New formula for the angular velocity of rotation of liquid equilibrium figures

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Теория фигур равновесия гравитирующей вращающейся жидкости глубоко разработана во многих аспектах и имеет много приложений в астрономии, физике и астрофизике, см. обзор Тодхантера [1], книги Аппеля [2] и Чандрасекара [3]. На практике теорию фигур равновесия применяют не только к планетам и спутникам, см., например, Пицетти [4], Мюррей и Дермотт [5], но и к вращающимся звездам (см. монографии Тассуля [6] и Кокса [7]), а также к звездным системам и к галактикам (см., например, Огородников [8], Binney и Tremaine [9], Кондратьев [10]).

Для любой фигуры равновесия надо знать, прежде всего, угловую скорость вращения; именно эта характеристика задает форму и динамику тела, а также определяет всю последовательность фигур равновесия. В аналитическом виде угловая скорость известна только для классических однородных сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби. Для сфероидов Маклорена с полуосями $a_1\ge a_3$ и плотностью $\rho$ квадрат нормализованной угловой скорости равен (см., например, [2, 3, 10]):

$\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }=A_1-\left(1-e^2\right)A_3,$ (1)

где коэффициенты $A_i$ внутреннего потенциала однородного сжатого сфероида зависят от его эксцентриситета $e=\sqrt{1-\frac{a_3^2}{a_1^2}}\le 1$ и равны

$A_1=\frac{\sqrt{1-e^2}}{e^3}\arcsin e-\frac{1-e^2}{e^2}$;

$A_3=\frac{2}{e^2}-2\frac{\sqrt{1-e^2}}{e^3}\arcsin e$. (2)

Что касается трехосных эллипсоидов Якоби, то здесь ситуация несколько сложнее. Во-первых, для них вместо (1) имеем выражение для квадрата угловой скорости

$\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }=\frac{A_1-e_{12}^2{A}_2}{e_{12}^2},$ (3)

где $e_{12}=\sqrt{1-\frac{a_2^2}{a_1^2}}$ и $e_{13}=\sqrt{1-\frac{a_3^2}{a_1^2}}$ $—$ эксцентриситеты сечений эллипсоида с полуосями $a_1\ge a_2>a_3.$ Во-вторых, для эллипсоидов Якоби есть добавочное соотношение

$a_1^2{a}_2^2\frac{A_2-A_1}{a_1^2-a_2^2}=A_3{a}_3^2,$ (4)

в неявном виде связывающее $e_{12}$ и $e_{13}.$ Сами коэффициенты $A_i$ для трехосного эллипсоида сложным образом (через стандартные неполные эллиптические интегралы Лежандра) зависят от отношений полуосей (см., например, [3, 10]).

Согласно формулам (1) и (3), угловая скорость вращения определяется геометрической формой фигуры равновесия. И хотя эта связь не всегда однозначная (так, для сфероидов Маклорена в интервале $0\le \frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }<0.224665$ для каждого значения $\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }$ существуют два сфероида разной сплюснутости), именно знание угловой скорости и позволило ввести понятие последовательности фигур равновесия. К сожалению, для подавляющего большинства других фигур равновесия, например, для неэллипсоидальных фигур, открытых Пуанкаре и Ляпуновым (см. [2, 13, 10]), аналогичных формул для угловой скорости не существует. По этой причине, для каждой неэллипсоидальной серии фигур равновесия приходится подбирать свой главный параметр.

В данной работе получена новая формула для угловой скорости неоднородных фигур равновесия вращающейся жидкой массы с политропным уравнением состояния. Важной особенностью этой формулы является то, что угловая скорость выражается через компоненты внутренней и внешней гравитационной энергии фигуры, введенные ранее в монографии [10]. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напомним определение понятий внутренней и внешней частей гравитационной энергии тела. В разделе 3 изложен метод вывода новой формулы для угловой скорости на примере однородных фигур равновесия. Здесь в 3.1. дана постановка задачи и получена сама формула для угловой скорости вращения. В 3.2. установлена адекватность данной формулы и показано, что она дает правильные значения угловой скорости для классических фигур равновесия однородных сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби. В разделах 4 и 5 дано решение основной задачи для неоднородных тел и получено выражение для угловой скорости фигур равновесия с политропным уравнением состояния. В разделе 4.1. получено выражение уровенной поверхности. В разделе 4.2. решена оригинальная вспомогательная задача и постоянная интегрирования уравнений равновесия выражена через три глобальные характеристики фигуры равновесия. В разделе 5 подробно излагается метод получения выражения угловой скорости для политропных фигур равновесия.

