaaleaaruavP1wzZbItLD his9wBH5gaiqaajugGbiaa=rhaaSqabaqcLbyacqGH9aqpcqGHsisl kmaalaaabaqcLbyacaaIXaaakeaajugGbiaaiIdacqaHapaCcaWGhb aaaOWaa8quaeaadaqadaqaamaabmaabaWaaSaaaeaajugGbiabgkGi 2kabeA8aQbGcbaqcLbyacqGHciITcaWG4bGcdaWgaaWcbaqcLbuaca aIXaaaleqaaaaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaqcLbyacaaI YaaaaiabgUcaROWaaeWaaeaadaWcaaqaaKqzagGaeyOaIyRaeqOXdO gakeaajugGbiabgkGi2kaadIhakmaaBaaaleaajugqbiaaikdaaSqa baaaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaajugGbiaaikdaaaGaey 4kaSIcdaqadaqaamaalaaabaqcLbyacqGHciITcqaHgpGAaOqaaKqz agGaeyOaIyRaamiEaOWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaaaaaaki aawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaa wMcaaaWcbaqcLbuacaWGwbaaleqajugGbiabgUIiYdGaaGPaVlaads gacaWGwbGaaiOlaaaa@7565@ .(8)

Возвращаясь к выражению (7) заметим, что с физической точки зрения первый член здесь

W in = 1 8πG V gradφ 2 dV MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadEfakmaaBaaaleaajugGbiGacMgaca GGUbaaleqaaKqzagGaeyypa0JaeyOeI0IcdaWcaaqaaKqzagGaaGym aaGcbaqcLbyacaaI4aGaeqiWdaNaam4raaaakmaapefabaWaaeWaae aaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqaajugGbiaa=DgacaWFYbGaa8xy aiaa=rgacqaHgpGAaOGaayjkaiaawMcaaaWcbaqcLbuacaWGwbaale qajugGbiabgUIiYdGcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaacaWGKbGa amOvaaaa@54AD@  (9)

можно рассматривать (см. Кондратьев [10, 11]) как «внутреннюю» часть гравитационной энергии тела. Тогда второй член

W out = 1 8πG R E V gradφ 2 dV= 1 8πG S φ φ n dS MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadEfakmaaBaaaleaaruavP1wzZbItLD his9wBH5gaiqaajugqbiaa=9gacaWF1bGaa8hDaaWcbeaajugGbiab g2da9iabgkHiTOWaaSaaaeaajugGbiaaigdaaOqaaKqzagGaaGioai abec8aWjaadEeaaaGcdaWdrbqaamaabmaabaqcLbyacaWFNbGaa8NC aiaa=fgacaWFKbGaeqOXdOgakiaawIcacaGLPaaaaSqaaKqzafGaam OuaOWaaSbaaWqaaKqzafGaamyraaadbeaajugqbiabgkHiTiaadAfa aSqabKqzagGaey4kIipakmaaCaaaleqabaqcLbyacaaIYaaaaiaads gacaWGwbGaeyypa0JcdaWcaaqaaKqzagGaaGymaaGcbaqcLbyacaaI 4aGaeqiWdaNaam4raaaakmaapufabaqcLbyacqaHgpGAkmaalaaaba qcLbyacqGHciITcqaHgpGAaOqaaKqzagGaeyOaIylcemGaa4NBaaaa caaMc8oaleaajugqbiaadofaaSqabKqzagGaeSyeUhTaey4kIipaca WGKbGaam4uaaaa@7551@  (10)

будет представлять «внешнюю» гравитационную энергию тела. Полная гравитационная энергия тела есть сумма его внутренней и внешней частей

W t = W in + W out = 1 2 V ρφ dV. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadEfakmaaBaaaleaaruavP1wzZbItLD his9wBH5gaiqaajugqbiaa=rhaaSqabaqcLbyacqGH9aqpcaWGxbGc daWgaaWcbaqcLbuaciGGPbGaaiOBaaWcbeaajugGbiabgUcaRiaadE fakmaaBaaaleaajugqbiaa=9gacaWF1bGaa8hDaaWcbeaajugGbiab g2da9iabgkHiTOWaaSaaaeaajugGbiaaigdaaOqaaKqzagGaaGOmaa aakmaapefabaqcLbyacqaHbpGCcaaMc8UaeqOXdOgaleaajugqbiaa dAfaaSqabKqzagGaey4kIipacaaMc8UaamizaiaadAfacaGGUaaaaa@5B7D@  (11)

Введение понятий внутренней и внешней частей гравитационной энергии тела оказывается полезным в задачах при расчете работы по заполнению веществом полостей и рассеянию вещества тела на ограниченные расстояния. Как показано в [11], для однородного сжатого сфероида с полуосями a 1 a 3 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadggapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaaapaqabaGcpeGaeyyzImRaamyya8aadaWgaaWcbaWdbiaaioda a8aabeaak8qacaGGSaaaaa@37CD@  эксцентриситетом e MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadwgaaaa@3215@  и плотностью ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeg8aYbaa@32EB@  внешняя и внутренняя части гравитационной энергии будут соответственно равны:

W out = 3 20 M 2 G a 1 1 e 2 32 e 2 e 4 arcsine e 2 + +2 2+3 1 e 2 e 4 arcsine e 1 e 2 32 e 2 e 4 ; W in = 3 20 M 2 G a 1 A 1 2 e 1 e 2 + A 3 2 e 2 1 e 2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakqaaceqaaKqzagGaam4vaOWaaSbaaSqaaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaGabaKqzagGaa83Baiaa=vhacaWF0baaleqaaKqz agGaeyypa0JaeyOeI0IcdaWcaaqaaKqzagGaaG4maaGcbaqcLbyaca aIYaGaaGimaaaakmaalaaabaqcLbyacaWGnbGcdaahaaWcbeqaaKqz agGaaGOmaaaacaWGhbaakeaajugGbiaadggakmaaBaaaleaajugGbi aaigdaaSqabaaaaOWaaiqaaeaajugGbiabgkHiTOWaaOaaaeaajugG biaaigdacqGHsislcaWGLbGcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaaaS qabaGcdaWcaaqaaKqzagGaaG4maiabgkHiTiaaikdacaWGLbGcdaah aaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaamyzaOWaaWbaaSqabe aajugGbiaaisdaaaaaaOWaaeWaaeaadaWcaaqaaKqzagGaciyyaiaa ckhacaGGJbGaai4CaiaacMgacaGGUbGaamyzaaGcbaqcLbyacaWGLb aaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaajugGbiaaikdaaaGaey4k aScakiaawUhaaaqaamaaciaabaqcLbyacqGHRaWkcaaMe8UaaGOmaO WaaeWaaeaajugGbiaaikdacqGHRaWkcaaIZaGcdaWcaaqaaKqzagGa aGymaiabgkHiTiaadwgakmaaCaaaleqabaqcLbyacaaIYaaaaaGcba qcLbyacaWGLbGcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGinaaaaaaGcdaWcaaqa aKqzagGaciyyaiaackhacaGGJbGaai4CaiaacMgacaGGUbGaamyzaa GcbaqcLbyacaWGLbaaaiabgkHiTOWaaOaaaeaajugGbiaaigdacqGH sislcaWGLbGcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaaaSqabaGcdaWcaa qaaKqzagGaaG4maiabgkHiTiaaikdacaWGLbGcdaahaaWcbeqaaKqz agGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaamyzaOWaaWbaaSqabeaajugGbiaais daaaaaaaGccaGLOaGaayzkaaaacaGL9baajugGbiaacUdaaOqaaKqz agGaam4vaOWaaSbaaSqaaKqzagGaciyAaiaac6gaaSqabaqcLbyacq GH9aqpcqGHsislkmaalaaabaqcLbyacaaIZaaakeaajugGbiaaikda caaIWaaaaOWaaSaaaeaajugGbiaad2eakmaaCaaaleqabaqcLbyaca aIYaaaaiaadEeaaOqaaKqzagGaamyyaOWaaSbaaSqaaKqzagGaaGym aaWcbeaaaaGcdaWadaqaamaalaaabaqcLbyacaWGbbGcdaqhaaWcba qcLbyacaaIXaaaleaajugGbiaaikdaaaGcdaqadaqaaKqzagGaamyz aaGccaGLOaGaayzkaaaabaWaaOaaaeaajugGbiaaigdacqGHsislca WGLbGcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaaaSqabaaaaKqzagGaey4k aSIcdaWcaaqaaKqzagGaamyqaOWaa0baaSqaaKqzagGaaG4maaWcba qcLbyacaaIYaaaaOWaaeWaaeaajugGbiaadwgaaOGaayjkaiaawMca aaqaaKqzagGaaGOmaaaakmaakaaabaqcLbyacaaIXaGaeyOeI0Iaam yzaOWaaWbaaSqabeaajugGbiaaikdaaaaaleqaaaGccaGLBbGaayzx aaqcLbyacaGGSaaaaaa@D34D@  (12)

где коэффициенты потенциала A i e MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadgeapaWaaSbaaSqaa8qaca WGPbaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadwgaaiaawIcacaGLPaaa aaa@35E5@  даны в (2).

