Принцип Кюри и система Шубникова – к дальнейшему развитию их идей

Аннотация

Принцип Кюри, устанавливающий связь между симметриями причины и ее следствия, изначально разработан в приложении к ограниченным телам (кристаллам), но сам Пьер Кюри отметил возможность развития его на протяженные среды. Это направление начато работами А.В. Шубникова (кристаллическая среда) и И.И. Шафрановского (маточный раствор), и оно требует своего развития. Сопоставляются системы предельных видов симметрий для ограниченных тел и протяженных сред. Первая из них частично увязана с системой симметрий точечных групп кристаллов. Для второй, в дополнение к известным данным Кюри и Шубникова, теоретически обосновывается введение новых видов предельных симметрий, а также предлагается их общая систематизация.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Историческая база. В конце XIX века великий физик Пьер Кюри обобщил совместные с его братом Жаком глубокие кристаллографические исследования, открывшие явление пьезоэффекта. Это философское обобщение привело Пьера Кюри к серии научных прорывов:

• понятие “симметрия”, ранее относимое только к вещественным объектам, было распространено на область физических полей;
• для фиксации полевой симметрии введено понятие предельной симметрии, т. е. симметрии с бесконечно малыми шагами;
• выявлены, описаны и сведены в систему виды этой предельной симметрии;
• на базе предыдущих трех пунктов сформулировано положение, связывающее симметрии причины и следствия, впоследствии обозначенное как “принцип Кюри”.

Такие достижения не были оценены современниками – это отмечали В.И. Вернадский [1, стр. 177] и А.В. Шубников [2, стр. 133]. Идеи Кюри были подхвачены только в середине ХХ века, да и то лишь некоторыми учеными, конкретно в России – академиком А.В. Шубниковым и профессором И.И. Шафрановским. Их работы были мощными рывками в развитии идей французского ученого, но после их ухода закончился и этот кратковременный ренессанс 40–70-х гг. прошлого века. Редкие статьи следующего периода лишь использовали разработки И.И. Шафрановского [3] о зависимости морфологии кристаллов от движения маточной среды в свете принципа Кюри, но дальнейшего развития этого направления не происходило.

В последние годы появление нескольких публикаций по данной теме [4–9] может свидетельствовать о возвращении интереса к дальнейшему развитию принципа Кюри. Но пока что излагались только предварительные подходы на уровне эмпирики. Требуется идти дальше и развивать теоретическую базу, заложенную Кюри, Шубниковым и Шафрановским.

Выбор направления. Направление развития теоретической базы было определено самим Пьером Кюри (см. эпиграф). В нем Кюри ясно показал, что виды симметрии должны быть различными в двух разных сферах: а – в ограниченных телах и б – в протяженных сущностях. Вторые (б) – это разные среды или пространства, т. е. вещество, не имеющее границ. Сам принцип Кюри универсален и ожидаемо работает в обеих сферах, но условием его применения должен быть учет различий базы понятий для каждой из них. Для этого прежде всего необходимо такое различие выявить, сформулировать и обосновать. Этому и посвящена данная работа.

Стоит подчеркнуть удивительную ясность исследовательского мышления Кюри – четко привязав свою работу к сфере ограниченных тел, он в то же время указывает на наличие второй сферы, что следует расценивать как заявку на ее будущее развитие. К сожалению, эта заявка осталась нереализованной – после трагической гибели ее автора не нашлось продолжателя данного направления.

Мысль о возможности существования разных типов симметрий в статике и динамике просто потерялась, и указание Кюри на необходимость такого разделения осталось вне научного внимания. Последовательное разделение видов предельной симметрии Кюри по двум разным сферам их приложения и является задачей данной работы. Главная тема внутри этой задачи – выявление и систематизация предельных форм симметрии неограниченных пространств. При этом вырисовывается необходимость введения новых форм предельных симметрий, о некоторых из них упоминалось в [5, 9]. Но там они вводились на эмпирических основаниях, поэтому требуется их дальнейшее теоретическое обоснование.

