An Algorithm for Finding the Generalized Chebyshev Center of Sets Defined via Their Support Functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Статья посвящена задаче оптимизации. Пусть A,B ⊂ Rn - выпуклые компакты. Рассмотрим минимальное число t0 > 0 такое, что t0B накрывает A после сдвига на вектор x0 ∈ Rn. Цель - найти t0 и x0. В частном случае, когда B является единичным шаром с центром в нуле, x0 и t0 известны как чебышевский центр и чебышевский радиус A. В данной статье рассматривается случай, когда A и B определяются с помощью своих опорных функций. Предложен алгоритм в духе гардиентного спуска Б.Т. Поляка для эффективного решения таких задач. Алгоритм имеет сверхлинейную скорость сходимости и может решать стомерные тестовые задачи за разумное время, однако для гарантии наличия сходимости необходимы некоторые дополнительные условия на A и B. Дополнительно исследовано поведение алгоритма для простого частного случая, что приводит к ряду теоретических результатов. Изучаются также возмущения этого частного случая.

About the authors

P. A Arkhipov

Email: pavel.arkhipov@ist.ac.at

References

  1. Балашов М.В. Покрытие множества выпуклым компактом: оценки погрешности и вычисление // Матем. заметки. 2022. Т. 112. № 13. С. 337–349.
  2. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
  3. R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. Princeton University Press, 1997.
  4. Botkin N., Turova V. An algorithm for finding the Chebyshev center of a convex polyhedron // Appl. Mat. Optim. 1995. V. 29. P. 211–222.
  5. Xia Y., Yang M. Chebyshev center of the intersection of balls: complexity, relaxation and approximation // Mathematical Programming. 2021. V. 187. P. 287–315.
  6. Frankowska H., Olech C. R-convexity of the integral of set-valued functions // Contribut. Anal. Geometry. 1980. V. 117–129.
  7. Vial J.-Ph. Strong and Weak Convexity of Sets and Functions // Mathematics of Operations Research. 1983. V. 8. No. 2. P. 231–259.
  8. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. Cambridge University Press, 2004.
  9. Li X., Zhu Z., Man-Cho S., Lee J.D. Incremental Methods for Weakly Convex Optimization // arXiv, 2019. V. 1907.11687v1.
  10. Davis D., Drusvyatskiy D., MacPhee K.J., Paquette C. Subgradient Methods for Sharp Weakly Convex Functions // arXiv, 2018. V. 1803.02461v1.
  11. Schneider R., Uschmajew A. Convergence results for projected line search methods on varieties of low-rank matricies via Lojasiewicz inequality // SIAM J. Optim. 2015. V. 25. No. 1. P. 622–646.
  12. Balashov M.V. About the Gradient Projection Algorithm for a Strongly Convex Function and a Proximally Smooth Set // J. Convex Anal. 2017. V. 24. No. 2. P. 493–500.
  13. Bello-Cruz Y., Li G., Nghia T.T.A. On the Linear Convergence of ForwardBackward Splitting Method: Part I – Convergence Analysis // J. Optim. Theory Appl. 2021. V. 188. P. 378–401.
  14. Ioffe A.D. Metric regularity – a survey Part I // J. Austral. Math. Soc. 2016. V. 101. P. 1–56.
  15. Absil P.-A., Mahony R., Sepulchre R. Optimization Algorithms onMatrix Manifolds. Princeton University Press, 2008.
  16. Cen X., Xia Y., Gao R., Yang T. On Chebyshev Center of the Intersection of Two Ellipsoids // Optimization of Complex Systems: Theory, Models, Algorithms and Applications. Springer International Publishing, 2020. P. 135–144.
  17. Beltran F., Finardi E.C., Fredo G.M., Oliveira W. Improving the performance of the stochastic dual dynamic programming algorithm using Chebyshev centers // Optim. Engineer. 2022. V. 23. P. 147–168.
  18. Beck A., Eldar Y.C. Regularization in Regression with Bounded Noise: A Chebyshev Center Approach // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2007. V. 29. No. 2. P. 606–625.
  19. Cerone V., Piga D., Regruto D. Set-Membership Error-in-Variables Identification Through Convex Relaxation Techniques // IEEE Transact. Autom. Control. 2012. V. 57. No. 2. P. 517–522.
  20. Hou J., Teng F., Yin W., Song Y., Hou Y. A Cost-Effective Cyber-Defense Strategy: Attack-Induced Region Minimization and Cybersecurity Margin Maximization // arXiv. 2023. V. 2302.07597.
  21. Samadi S., Roux J., Tanguy A., Caron S., Kheddar A. Some journal publication in English // IEEE Robot. Autom. Lett. 2021. V. 6. No. 2. P. 4032–4039.
  22. Ren X., Mo Y., Chen J., Johansson K.H. Secure state estimation with byzantine sensors: A probabilistic approach // IEEE Transact. Autom. Control. 2020. V. 65. No. 9. P. 3742–3757.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».