В частном случае шара e=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadwgacqGH9aqpcaaIWaGaai ilaaaa@3485@  формулы (12) упрощаются и дают

W in = 1 10 M 2 G R ; W out = 1 2 M 2 G R , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadEfakmaaBaaaleaajugGbiGacMgaca GGUbaaleqaaKqzagGaeyypa0JaeyOeI0IcdaWcaaqaaKqzagGaaGym aaGcbaqcLbyacaaIXaGaaGimaaaakmaalaaabaqcLbyacaWGnbGcda ahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaacaWGhbaakeaajugGbiaadkfaaaGa ai4oaiaaysW7caWGxbGcdaWgaaWcbaqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUb aceaqcLbyacaWFVbGaa8xDaiaa=rhaaSqabaqcLbyacqGH9aqpcqGH sislkmaalaaabaqcLbyacaaIXaaakeaajugGbiaaikdaaaGcdaWcaa qaaKqzagGaamytaOWaaWbaaSqabeaajugGbiaaikdaaaGaam4raaGc baqcLbyacaWGsbaaaiaacYcaaaa@5D75@  (13)

так что

W out W in =5. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaKqzagGaam4vaOWaaSbaaSqaaerbuL wBLnhiov2DGi1BTfMBaGabaKqzagGaa83Baiaa=vhacaWF0baaleqa aaGcbaqcLbyacaWGxbGcdaWgaaWcbaqcLbyaciGGPbGaaiOBaaWcbe aaaaqcLbyacqGH9aqpcaaI1aGaaiOlaaaa@44C7@  (14)

Подчеркнем, что среди всех однородных тел результат (14) для шара является абсолютным минимумом. Так, для сжатого сфероида с компонентами энергии (12) отношение W out W in MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaalaaapaqaa8qacaWGxbWdam aaBaaaleaapeGaae4BaiaabwhacaqG0baapaqabaaakeaapeGaam4v a8aadaWgaaWcbaWdbiaabMgacaqGUbaapaqabaaaaaaa@389E@ медленно увеличивается от 5 до 6 с ростом эксцентриситета от 0 до 0.90, а при бо́льших сжатиях возрастает очень быстро (см. рис. 63 в монографии [11]).

3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ФИГУР РАВНОВЕСИЯ

3.1. Постановка задачи и вывод основной формулы

Рассмотрим уравнение равновесия жидкой гравитирующей массы, вращающейся с угловой скоростью Ω вокруг оси O x 3 : MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaad+eacaWG4bWdamaaBaaale aapeGaaG4maaWdaeqaaOWdbiaacQdaaaa@34EB@ :

gradp=ρgradΦ. (15)

Здесь p x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadchadaqadaWdaeaapeGaam iEaaGaayjkaiaawMcaaaaa@34C5@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  давление в жидкости, Φ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabfA6agnaabmaapaqaa8qaca WG4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@354A@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  полный потенциал, равный сумме гравитационного и центробежного потенциалов

Φ x 1 , x 2 , x 3 =φ x 1 , x 2 , x 3 + 1 2 Ω 2 x 1 2 + x 2 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabfA6agPWaaeWaaeaajugGbiaadIhaju aGdaWgaaWcbaqcLbqacaaIXaaaleqaaKqzagGaaiilaiaadIhakmaa BaaaleaajugabiaaikdaaSqabaqcLbyacaGGSaGaamiEaKqbaoaaBa aaleaajugabiaaiodaaSqabaaakiaawIcacaGLPaaajugGbiabg2da 9iabeA8aQPWaaeWaaeaajugGbiaadIhajuaGdaWgaaWcbaqcLbqaca aIXaaaleqaaKqzagGaaiilaiaadIhakmaaBaaaleaajugabiaaikda aSqabaqcLbyacaGGSaGaamiEaKqbaoaaBaaaleaajugabiaaiodaaS qabaaakiaawIcacaGLPaaajugGbiabgUcaROWaaSaaaeaajugGbiaa igdaaOqaaKqzagGaaGOmaaaacqqHPoWvkmaaCaaaleqabaqcLbyaca aIYaaaaOWaaeWaaeaajugGbiaadIhakmaaDaaaleaajugabiaaigda aSqaaKqzagGaaGOmaaaacqGHRaWkcaWG4bGcdaqhaaWcbaqcLbqaca aIYaaaleaajugGbiaaikdaaaaakiaawIcacaGLPaaajugGbiaac6ca aaa@6931@  (16)

Для равномерно вращающихся однородных конфигураций уравнение (15) дает формулу, описывающую внутренние поверхности уровня:

p x ρ =φ x + 1 2 Ω 2 x 1 2 + x 2 2 +const. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaKqzagGaamiCaOWaaeWaaeaaruavP1 wzZbItLDhis9wBH5gaiqWajugGbiaa=HhaaOGaayjkaiaawMcaaaqa aKqzagGaeqyWdihaaiabg2da9iabeA8aQPWaaeWaaeaajugGbiaa=H haaOGaayjkaiaawMcaaKqzagGaey4kaSIcdaWcaaqaaKqzagGaaGym aaGcbaqcLbyacaaIYaaaaiabfM6axPWaaWbaaSqabeaajugGbiaaik daaaGcdaqadaqaaKqzagGaamiEaOWaa0baaSqaaKqzaeGaaGymaaWc baqcLbyacaaIYaaaaiabgUcaRiaadIhakmaaDaaaleaajugabiaaik daaSqaaKqzagGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaaKqzagGaey4kaSIa ai4yaiaac+gacaGGUbGaai4CaiaacshacaGGUaaaaa@6097@  (17)

Применяя оператор Лапласа

Δ= 2 x 1 2 + 2 x 2 2 + 2 x 3 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacqqHuoarruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqWaca WF9aWaaSaaaeaacqGHciITdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacqGH ciITcaWG4bWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaaaakiabgUcaRm aalaaabaGaeyOaIy7aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaeyOaIyRa amiEamaaDaaaleaacaaIYaaabaGaaGOmaaaaaaGccqGHRaWkdaWcaa qaaiabgkGi2oaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiabgkGi2kaadIha daqhaaWcbaGaaG4maaqaaiaaikdaaaaaaaaa@4DE7@  (18)

к выражению p ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaalaaapaqaa8qacaWGWbaapa qaa8qacqaHbpGCaaaaaa@342E@  из (17), получаем

Δ p ρ =2 2πGρ Ω 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabfs5aePWaaSaaaeaajugGbiaadchaaO qaaKqzagGaeqyWdihaaiabg2da9iabgkHiTiaaikdakmaabmaabaqc LbyacaaIYaGaeqiWdaNaam4raiabeg8aYjabgkHiTiabfM6axPWaaW baaSqabeaajugGbiaaikdaaaaakiaawIcacaGLPaaajugGbiaac6ca aaa@4854@  (19)

Кроме того, из уравнения (15) следует выражение

gradφ 2 = grad p ρ 2 + Ω 4 r 2 2 Ω 2 rgrad p ρ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaqadaqaaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaGabaK qzagGaa83zaiaa=jhacaWFHbGaa8hzaiaaykW7caaMb8UaeqOXdOga kiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaacqGH9aqpkm aabmaabaqcLbyacaWFNbGaa8NCaiaa=fgacaWFKbGaaGzaVlaayIW7 kmaalaaabaqcLbyacaWGWbaakeaajugGbiabeg8aYbaaaOGaayjkai aawMcaamaaCaaaleqabaqcLbyacaaIYaaaaiabgUcaRiabfM6axPWa aWbaaSqabeaajugGbiaaisdaaaGaamOCaOWaaWbaaSqabeaajugGbi aaikdaaaGaeyOeI0IaaGOmaiabfM6axPWaaWbaaSqabeaajugGbiaa ikdaaaacemGaa4NCaiabgwSixlaa=DgacaWFYbGaa8xyaiaa=rgaca aMb8UaaGjcVRWaaSaaaeaajugGbiaadchaaOqaaKqzagGaeqyWdiha aiaac6caaaa@6FF8@  (20)

