Structural Spectral Methods for Solving Continuous Lyapunov Equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For linear multivariable continuous stationary stable control systems with a simple spectrum, presented in the form of a canonical diagonal form, controllability and observability forms, a method was developed and analytical formulas for spectral decompositions of gramians in the form of various Xiao matrices were obtained. A method and algorithm for calculatin  generalized Xiao matrices in the form of the Hadamard product for multiply connected continuous
linear systems with many inputs and many outputs have been developed. This allows us to calculate the elements of the corresponding controllability and observability gramians in the
form of products of the corresponding elements of the multiplier matrices and a matrix that is the sum of all possible products of the numerator matrices of the matrix transfer function of the system. New results are obtained in the form of spectral and singular decompositions of the inverse gramians of controllability and observability. This makes it possible to obtain invariant decompositions of energy functionals and formulate new criteria for the stability of linear systems taking into account the nonlinear effects of mode interaction.

About the authors

I. B. Yadykin

Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences

Email: jad@ipu.ru
Moscow, Russia

I. A. Galyaev

Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: ivan.galyaev@yandex.ru
Moscow, Russia

References

  1. Antoulas A.C. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM. Philadephia, 2005.
  2. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Теория автоматического управления. Учеб. пособие. М.: ЛЕНАНД, 2019. 504 с.
  3. Зубов Н.Е., Зыбин Е.Ю., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Общие аналитические формы решения уравнений Сильвестра и Ляпунова для непрерывных и дискретных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. № 1. С. 3-20.
  4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
  5. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 192 с.
  6. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Учебник-М: Изд-во Лань, 2009. 726 с.
  7. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.
  8. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами М.: Наука, 1976. 424 c.
  9. Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 2002. 216 с.
  10. Проскурников А.В., Фрадков А.Л. Задачи и методы сетевого управления // АиТ. 2016. № 10. С. 3-39.
  11. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления: учебное пособие / СПбГУ СПб.: Изд-во СПб. универ-та, 1993. 318 с.
  12. Sreeram V., Agathoklis P. Solution of Lyapunov equation with system matrix in companion form // IEE Proc. D. Control. Theory Appl. 1991. V. 138. No. 6. P. 529-534. https://doi.org/10.1049/ip-d.1991.0074
  13. Xiao C., Feng Z., Shan X. On the Solution of the Continuous-Time Lyapunov Matrix Equation in Two Canonical Forms // IEE Proc. 1992. V. 139. No. 3. P. 286-290. https://doi.org/10.1049/ip-d.1992.0038
  14. Hauksdottir A., Sigurdsson S. The continuous closed form controllability Gramian and its inverse // 2009 American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA June 10-12, 2009. P. 5345-5351. https://doi.org/978-1-4244-4524-0/09
  15. Yadykin I.B. Spectral Decompositions of Gramians of Continuous Stationary Systems Given by Equations of State in Canonical Forms // Mathematics. 2022. V. 10. No. 13. P. 2339. https://doi.org/10.3390/math10132339
  16. Dilip A.S.A. The controllability Gramian, the Hadamard product and the optimal actuator // Leader Sensor Select. Problem Nature Phys. 2015. V. 11. P. 779-786. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2019.2919278
  17. Bianchin G., Pasqualetti F. Gramian-Based Optimization for the Analysis and Control of Traffic Networks // IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems. 2022. V. 21. No. 7. P. 3013-3024. https://doi.org/10.1109/TITS.2019.2922900
  18. Himpe C. The Empirical Gramian Framework // Algorithms. 2018. V. 11. No. 91. https://doi.org/10.3390/a11070091
  19. Benner P., Goyal P., Duff I.P. Gramians, Energy Functionals, and Balanced Truncation for Linear Dynamical Systems With Quadratic Outputs // IEEE Transact. Autom. Control. 2022. V. 67. No. 2. P. 886-893. https://doi.org/10.1109/TAC.2021.3086319
  20. Ядыкин И.Б. О свойствах грамианов непрерывных систем управления // АиТ. 2010. № 6. С. 39-50. https://doi.org/10.1134/S0005117910060032
  21. Yadykin I.B., Galyaev A.A. On the methods for calculation of grammians and their use in analysis of linear dynamic systems // Automation and Remote Control. 2013. V. 74. No. 2. P. 207-224.
  22. Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Энергетический подход к анализу устойчивости линейных стационарных динамических систем // АиТ. 2016. № 12. С. 37-58.
  23. Gardner M.F., Barns J.L. Transients in linear systems studied by the Laplace transformation / V. 1. Lumped-constant systems. New York, London. Wiley, Chapman and Hall. 1942.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 The Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».