Микромагнитное моделирование нерегулярной динамики перемагничивания наноразмерной пермаллоевой пленки со ступенчатым рельефом граничной поверхности

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Топологические перестройки в магнитоупорядоченных средах сопровождаются преодолением энергетических барьеров, что позволяет осуществлять “переключения” между устойчивыми конфигурациями намагниченности с помощью внешних воздействий. Этот эффект лежит в основе различных технологических решений, позволяющих использовать магнетики для создания устройств запоминания и обработки информации [1, 2]. Микромагнитное моделирование обнаруживает, что общее динамическое поведение таких систем может быть достаточно сложным (нерегулярным, турбулентным) вследствие неустойчивости движения [3–6]. Неустойчивость может, в частности, проявляться как увеличение чувствительности к случайным возмущениям в моменты рождения и аннигиляции топологических солитонов (пар вихрь–антивихрь, пар блоховских точек (БТ) с разноименными топологическими зарядами) [7]. Изучение различных типов динамики намагниченности методом численного моделирования представляет практический интерес, позволяя понять, каковы границы устойчивости регулярных режимов движения и как протекают процессы перемагничивания в реальных магнитных средах. С другой стороны, можно ожидать, что основные сценарии топологических перестроек будут иметь универсальный характер и наблюдаться не только в магнитных системах. Несмотря на появление новых инструментов для визуализации магнитодинамических процессов, наблюдаемых экспериментально ([8], метод рентгеновской магнитной нанотомографии), численное моделирование с использованием алгоритмов распараллеливания является в настоящее время наиболее доступным и информативным методом исследования в данной области [9, 10].

В последние годы в ряде работ отмечали важность и перспективность изучения динамики намагниченности с использованием трехмерных моделей [11–14]. Было показано, что в двумерном приближении некоторые эффекты (например, переворот вихрей в нанодисках с учетом спин-волновых процессов [11], динамика блоховских линий в движущейся доменной стенке [12]) не могут быть описаны корректно. К тому же, ограничиваясь двумерными моделями, мы лишаемся возможности рассматривать такие интересные существенно трехмерные топологические объекты, как блоховские точки, вихри и скирмионы с корами в форме трубок. Классификация моделей магнитных систем по размерности дана в работах [13, 14], где также рассмотрены перспективы синтеза систем со сложной пространственной геометрией. В монографии [15] рассматриваются многослойные магнитные структуры, у которых границы раздела слоев содержат “шероховатости”, обусловленные наличием атомных ступеней. Неоднородности на границе раздела, определяющие характер вихревой и доменной структуры в слоях, также требует трехмерного описания. Еще одним важным примером магнитных систем, требующих трехмерного описания, являются пленки с массивами отверстий (антидот пленки) [16–19] – в случае достаточно большой толщины намагниченность в них неоднородна по толщине, в частности, за счет наличия вихревых структур.

В работах [18, 19] были представлены результаты трехмерного микромагнитного моделирования процесса перемагничивания пермаллоевой пленки, содержащей в некоторой ограниченной области массив глухих или сквозных отверстий (антидот массив). Для выбранной начальной конфигурации процесс перемагничивания начинался как движение доменной стенки (ДС) в сплошной пленке, после принимая вид перемещения вихревой зоны перемагничивания (ЗП) через область с измененной геометрией. Было показано, что геометрические характеристики углублений (отверстий) определяют скорость перемагничивания, которая может падать до нуля вследствие закрепления (пиннинга) вихрей на отверстиях.