Интегрируя выражение (20) по объему фигуры V получим

8πG W in = V grad p ρ 2 dV+ Ω 4 ρ I 3 2 Ω 2 V rgrad p ρ dV . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabgkHiTiaaiIdacqaHapaCcaWGhbGaam 4vaOWaaSbaaSqaaKqzagGaciyAaiaac6gaaSqabaqcLbyacqGH9aqp kmaapefabaWaaeWaaeaaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqaajugGbi aa=DgacaWFYbGaa8xyaiaa=rgacaaMb8UcdaWcaaqaaKqzagGaamiC aaGcbaqcLbyacqaHbpGCaaaakiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaK qzagGaaGOmaaaacaWGKbGaamOvaiabgUcaROWaaSaaaeaajugGbiab fM6axPWaaWbaaSqabeaajugGbiaaisdaaaaakeaajugGbiabeg8aYb aakiaadMeadaWgaaWcbaqcLbuacaaIZaaaleqaaaqaaKqzafGaamOv aaWcbeqcLbyacqGHRiI8aiabgkHiTiaaikdacqqHPoWvkmaaCaaale qabaqcLbyacaaIYaaaaOWaa8quaeaajugGbiaadkhacqGHflY1caWF NbGaa8NCaiaa=fgacaWFKbGaaGzaVlaayIW7kmaalaaabaqcLbyaca WGWbaakeaajugGbiabeg8aYbaacaWGKbGaamOvaaWcbaqcLbuacaWG wbaaleqajugGbiabgUIiYdGaaiOlaaaa@7CEE@  (21)

Здесь

I 3 = V ρr 2 dV MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaaju gGbiabg2da9OWaa8quaeaajugGbiabeg8aYjabgwSixlaadkhaaSqa aKqzafGaamOvaaWcbeqcLbyacqGHRiI8aOWaaWbaaSqabeaajugGbi aaikdaaaGaamizaiaadAfaaaa@43D1@  (22)

MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@ момент инерции фигуры относительно оси O x 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaad+eacaWG4bWdamaaBaaale aapeGaaG4maaWdaeqaaOWdbiaac6caaaa@34DF@

Обратим внимание, что в левой части (21) появилась величина внутренней гравитационной энергии W in MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qaca qGPbGaaeOBaaWdaeqaaaaa@343E@  введенная выше в (9). Рассмотрим подробнее первый член в правой части (21)

Z= V grad p ρ 2 dV MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadQfacqGH9aqpdaqfqaqabS WdaeaapeGaamOvaaqab0WdaeaapeGaey4kIipaaOWaaeWaa8aabaWd biaabEgacaqGYbGaaeyyaiaabsgacaaMb8+aaSaaa8aabaWdbiaadc haa8aabaWdbiabeg8aYbaaaiaawIcacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaa peGaaGOmaaaakiaadsgacaWGwbaaaa@42F9@  (23)

и применим к нему теорему Грина. Тогда, поскольку давление на граничной поверхности фигуры равно нулю

p S =0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadchakmaaBaaaleaajugqbiaadofaaS qabaqcLbyacqGH9aqpcaaIWaGaaiilaaaa@3815@  (24)

получим

Z= V p ρ Δ p ρ dV= 4πGρ2 Ω 2 ρ Π , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadQfacqGH9aqpcqGHsislkmaapefaba WaaSaaaeaajugGbiaadchaaOqaaKqzagGaeqyWdihaaiabgwSixlab fs5aePWaaeWaaeaadaWcaaqaaKqzagGaamiCaaGcbaqcLbyacqaHbp GCaaaakiaawIcacaGLPaaajugGbiaadsgacaWGwbGaeyypa0JcdaWc aaqaaKqzagGaaGinaiabec8aWjaadEeacqaHbpGCcqGHsislcaaIYa GaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaeqyW dihaaiabgwSixlabfc6aqbWcbaqcLbyacaWGwbaaleqajugGbiabgU IiYdGaaiilaaaa@5E90@   (25)

где мы учли формулу (19). Величина П (тепловой член) в (25) есть интеграл от давления

Π= V p x dV. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabfc6aqjabg2da9OWaa8quaeaajugGbi aadchakmaabmaabaqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbacemqcLbyacaWF 4baakiaawIcacaGLPaaaaSqaaKqzagGaamOvaaWcbeqcLbyacqGHRi I8aiaaykW7caWGKbGaamOvaiaac6caaaa@4880@  (26)

Далее, третий член в правой части (21) после интегрирования по частям оказывается равен

2 Ω 2 V rgrad p ρ dV = 4 Ω 2 ρ Π MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaaikdacqqHPoWvkmaaCaaaleqabaqcLb yacaaIYaaaaOWaa8quaeaajugGbiaadkhacqGHflY1ruavP1wzZbIt LDhis9wBH5gaiqaacaWFNbGaa8NCaiaa=fgacaWFKbGaaGzaVlaayI W7kmaalaaabaqcLbyacaWGWbaakeaajugGbiabeg8aYbaacaWGKbGa amOvaaWcbaqcLbyacaWGwbaaleqajugGbiabgUIiYdGaeyypa0Jaey OeI0IcdaWcaaqaaKqzagGaaGinaiabfM6axPWaaWbaaSqabeaajugG biaaikdaaaaakeaajugGbiabeg8aYbaacqGHflY1cqqHGoauaaa@5FCE@ . (27)

Таким образом, выражение (21) приводится к виду

8πG W in = 2 Ω 2 ρ +4πG Π+ Ω 4 I 3 ρ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabgkHiTiaaiIdacqaHapaCcaWGhbGaam 4vaOWaaSbaaSqaaKqzagGaciyAaiaac6gaaSqabaqcLbyacqGH9aqp kmaabmaabaWaaSaaaeaajugGbiaaikdacqqHPoWvkmaaCaaaleqaba qcLbyacaaIYaaaaaGcbaqcLbyacqaHbpGCaaGaey4kaSIaaGinaiab ec8aWjaadEeaaOGaayjkaiaawMcaaKqzagGaeyyXICTaeuiOdaLaey 4kaSIcdaWcaaqaaKqzagGaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGin aaaacaWGjbGcdaWgaaWcbaqcLbyacaaIZaaaleqaaaGcbaqcLbyacq aHbpGCaaGaaiOlaaaa@59F7@  (28)

С другой стороны, согласно теореме вириала,

3Π=2 T rot + W t = Ω 2 I 3 + W t . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabgkHiTiaaiodacqqHGoaucqGH9aqpca aIYaGaamivaOWaaSbaaSqaaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaGabaKqz agGaa8NCaiaa=9gacaWF0baaleqaaKqzagGaey4kaSIaam4vaOWaaS baaSqaaKqzagGaa8hDaaWcbeaajugGbiabg2da9iabfM6axPWaaWba aSqabeaajugGbiaaikdaaaGccaWGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maa WcbeaajugGbiabgUcaRiaadEfakmaaBaaaleaajugGbiaa=rhaaSqa baqcLbyacaGGUaaaaa@5474@  (29)

Здесь T rot MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qaca qGYbGaae4Baiaabshaa8aabeaaaaa@353C@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  энергия вращения тела. Исключая П из (28) с помощью (29), получаем биквадратное уравнение для нормированной угловой скорости Ω=ΩπGρ

Ω 4 4 Ω 2 1η +4 6 W in W t πGρ I 3 =0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabfM6axPWaaWbaaSqabeaajugGbiaais daaaGaeyOeI0IaaGinaiabfM6axPWaaWbaaSqabeaajugGbiaaikda aaGcdaqadaqaaKqzagGaaGymaiabgkHiTiabeE7aObGccaGLOaGaay zkaaqcLbyacqGHRaWkcaaI0aGcdaWcaaqaaKqzagGaaGOnaiaadEfa kmaaBaaaleaajugGbiGacMgacaGGUbaaleqaaKqzagGaeyOeI0Iaam 4vaOWaaSbaaSqaaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaGabaKqzagGaa8hD aaWcbeaaaOqaaKqzagGaeqiWdaNaam4raiabeg8aYjaadMeakmaaBa aaleaajugGbiaaiodaaSqabaaaaKqzagGaeyypa0JaaGimaiaacYca aaa@5E6F@  (30)

где

η= W t 2πGρ I 3 >0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabeE7aOjabg2da9iabgkHiTOWaaSaaae aajugGbiaadEfakmaaBaaaleaaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqaa jugGbiaa=rhaaSqabaaakeaacaaIYaqcLbyacqaHapaCcaWGhbGaeq yWdiNccaWGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaaaaGccqGH+aGp caaIWaaaaa@4972@  (31)

(см. также неравенство (34)).