2. КОМПОНЕНТЫ ВНУТРЕННЕЙ И ВНЕШНЕЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛА

По определению (см. [3, 10]), ньютоновская (потенциальная) энергия гравитирующей массы объемом $V,$ распределением плотности $\rho \left(x\right)$ и внутренним потенциалом $\phi \left(x\right)$ равна

$W_t=-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{V}{\int }\rho \phi }dV.$ (5)

Это выражение после замены под знаком интеграла плотности $\rho \left(x\right)$ с помощью уравнения Пуассона

Δ $\Delta \phi =-4\pi G\rho$ (6)

и применения второй формулы Грина приводится к сумме двух членов

$W_t=-\frac{1}{8\pi G}{{\displaystyle \underset{V}{\int }\left(grad\phi \right)}}^{2}dV+\frac{1}{8\pi G}{\displaystyle \underset{S}{\oint }\phi \frac{\partial \phi }{\partial n}}dS,$ (7)

где n есть внутренняя нормаль к поверхности S. Если распространить интегрирование в (7) на все пространство, второй член исчезнет, и мы приходим к формуле Дирихле

$W_t=-\frac{1}{8\pi G}{\displaystyle \underset{V}{\int }\left({\left(\frac{\partial \phi }{\partial x_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x_2}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x_3}\right)}^2\right)}dV.$.(8)

Возвращаясь к выражению (7) заметим, что с физической точки зрения первый член здесь

$W_{\mathrm{in}}=-\frac{1}{8\pi G}{{\displaystyle \underset{V}{\int }\left(grad\phi \right)}}^{2}dV$ (9)

можно рассматривать (см. Кондратьев [10, 11]) как «внутреннюю» часть гравитационной энергии тела. Тогда второй член

$W_{out}=-\frac{1}{8\pi G}{{\displaystyle \underset{R_E-V}{\int }\left(grad\phi \right)}}^{2}dV=\frac{1}{8\pi G}{\displaystyle \underset{S}{\oint }\phi \frac{\partial \phi }{\partial n}}dS$ (10)

будет представлять «внешнюю» гравитационную энергию тела. Полная гравитационная энергия тела есть сумма его внутренней и внешней частей

$W_t=W_{\mathrm{in}}+W_{out}=-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{V}{\int }\rho \phi }dV.$ (11)

Введение понятий внутренней и внешней частей гравитационной энергии тела оказывается полезным в задачах при расчете работы по заполнению веществом полостей и рассеянию вещества тела на ограниченные расстояния. Как показано в [11], для однородного сжатого сфероида с полуосями $a_1\ge a_3,$ эксцентриситетом $e$ и плотностью $\rho$ внешняя и внутренняя части гравитационной энергии будут соответственно равны:

$\begin{array}{c}{W}_{out}=-\frac{3}{20}\frac{M^{2}G}{a_1}\left\{-\sqrt{1-e^2}\frac{3-2e^2}{e^4}{\left(\frac{\arcsin e}{e}\right)}^2+\right.\\ \left.+2\left(2+3\frac{1-e^2}{e^4}\frac{\arcsin e}{e}-\sqrt{1-e^2}\frac{3-2e^2}{e^4}\right)\right\};\\ W_{\mathrm{in}}=-\frac{3}{20}\frac{M^{2}G}{a_1}\left[\frac{A_1^2\left(e\right)}{\sqrt{1-e^2}}+\frac{A_3^2\left(e\right)}{2}\sqrt{1-e^2}\right],\end{array}$ (12)

где коэффициенты потенциала $A_i\left(e\right)$ даны в (2).

