Full Text
1. ВВЕДЕНИЕ
Теория фигур равновесия гравитирующей вращающейся жидкости глубоко разработана во многих аспектах и имеет много приложений в астрономии, физике и астрофизике, см. обзор Тодхантера [1], книги Аппеля [2] и Чандрасекара [3]. На практике теорию фигур равновесия применяют не только к планетам и спутникам, см., например, Пицетти [4], Мюррей и Дермотт [5], но и к вращающимся звездам (см. монографии Тассуля [6] и Кокса [7]), а также к звездным системам и к галактикам (см., например, Огородников [8], Binney и Tremaine [9], Кондратьев [10]).
Для любой фигуры равновесия надо знать, прежде всего, угловую скорость вращения; именно эта характеристика задает форму и динамику тела, а также определяет всю последовательность фигур равновесия. В аналитическом виде угловая скорость известна только для классических однородных сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби. Для сфероидов Маклорена с полуосями и плотностью квадрат нормализованной угловой скорости равен (см., например, [2, 3, 10]):
(1)
где коэффициенты внутреннего потенциала однородного сжатого сфероида зависят от его эксцентриситета и равны
;
. (2)
Что касается трехосных эллипсоидов Якоби, то здесь ситуация несколько сложнее. Во-первых, для них вместо (1) имеем выражение для квадрата угловой скорости
(3)
где и эксцентриситеты сечений эллипсоида с полуосями Во-вторых, для эллипсоидов Якоби есть добавочное соотношение
(4)
в неявном виде связывающее и Сами коэффициенты для трехосного эллипсоида сложным образом (через стандартные неполные эллиптические интегралы Лежандра) зависят от отношений полуосей (см., например, [3, 10]).
Согласно формулам (1) и (3), угловая скорость вращения определяется геометрической формой фигуры равновесия. И хотя эта связь не всегда однозначная (так, для сфероидов Маклорена в интервале для каждого значения существуют два сфероида разной сплюснутости), именно знание угловой скорости и позволило ввести понятие последовательности фигур равновесия. К сожалению, для подавляющего большинства других фигур равновесия, например, для неэллипсоидальных фигур, открытых Пуанкаре и Ляпуновым (см. [2, 13, 10]), аналогичных формул для угловой скорости не существует. По этой причине, для каждой неэллипсоидальной серии фигур равновесия приходится подбирать свой главный параметр.
В данной работе получена новая формула для угловой скорости неоднородных фигур равновесия вращающейся жидкой массы с политропным уравнением состояния. Важной особенностью этой формулы является то, что угловая скорость выражается через компоненты внутренней и внешней гравитационной энергии фигуры, введенные ранее в монографии [10]. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напомним определение понятий внутренней и внешней частей гравитационной энергии тела. В разделе 3 изложен метод вывода новой формулы для угловой скорости на примере однородных фигур равновесия. Здесь в 3.1. дана постановка задачи и получена сама формула для угловой скорости вращения. В 3.2. установлена адекватность данной формулы и показано, что она дает правильные значения угловой скорости для классических фигур равновесия однородных сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби. В разделах 4 и 5 дано решение основной задачи для неоднородных тел и получено выражение для угловой скорости фигур равновесия с политропным уравнением состояния. В разделе 4.1. получено выражение уровенной поверхности. В разделе 4.2. решена оригинальная вспомогательная задача и постоянная интегрирования уравнений равновесия выражена через три глобальные характеристики фигуры равновесия. В разделе 5 подробно излагается метод получения выражения угловой скорости для политропных фигур равновесия.