Корни уравнения (30) равны

Ω 2 2πGρ =1η± 1η 2 6 W in W t πGρ I 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaKqzagGaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaK qzagGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaaGOmaiabec8aWjaadEeacqaHbpGC aaGccqGH9aqpcaaIXaGaeyOeI0scLbyacqaH3oaAcqGHXcqSkmaaka aabaWaaeWaaeaacaaIXaGaeyOeI0scLbyacqaH3oaAaOGaayjkaiaa wMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTmaalaaabaqcLbyaca aI2aGaam4vaOWaaSbaaSqaaKqzagGaciyAaiaac6gaaSqabaqcLbya cqGHsislcaWGxbGcdaWgaaWcbaqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbacea qcLbyacaWF0baaleqaaaGcbaqcLbyacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdiNc caWGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaaaaaabeaakiaac6caaa a@6315@   (32)

Решение (32) и определяет квадрат угловой скорости однородной фигуры относительного равновесия через внутреннюю (9) и полную (11) гравитационную энергию.

3.2. Некоторые свойства выражения (32)

Главная особенность формулы (32) в том, что выражение угловой скорости вращения Ω22πGρ для однородных гравитирующих фигур относительного равновесия выражается через компоненты внутренней W in MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qaca qGPbGaaeOBaaWdaeqaaaaa@343E@  и внешней W out MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qaca qGVbGaaeyDaiaabshaa8aabeaaaaa@3542@  гравитационной энергии фигуры. Формулу (32) можно записать в эквивалентном виде

Ω 2 2πGρ =1η± 1η 2 2η 6 W in πGρ I 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaKqzagGaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaK qzagGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaaGOmaiabec8aWjaadEeacqaHbpGC aaGccqGH9aqpcaaIXaGaeyOeI0scLbyacqaH3oaAcqGHXcqSkmaaka aabaWaaeWaaeaacaaIXaGaeyOeI0scLbyacqaH3oaAaOGaayjkaiaa wMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdacqaH3oaAcq GHsisldaWcaaqaaKqzagGaaGOnaiaadEfakmaaBaaaleaajugGbiGa cMgacaGGUbaaleqaaaGcbaqcLbyacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdiNcca WGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaaaaaabeaakiaac6caaaa@5C02@    (33)

Здесь

η=Wt2πGρI31, (34)

причем точное равенство в (34) выполняется только для шара.

Формула (33) была проверена нами в монографии [11] и, особенно тщательно, в статье [12]. Установлено, что только при знаке « MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@ » перед радикалом она дает правильные значения угловой скорости для классических фигур равновесия однородных сфероидов Маклорена (1) и трехосных эллипсоидов Якоби (3)

Ω 2 2πGρ =1η 1η 2 2η 6 W in πGρ I 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaKqzagGaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaK qzagGaaGOmaaaaaOqaaKqzagGaaGOmaiabec8aWjaadEeacqaHbpGC aaGccqGH9aqpcaaIXaGaeyOeI0scLbyacqaH3oaAcqGHsislkmaaka aabaWaaeWaaeaacaaIXaGaeyOeI0scLbyacqaH3oaAaOGaayjkaiaa wMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdacqaH3oaAcq GHsisldaWcaaqaaKqzagGaaGOnaiaadEfakmaaBaaaleaajugGbiGa cMgacaGGUbaaleqaaaGcbaqcLbyacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdiNcca WGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaaaaaabeaakiaac6caaaa@5B01@  (35)

4. ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ФИГУР С ПОЛИТРОПНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ

До сих мы рассматривали однородные фигуры относительного равновесия. Однако большинство реальных небесных тел (астероиды, планеты и спутники, а также звезды и галактики) имеют сложное строение и являются неоднородными системами. Возникает актуальный вопрос: допускает ли формула (35) обобщение на неоднородные конфигурации? В этом разделе будет показано, что для широкого класса неоднородных тел, описываемых политропным уравнением состояния, аналог формулы (35) действительно существует, и угловую скорость вращающихся политроп можно представить как функцию от компонентов внешней и внутренней гравитационной энергии фигуры.

4.1. Уравнение уровенной поверхности

Вновь рассмотрим уравнение равновесия жидкой гравитирующей массы, вращающейся с угловой скоростью Ω вокруг оси O x 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaad+eacaWG4bWdamaaBaaale aapeGaaG4maaWdaeqaaOWdbiaac6caaaa@34DF@  Уравнение (15) запишем в виде

gradpρ=gradΦ. (36)

Напомним, здесь p x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadchadaqadaWdaeaapeGaam iEaaGaayjkaiaawMcaaaaa@34C5@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  давление в жидкости, ρ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeg8aYnaabmaapaqaa8qaca WG4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@3590@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  плотность, Φ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabfA6agnaabmaapaqaa8qaca WG4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@354A@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  полный (гравитационный плюс центробежный) потенциал тела из (16).

Полагаем теперь, что внутри конфигурации выполняется политропное уравнение состояния, связывающее давление вещества и плотность известной формулой

p=K ρ n+1 n , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGWbGaeyypa0Jaam4saiabeg8aYnaaCaaale qabaGcdaWcaaWcbaqcLbuacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaWcbaqcLbua caWGUbaaaaaakiaacYcaaaa@3B8D@  (37)

где n MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  индекс политропы, изменяющийся в интервале

0n5. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaaIWaGaeyizImAcLbyacaWGUbGccqGHKjYOca aI1aGaaiOlaaaa@388B@  (38)

Для решения поставленной задачи прежде всего заметим, что с помощью (37) входящее в уравнение равновесия (36) отношение grad p ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaalaaapaqaa8qacaqGNbGaae OCaiaabggacaqGKbGaaqoOaiaaygW7caWGWbaapaqaa8qacqaHbpGC aaaaaa@3AE8@  можно записать в виде полного дифференциала от функции плотности

dp ρ =K n+1 n ρ 1n n dρ=K n+1 d ρ 1 n . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWcaaqaaiaadsgacaWGWbaabaGaeqyWdihaai aaysW7jugGbiaaygW7cqGH9aqpkiaadUeadaqadaqaamaalaaabaGa amOBaiabgUcaRiaaigdaaeaacaWGUbaaaaGaayjkaiaawMcaaiabeg 8aYnaaCaaaleqabaGcdaWcaaWcbaqcLbuacaaIXaGaeyOeI0IaamOB aaWcbaqcLbuacaWGUbaaaaaakiaadsgacqaHbpGCcqGH9aqpcaWGlb WaaeWaaeaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiaadsga daqadaqaaiabeg8aYnaaCaaaleqabaGcdaWcaaWcbaqcLbuacaaIXa aaleaajugqbiaad6gaaaaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@57BC@    (39)

Подставляя выражение (39) в левую часть (36) и интегрируя, получим уравнение уровенной поверхности

n+1 p ρ =φ x + 1 2 Ω 2 r 2 +const, r 2 = x 1 2 + x 2 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaqadaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOa GaayzkaaWaaSaaaeaacaWGWbaabaGaeqyWdihaaiabg2da9iaaysW7 cqaHgpGAdaqadaqaaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaGabdiaa=Hhaai aawIcacaGLPaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiab fM6axnaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadkhadaahaaWcbeqaaiaaik daaaGccqGHRaWkiqaacaGFJbGaa43Baiaa+5gacaGFZbGaa4hDaiaa cYcacaaMe8UaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabg2da9iaadI hadaqhaaWcbaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWG4bWaa0ba aSqaaiaaikdaaeaacaaIYaaaaOGaaiOlaaaa@5CC9@  (40)

Значение постоянной интегрирования в (40) constC MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabo hacaqG0bGaeyyyIORaam4qaaaa@3872@  можно выбрать так, чтобы на поверхности фигуры S x =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadofadaqadaWdaeaapeGaam iEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaaicdaaaa@3668@  давление тождественно обращалось в нуль

p S =0. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiaadchakmaaBaaaleaajugibiaadofaaS qabaqcLbyacqGH9aqpcaaIWaGaaiOlaaaa@37F7@  (41)

4.2. Нахождение постоянной интегрирования через глобальные характеристики фигуры равновесия.

Для большинства задач в теории фигур равновесия обычно принимаются во внимание только силы, и при этом нет необходимости рассматривать входящую в уравнение (40) постоянную интегрирования constC. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabo hacaqG0bGaeyyyIORaam4qaiaac6caaaa@3924@  Однако особенность поставленной здесь задачи в том, что для ее решения эту постоянную интегрирования необходимо рассматривать как функцию от интегральных характеристик фигуры. Как установлено в монографии [10] (см. форм. (1.13)), для однородных фигур равновесия постоянная в формуле (40) равна

C=const=53WtTrotM, (42)

где M MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaad2eaaaa@31FD@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  масса, W t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qaca qG0baapaqabaaaaa@3358@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  полная гравитационная энергия, T rot = 1 2 Ω 2 I 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadsfapaWaaSbaaSqaa8qaca qGYbGaae4Baiaabshaa8aabeaak8qacqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGa aGymaaWdaeaapeGaaGOmaaaacaa5PoWdamaaCaaaleqabaWdbiaaik daaaGccaWGjbWdamaaBaaaleaapeGaaG4maaWdaeqaaaaa@3CAA@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbvaqaaaaaaaaaWdbiaa=rbiaaa@3A2A@  энергия вращения тела.

