Связь магнетизма сплавов 3d-металлов с электронной структурой в теории Стонера и в ДТСФ

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Анализ взаимосвязи электронной структуры и магнитных свойств 3d-металлов при конечных температурах остается важной проблемой в теории и приложениях и имеет большое значение при изучении магнитных свойств сплавов (см., напр., [1–3]).

В большинстве первопринципных расчетов в металлах при конечных температурах нелокальными спиновыми корреляциями либо пренебрегают (см., напр., [4–6]), либо описывают их с помощью адиабатической спиновой динамики и эффективных гамильтонианов с классическими спинами (см., напр., [7, 8]). Одновременный учет квантового характера и нелокальности спиновых флуктуаций реализован пока лишь в динамической теории спиновых флуктуаций (ДТСФ) [9, 10]. Использование ДТСФ позволяет получить зависимость температуры Кюри сплава Fe_1–xNi_x от концентрации x, которая хорошо согласуется с экспериментом [11].

В настоящей работе исследуется зависимость магнитных свойств: температуры Кюри T_C, среднего магнитного момента m_z и локального магнитного момента m_L – от типа кристаллической решетки и среднего числа d-электронов на атом N_e. Проводится сравнение результатов теории Стонера и ДТСФ с экспериментом для бинарных сплавов Fe_1–xNi_x [12–14] и Fe_1–xCo_x [15].

Изложение построено следующим образом. В разделе 2 кратко описана расчетная схема в ДТСФ. В разделе 3 приведены результаты и обсуждение. В разделе 4 сформулированы выводы, которые можно сделать на основе выполненных расчетов.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Основные идеи и обоснования приближений ДТСФ приведены в работах [9, 10, 16, 17]. Напомним, что в ДТСФ при фиксированной температуре T (в энергетических единицах) решается система нелинейных уравнений для средних квадратов флуктуаций обменного поля на узле

$\frac{1}{N}\sum _{}\frac{UT}{2N_{\text{d}}{\lambda }_{}^{\alpha }}\frac{2}{\pi }\arctan \frac{U{\phi }_{}^{\alpha }{\pi }^{2}T}{6N_{\text{d}}{\lambda }_{}^{\alpha }}\mathrm{,}$                                                                 (1)

где N – число узлов решетки в кристалле, N_d – число d-полос на атом и спин,

${\lambda }_q^{\alpha }-U{\chi }_q^{\alpha }\left(0\right){\phi }_q^{\alpha }={\left.\frac{\text{dIm\hspace{0.05em}}{\chi }_q^{\alpha }\left(\epsilon \right)}{\text{d}\epsilon }\right|}_{\epsilon =0}\mathrm{,}\alpha =x\mathrm{,}z\mathrm{,}$

для среднего обменного поля

$⟨V_z⟩=-U{s}_z\mathrm{,}{s}_z=\left(n_{\uparrow }-n_{\downarrow }\right)/2$                                                                 (2)

и химического потенциала µ,

$n_{\text{e}}=n_{\uparrow }+n_{\downarrow }\mathrm{,}$                                                                                                  (3)

где

$n_{\sigma }=\frac{1}{\pi }\int \mathrm{I}m{g}_{\sigma }\left(\epsilon \right)f\left(\epsilon \right)\text{\hspace{0.05em}d}\epsilon$                                                                               (4)

— число электронов с проекцией спина $\sigma =\uparrow \mathrm{,}\downarrow$ или ±1, а n_e – полное число электронов (на атом и полосу). В приведенных соотношениях ${\chi }_q^{\alpha }\left(\epsilon \right)$ – динамическая восприимчивость, $f\left(\epsilon \right)={\left[\exp \left(\left(\epsilon -\mu \right)/T\right)+1\right]}^{-1}$ – функция Ферми,

$g_{\sigma }\left(\epsilon \right)=\int \frac{\nu \left({\epsilon }^{\text{'}}\right)}{\epsilon -\sigma ⟨V_z⟩-\mathrm{\Delta }{\Sigma }_{\sigma }\left(\epsilon \right)-{\epsilon }^{\text{'}}}\text{\hspace{0.05em}d}{\epsilon }^{\text{'}}$                                                         (5)