2. КОМПОНЕНТЫ ВНУТРЕННЕЙ И ВНЕШНЕЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛА
По определению (см. [3, 10]), ньютоновская (потенциальная) энергия гравитирующей массы объемом распределением плотности и внутренним потенциалом равна
(5)
Это выражение после замены под знаком интеграла плотности с помощью уравнения Пуассона
Δ (6)
и применения второй формулы Грина приводится к сумме двух членов
(7)
где n есть внутренняя нормаль к поверхности S. Если распространить интегрирование в (7) на все пространство, второй член исчезнет, и мы приходим к формуле Дирихле
.(8)
Возвращаясь к выражению (7) заметим, что с физической точки зрения первый член здесь
(9)
можно рассматривать (см. Кондратьев [10, 11]) как «внутреннюю» часть гравитационной энергии тела. Тогда второй член
(10)
будет представлять «внешнюю» гравитационную энергию тела. Полная гравитационная энергия тела есть сумма его внутренней и внешней частей
(11)
Введение понятий внутренней и внешней частей гравитационной энергии тела оказывается полезным в задачах при расчете работы по заполнению веществом полостей и рассеянию вещества тела на ограниченные расстояния. Как показано в [11], для однородного сжатого сфероида с полуосями эксцентриситетом и плотностью внешняя и внутренняя части гравитационной энергии будут соответственно равны:
(12)
где коэффициенты потенциала даны в (2).
В частном случае шара формулы (12) упрощаются и дают
(13)
так что
(14)
Подчеркнем, что среди всех однородных тел результат (14) для шара является абсолютным минимумом. Так, для сжатого сфероида с компонентами энергии (12) отношение медленно увеличивается от 5 до 6 с ростом эксцентриситета от 0 до 0.90, а при бо́льших сжатиях возрастает очень быстро (см. рис. 63 в монографии [11]).
3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ФИГУР РАВНОВЕСИЯ
3.1. Постановка задачи и вывод основной формулы
Рассмотрим уравнение равновесия жидкой гравитирующей массы, вращающейся с угловой скоростью Ω вокруг оси :
(15)
Здесь давление в жидкости, полный потенциал, равный сумме гравитационного и центробежного потенциалов
(16)
Для равномерно вращающихся однородных конфигураций уравнение (15) дает формулу, описывающую внутренние поверхности уровня:
(17)
Применяя оператор Лапласа
(18)
к выражению из (17), получаем
(19)
Кроме того, из уравнения (15) следует выражение
(20)
Интегрируя выражение (20) по объему фигуры V получим
(21)
Здесь
(22)
момент инерции фигуры относительно оси
Обратим внимание, что в левой части (21) появилась величина внутренней гравитационной энергии введенная выше в (9). Рассмотрим подробнее первый член в правой части (21)
(23)
и применим к нему теорему Грина. Тогда, поскольку давление на граничной поверхности фигуры равно нулю
(24)
получим
(25)
где мы учли формулу (19). Величина П (тепловой член) в (25) есть интеграл от давления
(26)
Далее, третий член в правой части (21) после интегрирования по частям оказывается равен
. (27)
Таким образом, выражение (21) приводится к виду
(28)
С другой стороны, согласно теореме вириала,
(29)
Здесь энергия вращения тела. Исключая П из (28) с помощью (29), получаем биквадратное уравнение для нормированной угловой скорости
(30)
где
(31)
(см. также неравенство (34)).
Корни уравнения (30) равны
(32)
Решение (32) и определяет квадрат угловой скорости однородной фигуры относительного равновесия через внутреннюю (9) и полную (11) гравитационную энергию.
3.2. Некоторые свойства выражения (32)
Главная особенность формулы (32) в том, что выражение угловой скорости вращения для однородных гравитирующих фигур относительного равновесия выражается через компоненты внутренней и внешней гравитационной энергии фигуры. Формулу (32) можно записать в эквивалентном виде
(33)
Здесь
(34)
причем точное равенство в (34) выполняется только для шара.
