Numerical simulation of the structure formation and crystallization of foamed aluminum modified by nanosized particles

Texto integral

ВВЕДЕНИЕ

Вспененные металлы или сплавы широко применяются в авиационной, космической, строительной, автомобильной и других отраслях. Этому способствует сочетание низкой плотности материала, эффективное соотношение жесткости и веса, хорошее поглощение энергии и способность гашения вибрации. Наиболее значимые результаты были получены при практическом применении пеноматериалов на основе сплавов алюминия. Для вспенивания металла обычно используется гидрид титана (TiH₂), характеризующийся высоким удельным содержанием водорода [1–4].

Исследование и анализ процессов формирования ячеистой структуры имеет важное значение, поскольку она во многом определяет физические и механические свойства вспененного металла. При этом представляет интерес влияние модифицирования расплава на структуру и прочностные свойства пены затвердевшего металла, показавшее свою эффективность при литье металлов и сплавов [5–7]. Наличие наноразмерных тугоплавких частиц в расплавленном металле способствует гетерогенному зародышеобразованию [8–11] и увеличению количества центров кристаллизации и, как следствие, повышению эксплуатационных свойств металлов [12–14]. Существуют публикации, посвященные численному моделированию кристаллизации для оценки сформировавшейся структуры затвердевших модифицированных сплавов [15, 16].

Цель настоящего исследования — построение математической модели и численный анализ роста зародившихся в расплаве газовых пузырей, оценка влияния наноразмерных тугоплавких частиц и интенсивности охлаждения расплава на формирование структуры затвердевшего вспененного алюминия.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Из-за сложности моделирования рассматривается упрощенная физическая модель, сохраняющая основные особенности реального процесса. Предполагается, что все количество водорода, необходимое для обеспечения наблюдаемого уровня расширения, было растворено в расплаве под внешним давлением P₀. Водород, полученный в результате разложения гидрида титана (TiH₂), введенного в расплав алюминия, мгновенно в нем растворяется. Процесс пенообразования, охлаждения и кристаллизации газосодержащего расплава алюминия происходит в цилиндрическом тигле с внутренним радиусом r₀, который подвергается внешнему охлаждению с заданной интенсивностью. В расплаве происходит одновременное зарождение и последующий рост пузырьков, вокруг которых формируется диффузионный слой. Последующего зарождения новых пузырьков не происходит. Используется модель роста пузыря, описанная в [17–20].

Предполагается, что пузыри имеют сферическую форму, на их поверхности выполняется термодинамическое равновесие, описываемое законом Генри, и расплав является несжимаемой ньютоновской жидкостью. Кристаллизация и структура металла не зависят от концентрации растворенного газа. При реализации модели решаются уравнения импульса, интегрального баланса массы по пузырю и дифференциального баланса массы в окружающем расплаве.

Считаем, что расплав алюминия (Al–Si) до возникновения в нем пузырьков модифицирован плакированными тугоплавкими наноразмерными частицами TiN в количестве m_p=0.05 % по массе. Частицы являются хорошо смачиваемыми и на зародышеобразование газовых пузырьков не влияют. Образование зародышей кристаллов происходит на поверхностях частиц, так как затраты энергии в этом случае меньше, чем при гомогенном зародышеобразовании [21,  22]. Поверхности зародышей, граничащих с расплавом, считаем сферическими. Для упрощения расчетов полагаем, что теплофизические параметры постоянные, равные их средним значениям в рассматриваемом интервале температур, и не зависят от наличия модифицирующих частиц ввиду их малого объема. Движение жидкости учитывается вводом поправочного коэффициента в теплопроводность жидкой фазы. Параметры газожидкостной среды определяются как среднемассовые величины.

Полагаем, что образовавшиеся пузырьки равномерно распределены по всему объему расплава. Таким образом, задача сводится к рассмотрению роста отдельного пузырька в ячейке c заданным радиусом R_c (рис. 1). Значение R_c, зависящее от исходного пресыщения расплава газом (водородом), задается согласно экспериментальным данным работы [17].