В данной работе, как и в [18, 19], моделируется перемагничивание пленки, инициированное движущейся ДС, но теперь фактором, возмущающим это движение, является поверхностный наноразмерный рельеф, состоящий из полос, либо из линейных или двумерных массивов прямоугольных параллелепипедов (кубоидов) различного размера (далее, поскольку образец и все элементы рельефа являются прямоугольными параллелепипедами, слово “прямоугольный” мы будем для краткости опускать). Сравнительное изучение процессов вихреобразования в ЗП в пленках с варьируемыми параметрами геометрии представляет интерес с точки зрения возможности управления нерегулярной динамикой перемагничивания.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА РАСЧЕТА

Полагаем, что моделирование динамики перемагничивания производится для фрагмента пермаллоевой пленки толщиной b = 100 нм с расположенными на верхней границе дополнительными элементами, состоящими из параллелепипедов высотой h (h = 25,50 или 100 нм). Расчетная область имеет форму параллелепипеда с размерами L_x×L_y×L_z, где L_x = 800 нм, L_y = b + h и L_z = 40 нм. Эта область разбита на кубические ячейки с размерами сторон ε = 3.125 нм. Дополнительные элементы рельефа представляют собой параллелепипеды с размерами w×h×L_z, где w = 138 или 400 нм (полосы) или массивы наноточек, каждая из которых представляет собой параллелепипед с размерами d×h×d (рассмотрены линейный массив из трех элементов, ориентированный вдоль оси z, а также квадратный массив из девяти элементов, для значений d = 25, 50 или 100 нм). Выполняется численное интегрирование уравнения Ландау–Лифшица–Гильберта (ЛЛГ) [20]:

$\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial t}=-\left|\gamma \right|\left[\mathbf{m}, {\mathbf{H}}_{\text{eff}}\right]+\alpha \left[\mathbf{m},\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial t}\right]$                                                        (1)

где m = M / M_s – нормированное поле намагниченности ($\left|m\right|=1$), M_s – намагниченность насыщения, γ – гиромагнитное отношение, α – параметр затухания Гильберта. Эффективное магнитное поле H_eff равно вариационной производной от функционала полной энергии:

$\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{\text{eff}}}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{{\mathrm{\delta E}}_{\mathrm{\Sigma }}}{\mathrm{\delta }\mathrm{M}}, \\ E_{\Sigma }={\iiint }_{V}d\mathbf{r}\left(w_e+w_a+w_m+w_z\right),\end{array}$

последняя равна результату интегрирования по объему образца плотностей обменной w_e, анизотропной w_а, магнитостатической w_m и зеемановской w_z энергий, определенных следующим образом:

$w_e=A\left\{{\left(\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial z}\right)}^2\right\},$

$w_a=-K{\left(\mathrm{km}\right)}^2, w_m=-\frac{1}{2}{M}_{\text{s}}\mathbf{mH}{ }^{\left(m\right)}$  

$w_z=-M_{\text{s}} {\mathbf{mH}}_{\text{ext}},$  ${\mathbf{H}}_{\text{ext}}=-\mathbf{k}\mathrm{H}.$

Рис. 1. Пример конфигурации КП, лежащих на поверхности ℚ (а); жирные кривые соответствуют выбору Θ(r) = Φ(r) = p/2. На этих кривых находятся центры видимых вихрей ν_k и антивихрей aν_k, лежащих в различных плоскостях xz-сечений (б). В центре каждого вихря (антивихря) вектор намагниченности параллелен оси y. Индекс k = 1, 2, 3 нумерует секущие плоскости; две из них совпадают с границами пленки. Центры вихрей (антивихрей) помечены знаками плюс (минус).

В этой работе рассматривается случай, когда зона перемагничивания движется в отрицательном направлении оси x вследствие наличия внешнего магнитного поля величиной H = 100Э, антипараллельного оси z (оси анизотропии). Материальные параметры имеют обозначения: константа обмена A, намагниченность насыщения M_s, константа одноосной анизотропии K и параметр затухания Гильберта α. Использованные в расчетах значения этих параметров соответствуют пленкам из пермаллоя (${\text{Ni}}_{80}{\text{Fe}}_{20}$) [4, 18, 19, 21–23]:

A = 1.3 · 10^-6 эрг/см, K = 10³ эрг / см³,

M_s = 860Гс, α = 0.02.