Начнем с ограниченных тел, так как именно на них, по словам Кюри, выстроены его наработки. Стоит сначала приглядеться к их систематизации и, базируясь на этом, переходить в новую область – к неограниченным средам.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ

Имеющиеся систематизации предельных видов симметрии. Стандартный вид рисунков предельных форм симметрии Кюри от А.В. Шубникова [10] приведен на рис. 1А. Этот рисунок можно несколько упростить, убрав двойственность в энантиоморфных типах (рис. 1Б). На рис. 2 для сравнения приведено прямое фото этого же материала в виде, представленном в исходной статье Кюри [11], но за исключением шаровых групп – в том месте статьи речь идет только об осевых группах. Из приведенного сопоставления видно, что Шубников воплотил в запоминающиеся изображения то, что обозначил сам Кюри, хотя и с некоторой модификацией: усеченный конус Кюри превратился в обычный конус, а группу (е), оставшуюся у Кюри без фигурного обозначения, Шубников отобразил вращающимся конусом.

Рис. 1. Предельные точечные группы Кюри, оформленные А.В. Шубниковым [10, рис. 1] (А); модифицированная схема Шубникова: энантиоморфные формы объединены в одну фигуру, двойственность которой показана двойными, разнонаправленными стрелками (Б): 1 – вращающийся конус L_∞; 2 – простой конус L_∞ ∞ P; 3 – вращающийся цилиндр L_∞ ПC; 4 – закрученный цилиндр L_∞ ∞ L₂; 5 – простой цилиндр L_∞ ∞ L₂ ∞ PПC; 6 – простой шар ∞ L_∞ ∞ PC; 7 – шар с закрученными диаметрами ∞ L_∞. В тексте слово “простой” может опускаться.

Рис. 2. Пять осевых групп Кюри [11, стр. 102].

Вместе с тем систематизация предельных видов симметрии у Кюри и Шубникова различна, разница эта проявляется во внутренних взаимоотношениях предельных групп друг с другом. Кюри расположил данные в определенном системном порядке – левая группа имеет наиболее общий (высший) порядок, три средние группы равноправны (не подлежат подчинению друг другу), но каждая из них является подгруппой левой группы, а правая группа входит как подгруппа во все четыре предыдущие. Но после того как А.В. Шубников ввел и математически обосновал представление о полярных векторах, оказалось возможным представить групповые взаимоотношения несколько иначе – отделить друг от друга группы с полярными и биполярными осями, приняв, что они не могут быть подгруппами друг друга. При такой исходной позиции в схеме Кюри группа вращающегося конуса (e) становится подгруппой только группы конуса (c), потому что у всех остальных групп нет полярных осей. Цилиндрические группы (b) и (d) останутся подгруппами группы (a), но уже не будут связаны групповыми отношениями с (c) и (e).

Именно в таком взаимоотношении Шубников и расставил группы на своем рисунке – конусные группы, имеющие полярные оси, стоят в верхней строке, а цилиндрические группы (без полярно-векторных осей) отделены от конусных и располагаются строкой ниже. Причем наиболее общие группы и в конусной, и в цилиндрической строках стоят справа, а те, что расположены левее в каждой строке, входят подгруппами в самые правые. Далее взаимоотношение групп и подгрупп по Кюри обозначим как группирование 1, а то же по Шубникову – как группирование 2.

О связи симметрий кристаллов с предельными видами симметрии. Уже у самого Кюри прослеживается мысль, что система предельных видов симметрии проецируется на точечные кристаллические группы сингоний средней категории. Эта мысль стала достаточно признанной примерно в последней четверти прошлого века, вплоть до включения предельных видов в общую таблицу точечных кристаллических форм в качестве нижнего завершения ее столбцов. Такова, например, таблица 7.1 в учебнике кристаллофизики Ю.И. Сиротина и М.П. Шаскольской [12].

Такая связь вполне конкретна для форм сингоний средней категории, недаром у Кюри подчеркиваются в этом плане осевые предельные группы. Для кубической сингонии и шаровых групп Кюри подобная связь все же достаточно проблематична, и для детализации этой проблемы здесь тоже стоит привести таблицу классов кристаллической симметрии (рис. 3). Расстановка столбцов в ней совпадает с группированием 1, но в обратном порядке: у Кюри (рис. 2) возрастание уровня групп шло справа налево, а в таблице – слева направо. То есть если абстрагироваться от полярности осей, то в каждой строке средней сингонии точечная группа столбца 1 с единственной осью является подгруппой в каждой группе из остальных столбцов справа от нее, так как у любой из них имеется продольная ось. А точечные группы в столбцах 2, 3, 4 независимы друг от друга, и каждая из них поодиночке является подгруппой группы столбца 5, поскольку содержит ту или иную часть элементов симметрии этой группы 5.