 

Рис. 1. Схема роста пузырька (1) в ячейке (2). R — радиус пузырька, Rс — радиус ячейки, 3 — изменение концентрации растворенного газа C в диффузионной зоне.

 

В рамках модели процесс роста пузыря описывается уравнениями импульса, интегрального баланса массы по пузырю и дифференциального баланса массы в окружающем расплаве [17–20]. Таким образом, при t≥0 на основе баланса массы и импульса скорость роста пузырька выражается как функция давления газа в пузырьке P(t) и его радиуса R(t):

$\frac{dR}{dt}=\frac{1}{2\mu }\left[\frac{P\left(t\right)-P_{\text{a}}}{2}R\right(t)-\sigma ]$, (1)

где m — вязкость расплава, s — поверхностное натяжение на границе газ-расплав, P_a — давление окружающей среды, t — время.

Распределение концентрации в диффузионной зоне определяется уравнением:

$\frac{\partial C}{\partial t}=\frac{dR}{dt}\frac{R^2}{r^2}\frac{\partial C}{\partial r}=\frac{D_{\text{H}}}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}{r}^2\frac{\partial C}{\partial r}$, R(t)≤r≤R_c. (2)

Здесь C — концентрация растворенного водорода в расплаве, D_H — коэффициент диффузии водорода.

На поверхности пузырька выполняются условие сохранения массы диффундирующего газа:

$\frac{\partial M}{\partial t}=4\pi R^2{D}_{\text{H}}{\left.\frac{\partial C}{\partial r}\right|}_{r=R\left(t\right)}$ (3)

и условие равновесия, записываемое в форме закона Генри:

$C_{\text{B}}=K_{\text{H}}P\left(t\right)$. (4)

Здесь $M=4\pi R^{3}P\left(t\right)/\left(3R_{\text{g}}T\right)$ — масса газа в объеме пузырька, R_g — универсальная газовая постоянная, C_B=C при r=R(t), T — температура расплава. C учетом выражения для величины M и уравнения (4) условие (3) примет вид:

$\frac{d(R^3{C}_{\text{B}}/\overline{T})}{dt}=3R_{\text{g}}{T}_0{K}_{\text{H}}{R}^2{D}_{\text{H}}{\left.\frac{\partial C}{\partial r}\right|}_{r=R\left(t\right)}$, (5)

где  $\overline{T}$=T/T₀, T₀ — начальная температура расплава.

На границе смыкания ячеек (r=R_c) выполняется условие симметрии:

${\left.\frac{\partial C}{\partial r}\right|}_{r=R_{\text{c}}}=0$. (6)

Рост пузырька продолжается до тех пор, пока не выполнится условие при t=t_e:

$P\left(t_{\text{e}}\right)=P_{\text{a}}+\frac{2\sigma }{R\left(t_{\text{e}}\right)}$, (7)

при котором  $dR\left(t_{\text{e}}\right)/dt=0$. Соотношение (7) определяет конечный размер пузырька R(t_e).

Выражение для относительной пористости в расплаве удет иметь вид:

$\Pi =\frac{R^3}{R_{\text{c}}^3}$.

Начальные условия для (1)–(6) следующие:

P(0)=P₀, C(r,0)=C_B(0)=K_HP₀=C₀;

R(0)≤r≤R_c, R(0)=R₀, R₀=1.01R_cr,

где R_cr — критический радиус пузырька, R_cr= 2σ/(P₀–P_a).