На расчетную область наложены периодические граничные условия

${\left.\mathbf{m}\right|}_{\mathrm{z}=0}={\left.\mathbf{m}\right|}_{\mathrm{z}={\mathrm{L}}_{\mathrm{z}}},$                                                                      (2)

что позволяет не рассматривать эффекты обрывания магнитной среды в направлении z (считается, что на других границах намагниченность не закреплена). При расчете магнитостатической энергии применяется периодическое продолжение намагниченности вдоль оси z [24]. Численное решение уравнения (1) проводится с помощью пакета mumax3 [9, 21]. Начальная конфигурация намагниченности содержит искусственно сформированную вихревую С ‑ образную ДС [25].

МЕТОД ВИЗУАЛИЗАЦИИ

Векторное поле m(r) осуществляет отображение ${\mathrm{ℝ}}^3 \to {\mathbb{S}}^2$, где ${\mathrm{ℝ}}^3$ – трехмерное координатное пространство, ${\mathbb{S}}^2$ – двумерная сфера, заданная условием $\left|\mathrm{m}\right|=1$. В этих терминах кривая в , определяемая равенством m(r) = n, является кривой-прообразом (КП) точки на сфере ${\mathbb{S}}^2$ [26].

Вихревое поле намагниченности двумерного ферромагнетика обычно изображают, рисуя векторы в узлах плоской сетки с подходящим шагом. Визуальными образами вихревой структуры трехмерного образца могут служить аналогичные изображения двумерных вихрей, лежащих в плоских сечениях этого образца. Эти вихри характеризуют топологию полей проекций намагниченности m на секущие плоскости. Выбирая определенным образом систему секущих плоскостей, имеющих общий единичный нормальный вектор n, и решая уравнение m(r) = n, можно найти центры вихрей как точки, лежащие на отдельных плоскостях. В результате объединения центров вихрей, принадлежащих различным плоскостям, образуются пространственные линии центров вихрей, совпадающие с КП. Тип вихря можно узнать, находя число полных поворотов проекции m на секущую плоскость при обходе центра вихря по замкнутому контуру [27].

Рассматриваемый в данной работе процесс перемагничивания пленки представляет собой движение ДС или ЗП, разделяющей домены с m_z = 1 и m_z = –1. Поскольку структура поля намагниченности может становиться при этом сложной и нерегулярной, удобно следить за процессом перемагничивания, наблюдая за движением поверхности , заданной уравнением m_z(r) = 0. Вводя угловые координаты m =(sinΘ cosФ, sinΘsinФ), можно записать уравнение поверхности $\mathrm{\mathbb{Q}}$ в виде Θ(r) = π/2. Добавляя условие Ф(r) = Ф₀ и выбирая различные значения константы Ф₀, можно построить семейство КП, лежащих на поверхности $\mathrm{\mathbb{Q}}$. Семейство КП позволяет визуально оценить степень развитости вихревой структуры в области перемагничивания и увидеть ее особенности (рис. 1а; Ф₀= nπ/12, n = 0, ±1, ±2, ... ). В частности, если КП будут иметь S‑образные или U‑образные участки, либо будут замкнутыми кривыми, в сечениях обнаружатся пары вихрь–антивихрь (рис. 1б). Отметим, что конфигурация, изображенная на рис. 1, возникает при t = 2.15 нс в пленке с рельефом, состоящим из тех параллелепипедов, которые имеют размеры d = 25 нм, h = 100 нм.

Концы незамкнутых КП могут лежать на границах образца либо совпадать с БТ, вблизи которых намагниченность имеет все возможные направления. Положения БТ можно отыскивать путем расчета значений топологических зарядов (скирмионных чисел), представленных в форме интегралов по замкнутым границам малых окрестностей различных точек внутри образца [20, 27]:

$\chi ={\left(4\pi \right)}^{-1}∯\mathbf{g}d\mathit{s}, \mathbf{g}=\text{sin}\Theta \left[\nabla \mathrm{\Phi }\times \nabla \mathrm{\Theta }\right],$

где g – топологическая плотность, выраженная через угловые координаты намагниченности. КП являются интегральными кривыми поля g. Действительно, задавая КП в параметрической форме и дифференцируя правые и левые части уравнений Θ(r(τ)) = Θ₀, Ф(r(τ)) = Θ₀ по параметру, получаем:

$\nabla \mathrm{\Phi } \left(\text{d}\mathbf{\text{r}}\text{/d}\mathrm{\tau }\right)=0, \nabla \mathrm{\Theta } \left(\text{d}\mathbf{\text{r}}\text{/d}\mathrm{\tau }\right)=0,$

откуда следует, что направления векторов dr / dτ и g совпадают [28].