Формула (33) была проверена нами в монографии [11] и, особенно тщательно, в статье [12]. Установлено, что только при знаке «» перед радикалом она дает правильные значения угловой скорости для классических фигур равновесия однородных сфероидов Маклорена (1) и трехосных эллипсоидов Якоби (3)
(35)
4. ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ФИГУР С ПОЛИТРОПНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ
До сих мы рассматривали однородные фигуры относительного равновесия. Однако большинство реальных небесных тел (астероиды, планеты и спутники, а также звезды и галактики) имеют сложное строение и являются неоднородными системами. Возникает актуальный вопрос: допускает ли формула (35) обобщение на неоднородные конфигурации? В этом разделе будет показано, что для широкого класса неоднородных тел, описываемых политропным уравнением состояния, аналог формулы (35) действительно существует, и угловую скорость вращающихся политроп можно представить как функцию от компонентов внешней и внутренней гравитационной энергии фигуры.
4.1. Уравнение уровенной поверхности
Вновь рассмотрим уравнение равновесия жидкой гравитирующей массы, вращающейся с угловой скоростью Ω вокруг оси Уравнение (15) запишем в виде
(36)
Напомним, здесь давление в жидкости, плотность, полный (гравитационный плюс центробежный) потенциал тела из (16).
Полагаем теперь, что внутри конфигурации выполняется политропное уравнение состояния, связывающее давление вещества и плотность известной формулой
(37)
где n индекс политропы, изменяющийся в интервале
(38)
Для решения поставленной задачи прежде всего заметим, что с помощью (37) входящее в уравнение равновесия (36) отношение можно записать в виде полного дифференциала от функции плотности
(39)
Подставляя выражение (39) в левую часть (36) и интегрируя, получим уравнение уровенной поверхности
(40)
Значение постоянной интегрирования в (40) можно выбрать так, чтобы на поверхности фигуры давление тождественно обращалось в нуль
(41)
4.2. Нахождение постоянной интегрирования через глобальные характеристики фигуры равновесия.
Для большинства задач в теории фигур равновесия обычно принимаются во внимание только силы, и при этом нет необходимости рассматривать входящую в уравнение (40) постоянную интегрирования Однако особенность поставленной здесь задачи в том, что для ее решения эту постоянную интегрирования необходимо рассматривать как функцию от интегральных характеристик фигуры. Как установлено в монографии [10] (см. форм. (1.13)), для однородных фигур равновесия постоянная в формуле (40) равна
(42)
где масса, полная гравитационная энергия, энергия вращения тела.
При рассмотрении неоднородного случая, метод нахождения константы C следует обобщить. Для этого умножим обе части выражения (40) на
(43)
и проинтегрируем уравнение (43) по объему фигуры. Получим
(44)
где появляется тепловой член П из (26). Исключая этот тепловой член в (44) с помощью теоремы вириала (29), в итоге находим значение постоянной интегрирования
(45)
В частности, при из (45) получим известное уже нам из (42) значение постоянной для однородного случая.
5. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ
5.1. Моментное уравнение для угловой скорости
Переписав выражение (40) в виде
(46)
применим к нему оператор Лапласа (18), получим
(47)
Далее из (40) находим
(48)
Возводя в квадрат левую и правую части (48) и интегрируя по объему фигуры получим
(49)
где при записи левой части было использовано равенство (9).