При рассмотрении неоднородного случая, метод нахождения константы C следует обобщить. Для этого умножим обе части выражения (40) на ρ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeg8aYnaabmaapaqaa8qaca WG4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@3590@

n+1 p=ρφ x + 1 2 Ω 2 ρ r 2 +Cρ, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaqadaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOa GaayzkaaGaamiCaiabg2da9iaaysW7cqaHbpGCcqaHgpGAdaqadaqa aerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaGabdiaa=HhaaiaawIcacaGLPaaacq GHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiabfM6axnaaCaaaleqa baGaaGOmaaaakiabeg8aYjaadkhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccq GHRaWkcaWGdbGaeyyXICTaeqyWdiNaaiilaaaa@5330@  (43)

и проинтегрируем уравнение (43) по объему фигуры. Получим

n+1 Π=2 W t + 1 2 Ω 2 I 3 +CM, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaqadaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOa GaayzkaaGaeuiOdaLaeyypa0JaaGjbVlabgkHiTiaaikdajugGbiaa dEfakmaaBaaaleaaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqaajugGbiaa=r haaSqabaGccqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiabfM6a xnaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadMeadaWgaaWcbaqcLbyacaaIZa aaleqaaOGaey4kaSIaam4qaiabgwSixlaad2eacaGGSaaaaa@517D@  (44)

где появляется тепловой член П из (26). Исключая этот тепловой член в (44) с помощью теоремы вириала (29), в итоге находим значение постоянной интегрирования

C= 5n W t 5+2n T rot 3M = 5n W t 5/2 +n Ω 2 I 3 3M . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGdbGaeyypa0ZaaSaaaeaadaqadaqaaiaaiw dacqGHsislcaWGUbaacaGLOaGaayzkaaqcLbyacaWGxbGcdaWgaaWc baqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbaceaqcLbyacaWF0baaleqaaOGaey OeI0YaaeWaaeaacaaI1aGaey4kaSIaaGOmaiaad6gaaiaawIcacaGL PaaacaWGubWaaSbaaSqaaKqzagGaa8NCaiaa=9gacaWF0baaleqaaa GcbaGaaG4maiaad2eaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaadaqadaqaaiaaiwda cqGHsislcaWGUbaacaGLOaGaayzkaaqcLbyacaWGxbGcdaWgaaWcba qcLbyacaWF0baaleqaaOGaeyOeI0YaaeWaaeaadaWcgaqaaiaaiwda aeaacaaIYaaaaiabgUcaRiaad6gaaiaawIcacaGLPaaacqqHPoWvda ahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGjbWaaSbaaSqaaKqzagGaaG4maaWc beaaaOqaaiaaiodacaWGnbaaaiaac6caaaa@635C@  (45)

В частности, при n=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaad6gacqGH9aqpcaaIWaaaaa@33DE@  из (45) получим известное уже нам из (42) значение постоянной C MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadoeaaaa@31F3@  для однородного случая.

5. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ

5.1. Моментное уравнение для угловой скорости

Переписав выражение (40) в виде

pρ=1n+1φx+12Ω2x12+x22+const, (46)

применим к нему оператор Лапласа (18), получим

Δ p ρ = 2 n+1 Ω 2 2πGρ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaajugGbiabfs5aePWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaadc haaeaacqaHbpGCaaaacaGLOaGaayzkaaqcLbyacqGH9aqpkmaalaaa baqcLbyacaaIYaaakeaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaaadaqadaqaaK qzagGaeuyQdCLcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaakiabgkHiTKqz agGaaGOmaiabec8aWjaadEeacqaHbpGCaOGaayjkaiaawMcaaKqzag GaaiOlaaaa@4C89@  (47)

Далее из (40) находим grad φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaabEgacaqGYbGaaeyyaiaabs gacaaMb8UaaqoOaiabeA8aQbaa@39A2@

gradφ=n+1gradpρΩ2r. (48)

Возводя в квадрат левую и правую части (48) и интегрируя по объему фигуры V, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadAfacaGGSaaaaa@32B6@  получим

8πG W in = n+1 2 V grad p ρ 2 dV + Ω 4 V r 2 dV 2 n+1 Ω 2 V r grad p ρ dV, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacqGHsislcaaI4aGaeqiWdaNaam4raiabgwSixl aadEfadaWgaaWcbaqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbaceaqcLbyacaWF PbGaa8NBaaWcbeaakiabg2da9iaaysW7daqadaqaaiaad6gacqGHRa WkcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOWaa8qu aeaadaqadaqaaiaa=DgacaWFYbGaa8xyaiaa=rgadaWcaaqaaiaadc haaeaacqaHbpGCaaaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaa aOGaamizaiaadAfaaSqaaKqzagGaamOvaaWcbeqdcqGHRiI8aOGaey 4kaSIaeuyQdC1aaWbaaSqabeaacaaI0aaaaOWaa8quaeaacaWGYbWa aWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamizaiaadAfaaSqaaKqzagGaamOvaa WcbeqdcqGHRiI8aOGaeyOeI0IaaGOmamaabmaabaGaamOBaiabgUca RiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacqqHPoWvdaahaaWcbeqaaiaaikdaaa GcdaWdrbqaaGabdiaa+jhaaSqaaKqzagGaamOvaaWcbeqdcqGHRiI8 aOGaeyyXICTaa83zaiaa=jhacaWFHbGaa8hzamaalaaabaGaamiCaa qaaiabeg8aYbaacaWGKbGaamOvaiaacYcaaaa@7B39@  (49)

где при записи левой части было использовано равенство (9).

5.2. Анализ уравнения (49)

Рассмотрим первый член в правой части (49)

Z 1 = n+1 2 V grad p ρ 2 dV . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGAbWaaSbaaSqaaKqzafGaaGymaaWcbeaaki abg2da9maabmaabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaa daahaaWcbeqaaiaaikdaaaGcdaWdrbqaamaabmaabaqefqvATv2CG4 uz3bIuV1wyUbaceaGaa83zaiaa=jhacaWFHbGaa8hzamaalaaabaGa amiCaaqaaiabeg8aYbaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaik daaaGccaWGKbGaamOvaaWcbaqcLbyacaWGwbaaleqaniabgUIiYdGc caGGUaaaaa@4EB3@  (50)

Применяя к нему интегральную формулу Грина, получим

  Z 1 = n+1 2 V grad p ρ 2 dV = n+1 2 V p ρ Δ p ρ dV + n+1 2 S p ρ n p ρ dS. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGAbWaaSbaaSqaaKqzafGaaGymaaWcbeaaki abg2da9maabmaabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaa daahaaWcbeqaaiaaikdaaaGcdaWdrbqaamaabmaabaqefqvATv2CG4 uz3bIuV1wyUbaceaGaa83zaiaa=jhacaWFHbGaa8hzamaalaaabaGa amiCaaqaaiabeg8aYbaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaik daaaGccaWGKbGaamOvaaWcbaqcLbyacaWGwbaaleqaniabgUIiYdGc cqGH9aqpcqGHsisldaqadaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOa GaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOWaa8quaeaadaWcaaqaaiaa dchaaeaacqaHbpGCaaGaeuiLdq0aaeWaaeaadaWcaaqaaiaadchaae aacqaHbpGCaaaacaGLOaGaayzkaaGaamizaiaadAfaaSqaaKqzagGa amOvaaWcbeqdcqGHRiI8aOGaey4kaSYaaeWaaeaacaWGUbGaey4kaS IaaGymaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakmaapefa baWaaSaaaeaacaWGWbaabaGaeqyWdihaamaalaaabaGaeyOaIylaba GaeyOaIyRaamOBaaaaaSqaaKqzagGaam4uaaWcbeqdcqGHRiI8aOWa aeWaaeaadaWcaaqaaiaadchaaeaacqaHbpGCaaaacaGLOaGaayzkaa GaamizaiaadofacaGGUaaaaa@7ACF@  (51)

В силу равенства нулю давления на поверхности фигуры (24), второй член в правой части (51) также обратится в нуль, и мы получим