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

1. Рельеф в виде одиночного параллелепипеда

Расположим на поверхности пленки параллелепипед, имеющий размеры w, h и L_z в направлениях осей x, y и z соответственно. Поскольку на решение наложено условие (2), можно считать, что пленка является бесконечной в направлении оси z, но рассматриваются только распределения намагниченности, периодические с периодом L_z. Численные расчеты показывают, что в рассмотренном случае, когда m(r) не зависит от z в начальный момент времени, это свойство сохраняется и в процессе движения.

Рис. 2. Результаты моделирования для параллелепипедов с размерами h и w. Изображены зависимости от времени t и x-координаты величин m̅z, усредненных по y_z-сечениям образца (тоновые изображения); x-координаты точек на поверхности m_z = 0, имеющих фиксированные y и z-координаты (сплошные линии). Переход от светлого тона к темному соответствует повороту намагниченности от направления против поля Hₑₓₚ к направлению вдоль этого поля.

Общее представление о динамике перемагничивания пленки дают плотностные графики на рис. 2, изображающие зависимости от t и x средних значений m̅_z, где усреднение проводится по yz-сечениям. Степень размытости перехода от темной заливки к светлой позволяет оценить ширину ЗП. Следя за временной динамикой x-координаты точки, лежащей на поверхности  и на прямой y = b/2, z = L_z /2 (тонкая темная кривая, наложенная на каждый из плотностных графиков), можно видеть быструю динамику поверхности ℚ. Как и в случае пленок с антидот-массивами [18, 19], возмущение, производимое изменением локальной геометрии пленки, приводит к замедлению движения ЗП, а в некоторых случаях к ее остановке (рис. 2б, 2в). При уменьшении скорости движения ЗП ее внутренняя динамика становится нерегулярной.
Процесс перемагничивания представлен более детально на рис. 3.

Рис. 3. Семейства проекций цилиндрических поверхностей ℚ на xy-плоскость в различные моменты времени для пленки без элементов рельефа (а); для пленки с рельефом в виде параллелепипеда, имеющего размеры w = 138 нм, h = 25 нм (в) и h = 50 нм (г); размеры w = 400 нм, h = 25 нм (д) и h = 50 нм (е). Графики проекций изображены с шагом по времени 0.3 нс (толстые линии с оцифровкой) (а, в–е); на участках быстрого движения ЗП добавлены графики с шагом 0.1 нс (тонкие линии без оцифровки) (а, в). Показана начальная конфигурация векторного поля m в xy-сечении, соответствующая С-образной ДС (б). Также для случая w = 138 нм, h = 25 нм показаны характерные конфигурации поля m в xy-сечениях, возникающие в различные моменты времени (ж–м). Близкие и перекрывающиеся жирные линии изображены разными оттенками серого цвета.

Для пленки без элементов рельефа вначале наблюдается поступательное движение ДС, которая превращается из одновихревой в двухвихревую (рис. 3а, τ = 0–1.2 нс). Скорость движения ДС на этом участке равна примерно 300 м/с. Далее (τ = 1.2–2.4 нс) происходят сложные перестройки вихревой структуры ДС, превращающейся в ЗП; скорость движения при этом снижается незначительно. Уменьшение скорости движения ЗП наблюдается после τ = 2.7 нс; возникающие при этом колебания вихревой структуры ЗП могут быть объяснены влиянием близости ЗП к левой границе образца x = 0 нм. Средняя скорость перемагничивания на временном интервале τ = 0–4.5 нс оценочно равна 165 м/с.