С учетом принятых выше допущений уравнение теплопереноса в вспененном расплаве запишем в виде:

$\overline{c}\overline{\rho }\frac{dT}{dt}=-\frac{2}{r_0}(T-T_{\text{c}})+\overline{\rho }L\frac{d{f}_{\text{s}}}{dt}$, T_E≤T≤T₀, (8)

где  $\overline{c}$=c₁P+c₂(1–P),  =r₂(1–P), c_i — удельная теплоемкость, r_i — плотность, P — доля газовой фазы (пористость, 0≤P≤1), T_c — температура окружающей среды, L — удельная теплота плавления, a — коэффициент теплообмена, f_s — объемная доля твердой фазы в расплаве (0≤f_s≤1, f_s =0 при T≥T_l0), T_l0, T_E — температуры ликвидуса и эвтектики. Индексы i=1 для газа (водорода) и i=2 для сплава. Начальное условие для (8): T(0)=T₀.

В расплавленный металл внесены смачиваемые тугоплавкие наноразмерные частицы. Из работ [21, 22] следует, что условий для гомогенного зародышеобразования в объеме расплава практически не наблюдается, а следовательно, происходит образование зародышей кристаллической фазы на поверхностях частиц, находящихся в переохлажденном расплаве. Согласно [15, 21] и предполагая, что частицы имеют форму куба, грани которого характеризуются углом смачивания q, скорость образования зародышей кристаллов сплава определяется формулой:

$I=n_{\text{s}}\frac{k_{\text{B}}T}{h}\exp \{-(E+\Delta G^{*})/(k_{\text{B}}T\left)\right\}$, (9)

где   $n_{\text{s}}=6n_{\text{p}}{l}_{\text{p}}^{\text{2}}/l_{\text{a}}^{\text{2}}$— количество атомов в единице объема расплава, прикасающихся к поверхностям наноразмерных частиц,  $n_{\text{p}}=m_{\text{p}}{\rho }_2/\left(100{\rho }_{\text{p}}{l}_{\text{p}}^{\text{3}}\right)$, ρ_p — плотность вещества частицы, l_p — длина ребра частицы, l_a — межатомное расстояние в расплаве, h — постоянная Планка, k_B — константа Больцмана, E — энергия активации процесса диффузии в расплаве, ∆G* — энергия Гиббса критического зародыша:

$\Delta G^{*}=\pi {\sigma }_{\text{ls}}{\eta }^2{(1-\cos \theta )}^2(2+\cos \theta )/3$,

$\eta =2{\sigma }_{\text{ls}}{T}_{l0}/\left(L{\rho }_2\Delta T\right)$, T_l0 — исходная температура ликвидуса, s_ls — поверхностное натяжение на границе жидкой и твердой фаз алюминия, DT= T_l –T, T_l — текущая температура ликвидуса.

Доля растущей твердой фазы f_s, при охлаждении жидкого металла после времени t_l0, когда температура достигла T_l0, описывается подобно [23]:

$f_{\text{s}}\left(t\right)=1-\exp \{-\underset{t_{l0}}{\overset{t}{\int }}N\left(\tau \right)V_{\text{s}}(\tau \left)d\tau \right\}$,

$V_{\text{s}}\left(t\right)=(4\pi /3)(R_{\text{s}}^{\text{3}}-R_{\text{s0}}^3)$, (10)

где V_s — объем твердой фазы, образовавшейся на наноразмерной частице. Число центров кристаллизации α-фазы, образовавшихся при затвердевании сплава:

$N\left(t\right)=\underset{t_{l0}}{\overset{t}{\int }}I\left(\tau \right)(1-\Pi )[1-f_{\text{s}}(\tau \left)\right]d\tau$. (11)

Предполагая, что рост кристаллической фазы подчиняется нормальному механизму и определяется линейной зависимостью скорости роста от переохлаждения  $\partial$R_s/ $\partial$t=K_vDT [11], где K_v — кинетическая константа, R_s — радиус кристалла,  $R_{\text{s}}\left(t\right)=R_{\text{s}0}+\underset{t_{l0}}{\overset{t}{\int }}{K}_v\Delta Td\tau$, R_s0=(1.5/π)^1/2l_p — радиус сферической частицы, имеющей площадь поверхности, равную поверхности кубической частицы.