В частном случае шара $e=\mathrm{0,}$ формулы (12) упрощаются и дают

$W_{\mathrm{in}}=-\frac{1}{10}\frac{M^{2}G}{R};W_{out}=-\frac{1}{2}\frac{M^{2}G}{R},$ (13)

так что

$\frac{W_{out}}{W_{\mathrm{in}}}=5.$ (14)

Подчеркнем, что среди всех однородных тел результат (14) для шара является абсолютным минимумом. Так, для сжатого сфероида с компонентами энергии (12) отношение $\frac{W_{\text{out}}}{W_{\text{in}}}$ медленно увеличивается от 5 до 6 с ростом эксцентриситета от 0 до 0.90, а при бо́льших сжатиях возрастает очень быстро (см. рис. 63 в монографии [11]).

3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ФИГУР РАВНОВЕСИЯ

3.1. Постановка задачи и вывод основной формулы

Рассмотрим уравнение равновесия жидкой гравитирующей массы, вращающейся с угловой скоростью Ω вокруг оси $O{x}_3:$:

$\mathrm{grad}\text{}p=\mathrm{\rho }\text{}\text{}\mathrm{grad}\text{}\mathrm{\Phi }.$ (15)

Здесь $p\left(x\right)$ $—$ давление в жидкости, $\Phi \left(x\right)$ $—$ полный потенциал, равный сумме гравитационного и центробежного потенциалов

$\Phi \left(x_1,x_2,x_3\right)=\phi \left(x_1,x_2,x_3\right)+\frac{1}{2}{\Omega }^2\left(x_1^2+x_2^2\right).$ (16)

Для равномерно вращающихся однородных конфигураций уравнение (15) дает формулу, описывающую внутренние поверхности уровня:

$\frac{p\left(x\right)}{\rho }=\phi \left(x\right)+\frac{1}{2}{\Omega }^2\left(x_1^2+x_2^2\right)+const.$ (17)

Применяя оператор Лапласа

$\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}$ (18)

к выражению $\frac{p}{\rho }$ из (17), получаем

$\Delta \frac{p}{\rho }=-2\left(2\pi G\rho -{\Omega }^2\right).$ (19)

Кроме того, из уравнения (15) следует выражение

${\left(grad\text{}\phi \right)}^2={\left(grad\text{}\frac{p}{\rho }\right)}^2+{\Omega }^4{r}^2-2{\Omega }^{2}r\cdot grad\text{}\frac{p}{\rho }.$ (20)

Интегрируя выражение (20) по объему фигуры V получим

$-8\pi G{W}_{\mathrm{in}}={\displaystyle \underset{V}{\int }{\left(grad\text{}\frac{p}{\rho }\right)}^{2}dV+\frac{{\Omega }^4}{\rho }{I}_3}-2{\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }r\cdot grad\text{}\frac{p}{\rho }dV}.$ (21)

Здесь

$I_3={{\displaystyle \underset{V}{\int }\rho \cdot r}}^{2}dV$ (22)

$—$ момент инерции фигуры относительно оси $O{x}_3.$

Обратим внимание, что в левой части (21) появилась величина внутренней гравитационной энергии $W_{\text{in}}$ введенная выше в (9). Рассмотрим подробнее первый член в правой части (21)

$Z={{\displaystyle \int }}_V{\left(\text{grad}\text{}\frac{p}{\rho }\right)}^{2}dV$ (23)

и применим к нему теорему Грина. Тогда, поскольку давление на граничной поверхности фигуры равно нулю

$p_S=\mathrm{0,}$ (24)

получим

$Z=-{\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }\cdot \Delta \left(\frac{p}{\rho }\right)dV=\frac{4\pi G\rho -2{\Omega }^2}{\rho }\cdot \Pi },$  (25)

где мы учли формулу (19). Величина П (тепловой член) в (25) есть интеграл от давления

$\Pi ={\displaystyle \underset{V}{\int }p\left(x\right)}dV.$ (26)

Далее, третий член в правой части (21) после интегрирования по частям оказывается равен

$2{\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }r\cdot grad\text{}\frac{p}{\rho }dV}=-\frac{4{\Omega }^2}{\rho }\cdot \Pi$. (27)