В случае пленки с рельефом в виде параллелепипеда с w = 138 нм и h = 25 нм (рис. 3в) начальная стадия движения при τ = 0–1.2 нс будет такой же, как и в предыдущем случае. После того как ЗП достигнет области утолщения пленки, процесс перемагничивания замедляется; далее число продольных вихрей с течением времени меняется. В итоговой конфигурации с одним вихрем этот вихрь смещается вверх, а после “выдавливается” в область левее утолщения (рис. 3в, τ = 2.7–3.6 нс). После этого процесс перемагничивания вновь принимает вид поступательного движения ЗП (рис. 3в, τ = 3.6–4.8 нс). В этом численном эксперименте замедление ЗП вблизи левой границы образца не наблюдается. Средняя скорость перемагничивания примерно равна 160 м/с.

При увеличении высоты параллелепипеда, имеющего ширину w = 138 нм, до h = 50 нм начальная стадия движения не будет отличаться от изображенной на рис. 3а, 3в (соответствующая часть образца на рис. 3г не показана). Однако последующая трансформация распределения намагниченности приводит к прекращению перемагничивания, поскольку формируется “запирающий” вихрь. Пиннинг ЗП происходит также и при w = 138 нм, h = 100 нм.

В случае пленки с рельефом в виде параллелепипеда с w = 400 нм, h = 25 или 50 нм, регулярное движение ДС, наблюдающееся вначале (τ = 0–1.2 нс), при переходе в область утолщения пленки приобретает характер нерегулярного движения ЗП (рис. 3д, 3е). Изображения правых частей образцов (х > 500 нм), для которых графики проекций имеют тот же вид, что и на рис. 3а, 3в, опущены. При h = 25 нм (рис. 3д) вблизи начала утолщенного участка пленки происходит замедление (t = 1.2–3.9 н/с), так что средняя скорость перемагничивания падает до 110 м/с. В случае h = 50 нм (рис. 3е) перемагничивание происходит быстрее (средняя скорость 200 м/с). В качестве примера сложной динамической конфигурации намагниченности можно привести ЗП, включающую в себя вихревую трубку (рис. 3е, t = 2.4 нс), коллапс которой сопровождается излучением спиновых волн (последние проявляют себя как колебания xy-проекции поверхности ℚ на рис. 3е, t = 2.7 нс).

Рис. 4. Результаты моделирования для массивов 1×3 и 3×3, которые состоят из параллелепипедов высотой h, имеющих в основаниях квадраты со сторонами d. Смысл обозначения тот же, что и на рис. 2.

На рис. 3б, 3ж–м изображены некоторые конфигурации поля намагниченности m в xy-сечениях в различные моменты времени (случай w = 138 нм, h = 25 нм). Начальная конфигурация на рис. 3б соответствует С‑образной ДС. В процессе движения возникает двухвихревая ДС (рис. 3ж); позже в области выступа чередуются одно и двухвихревые структуры (рис. 3з, 3и). Формируется одиночный вихрь в средней (по толщине) части пленки (рис. 3к), который смещается вначале вверх (рис. 3л), а после вниз (рис. 3м), после чего ЗП оказывается левее правой границы выступа. Как было сказано выше, аналогичный процесс формирования одиночного вихря в пленках с w = 138 нм, h = 25 или 50 нм приводит к прекращению движения процесса перемагничивания.

2. Рельеф в виде массива наноточек

Другие способы изменения поверхностного рельефа магнитной пленки, рассматриваемые в данной работе, состоят в размещении на границе пленки линейного или квадратного массива параллелепипедов (наноточек). Результаты моделирования представлены на рис. 4. Ограничения на объем публикации не позволяют дать детальное описание всех частных реализаций динамики перемагничивания. Анимации для некоторых случаев доступны по ссылкам [29]. Далее мы обсудим ряд характерных ситуаций.

Типичные варианты поверхностей ℚ и структур, образуемых КП, изображены на рис. 5. Вначале поверхность ℚ близка к цилиндрической (рис. 5а; КП почти параллельны оси z), в области локализации массива параллелепипедов она искажается и может распадаться на фрагменты (рис. 5в). КП могут быть замкнутыми кривыми, начинаться и заканчиваться на границах пленки или на блоховских точках (рис. 5е).