Для оценки кинетической константы K_v используется формула [24]:

$K_v=\left(D\Delta H_{\alpha }\right)/\left(l_{\alpha }{k}_{\text{B}}{T}_{\text{A}}^2\right)$,

где DH_a — энтальпия плавления в расчете на один атом,   $D=D_0\exp \{-E/(k_{\text{B}}T\left)\right\}$— коэффициент диффузии Si в сплаве Al–Si при температуре плавления, $∆$T=T_A–$\beta$$C_0^{\text{Si}}$ /(1–f_s)^1-k–T — переохлаждение, T_A — температура плавления алюминия, b — угол наклона линии ликвидуса на диаграмме состояния системы Al–Si, $C_0^{\text{Si}}$  — исходная концентрация легирующего компонента, k — коэффициент распределения.

Рост твердой фазы алюминия происходит в температурном интервале T_l0≥T≥T_E, где T_l0=T_A–$\beta$ $C_0^{\text{Si}}$, T_E — температура эвтектики. Полагаем, что при T=T_E доля твердой фазы равна f_sE.

Характерный размер первичного зерна a–фазы, согласно [25], оценим по формуле:

d=($\sqrt{2}$ /N)^1/3.

Исходные данные для тигля и сплава Al + 6.5%Si [15,  17,  26–28]: T₀=973 K, T_A=933 K, T_l0=886.85 K, T_E=850 K, r₁=0.0244 кг/м³, k=0.14, r₂=2340 кг/м³, c₁=1.493×10⁴ Дж/(кг·K), b=7.1 K %, c₂=1090 Дж/(кг·K), r₀=0.02 м, D_H=4.475×10^–8 м²/с, s=0.866 Дж/м², m=1.5×10^–3 Н×с/м², E = 4.2·10^–20 Дж, L=3.9×10⁵ Дж/кг, K_H=1.41×10^–5 моль/(Н×м), D₀=10^–7 м²/с, s_ls=0.093 Дж/м², DH_a=1.75×10^–20 Дж, k_B=1.38×10^–23 Дж/K, l_p=5×10^–8 м, K_v=10^–4 м/(с×K), m_p=0.05 % мас., l_a=2.86×10^–10 м, l_c=4.235×10^–10 м, R_g=8.31 Дж/(моль×K),  $C_0^{\text{Si}}$=6.5 мас.%, r_p= =5440 кг/м³, P_a=1.01×10⁵ Н/м², q=5^o, a=200 Вт/(м·К), 400 Вт/(м·К). В таблице приводятся данные для концентрации растворенного водорода и параметров пузырьков [17].

 

Таблица 1. Концентрация растворенного водорода и параметры пузырьков по данным [17]

CTiH2, мас. %	P0, 105, Н/м2	C0, моль/м3	Конечный радиус пузырька, эксп. R(te), 10−3 м	Радиус ячейки эксп. Rс, 10−3 м
1.5	200	282	0.948	1.00
0.5	87	122.7	0.648	0.72

 

Выбор алгоритма реализации описанной выше модели основывается на необходимости решать систему дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных [31]. Для численного решения уравнений (1)–(2), (4)–(6), с учетом условия (7), использован конечно разностный алгоритм. Систему уравнений строили путем неявной аппроксимации балансных соотношений, полученных интегрированием (2) с учетом граничных условий (4)–(6). Шаг по времени использовали переменный. Изменение температуры определяли согласно (8). При охлаждении расплава ниже температуры T_l0 скорость зародышеобразования и количество кристаллов в единице объема затвердевшего металла рассчитывали с использованием формул (9)–(11). Расчеты продолжали до момента выполнения условия T=T_E.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Проведено численное исследование динамики роста газовых пузырьков в расплавленном металле. Рассмотрено два варианта, представленных в таблице. Изменение радиуса газовых пузырьков при C_TiH2 = 1.5 % и 0.5 % по массе иллюстрирует рис. 2.