Рис. 3. Связь 32-точечных групп кристаллической симметрии с предельными группами симметрии Кюри–Шубникова. Основа таблицы – из учебника И. Костова [13, стр. 92]. Добавлены номера столбцов и предельные группы с упрощенного рисунка по А.В. Шубникову (рис. 1Б) вместе с буквенной индексацией их по П. Кюри (рис. 2).

При подходе по схеме группирования 2 (рис. 1) групповая связь по полярности осей у столбцов несколько иная: 1 → 4, (2, 3) → 5, где стрелка указывает направление от подгруппы к более высокой группе, а запятая разделяет равноправные, не подчиненные друг другу группы. Если следовать ей, то можно расставить столбцы в порядке, отвечающем соотношениям групп у Шубникова: 1–4–2–3–5.

В целом при таком подходе не должно смущать то, что три предельные группы описываются как подвижные (вращающиеся или закрученные), в то время как симметрия точечных групп кристаллов статична. Во-первых, движения фигур вращения здесь в некоторой степени определенная формальность, они введены для понижения симметрии неподвижных фигур, чтобы свести их симметрию к определенной ступени симметрии кристаллов. А во-вторых, в самих кристаллах соответствующих столбцов их форма своими скошенными гранями может указывать на потенциальное направление вращения. К примеру, так же как форма храповика (или вертушки на флюгере) указывает на единственно возможное направление вращения даже при его (ее) неподвижности.

Вопрос о месте предельных шаровых групп смотрится уже не столь явно. С позиции группирования 1 (при соподчинении полярных и биполярных групп друг другу) решение, кажется, выглядит тривиальным – простой шар, максимально насыщенный элементами симметрии, замыкает справа всю горизонталь групп кубической сингонии. При этом предельная группа шара с закрученными диаметрами (№ 7 на рис. 1) остается вообще не востребованной.

Однако отмечаются попытки найти ей место как раз в системе группирования 2 – путем разнесения порознь групп с полярными и биполярными осями. Так, в упомянутой выше таблице 7.1 простой шар помещен замыкающим в столбец планаксиального класса (биполярные оси), а шар с закрученными диаметрами завершает столбец планального класса (полярные оси). Такая узкая привязка двух шаровых предельных симметрий уже сама по себе может вызывать некоторые вопросы, например о причинах дискриминации остальных трех классов этой сингонии. Но главная проблема все же в другом. Дело в том, что закрученный цилиндр и полярная ось ни в коей мере не аналогичны. Общее для них – лишь отсутствие у обоих центра инверсии, но это еще не свидетельство их тождественности. Их различие вполне отчетливо – закрученный цилиндр имеет поперечные двойные оси симметрии, а полярная ось принципиально их лишена, иначе она просто не была бы полярной.

Рассуждая по аналогии, для полярно-осевых групп кубической сингонии их предельная группа симметрии должна бы быть шаром с полярно-векторными диаметрами, но таковой попросту невозможен. Симметрия конуса не вписывается как диаметр шара уже потому, что в шаре его точки-антиподы должны быть идентичными, т. е. повторять сами себя отражением в плоскости и/или разворотом по двойным осям. А для конуса такая ситуация полностью исключена, ибо он тогда перестает быть конусом.

Итак, шар с полярными диаметрами – это математический нонсенс. В силу этого представляется не очень уместным и рассмотренное выше группирование 1 для кубических структур, т. е. включение их полярных и планальных форм в единую линейку с тремя остальными формами для того, чтобы завершить таковую предельной симметрией простого шара. Это есть следствие того (стоит повторить еще раз), что в любом конкретном шаре нет места полярным диаметрам.

Если ставить вопрос об обязательности какого-то геометрического отображения предельной (шаровой) симметрии для кубических структур с полярными осями, то кажется возможным вариант с двумя концентрическими шарами (рис. 3). В такой двойной шаровой фигуре диаметры внутреннего шара, продолженные с одной стороны (и только с одной!) до пересечения с внешним шаром, могут считаться предельными аналогами полярных осей многогранников кубической сингонии. Данное сопоставление правомерно, потому что у каждого такого как бы несовершенного диаметра концы принципиально различны, что и определяет полярную ось¹.