5.2. Анализ уравнения (49)
Рассмотрим первый член в правой части (49)
(50)
Применяя к нему интегральную формулу Грина, получим
(51)
В силу равенства нулю давления на поверхности фигуры (24), второй член в правой части (51) также обратится в нуль, и мы получим
(52)
Учитывая тепловой член (26), приводим к виду
(53)
Далее рассмотрим третий член в правой части (51)
(54)
который также преобразуем. Для этого раскроем подынтегральное выражение
(55)
Учитывая тождество
(56)
сложим два таких выражения, получим
(57)
Тогда, в силу известного векторного равенства и дополнительного условия (24), интеграл по объему тела от первого члена в (57) исчезает
(58)
поэтому
(59)
Подставляя теперь из (53) и из (59) в (49), после некоторых сокращений приведем последнее выражение к виду
(60)
Исключая здесь тепловой член с помощью теоремы вириала (29), запишем (60) в виде
(61)
5.3. Биквадратное уравнение для угловой скорости и его корни
Рассмотрим в правой части (61) интеграл
(62)
и подставим в него отношение из уравнения уровенной поверхности (40). При этом важно заметить, что вначале само уравнение (40) следует записать с учетом значения постоянной интегрирования из (45) в виде
(63)
Введем теперь среднюю плотность фигуры а также вспомогательные интегралы
(64)
Интегрируя выражение (63) по объему фигуры, с учетом формул (64) находим
(65)
Подставляя теперь (65) в (61), после преобразований (см. Приложение) получим биквадратное уравнение для
(66)
Коэффициенты в уравнении (66) равны
(67)
Корни уравнения (66) равны
(68)
Формула (68) и дает решение поставленной задачи. При выборе знака перед радикалом следует учитывать, как будет показано в следующем разделе, только при знаке «−» перед радикалом формула
(69)
позволяет получить правильные значения угловой скорости для однородных классических сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби.
5.4. Проверка: частный случай однородных фигур равновесия
Для проверки сложных расчетов рассмотрим частный случай однородных фигур, для которых выполняются соотношения
(70)
Подставляя равенства (70) в формулы (67), получим значения коэффициентов
(71)
при которых уравнение (66) переходит в полученное ранее уравнение (30). Следовательно, решение (69) действительно сводится в однородном случае к известному нам решению (35). Доказательство новой формулы закончено.
6. РЕЗУЛЬТАТЫ
Целью работы является вывод новой динамической формулы для угловой скорости вращения фигур равновесия гравитирующей жидкости с политропным уравнением состояния. В этой формуле угловая скорость вращения зависит не только от показателя политропы но и от компонентов внутренней и внешней гравитационной энергии фигуры равновесия.
Ранее [10, 11, 12] нами было доказано, что новая формула (35) для однородных фигур дает известные значения угловой скорости для классических фигур равновесия сфероидов Маклорена и трехосных эллипсоидов Якоби.
Здесь получена новая формула для угловой скорости неоднородных фигур равновесия политроп с жестким вращением. При решении этой задачи впервые возникла необходимость представления постоянной интегрирования уравнений движения через показатель политропы и три глобальные характеристики: массу, полную гравитационную энергию и энергию вращения тела.
Справедливость новой формулы для угловой скорости (69) подтверждается предельным переходом к однородным фигурам равновесия.
Другой проверкой новой формулы (69) является ее применение к уникальной быстро вращающейся карликовой планете Haumea. Подробный анализ расчетов по Haumea будет дан в нашей следующей работе [14].
Отметим также следующее. В теории фигур равновесия до сих пор нет общего метода построения даже однородных фигур равновесия. Это связано с тем, что основное функциональное уравнение не имеет, как известно, общего решения. Все известные решения сначала как бы угадываются, а уже потом строго проверяются и изучаются.
Формула для угловой скорости (69) также не может рассматриваться как самостоятельный способ построения новых фигур равновесия. Но достаточно того, что в этой формуле указана ранее неизвестная связь между угловой скоростью и отношением внутренней и внешней частей гравитационной энергии фигуры равновесия. Поэтому формула (69) может быть полезна при анализе разных моделей фигур равновесия небесных тел.
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЫВОД КОЭФФИЦИЕНТОВ (67)
Запишем выражение (61) с учетом интеграла (65) в полном виде
(П1)
Разделим обе части этого выражения на получим
(П2)
Для дальнейших преобразований удобно ввести безразмерные величины
(П3)
Раскрывая (П2), запишем это выражение в виде (66) с коэффициентами
(П4)
Сокращая теперь все коэффициенты (П4) на и вновь переходя к размерным компонентам и в итоге получим искомые коэффициенты (67).