 

Рис. 2. Изменение радиуса газового пузырька до момента окончания роста (l) при C_TiH2 = 1.5 мас.% (1) и C_TiH2 = 0.5 мас.% (2).

 

Результаты расчетов иллюстрируют, что в случае C_TiH2 = 1.5 % по массе критический радиус пузырька — 0.087 мкм, конечный радиус пузырька — 0.94 мм, время роста составляет 9.4 мс. В случае C_TiH2 = 0.5 % по массе критический радиус пузырька — 0.2 мкм, время роста пузырька — 6.5 мс, конечный радиус — 0.72 мм. При t≥10^–4 с, после того как диаметр пузырьков становится около 20 мкм, темп их роста фактически совпадает и дальнейшее увеличение происходит за счет диффузии газа из окружающего расплава. Это подтверждается результатами, представленными на рис. 3. Однако нужно отметить, что концентрация растворенного газа в расплаве оказывает влияние на время роста пузырьков и их окончательный размер за счет формирования ячеек различных размеров.

 

Рис. 3. Изменение концентрации водорода C_B (а) и диффузионного потока D(dC/dr) (б) на поверхности пузырька при C_TiH2 = 1.5 масс.% (1) и C_TiH2 = 0.5 мас.% (2).

 

На рис. 3 отражена динамика изменения концентрации водорода и диффузионного потока на поверхности пузырьков в зависимости от количества растворенного газа в расплаве. Отметим, что в начальный промежуток времени до t=10^–6 c концентрация на границе пузырьков C_B и давление в них почти не меняется, а величины диффузионных потоков сохраняются на высоком уровне. В этот период времени радиусы пузырьков близки к критическим радиусам R_cr. Существенные изменения величин D(dC/dr) и C_B происходят с началом быстрого увеличения размеров пузырьков в интервале времени от 10^–6 c до 10^–4 c. При t>10^–4 с изменения концентрации водорода и диффузионных потоков на поверхностях пузырьков фактически не зависят от начального насыщения расплава газом.

Из расчетов следует, что с ростом концентрации растворенного газа увеличивается пористость вспененного материала. Так при C_TiH2 = 0.5% по массе пористость вспененного металла составляет 72%, а при C_TiH2 = 1.5% по массе — 83%, что удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными (рис. 4) [17].

 

Рис. 4. Зависимость пористости Π от количества введенного в расплав порошка TiH₂; ● — эксперимент [17]; ○ — результаты расчетов.

 

Изменение температуры расплава в зависимости от содержания пенообразователя в расплаве и интенсивности теплосъема иллюстрирует рис. 5.

 

Рис. 5. Изменение температуры расплава при C_TiH2 = 1.5 мас. % (а) и C_TiH2 = 0.5 мас. % (б): (1) a= 400 Вт/(м·К), (2) a=200 Вт/(м·К).

 

Из результатов расчетов, представленных на рис. 5, следует, что начальная температура расплава за время формирование пор фактически не меняется. В случае C_TiH2=1.5 мас.% при a=400 Вт/(м·К) перегрев расплавленного металла снимается за 17.12 с и далее, через 0.06 с переохлаждение расплава достигает максимального значения 0.27 K (рис. 5а, рис. 6а). При переохлаждении 0.15 K ≤ DT ≤ 0.27 K происходит образование зародышей кристаллов на поверхностях наноразмерных частиц. С ростом доли твердой фазы в расплаве выделяется тепло, что способствует уменьшению переохлаждения и прекращению зародышеобразования. За счет отвода тепла в окружающую среду происходит охлаждение расплава, сопровождающееся увеличением в нем доли твердой фазы f_s. Металл до температуры эвтектики охлаждается за 28.6 с. При a=200 Вт/(м·К) температура расплава снижается до T_l0 за 34.25 с (рис. 5а, рис. 6б). Далее расплав переохлаждается и через 0.1 с величина T_l0–T достигает 0.28 K. Образование зародышей происходит при переохлаждении 0.15 K ≤ DT ≤ 0.28 K. С появлением твердой фазы в расплаве выделяется тепло, переохлаждение уменьшается и новые зародыши прекращают появляться. Дальнейшее охлаждение расплава с увеличением в нем доли твердой фазы происходит за счет отвода тепла в окружающую среду. Расплав до температуры эвтектики охлаждается за 57 с.