Таким образом, выражение (21) приводится к виду

$-8\pi G{W}_{\mathrm{in}}=\left(\frac{2{\Omega }^2}{\rho }+4\pi G\right)\cdot \Pi +\frac{{\Omega }^4{I}_3}{\rho }.$ (28)

С другой стороны, согласно теореме вириала,

$-3\Pi =2T_{rot}+W_t={\Omega }^2{I}_3+W_t.$ (29)

Здесь $T_{\text{rot}}$ $—$ энергия вращения тела. Исключая П из (28) с помощью (29), получаем биквадратное уравнение для нормированной угловой скорости $\mathrm{\Omega }=\frac{\mathrm{\Omega }}{\sqrt{\mathrm{\pi }G\mathrm{\rho }}}$

${\Omega }^4-4{\Omega }^2\left(1-\eta \right)+4\frac{6W_{\mathrm{in}}-W_t}{\pi G\rho I_3}=\mathrm{0,}$ (30)

где

$\eta =-\frac{W_t}{2\pi G\rho I_3}>0$ (31)

(см. также неравенство (34)).

Корни уравнения (30) равны

$\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }=1-\eta \pm \sqrt{{\left(1-\eta \right)}^2-\frac{6W_{\mathrm{in}}-W_t}{\pi G\rho I_3}}.$  (32)

Решение (32) и определяет квадрат угловой скорости однородной фигуры относительного равновесия через внутреннюю (9) и полную (11) гравитационную энергию.

3.2. Некоторые свойства выражения (32)

Главная особенность формулы (32) в том, что выражение угловой скорости вращения $\frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{2\mathrm{\pi }G\mathrm{\rho }}$ для однородных гравитирующих фигур относительного равновесия выражается через компоненты внутренней $W_{\text{in}}$ и внешней $W_{\text{out}}$ гравитационной энергии фигуры. Формулу (32) можно записать в эквивалентном виде

$\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }=1-\eta \pm \sqrt{{\left(1-\eta \right)}^2-2\eta -\frac{6W_{\mathrm{in}}}{\pi G\rho I_3}}.$   (33)

Здесь

$\mathrm{\eta }=-\frac{W_t}{2\pi G\rho I_3}\ge \mathrm{1,}$ (34)

причем точное равенство в (34) выполняется только для шара.

Формула (33) была проверена нами в монографии [11] и, особенно тщательно, в статье [12]. Установлено, что только при знаке «$—$» перед радикалом она дает правильные значения угловой скорости для классических фигур равновесия однородных сфероидов Маклорена (1) и трехосных эллипсоидов Якоби (3)

$\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }=1-\eta -\sqrt{{\left(1-\eta \right)}^2-2\eta -\frac{6W_{\mathrm{in}}}{\pi G\rho I_3}}.$ (35)

4. ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ФИГУР С ПОЛИТРОПНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ

До сих мы рассматривали однородные фигуры относительного равновесия. Однако большинство реальных небесных тел (астероиды, планеты и спутники, а также звезды и галактики) имеют сложное строение и являются неоднородными системами. Возникает актуальный вопрос: допускает ли формула (35) обобщение на неоднородные конфигурации? В этом разделе будет показано, что для широкого класса неоднородных тел, описываемых политропным уравнением состояния, аналог формулы (35) действительно существует, и угловую скорость вращающихся политроп можно представить как функцию от компонентов внешней и внутренней гравитационной энергии фигуры.

4.1. Уравнение уровенной поверхности

Вновь рассмотрим уравнение равновесия жидкой гравитирующей массы, вращающейся с угловой скоростью Ω вокруг оси $O{x}_3.$ Уравнение (15) запишем в виде

$\frac{\mathrm{grad}\text{}p}{\mathrm{\rho }\text{}}=\text{}\mathrm{grad}\text{}\mathrm{\Phi }.$ (36)

Напомним, здесь $p\left(x\right)$ $—$ давление в жидкости, $\rho \left(x\right)$ $—$ плотность, $\Phi \left(x\right)$ $—$ полный (гравитационный плюс центробежный) потенциал тела из (16).