— средняя одноузельная функция Грина, где ν(ɛ) – немагнитная плотность электронных состоянии (ПЭС) на атом, полосу и спин, а $\mathrm{\Delta }{\Sigma }_{\sigma }\left(\epsilon \right)$ – флуктуационный вклад в собственно-энергетическую часть, вычисляемый по формуле

                                              (6)

При Т = 0 средние квадраты флуктуаций  обращаются в нуль, и система переходит в систему уравнений теории среднего поля Стонера (2) и (3). Это дает возможность найти эффективную константу U по известному магнитному моменту $m\left(0\right)=\text{\hspace{0.17em}2}{\mu }_B{N}_{\text{d}}{s}_z\left(0\right)+$, после чего при Т ≠ 0 исходная система решается методом продолжения по параметру [18] относительно переменных , ,  и µ. Вычисление температурной зависимости магнитных характеристик выполняется с помощью программы MAGPROP 3.0, которая является обновленной версией программы [19].

Решая систему уравнений ДТСФ (1)–(3) при фиксированной температуре, находим средний магнитный момент $m_z\left(T\right)=2{\mu }_B{N}_{\text{d}}{s}_z\left(T\right)+$ и локальный магнитный момент

$\frac{{\displaystyle m_{\text{L}}\left(T\right)}}{m_{\text{L}}\left(0\right)}={\left[\left({⟨V_z\left(T\right)⟩}^2+⟨{\left(\Delta V\right)}^2⟩\right)/{⟨V_z\left(0\right)⟩}^2\right]}^{1/2}$                                    (7)

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Немагнитные ПЭС железа, кобальта и никеля вычислены в приближении локальной плотности методом Корринги-Кона-Ростокера с самосогласованным потенциалом [20]. Полученные ПЭС сглажены с помощью свертки с функцией Лоренца полуширины Г = 0.005W для удаления нефизических пиков в зонном расчете, который полностью игнорирует затухание одноэлектронных состояний (подробнее см. [9, 10, 17]). ПЭС металлов, нормированные на одно d-состояние (на атом, полосу и спин), изображены на рис. 1.

 

Рис. 1. ПЭС d-электронов железа, кобальта и никеля: исходная и сглаженная с помощью свертки с функцией Лоренца полуширины Г = 0.005W. Энергии приведены в единицах ширины полосы (таблица 1). Вертикальной чертой обозначен уровень Ферми ɛ_F.

 

Соответствующие значения ширины полосы W, константы взаимодействия U и числа d - электронов на атом N_e приведены в таблице 1.

 

Таблица 1. Ширина полосы W, константа взаимодействия U и число d-электронов на атом N_e в ферромагнитных 3d-металлах

Металл	Fe	Co	Ni
W, эВ	7.27	7.35	6.01
U, W	0.73	0.82	0.85
Ne	7.43	8.47	9.35

 

Критерий Стонера Uν(ε_F) > 1 предсказывает наличие ферромагнитного состояния при условии, что уровень Ферми находится не слишком далеко от основного пика ПЭС v(ɛ). Чтобы выявить качественные особенности ферромагнетизма в сплавах 3d-металлов, мы фиксируем константу взаимодействия U и ПЭС металла v(ɛ) и варьируем число d - электронов на атом N_e = N_dn_e (или, что то же самое, уровень Ферми ε_F) вблизи его значения для металла. Значение магнитного момента m_z при T = 0 получается из решения системы уравнений Стонера при фиксированном U (таблица 1). Значения m_z при T = 0, вычисленные нами при различных N_e для ПЭС железа, кобальта и никеля с помощью теории Стонера, ложатся на кривую Слэтера-Полинга (рис. 2). Как известно, кривая Слэтера-Полинга дает хорошее приближение для среднего магнитного момента в металлах и сплавах при T = 0 [14, 21, 22].