Z 1 =2 n+1 V p ρ 2πGρ Ω 2 dV . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGAbWaaSbaaSqaaKqzafGaaGymaaWcbeaaki abg2da9iaaikdadaqadaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOaGa ayzkaaWaa8quaeaadaWcaaqaaiaadchaaeaacqaHbpGCaaWaaeWaae aajugGbiaaikdacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdiNaeyOeI0IaeuyQdCLc daahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaaiaadsgaca WGwbaaleaajugGbiaadAfaaSqab0Gaey4kIipakiaac6caaaa@4EB7@  (52)

Учитывая тепловой член (26), приводим Z 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadQfapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaaapaqabaaaaa@331F@  к виду

Z 1 =4πG n+1 Π2 n+1 Ω 2 V p ρ dV . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGAbWaaSbaaSqaaKqzafGaaGymaaWcbeaaki abg2da9iaaisdajugGbiabec8aWjaadEeakmaabmaabaGaamOBaiab gUcaRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacqqHGoaucqGHsislcaaIYaWaae WaaeaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaawMcaaKqzagGaeuyQ dCLcdaahaaWcbeqaaKqzagGaaGOmaaaakmaapefabaWaaSaaaeaaca WGWbaabaGaeqyWdihaaiaadsgacaWGwbaaleaajugGbiaadAfaaSqa b0Gaey4kIipakiaac6caaaa@5200@  (53)

Далее рассмотрим третий член в правой части (51)

Z 2 =2 n+1 Ω 2 V rgrad p ρ dV , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGAbWaaSbaaSqaaKqzafGaaGOmaaWcbeaaki abg2da9iabgkHiTiaaikdadaqadaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaa caGLOaGaayzkaaGaeuyQdC1aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOWaa8quae aaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqWacaWFYbGaeyyXICnceaGaa43z aiaa+jhacaGFHbGaa4hzamaalaaabaGaamiCaaqaaiabeg8aYbaaca WGKbGaamOvaaWcbaqcLbyacaWGwbaaleqaniabgUIiYdGccaGGSaaa aa@52B5@  (54)

который также преобразуем. Для этого раскроем подынтегральное выражение

rgrad p ρ = x 1 x 1 p ρ + x 2 x 2 p ρ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqWacaWFYbGaey yXICnceaGaa43zaiaa+jhacaGFHbGaa4hzamaalaaabaGaamiCaaqa aiabeg8aYbaacqGH9aqpcaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOWaaS aaaeaacqGHciITaeaacqGHciITcaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqa aaaakmaalaaabaGaamiCaaqaaiabeg8aYbaacqGHRaWkcaWG4bWaaS baaSqaaiaaikdaaeqaaOWaaSaaaeaacqGHciITaeaacqGHciITcaWG 4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaaakmaalaaabaGaamiCaaqaaiabeg 8aYbaacaGGUaaaaa@55DA@  (55)

Учитывая тождество

x 1 x 1 p ρ = x 1 p ρ x 1 p ρ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOWaaSaaae aacqGHciITaeaacqGHciITcaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaaa kmaalaaabaGaamiCaaqaaiabeg8aYbaacqGH9aqpdaWcaaqaaiabgk Gi2cqaaiabgkGi2kaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaaaOWaaeWa aeaadaWcaaqaaiaadchaaeaacqaHbpGCaaGaamiEamaaBaaaleaaca aIXaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTmaalaaabaGaamiCaaqa aiabeg8aYbaacaGGSaaaaa@4AF5@  (56)

сложим два таких выражения, получим

rgrad p ρ =div p ρ r 2 p ρ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqWacaWFYbGaey yXICnceaGaa43zaiaa+jhacaGFHbGaa4hzamaalaaabaGaamiCaaqa aiabeg8aYbaacqGH9aqpcaGFKbGaa4xAaiaa+zhadaqadaqaamaala aabaGaamiCaaqaaiabeg8aYbaacaWFYbaacaGLOaGaayzkaaGaeyOe I0IaaGOmamaalaaabaGaamiCaaqaaiabeg8aYbaacaGGUaaaaa@4E6E@  (57)

Тогда, в силу известного векторного равенства и дополнительного условия (24), интеграл по объему тела от первого члена в (57) исчезает

V div p ρ r dV= S p ρ r dS =0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaWdrbqaaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaGabai aa=rgacaWFPbGaa8NDamaabmaabaWaaSaaaeaacaWGWbaabaGaeqyW dihaaGabdiaa+jhaaiaawIcacaGLPaaacaWGKbGaamOvaiabg2da9a WcbaqcLbyacaWGwbaaleqaniabgUIiYdGcdaWdrbqaamaabmaabaWa aSaaaeaacaWGWbaabaGaeqyWdihaaiaa+jhaaiaawIcacaGLPaaaca WGKbGaa43uaaWcbaqcLbyacaWGtbaaleqaniabgUIiYdGccqGH9aqp caaIWaGaaiilaaaa@532F@  (58)

поэтому

Z 2 =4 n+1 Ω 2 V p ρ dV. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGAbWaaSbaaSqaaKqzafGaaGOmaaWcbeaaki abg2da9iaaisdadaqadaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOaGa ayzkaaGaeuyQdC1aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOWaa8quaeaadaWcaa qaaiaadchaaeaacqaHbpGCaaaaleaajugGbiaadAfaaSqab0Gaey4k IipakiaayIW7caWGKbGaamOvaiaac6caaaa@46E8@  (59)

Подставляя теперь Z 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadQfapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaaapaqabaaaaa@331F@  из (53) и Z 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadQfapaWaaSbaaSqaa8qaca aIYaaapaqabaaaaa@3320@  из (59) в (49), после некоторых сокращений приведем последнее выражение к виду

8πG W in =4πG n+1 Π+2 n+1 Ω 2 V p ρ dV+ Ω 4 V r 2 dV . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacqGHsislcaaI4aGaeqiWdaNaam4raiabgwSixl aadEfadaWgaaWcbaqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbaceaqcLbyacaWF PbGaa8NBaaWcbeaakiabg2da9iaaisdajugGbiabec8aWjaadEeakm aabmaabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacqqHGoau cqGHRaWkcaaIYaWaaeWaaeaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaGaayjkai aawMcaaiabfM6axnaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakmaapefabaWaaSaa aeaacaWGWbaabaGaeqyWdihaaiaadsgacaWGwbGaey4kaSIaeuyQdC 1aaWbaaSqabeaacaaI0aaaaOWaa8quaeaacaWGYbWaaWbaaSqabeaa caaIYaaaaOGaamizaiaadAfaaSqaaKqzagGaamOvaaWcbeqdcqGHRi I8aaWcbaqcLbyacaWGwbaaleqaniabgUIiYdGccaGGUaaaaa@68A7@  (60)

Исключая здесь тепловой член с помощью теоремы вириала (29), запишем (60) в виде

8πG W in = 4 3 πG n+1 Ω 2 I 3 + W tot +2 n+1 Ω 2 V p ρ dV+ Ω 4 V r 2 dV . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacqGHsislcaaI4aGaeqiWdaNaam4raiabgwSixl aadEfadaWgaaWcbaqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbaceaqcLbyacaWF PbGaa8NBaaWcbeaakiabg2da9iabgkHiTmaalaaabaGaaGinaaqaai aaiodaaaqcLbyacqaHapaCcaWGhbGcdaqadaqaaiaad6gacqGHRaWk caaIXaaacaGLOaGaayzkaaWaaeWaaeaacqqHPoWvdaahaaWcbeqaai aaikdaaaGccaWGjbWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaOGaey4kaSIaam4v amaaBaaaleaacaWG0bGaam4BaiaadshaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaa Gaey4kaSIaaGOmamaabmaabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaiaawIca caGLPaaacqqHPoWvdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGcdaWdrbqaamaala aabaGaamiCaaqaaiabeg8aYbaacaWGKbGaamOvaiabgUcaRiabfM6a xnaaCaaaleqabaGaaGinaaaakmaapefabaGaamOCamaaCaaaleqaba GaaGOmaaaakiaadsgacaWGwbaaleaajugGbiaadAfaaSqab0Gaey4k IipaaSqaaKqzagGaamOvaaWcbeqdcqGHRiI8aOGaaiOlaaaa@7388@  (61)

5.3. Биквадратное уравнение для угловой скорости и его корни

Рассмотрим в правой части (61) интеграл

In= 1+n V p ρ dV , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqaacaWFjbGaa8 NBaiabg2da9maabmaabaGaaGymaiabgUcaRiaad6gaaiaawIcacaGL PaaadaWdrbqaamaalaaabaGaamiCaaqaaiabeg8aYbaacaWGKbGaam OvaaWcbaqcLbyacaWGwbaaleqaniabgUIiYdGccaGGSaaaaa@46CF@  (62)