Не исключено, что могут быть предложены какие-то другие варианты заполнения данной лакуны, может быть, даже более подходящие. Но этот вопрос не относится здесь к основным, ибо главное для настоящей статьи, как указано ранее, – решение проблемы видов предельной симметрии в неограниченных средах. К этому и перейдем, только прежде надо разобраться с одной из фигур предельной симметрии, не нашедшей тут себе места.

Вопрос о шаре с закрученными диаметрами. В итоге при всех приведенных выше выкладках шар с закрученными диаметрами остался ни к чему не пристроенным при любом группировании – ни по схеме 1, ни по схеме 2. Очевидно, его место – в системе для протяженных сред, тогда имеем первое явное различие двух систем предельных видов симметрии.

Для подтверждения или опровержения этого вывода детальнее рассмотрим текст статьи Кюри [11] – нет ли там какого-либо серьезного обоснования включения разбираемой фигуры именно в систему предельных симметрий ограниченных тел. В ней на стр. 100 приведен список симметрий из 19 позиций. В нем перемежаются и точечные кристаллические группы, и предельные виды симметрий. Последние две позиции заняты как раз шарами: № 18 – интересующий нас шар с закрученными диаметрами, № 19 – простой шар. Далее Кюри оперирует этими номерами позиций, и отсылка (19) встречается многократно, а (18) отмечена только в перечне энантиоморфных форм и более нигде. Ни в каких построениях она не участвует, и ее попадание сюда, видимо, случайность. Ее место как раз в той сфере, которая, по указанию Кюри, не является темой его статьи.

При этом Кюри однозначно признает правомерность и необходимость подхода к этой же теме с принципиально другой стороны, но оставляет это на будущее: «Мы здесь займемся только…», а когда-нибудь (или у кого-нибудь) дойдут руки и до другой стороны вопроса.

* * *

Перейдем ко второму разделу, только в качестве подведения итогов этой части еще раз подчеркнем, что здесь указания движений ряда предельных форм симметрии (вращение, закручивание) в некоторой степени формальны, отражаются лишь в особых формах кристаллов. Это важно.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ ПРОТЯЖЕННЫХ СРЕД

О принципе Кюри. Здесь прежде всего надо четко определиться с формулировкой принципа Кюри, ибо он является основой дальнейших выводов. Сам Пьер Кюри не заявлял о принципе как таковом – он просто заложен в логику построений ученого. А.В. Шубников [10] выбрал одно место из статьи Кюри, отчасти адаптировал его и представил принцип Кюри так: “Когда несколько различных явлений природы накладываются друг на друга, образуя одну систему, их диссимметрии складываются. В результате остаются лишь те элементы симметрии, которые являются общими для каждого явления, взятого отдельно”.

В этом определении второе предложение поясняет первое, дает его в более привычной форме, т. е. они попросту синонимичны. Это вытекает из того, что под диссимметрией здесь понимается простое отсутствие в конкретном проявлении каких-то элементов симметрии из всех возможных теоретически. Наконец, прямое следствие из приведенной формулировки таково: Система, образованная двумя (или более) явлениями, может иметь только такие элементы симметрии, которые имеются у каждого из тех явлений.

Общая часть. За исходную базу для рассмотрения видов предельной симметрии в протяженных средах примем систему Кюри–Шубникова (рис. 1), памятуя, что она разработана для ограниченных тел и отчасти неплохо вписывается в систему 32 классов кристаллической симметрии (правда, не охватывая ее полностью). Далее потребуется выявлять, какие изменения в нее внесет протяженная среда.

Отметим, что в этом разделе указания на движения (вращения, скручивания, перемещения) работают во всей их полноте, и это есть существенное отличие предельных симметрий этого раздела от таковых же в предыдущем разделе. По сути этот факт впервые введен в рассмотрение А.В. Шубниковым [14], математически обосновавшим понятие векторов двух типов и тензоров двух типов. На рис. 4 представлена его схема этих четырех типов движений – именно движений в прямом смысле. Вслед за А.В. Шубниковым и в развитие его идей их стоит полноценно состыковать с предельными видами симметрий, что и будет показано далее.

Рис. 4. Четыре типа движений по А.В. Шубникову (векторы и тензоры): А – исходный вариант [10, рис. 2]; Б – фигуры исходного рисунка (а) перегруппированы по системе матрицы: верхний ряд – векторы, нижний – тензоры; левый столбец – полярные сущности, правый – аксиальные.