 

Рис. 2. Зависимость среднего магнитного момента m_z при T = 0 для ПЭС железа, кобальта и никеля от числа d-электронов на атом N_e в теории Стонера. Стрелками обозначены значения N_e железа, кобальта и никеля.

 

Мы исследуем, как меняется кривая Слэтера-Полинга при конечных температурах. На рис. 3 приведены зависимости среднего магнитного момента m_z от числа d-электронов на атом N_e для ПЭС Fe, Co и Ni, рассчитанные в теории Стонера и в ДТСФ при различных значениях T. Максимум m_z отвечает основному пику ПЭС для каждого металла. Средний магнитный момент m_z убывает с увеличением T при каждом фиксированном N_e. Для удобства сравнения на каждом графике температура нормирована на расчетную температуру Кюри соответствующего металла. Как видно, область значений N_e, при которых сохраняется ферромагнитное упорядочение, в ДТСФ убывает намного быстрее, чем в теории Стонера (которая полностью игнорирует спиновые флуктуации).

 

Рис. 3. Зависимость среднего магнитного момента mz от числа d-электронов на атом N_e для ПЭС железа, кобальта и никеля в теории Стонера (слева) и в ДТСФ (справа) при различных T. Вертикальной чертой обозначено число d-электронов на атом N_e для соответствующего металла, а температура измеряется в единицах T_C соответствующего металла.

 

Особенно это заметно в Co и Ni. Кроме того, в отличие от теории Стонера, ДТСФ правильно предсказывает рост температуры Кюри при увеличении числа d-электронов на атом N_e для ПЭС Fe и Co и при уменьшении N_e для ПЭС Ni. Действительно, на рис. 3, справа, зеленая кривая, вычисленная в ДТСФ, находится правее вертикальной черты для ПЭС Fe и Co и левее для ПЭС Ni. Связано это с тем, что уровень Ферми находится левее основного пика ПЭС Fe и Co и правее основного пика ПЭС Ni (рис. 1).

 

Рис. 4. Зависимость температуры Кюри T_C от числа d-электронов на атом Nₑ для ПЭС железа, кобальта и никеля: а) в теории Стонера и б) в ДТСФ. Стрелками обозначены значения N_e железа, кобальта и никеля.

 

На рис. 4 приведена зависимость температуры Кюри T_C от числа d-электронов на атом N_e для ПЭС железа, кобальта и никеля, полученная варьированием N_e как описано выше. В теории Стонера (рис. 4а) кривые T_C(N_e) имеют лишь небольшие пики около 7.8 (Fe) и 8.8 (Co и Ni), которые отвечают положению уровня Ферми в окрестности основного пика ПЭС (см. рис. 1). В отличие от теории Стонера, в ДТСФ кривая T_C(N_e) имеет ярко выраженный локальный максимум в окрестности основного пика ПЭС (рис. 4б). Такая же форма зависимости T_C от концентрации x наблюдается в эксперименте на магнитной фазовой диаграмме для сплавов Fe_1–xNi_x [12, 13] и Fe_1–xCo_x [15]. Кроме того, в ДТСФ кривая T_C(N_e) для ПЭС ОЦК железа резко отличается от кривых T_C(N_e) для ПЭС ГЦК кобальта и никеля, которые близки между собой (рис. 4б). Аналогичное явление наблюдается в эксперименте на магнитной фазовой диаграмме сплавов Fe_1–xNi_x и Fe_1–xCo_x: кривые T_C(x) образуют две различные ветви, отвечающие ОЦК и ГЦК-решеткам. При этом в нашем расчете на рис. 4б, как и в эксперименте для сплавов, значения T_C для ОЦК-фазы больше, чем для ГЦК.

 

Рис. 5. Зависимость среднего магнитного момента m_z для ПЭС железа, кобальта и никеля от числа d-электронов на атом в ДТСФ при T = 870 K (соответствует максимальной Т_С для ГЦК-фазы сплавов Fe-Ni [25]). Стрелками обозначены значения N_e железа, кобальта и никеля.