и подставим в него отношение 1+n p ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaabmaapaqaa8qacaaIXaGaey 4kaSIaamOBaaGaayjkaiaawMcaamaalaaapaqaa8qacaWGWbaapaqa a8qacqaHbpGCaaaaaa@3866@  из уравнения уровенной поверхности (40). При этом важно заметить, что вначале само уравнение (40) следует записать с учетом значения постоянной интегрирования из (45) в виде

1+n p ρ =φ x + 1 2 Ω 2 x 1 2 + x 2 2 + 5n W t 5/2 +n Ω 2 I 3 3M . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaadaqadaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWGUbaacaGLOa GaayzkaaWaaSaaaeaacaWGWbaabaGaeqyWdihaaiabg2da9iabeA8a QnaabmaabaqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbacemGaa8hEaaGaayjkai aawMcaaiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaeuyQdC1a aWbaaSqabeaacaaIYaaaaOWaaeWaaeaacaWG4bWaa0baaSqaaKqzae GaaGymaaWcbaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaadIhadaqhaaWcbaqcLbqa caaIYaaaleaacaaIYaaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaey4kaSYaaSaaae aadaqadaqaaiaaiwdacqGHsislcaWGUbaacaGLOaGaayzkaaGaam4v amaaBaaaleaaiqaajugGbiaa+rhaaSqabaGccqGHsisldaqadaqaam aalyaabaGaaGynaaqaaiaaikdaaaGaey4kaSIaamOBaaGaayjkaiaa wMcaaiabfM6axnaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadMeadaWgaaWcba qcLbyacaaIZaaaleqaaaGcbaGaaG4maiaad2eaaaGaaiOlaaaa@65DA@  (63)

Введем теперь среднюю плотность фигуры ρ m , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabeg8aY9aadaWgaaWcbaWdbi aab2gaa8aabeaak8qacaGGSaaaaa@34FF@  а также вспомогательные интегралы

h 1 = V r 2 dV; h 2 = V φ x dV. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGObWaaSbaaSqaaKqzafGaaGymaaWcbeaaki abg2da9maapefabaGaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeaajugG biaadAfaaSqab0Gaey4kIipakiaadsgacaWGwbGaai4oaiaaysW7ca WGObWaaSbaaSqaaKqzafGaaGOmaaWcbeaakiabg2da9maapefabaGa eqOXdO2aaeWaaeaaruavP1wzZbItLDhis9wBH5gaiqWacaWF4baaca GLOaGaayzkaaaaleaajugGbiaadAfaaSqab0Gaey4kIipakiaaykW7 caWGKbGaamOvaiaac6caaaa@544C@  (64)

Интегрируя выражение (63) по объему фигуры, с учетом формул (64) находим

In= 1+n V p ρ dV= h 2 + 1 2 Ω 2 h 1 + 5n W t 3 ρ m 5+2n 6 ρ m I 3 Ω 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaabMeacaqGUbGaeyypa0Zaae Waa8aabaWdbiaaigdacqGHRaWkcaWGUbaacaGLOaGaayzkaaWaaube aeqal8aabaWdbiaadAfaaeqan8aabaWdbiabgUIiYdaakmaalaaapa qaa8qacaWGWbaapaqaa8qacqaHbpGCaaGaamizaiaadAfacqGH9aqp caWGObWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiabgUcaRmaala aapaqaa8qacaaIXaaapaqaa8qacaaIYaaaaiaaKN6apaWaaWbaaSqa beaapeGaaGOmaaaakiaadIgapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqaba GcpeGaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbmaabmaapaqaa8qacaaI1aGaeyOe I0IaamOBaaGaayjkaiaawMcaaiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qacaqG0b aapaqabaaakeaapeGaaG4maiabeg8aY9aadaWgaaWcbaWdbiaab2ga a8aabeaaaaGcpeGaeyOeI0YaaSaaa8aabaWdbmaabmaapaqaa8qaca aI1aGaey4kaSIaaGOmaiaad6gaaiaawIcacaGLPaaaa8aabaWdbiaa iAdacqaHbpGCpaWaaSbaaSqaa8qacaqGTbaapaqabaaaaOWdbiaadM eapaWaaSbaaSqaa8qacaaIZaaapaqabaGcpeGaaqEQd8aadaahaaWc beqaa8qacaaIYaaaaOGaaiOlaaaa@6597@  (65)

Подставляя теперь (65) в (61), после преобразований (см. Приложение) получим биквадратное уравнение для ΩπGρ

a Ω 4 2b Ω 2 +c=0. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaacaWGHbGaeyyXICTaeuyQdC1aaWbaaSqabeaaca aI0aaaaOGaeyOeI0IaaGOmaiaadkgacqGHflY1cqqHPoWvdaahaaWc beqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWGJbGaeyypa0JaaGimaiaac6caaa a@4254@  (66)

Коэффициенты в уравнении (66) равны

a= 6 ρ m h 1 I 3 2n5; MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadggacqGH9aqpdaWcaaWdae aapeGaaGOnaiabeg8aY9aadaWgaaWcbaWdbiaab2gaa8aabeaak8qa caWGObWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaaGcbaWdbiaadMeapa WaaSbaaSqaa8qacaaIZaaapaqabaaaaOWdbiabgkHiTiaaikdacaWG UbGaeyOeI0IaaGynaiaacUdaaaa@404C@

b=1+n 3 h 2 2πG I 3 5n W t 2πG ρ m I 3 ; MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadkgacqGH9aqpcaaIXaGaey 4kaSIaamOBaiabgkHiTmaalaaapaqaa8qacaaIZaGaamiAa8aadaWg aaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaaaOqaa8qacaaIYaGaeqiWdaNaam4rai aadMeapaWaaSbaaSqaa8qacaaIZaaapaqabaaaaOWdbiabgkHiTmaa bmaapaqaa8qacaaI1aGaeyOeI0IaamOBaaGaayjkaiaawMcaamaala aapaqaa8qacaWGxbWdamaaBaaaleaapeGaaeiDaaWdaeqaaaGcbaWd biaaikdacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdi3damaaBaaaleaapeGaaeyBaa WdaeqaaOWdbiaadMeapaWaaSbaaSqaa8qacaaIZaaapaqabaaaaOWd biaacUdaaaa@4FB3@

c= 6 W in 1+n W t πG ρ m I 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadogacqGH9aqpdaWcaaWdae aapeGaaGOnaiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qacaqGPbGaaeOBaaWdaeqa aOWdbiabgkHiTmaabmaapaqaa8qacaaIXaGaey4kaSIaamOBaaGaay jkaiaawMcaaiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qacaqG0baapaqabaaakeaa peGaeqiWdaNaam4raiabeg8aY9aadaWgaaWcbaWdbiaab2gaa8aabe aak8qacaWGjbWdamaaBaaaleaapeGaaG4maaWdaeqaaaaak8qacaGG Uaaaaa@46FF@  (67)

Корни уравнения (66) равны

Ω22πGρm=b±b2-aca. (68)

Формула (68) и дает решение поставленной задачи. При выборе знака перед радикалом следует учитывать, как будет показано в следующем разделе, только при знаке «−» перед радикалом формула

Ω22πGρm=b-b2-aca. (69)

позволяет получить правильные значения угловой скорости для однородных классических сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби.

5.4. Проверка: частный случай однородных фигур равновесия

Для проверки сложных расчетов рассмотрим частный случай однородных фигур, для которых выполняются соотношения

n=0; ρ m =ρ; h 1 = I 3 ρ ; h 2 = 2 W t ρ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaad6gacqGH9aqpcaaIWaGaai 4oaiaaysW7cqaHbpGCpaWaaSbaaSqaa8qacaqGTbaapaqabaGcpeGa eyypa0JaeqyWdiNaai4oaiaaysW7caWGObWdamaaBaaaleaapeGaaG ymaaWdaeqaaOWdbiabg2da9maalaaapaqaa8qacaWGjbWdamaaBaaa leaapeGaaG4maaWdaeqaaaGcbaWdbiabeg8aYbaacaGG7aGaaGjbVl aadIgapaWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaeyypa0JaeyOe I0YaaSaaa8aabaWdbiaaikdacaWGxbWdamaaBaaaleaapeGaaeiDaa WdaeqaaaGcbaWdbiabeg8aYbaacaGGUaaaaa@5170@  (70)

Подставляя равенства (70) в формулы (67), получим значения коэффициентов

  a=1; b=1+ W t 2πGρ I 3 ; c= 6 W in W t πGρ I 3 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakqaabeqaaiaadggacqGH9aqpcaaIXaGaai4oaaqaai aadkgacqGH9aqpcaaIXaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGxbWaaSbaaSqa aerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaGabaKqzagGaa8hDaaWcbeaaaOqaai aaikdacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdiNaamysamaaBaaaleaajugqbiaa iodaaSqabaaaaOGaai4oaaqaaiaadogacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaiA dacaWGxbWaaSbaaSqaaKqzagGaa8xAaiaa=5gaaSqabaGccqGHsisl caWGxbWaaSbaaSqaaKqzagGaa8hDaaWcbeaaaOqaaiabec8aWjaadE eacqaHbpGCcaWGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWcbeaaaaGccaGG Saaaaaa@5AE2@  (71)

при которых уравнение (66) переходит в полученное ранее уравнение (30). Следовательно, решение (69) действительно сводится в однородном случае к известному нам решению (35). Доказательство новой формулы закончено.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ

Целью работы является вывод новой динамической формулы для угловой скорости вращения фигур равновесия гравитирующей жидкости с политропным уравнением состояния. В этой формуле угловая скорость вращения зависит не только от показателя политропы 0n5, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaaicdacqGHKjYOcaWGUbGaey izImQaaGynaiaacYcaaaa@37B1@  но и от компонентов внутренней и внешней гравитационной энергии фигуры равновесия.