Полагаем теперь, что внутри конфигурации выполняется политропное уравнение состояния, связывающее давление вещества и плотность известной формулой

$p=K{\rho }^{\frac{n+1}{n}},$ (37)

где n $—$ индекс политропы, изменяющийся в интервале

$0\le n\le 5.$ (38)

Для решения поставленной задачи прежде всего заметим, что с помощью (37) входящее в уравнение равновесия (36) отношение $\frac{\text{grad} \text{}p}{\rho }$ можно записать в виде полного дифференциала от функции плотности

$\frac{dp}{\rho }\text{}=K\left(\frac{n+1}{n}\right){\rho }^{\frac{1-n}{n}}d\rho =K\left(n+1\right)d\left({\rho }^{\frac{1}{n}}\right).$   (39)

Подставляя выражение (39) в левую часть (36) и интегрируя, получим уравнение уровенной поверхности

$\left(n+1\right)\frac{p}{\rho }=\phi \left(x\right)+\frac{1}{2}{\Omega }^2{r}^2+const,r^2=x_1^2+x_2^2.$ (40)

Значение постоянной интегрирования в (40) $\text{const}\equiv C$ можно выбрать так, чтобы на поверхности фигуры $S\left(x\right)=0$ давление тождественно обращалось в нуль

$p_S=0.$ (41)

4.2. Нахождение постоянной интегрирования через глобальные характеристики фигуры равновесия.

Для большинства задач в теории фигур равновесия обычно принимаются во внимание только силы, и при этом нет необходимости рассматривать входящую в уравнение (40) постоянную интегрирования $\text{const}\equiv C.$ Однако особенность поставленной здесь задачи в том, что для ее решения эту постоянную интегрирования необходимо рассматривать как функцию от интегральных характеристик фигуры. Как установлено в монографии [10] (см. форм. (1.13)), для однородных фигур равновесия постоянная в формуле (40) равна

$C=\mathrm{const}=\frac{5}{3}\frac{W_{\mathrm{t}}-T_{\mathrm{rot}}}{M},$ (42)

где $M$ $—$ масса, $W_{\text{t}}$ $—$ полная гравитационная энергия, $T_{\text{rot}}=\frac{1}{2}{\Omega }^2{I}_3$ $—$ энергия вращения тела.

При рассмотрении неоднородного случая, метод нахождения константы C следует обобщить. Для этого умножим обе части выражения (40) на $\rho \left(x\right)$

$\left(n+1\right)p=\rho \phi \left(x\right)+\frac{1}{2}{\Omega }^2\rho r^2+C\cdot \rho ,$ (43)

и проинтегрируем уравнение (43) по объему фигуры. Получим

$\left(n+1\right)\Pi =-2W_t+\frac{1}{2}{\Omega }^2{I}_3+C\cdot M,$ (44)

где появляется тепловой член П из (26). Исключая этот тепловой член в (44) с помощью теоремы вириала (29), в итоге находим значение постоянной интегрирования

$C=\frac{\left(5-n\right)W_t-\left(5+2n\right)T_{rot}}{3M}=\frac{\left(5-n\right)W_t-\left(5/2+n\right){\Omega }^2{I}_3}{3M}.$ (45)

В частности, при $n=0$ из (45) получим известное уже нам из (42) значение постоянной $C$ для однородного случая.

5. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ

5.1. Моментное уравнение для угловой скорости

Переписав выражение (40) в виде

$\frac{p}{\mathrm{\rho }}=\frac{1}{n+1}\left(\phi \left(x\right)+\frac{1}{2}{\Omega }^2\left(x_1^2+x_2^2\right)+\mathrm{const}\right),$ (46)

применим к нему оператор Лапласа (18), получим

$\Delta \left(\frac{p}{\rho }\right)=\frac{2}{n+1}\left({\Omega }^2-2\pi G\rho \right).$ (47)

Далее из (40) находим $\text{grad}\text{} \phi$

$\mathrm{grad}\mathrm{\phi }=\left(n+1\right)\mathrm{grad}\frac{p}{\mathrm{\rho }}-{\Omega }^{2}r.$ (48)

Возводя в квадрат левую и правую части (48) и интегрируя по объему фигуры $V,$ получим

$-8\pi G\cdot W_{in}={\left(n+1\right)}^2{\displaystyle \underset{V}{\int }{\left(grad\frac{p}{\rho }\right)}^{2}dV}+{\Omega }^4{\displaystyle \underset{V}{\int }{r}^{2}dV}-2\left(n+1\right){\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }r}\cdot grad\frac{p}{\rho }dV,$ (49)

где при записи левой части было использовано равенство (9).