 

Рис. 6. Изменение температуры (1) и величины переохлаждения (2) расплава при C_TiH2 = 1.5 мас.%, (а) a = 400 Вт/(м·К), (б) a = 200 Вт/(м·К). Штриховая линия — температура ликвидуса T_l.

 

В случае C_TiH2=0.5 мас.% (рис. 5б) при a=400 Вт/(м·К) перегрев расплавленного металла снимается за 24.95 с, через 0.07 с переохлаждение расплава достигает максимального значения 0.29 K, происходит зародышеобразование кристаллов, растет доля твердой фазы.

Металл до температуры эвтектики охлаждается за 42.3 с. При a=200 Вт/(м·К) перегрев расплавленного металла снимается за 49.9 с, через 0,1 с переохлаждение расплава достигает максимального значения 0.27 K, происходит зародышеобразование кристаллов, растет доля твердой фазы. Металл до температуры эвтектики охлаждается за 84.6 с.

Рис. 7 иллюстрирует изменение размера первичного зерна a-фазы в затвердевшем металле после его модифицирования тугоплавкими наноразмерными частицами от скорости охлаждения (интенсивности теплосъема). Отметим, что минимальное расстояние между границами соседних пузырьков в случае C_TiH2=1.5 мас.% — 0.104 мм, а в случае C_TiH2=0.5 мас.% — 0.144 мм. При a=200 Вт/(м·К) характерный размер кристаллов в затвердевшем металле 11.9 мкм (C_TiH2=0.5 мас.%) и 8.5 мкм (C_TiH2=1.5 %). При a=400 Вт/(м·К) характерный размер кристаллов в затвердевшем металле 6.6 мкм (C_TiH2=0.5 мас.%) и 4.7 мкм (C_TiH2=1.5 мас.%). Можно сделать вывод, что увеличение интенсивности охлаждения модифицированного расплава приводит к уменьшению размера кристаллического зерна. Согласно закону Холла–Петча это способствует повышению механических свойств металла [29, 30].

 

Рис. 7. Влияние интенсивности теплосъема a на размер первичного зерна в затвердевшем металле после модифицирования при C_TiH2 = 1.5 мас.% (1) и C_TiH2 = 0.5 мас.% (2). o — результаты расчетов.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Используя модель роста газовых пузырьков в расплаве алюминия, проведен численный анализ динамики формирования вспененных металлов. Определено, что после того как диаметр пузырьков становится около 20 мкм, дальнейшее их увеличение происходит за счет диффузии газа из окружающего расплава.

Разработана модель кристаллизации вспененного алюминия, модифицированного наноразмерными частицами, после окончательного формирования пузырьков. Проведено численное моделирование по оценке влияния интенсивности охлаждения расплава на структуру затвердевшего металла.

Показана возможность управления процессами формирования структуры и свойств вспененного алюминия не только изменением концентрации вспенивающего вещества (TiH₂), но и интенсивностью охлаждения расплава. Внесение в расплав наноразмерных тугоплавких частиц в качестве модифицирующих добавок приводит к измельчению кристаллическую структуру и способствует повышению механических свойства затвердевшего металла.

Работа выполнена в рамках государственного задания (№ госрегистрации 124021400039-8).

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Sobre autores

V. Popov

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Autor responsável pela correspondência
Email: popov@itam.nsc.ru
Rússia, Novosibirsk

A. Cherepanov

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: popov@itam.nsc.ru
Rússia, Novosibirsk

Bibliografia

Arquivos suplementares