Ранее [10, 11, 12] нами было доказано, что новая формула (35) для однородных фигур дает известные значения угловой скорости для классических фигур равновесия сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби.

Здесь получена новая формула для угловой скорости неоднородных фигур равновесия политроп с жестким вращением. При решении этой задачи впервые возникла необходимость представления постоянной интегрирования уравнений движения через показатель политропы и три глобальные характеристики: массу, полную гравитационную энергию и энергию вращения тела.

Справедливость новой формулы для угловой скорости (69) подтверждается предельным переходом к однородным фигурам равновесия.

Другой проверкой новой формулы (69) является ее применение к уникальной быстро вращающейся карликовой планете Haumea. Подробный анализ расчетов по Haumea будет дан в нашей следующей работе [14].

Отметим также следующее. В теории фигур равновесия до сих пор нет общего метода построения даже однородных фигур равновесия. Это связано с тем, что основное функциональное уравнение не имеет, как известно, общего решения. Все известные решения сначала как бы угадываются, а уже потом строго проверяются и изучаются.

Формула для угловой скорости (69) также не может рассматриваться как самостоятельный способ построения новых фигур равновесия. Но достаточно того, что в этой формуле указана ранее неизвестная связь между угловой скоростью и отношением внутренней и внешней частей гравитационной энергии фигуры равновесия. Поэтому формула (69) может быть полезна при анализе разных моделей фигур равновесия небесных тел.

ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЫВОД КОЭФФИЦИЕНТОВ (67)

Запишем выражение (61) с учетом интеграла (65) в полном виде

8πGWin=43πGn+1Ω2I3+Wt+Ω4r2VdV+2Ω2h2+12Ω2h1+(5-n)Wt3ρm-(5+2n)6ρmI3Ω2. (П1)

Разделим обе части этого выражения на 4 3 πG, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaalaaapaqaa8qacaaI0aaapa qaa8qacaaIZaaaaiabec8aWjaadEeacaGGSaaaaa@362D@  получим

6Win=n+1Ω2I3+Wt+3h14πGΩ4++2Ω23h24πG+3h18πGΩ2+5nWt6πGρm5+2n8πGρmI3Ω2. (П2)

Для дальнейших преобразований удобно ввести безразмерные величины

Ω2Ω22πGρm, WinWinπGρmI3, WtWtπGρmI3. (П3)

Раскрывая (П2), запишем это выражение в виде (66) с коэффициентами

a= 2πG ρ m 2 I 3 3 h 1 2πG I 3 5+2n 4πG ρ m ; b= 2πG ρ m I 3 1+n 2 3 h 2 4πG I 3 5n 4 W t ; c= 6 W in 1+n W t πG ρ m I 3 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakqaabeqaaiaadggacqGH9aqpdaqadaqaaiaaikdacq aHapaCcaWGhbGaeqyWdi3aaSbaaSqaaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMB aGabaiaa=1gaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYa aaaOGaamysamaaBaaaleaajugqbiaaiodaaSqabaGcdaWadaqaamaa laaabaGaaG4maiaadIgadaWgaaWcbaqcLbqacaaIXaaaleqaaaGcba GaaGOmaiabec8aWjaadEeacaWGjbWaaSbaaSqaaKqzafGaaG4maaWc beaaaaGccqGHsisldaWcaaqaaiaaiwdacqGHRaWkcaaIYaGaamOBaa qaaiaaisdacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdi3aaSbaaSqaaiaa=1gaaeqa aaaaaOGaay5waiaaw2faaiaacUdaaeaacaWGIbGaeyypa0ZaaeWaae aacaaIYaGaeqiWdaNaam4raiabeg8aYnaaBaaaleaacaWFTbaabeaa aOGaayjkaiaawMcaaiaadMeadaWgaaWcbaqcLbuacaaIZaaaleqaaO WaamWaaeaadaWcaaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWGUbaabaGaaGOmaaaa cqGHsisldaWcaaqaaiaaiodacaWGObWaaSbaaSqaaKqzaeGaaGOmaa WcbeaaaOqaaiaaisdacqaHapaCcaWGhbGaamysamaaBaaaleaajugq biaaiodaaSqabaaaaOGaeyOeI0YaaSaaaeaadaqadaqaaiaaiwdacq GHsislcaWGUbaacaGLOaGaayzkaaaabaGaaGinaaaacaWGxbWaaSba aSqaaKqzafGaa8hDaaWcbeaaaOGaay5waiaaw2faaiaacUdaaeaaca WGJbGaeyypa0ZaaeWaaeaacaaI2aGaam4vamaaBaaaleaajugqbiaa =LgacaWFUbaaleqaaOGaeyOeI0YaaeWaaeaacaaIXaGaey4kaSIaam OBaaGaayjkaiaawMcaaiaadEfadaWgaaWcbaqcLbuacaWF0baaleqa aaGccaGLOaGaayzkaaGaeqiWdaNaam4raiabeg8aYnaaBaaaleaaca WFTbaabeaakiaadMeadaWgaaWcbaqcLbuacaaIZaaaleqaaOGaaiOl aaaaaa@9694@  (П4)

Сокращая теперь все коэффициенты (П4) на πG ρ m I 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabec8aWjaadEeacqaHbpGCpa WaaSbaaSqaa8qacaqGTbaapaqabaGcpeGaamysa8aadaWgaaWcbaWd biaaiodaa8aabeaaaaa@38BD@  и вновь переходя к размерным компонентам W in MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qaca qGPbGaaeOBaaWdaeqaaaaa@343E@  и W t , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBdbqedmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqik8fkY=xipgYl h9vqqj=hEeeu0xXdi9arFj0xirFj0dXdbba91qpK0=yr0RYxfr=Jbb f9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqa baqabeGadaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadEfapaWaaSbaaSqaa8qaca qG0baapaqabaGcpeGaaiilaaaa@3422@  в итоге получим искомые коэффициенты (67).

×

About the authors

B. P. Kondratyev

Sternberg Astronomical Institute of Moscow State University; Central Astronomical Observatory of the RAS at Pulkovo

Author for correspondence.
Email: work@boris-kondratyev.ru
Russian Federation, Moscow; Saint Petersburg

References

  1. И. Тодхантер История математических теорий притяжения и фигуры Земли от Ньютона до Лапласа (М.: Эдиториал УРСС, 2002).
  2. П. Аппель Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости (Л.-М.: ОНТИ, 1936).
  3. С. Чандрасекар Эллипсоидальные фигуры равновесия (М.: Мир, 1972).
  4. П. Пицетти Основы механической теории фигуры планет (М.: ГТТИ, 1933).
  5. К. Мюррей, С. Дермотт Динамика Солнечной системы (М.: Физматлит, 2009).
  6. Ж.Л. Тассуль Теория вращающихся звезд (М.: Мир, 1978).
  7. Дж. П. Кокс Теория звездных пульсаций (М.: Мир, 1983).
  8. К.Ф. Огородников Динамика звездных систем (М.: Физматгиз, 1958).
  9. J. Binney, S. Tremaine Galactic dynamics (Princeton University Press, 1987).
  10. Б.П. Кондратьев Теория потенциала и фигуры равновесия (Москва-Ижевск: РХД, 2003).
  11. Б.П. Кондратьев Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями (М.: Мир, 2007).
  12. B.P. Kondratyev, Astrophys. and Space Sci. 368, 10, id. 84 (2023).
  13. Y. Hagihara Theories of Equilibrium Figures of a Rotating Homogeneous Fluid Mass (NASA, Washington, 1970).
  14. Б.П. Кондратьев, Астрон. журн. (принято в печать) (2025).

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
2. Supplement
Download (139KB)

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».