5.2. Анализ уравнения (49)

Рассмотрим первый член в правой части (49)

$Z_1={\left(n+1\right)}^2{\displaystyle \underset{V}{\int }{\left(grad\frac{p}{\rho }\right)}^{2}dV}.$ (50)

Применяя к нему интегральную формулу Грина, получим

 $Z_1={\left(n+1\right)}^2{\displaystyle \underset{V}{\int }{\left(grad\frac{p}{\rho }\right)}^{2}dV}=-{\left(n+1\right)}^2{\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }\Delta \left(\frac{p}{\rho }\right)dV}+{\left(n+1\right)}^2{\displaystyle \underset{S}{\int }\frac{p}{\rho }\frac{\partial }{\partial n}}\left(\frac{p}{\rho }\right)dS.$ (51)

В силу равенства нулю давления на поверхности фигуры (24), второй член в правой части (51) также обратится в нуль, и мы получим

$Z_1=2\left(n+1\right){\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }\left(2\pi G\rho -{\Omega }^2\right)dV}.$ (52)

Учитывая тепловой член (26), приводим $Z_1$ к виду

$Z_1=4\pi G\left(n+1\right)\Pi -2\left(n+1\right){\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }dV}.$ (53)

Далее рассмотрим третий член в правой части (51)

$Z_2=-2\left(n+1\right){\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }r\cdot grad\frac{p}{\rho }dV},$ (54)

который также преобразуем. Для этого раскроем подынтегральное выражение

$r\cdot grad\frac{p}{\rho }=x_1\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{p}{\rho }+x_2\frac{\partial }{\partial x_2}\frac{p}{\rho }.$ (55)

Учитывая тождество

$x_1\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{p}{\rho }=\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{p}{\rho }{x}_1\right)-\frac{p}{\rho },$ (56)

сложим два таких выражения, получим

$r\cdot grad\frac{p}{\rho }=div\left(\frac{p}{\rho }r\right)-2\frac{p}{\rho }.$ (57)

Тогда, в силу известного векторного равенства и дополнительного условия (24), интеграл по объему тела от первого члена в (57) исчезает

${\displaystyle \underset{V}{\int }div\left(\frac{p}{\rho }r\right)dV=}{\displaystyle \underset{S}{\int }\left(\frac{p}{\rho }r\right)dS}=\mathrm{0,}$ (58)

поэтому

$Z_2=4\left(n+1\right){\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }}dV.$ (59)

Подставляя теперь $Z_1$ из (53) и $Z_2$ из (59) в (49), после некоторых сокращений приведем последнее выражение к виду

$-8\pi G\cdot W_{in}=4\pi G\left(n+1\right)\Pi +2\left(n+1\right){\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }dV+{\Omega }^4{\displaystyle \underset{V}{\int }{r}^{2}dV}}.$ (60)

Исключая здесь тепловой член с помощью теоремы вириала (29), запишем (60) в виде

$-8\pi G\cdot W_{in}=-\frac{4}{3}\pi G\left(n+1\right)\left({\Omega }^2{I}_3+W_{tot}\right)+2\left(n+1\right){\Omega }^2{\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }dV+{\Omega }^4{\displaystyle \underset{V}{\int }{r}^{2}dV}}.$ (61)

5.3. Биквадратное уравнение для угловой скорости и его корни

Рассмотрим в правой части (61) интеграл

$In=\left(1+n\right){\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{p}{\rho }dV},$ (62)