 

Похожая ситуация наблюдается для кривой m_z(N_e), вычисленной в ДТСФ при конечных температурах (рис. 5). Кривая m_z(N_e) имеет ярко выраженный локальный максимум в окрестности основного пика ПЭС. Кроме того, кривая m_z(N_e) для ПЭС ОЦК железа резко отличается от кривых для ПЭС ГЦК кобальта и никеля, которые близки между собой. Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментальных кривых m_z(N_e) для сплавов Fe_1–xNi_x [12] и Fe_1–xCo_x [15]: кривые зависимости m_z от концентрации x образуют две различные ветви, отвечающие ОЦК и ГЦК-решеткам. При этом значения m_z на рис. 5, как и для сплавов, для ОЦК-фазы больше, чем для ГЦК. Наконец, отметим, что кривые Т_С(N_e) и m_z(N_e) в ДТСФ находятся в качественном согласии не только с экспериментом, но и с расчетными кривыми [23], полученными в статической теории когерентного потенциала (подробнее см. [24]).

 

Рис. 6. Зависимость локального момента m_L для ПЭС железа, кобальта и никеля от числа d-электронов на атом в ДТСФ при T = 870 K. Стрелками обозначены значения N_e железа, кобальта и никеля.

 

На рис. 6 изображена зависимость локального магнитного момента m_L от числа d-электронов на атом N_e при конечной температуре. Как и на рис. 4 и 5, кривые m_L(N_e) для ПЭС ГЦК кобальта и никеля находятся близко друг к другу и резко отличаются от кривой для ПЭС ОЦК железа. Значения m_L для ОЦК-фазы больше, чем для ГЦК. Однако, в отличие от кривых m_z(N_e), кривые m_L(N_e) для ПЭС железа, кобальта и никеля лежат практически на одной прямой и при конечных температурах, а не только при T = 0, где кривая m_L(N_e) просто совпадает с кривой Слэтера-Полинга (рис. 2).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория Стонера дает кривую Слэтера-Полинга при нулевой температуре, но не дает удовлетворительного описания магнитного момента при конечных температурах, а магнитная фазовая диаграмма в теории Стонера даже качественно отличается от эксперимента. Последовательный учет квантового и нелокального характера спиновых флуктуаций в ДТСФ позволяет получить вид кривой Слэтера-Полинга при конечных температурах, магнитную фазовую диаграмму и зависимость других магнитных характеристик от числа d-электронов на атом.

Варьируя значение числа d-электронов на атом N_e вблизи основного пика ПЭС железа, кобальта и никеля, мы показали, что зависимость среднего магнитного момента m_z(N_e) и температуры Кюри T_C(N_e) имеет ярко выраженный локальный максимум в окрестности основного пика ПЭС. Кроме того, кривые m_z(N_e) и T_C(N_e) для ПЭС ОЦК железа резко отличаются от кривых для ПЭС ГЦК кобальта и никеля, которые близки между собой. Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментальных кривых m_z(N_e) и T_C(N_e) для сплавов Fe-Ni и Fe-Co. Кривые локального момента m_L(N_e) для ПЭС железа, кобальта и никеля слабо зависят от температуры и лежат практически на одной прямой при всех T.

Отметим, что кривая Слэтера-Полинга относится как к двойным сплавам 3d-металлов [14], так и к более сложным сплавам, например тройным [26]. Детальное изучение связи магнетизма с электронной структурой для ферромагнитных сплавов в ДТСФ является задачей для дальнейшего исследования.

БЛАГОДАРНОСТИ

Мы благодарны рецензентам за полезные замечания. Работа выполнена в рамках госзадания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема “Квант” № 122021000038-7).

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

About the authors

Н. Б. Мельников

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Author for correspondence.
Email: melnikov@cs.msu.ru
Russian Federation, Ленинские горы, Москва, 119991

А. С. Гуленко

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: melnikov@cs.msu.ru
Russian Federation, Ленинские горы, Москва, 119991

Б. И. Резер

Институт физики металлов УрО РАН

Email: melnikov@cs.msu.ru
Russian Federation, ул. С. Ковалевской, 18, Екатеринбург, 620108

References

Supplementary files