Рис. 5. Примеры yz-проекций поверхностей ℚ и лежащих на них КП для случая массива 1×3, состоящего из параллелепипедов сd = h = 25 нм (использование центральной проекции приводит к перспективным искажениям; БТ – блоховские точки).

Анализируя динамические конфигурации намагниченности для различных геометрий, можно отметить отсутствие простых закономерностей, связывающих параметры параллелепипедов и скорости перемагничивания. При всех значениях d, если h = 25 нм, движение ЗП сопровождается изменением намагниченности в параллелепипедах, которая следует за намагниченностью в пленке. Перемагничивание происходит в этих случаях сходным образом (левый столбец на рис. 4). При h = 100 нм в параллелепипедах или в их частях, наиболее удаленных от пленки, формируются устойчивые закрепленные конфигурации намагниченности, не меняющиеся при движении ЗП (вихри с осями в направлении оси z; области, намагниченные вдоль оси y). Можно заметить, что именно в этих случаях скорость перемещения ЗП уменьшается или становится равной нулю (правый столбец на рис. 4).

Изучая моментальные снимки движущейся ЗП, можно заметить, что в том случае, если элементы рельефа достаточно велики, может наблюдаться эффект “прорастания” вихрей из тела пленки в параллелепипеды, а также закрепление КП на ребрах параллелепипедов, лежащих на границе пленки. Иногда возникает иллюзия временного “прилипания” границы поверхности ℚ к ребрам параллелепипедов, средняя скорость перемагничивания при этом уменьшается.

Рис. 6. yz-проекция (а) и xz-проекция (б) поверхности ℚ и КП; распределения намагниченности в плоских xz-сечениях (в) (для случая d = 100 нм, h = 25 нм, t = 2.5 нс). Вихри v₁ находятся на верхних гранях параллелепипедов, вихрь v₂ и антивихри av₂ находятся вблизи ребер параллелепипедов, лежащих на границе пленки.

Проиллюстрируем сказанное выше, рассматривая частный случай конфигурации намагниченности. На рис. 6а изображен моментальный снимок yz-проекции поверхности ℚ и лежащих на ней КП в момент времени t = 2.5 нс (случай пленки с линейным 1×3 массивом параллелепипедов, имеющих размеры d = 100 нм, h = 25 нм). На трех толстых (красных) кривых КП, каждая из которых имеет U‑образную форму, лежат центры вихрей, для которых векторы намагниченности m в этих центрах имеют направления оси y. Две кривые своими концами выходят на поверхность образца в точках, обозначенных v₁ и находящихся на верхних гранях параллелепипедов; как следует из рис. 6в, в этих точках в плоскости y = 125 нм расположены вихри. Вторые концы U‑образных КП, находящихся в средней части образца, а также оба конца третьей U‑образной кривой, состоящей из двух фрагментов, выходят на верхнюю границу пленки y = 100 нм в точках v₂ и av₂ (напомним, что вдоль оси z наложено условие периодичности (2), вследствие чего распределения намагниченности в плоскостях z = 0 нм и 400 нм совпадают). Как следует из рис. 6б, на котором изображены xz-проекции поверхности ℚ и КП, а также из рис. 6в (нижняя часть), в точках v₂ и av₂ действительно имеются распределения типа вихрь и антивихрь. Замечено, что при появлении ЗП с объемной вихревой структурой такого типа процесс перемагничивания замедляется и может наступить полное прекращение движения ЗП.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе выполняется численное моделирование процессов перемагничивания в образце, являющимся фрагментом пермаллоевой пленки, дополненным элементами рельефа, расположенными на одной из граничных поверхностей. Анализ результатов моделирования позволил обнаружить, что процесс перемагничивания в пленках с измененным рельефом, инициированный движущейся ДС, может принимать вид движения узкой вихревой ЗП (турбулентной ДС). Для двадцати четырех вариантов геометрии рельефа построены тоновые визуализации функций m̅_z(x, t), где усреднение проводится по поперечным yz-сечениям образца. Прерывистый характер движения ЗП, наблюдаемый в некоторых случаях, может быть объяснен закреплением вихрей на элементах рельефа. Часто возникают необычные конфигурации намагниченности, не совпадающие с известными конфигурациями для доменных стенок.