и подставим в него отношение $\left(1+n\right)\frac{p}{\rho }$ из уравнения уровенной поверхности (40). При этом важно заметить, что вначале само уравнение (40) следует записать с учетом значения постоянной интегрирования из (45) в виде

$\left(1+n\right)\frac{p}{\rho }=\phi \left(x\right)+\frac{1}{2}{\Omega }^2\left(x_1^2+x_2^2\right)+\frac{\left(5-n\right)W_t-\left(5/2+n\right){\Omega }^2{I}_3}{3M}.$ (63)

Введем теперь среднюю плотность фигуры ${\rho }_{\text{m}},$ а также вспомогательные интегралы

$h_1={\displaystyle \underset{V}{\int }{r}^2}dV;h_2={\displaystyle \underset{V}{\int }\phi \left(x\right)}dV.$ (64)

Интегрируя выражение (63) по объему фигуры, с учетом формул (64) находим

$\text{In}=\left(1+n\right){{\displaystyle \int }}_V\frac{p}{\rho }dV=h_2+\frac{1}{2}{\Omega }^2{h}_1+\frac{\left(5-n\right)W_{\text{t}}}{3{\rho }_{\text{m}}}-\frac{\left(5+2n\right)}{6{\rho }_{\text{m}}}{I}_3{\Omega }^2.$ (65)

Подставляя теперь (65) в (61), после преобразований (см. Приложение) получим биквадратное уравнение для $\frac{\mathrm{\Omega }}{\sqrt{\mathrm{\pi }G\mathrm{\rho }}}$

$a\cdot {\Omega }^4-2b\cdot {\Omega }^2+c=0.$ (66)

Коэффициенты в уравнении (66) равны

$a=\frac{6{\rho }_{\text{m}}{h}_1}{I_3}-2n-5;$

$b=1+n-\frac{3h_2}{2\pi G{I}_3}-\left(5-n\right)\frac{W_{\text{t}}}{2\pi G{\rho }_{\text{m}}{I}_3};$

$c=\frac{6W_{\text{in}}-\left(1+n\right)W_{\text{t}}}{\pi G{\rho }_{\text{m}}{I}_3}.$ (67)

Корни уравнения (66) равны

$\frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{2\mathrm{\pi }G{\mathrm{\rho }}_m}=\frac{b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}.$ (68)

Формула (68) и дает решение поставленной задачи. При выборе знака перед радикалом следует учитывать, как будет показано в следующем разделе, только при знаке «−» перед радикалом формула

$\frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{2\mathrm{\pi }G{\mathrm{\rho }}_m}=\frac{b-\sqrt{b^2-ac}}{a}.$ (69)

позволяет получить правильные значения угловой скорости для однородных классических сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби.

5.4. Проверка: частный случай однородных фигур равновесия

Для проверки сложных расчетов рассмотрим частный случай однородных фигур, для которых выполняются соотношения

$n=0;{\rho }_{\text{m}}=\rho ;h_1=\frac{I_3}{\rho };h_2=-\frac{2W_{\text{t}}}{\rho }.$ (70)

Подставляя равенства (70) в формулы (67), получим значения коэффициентов

 $\begin{array}{l}a=1;\\ b=1+\frac{W_t}{2\pi G\rho I_3};\\ c=\frac{6W_{in}-W_t}{\pi G\rho I_3},\end{array}$ (71)

при которых уравнение (66) переходит в полученное ранее уравнение (30). Следовательно, решение (69) действительно сводится в однородном случае к известному нам решению (35). Доказательство новой формулы закончено.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ

Целью работы является вывод новой динамической формулы для угловой скорости вращения фигур равновесия гравитирующей жидкости с политропным уравнением состояния. В этой формуле угловая скорость вращения зависит не только от показателя политропы $0\le n\le \mathrm{5,}$ но и от компонентов внутренней и внешней гравитационной энергии фигуры равновесия.

Ранее [10, 11, 12] нами было доказано, что новая формула (35) для однородных фигур дает известные значения угловой скорости для классических фигур равновесия сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби.

Здесь получена новая формула для угловой скорости неоднородных фигур равновесия политроп с жестким вращением. При решении этой задачи впервые возникла необходимость представления постоянной интегрирования уравнений движения через показатель политропы и три глобальные характеристики: массу, полную гравитационную энергию и энергию вращения тела.

Справедливость новой формулы для угловой скорости (69) подтверждается предельным переходом к однородным фигурам равновесия.

Другой проверкой новой формулы (69) является ее применение к уникальной быстро вращающейся карликовой планете Haumea. Подробный анализ расчетов по Haumea будет дан в нашей следующей работе [14].

Отметим также следующее. В теории фигур равновесия до сих пор нет общего метода построения даже однородных фигур равновесия. Это связано с тем, что основное функциональное уравнение не имеет, как известно, общего решения. Все известные решения сначала как бы угадываются, а уже потом строго проверяются и изучаются.

Формула для угловой скорости (69) также не может рассматриваться как самостоятельный способ построения новых фигур равновесия. Но достаточно того, что в этой формуле указана ранее неизвестная связь между угловой скоростью и отношением внутренней и внешней частей гравитационной энергии фигуры равновесия. Поэтому формула (69) может быть полезна при анализе разных моделей фигур равновесия небесных тел.

ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЫВОД КОЭФФИЦИЕНТОВ (67)

Запишем выражение (61) с учетом интеграла (65) в полном виде

$-8\pi G\cdot W_{in}=-\frac{4}{3}\pi G\left(n+1\right)\left({\mathrm{\Omega }}^2{I}_3+W_t\right)+{\mathrm{\Omega }}^4\underset{V}{\int r^2}dV+2{\mathrm{\Omega }}^2\left(h_2+\frac{1}{2}{\mathrm{\Omega }}^2{h}_1+\frac{(5-n)W_{\mathrm{t}}}{3{\mathrm{\rho }}_m}-\frac{(5+2n)}{6{\mathrm{\rho }}_m}{I}_3{\mathrm{\Omega }}^2\right).$ (П1)

Разделим обе части этого выражения на $\frac{4}{3}\pi G,$ получим

$\begin{array}{l}-6W_{in}=-\left(n+1\right)\left({\Omega }^2{I}_3+W_t\right)+\frac{3h_1}{4\pi G}{\Omega }^4+\\ +2{\Omega }^2\left(\frac{3h_2}{4\pi G}+\frac{3h_1}{8\pi G}{\Omega }^2+\frac{\left(5-n\right)W_t}{6\pi G{\rho }_m}-\frac{\left(5+2n\right)}{8\pi G{\rho }_m}{I}_3{\Omega }^2\right).\end{array}$ (П2)

Для дальнейших преобразований удобно ввести безразмерные величины

${\mathrm{\Omega }}^2\to \frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{2\mathrm{\pi }G{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{m}}}, {\mathrm{W}}_{in}\to \frac{W_{\mathit{i}\mathit{n}}}{\mathrm{\pi }G{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{m}}{I}_{\mathit{3}}}, {\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}\to \frac{{\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}}{\mathrm{\pi }G{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{m}}{I}_{\mathit{3}}}.$ (П3)

Раскрывая (П2), запишем это выражение в виде (66) с коэффициентами

$\begin{array}{l}a={\left(2\pi G{\rho }_m\right)}^2{I}_3\left[\frac{3h_1}{2\pi G{I}_3}-\frac{5+2n}{4\pi G{\rho }_m}\right];\\ b=\left(2\pi G{\rho }_m\right)I_3\left[\frac{1+n}{2}-\frac{3h_2}{4\pi G{I}_3}-\frac{\left(5-n\right)}{4}{W}_t\right];\\ c=\left(6W_{in}-\left(1+n\right)W_t\right)\pi G{\rho }_m{I}_3.\end{array}$ (П4)

Сокращая теперь все коэффициенты (П4) на $\pi G{\rho }_{\text{m}}{I}_3$ и вновь переходя к размерным компонентам $W_{\text{in}}$ и $W_{\text{t}},$ в итоге получим искомые коэффициенты (67).

About the authors

B. P. Kondratyev

Author for correspondence.
Email: work@boris-kondratyev.ru
Russian Federation, Moscow; Saint Petersburg

References

Supplementary files