Предложен новый метод визуализации динамики перемагничивания, основанный на построении прообразов окружности m_z(r) = 0, лежащей на сфере  (поверхностей ℚ), и прообразов точек на этой окружности (КП). С его помощью созданы анимации, иллюстрирующие динамику перемагничивания [29].

В заключение заметим, что простая модель пленки с рельефом, рассмотренная в данной работе, не учитывает возможной неоднородности магнитных параметров среды, наличия геометрических искажений и внутренних дефектов, особенностей структуры поверхности. Такая постановка задачи позволила исключить из рассмотрения те или иные факторы, на счет которых можно было бы отнести эффект возникновения нерегулярной динамики. Детальное изучение влияния этих факторов на динамику может быть темой дальнейших исследований. Вместе с тем в статье, в рамках простой модели и на достаточно большом числе примеров показано, что перемагничивание с образованием вихревой ЗП не является редким и уникальным явлением, а напротив, при определенных условиях довольно типично.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания Института физики металлов УрО РАН (тема “Магнит” № 122021000034-9) и Программы стратегического академического лидерства УрФУ “Приоритет‑2030”.

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

About the authors

В. В. Зверев

Author for correspondence.
Email: vvzverev49@gmail.com
Russian Federation, ул. Мира, 19, Екатеринбург, 620002; ул. С. Ковалевской, 18, Екатеринбург, 620108

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. An example of a configuration of the CP lying on the surface ℚ (a); the thick curves correspond to the choice of Θ(r) = Φ(r) = p/2. These curves contain the centers of the visible vortices νk and antivortices aνk lying in different planes of the xz-sections (b). At the center of each vortex (antivortex), the magnetization vector is parallel to the y-axis. The index k = 1, 2, 3 numbers the cutting planes; two of them coincide with the film boundaries. The centers of the vortices (antivortices) are marked with plus (minus) signs.

Download (407KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Simulation results for parallelepipeds with dimensions h and w. The time dependences t and x-coordinates of the m̅z values ​​averaged over the yz-sections of the sample (tone images) are shown; x-coordinates of points on the surface mz = 0, having fixed y and z-coordinates (solid lines). The transition from a light tone to a dark one corresponds to the rotation of the magnetization from the direction against the field Hₑₓₚ to the direction along this field.

Download (148KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Families of projections of cylindrical surfaces ℚ onto the xy-plane at different moments of time for a film without relief elements (a); for a film with a relief in the form of a parallelepiped with the dimensions w = 138 nm, h = 25 nm (c) and h = 50 nm (d); dimensions w = 400 nm, h = 25 nm (d) and h = 50 nm (e). The projection graphs are shown with a time step of 0.3 ns (thick lines with digitization) (a, c–e); in the sections of fast motion of the ZP, graphs with a step of 0.1 ns (thin lines without digitization) are added (a, c). The initial configuration of the vector field m in the xy-section, corresponding to the C-shaped DS, is shown (b). Also shown for the case w = 138 nm, h = 25 nm are characteristic configurations of the m field in xy-sections that arise at different moments of time (w–m). Close and overlapping bold lines are shown in different shades of gray.

Download (599KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Simulation results for 1×3 and 3×3 arrays, which consist of parallelepipeds of height h, with squares with sides d at their bases. The meaning of the notation is the same as in Fig. 2.

Download (268KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Examples of yz-projections of surfaces ℚ and the CPs lying on them for the case of a 1 × 3 array consisting of parallelepipeds with d = h = 25 nm (the use of the central projection leads to perspective distortions; BP – Bloch points).

Download (398KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6. yz-projection (a) and xz-projection (b) of the surface of ℚ and CP; magnetization distributions in flat xz-sections (c) (for the case of d = 100 nm, h = 25 nm, t = 2.5 ns). Vortices v₁ are located on the upper faces of the parallelepipeds, vortex v₂ and antivortices av₂ are located near the edges of the parallelepipeds lying on the boundary of the film.

Download (358KB)

Indexing metadata