Конкретика предельных симметрий протяженных сред. Начнем с трех простых форм из рис. 1. Простой шар (№ 6) отображает изотропную, покоящуюся среду (или хаотичную, броуновскую), в которой все направления идентичны, так же, как и в шаре одинаковы его диаметры. Простой конус (№ 2) отражает симметрию направленного движения – потока, и он по сути аналогия полярному вектору Шубникова. Если в предыдущем разделе полярный вектор сопоставлялся с неподвижной полярной осью из-за потенциальной возможности в ней внутреннего движения электронов, то для протяженных сред это движение явное, открытое. Простой цилиндр (№ 5) отражает симметрию колебательных процессов взад–вперед вдоль его оси. Он же в литературе соотнесен с полярным тензором сжатия–растяжения, но такое сопоставление требует серьезного рассмотрения, и оно будет приведено далее.

Итак, даже простые предельные формы, без дополняющих стрелок, здесь уже связаны с движением (шар – это нулевое движение). Тем более таковыми являются и стрелочные формы. Вращающийся цилиндр – это, по Шубникову, аксиальный вектор. Вращающийся конус есть объединение в одной фигуре двух векторов – полярного и аксиального, на что указал сам Шубников в более ранней работе [15, стр. 262–263].

Закрученному цилиндру соответствует аксиальный тензор, и шар с закрученными диаметрами (т. е. с диаметрами, являющимися аксиальными тензорами) – это среда, вращающая плоскость поляризации.

Указанные различия в двух разбираемых сферах могут показаться формальными, но ими дело не ограничивается. Здесь, в комплексе предельных симметрий неограниченных сред, появляются новые их виды.

Вводная к выводам дополнительных предельных видов симметрии. Ниже разобрана пара особых случаев, описанных А.В. Шубниковым [10], но прежде требуются предварительные замечания к ним обоим. Эти особые случаи – суть мысленные опыты, иллюстрирующие принцип Кюри. Ситуации в них касаются пиро- и пьезоэффектов, относящихся к явлениям кристаллического плана, т. е. связанных с определенными элементами симметрии – полярными осями. Но все-таки они соотносятся не с кристаллическим телом (не с его формой, границами и размерами), а с кристаллическим веществом, т. е. со средой, не зависящей от тех или иных ограничений². Потому они и рассматриваются здесь, и выводы по ним, безусловно, относятся к данному разделу о безграничных средах. К тому же оба эти эффекта проявляются не в статике кристаллов, а в движениях внутри них, что еще ясней подчеркивает их позицию именно в данном разделе.

В этих обоих случаях и возникнет необходимость обратиться к принципу Кюри, приведенному выше. Поскольку в данном принципе речь идет о причинах и следствиях, то полезно изначально воспринять немаловажное положение, которым сам Шубников предварил рассмотрение одного из описанных им опытов: “Условимся за причину принимать все исходные данные, т. е. заданное, но пока еще никуда не приложенное напряжение t₃₃ и заданный, но пока еще не напряженный и не деформированный кристалл, а за следствие то, что спрашивается, т. е. деформированный и напряженный кристалл” [2, стр. 142].

Представляется верным принять за основу это положение не только для того конкретного опыта со сдавливанием кристалла, а вообще всегда. То есть включать в причины какого-то следствия все исходные данные, симметрия которых по принципу Кюри должна влиять на симметрию результата.

Дополнительный вид предельной симметрии – радиально-векторный шар. Эту ситуацию рассмотрим непосредственно по описанию Шубникова – по его развернутой цитате: “Возьмем кристалл турмалина, который, как известно, обладает симметрией 3·m (одна ось симметрии третьего порядка и три пересекающиеся по ней, продольные, плоскости симметрии). Известно также, что турмалин при равномерном нагревании электрически поляризуется, т. е. в нем возникает однородное электрическое поле, направленное вдоль оси (пироэлектрический эффект). Мы уже видели выше, что однородное электрическое поле в каждой своей точке обладает симметрией ∞·m. … … пироэффект возможен также и в других средах (кристаллах и текстурах), если по симметрии они принадлежат либо к группе ∞·m, либо к одной из подгрупп (1, 2, 3. . . m, 2·m, 3·m,. . .) этой группы максимальной симметрии” [2, стр. 138–139].

Итак, Шубников хочет показать соответствие симметрий причины (т. е. кристалла турмалина) и следствия (электрического поля) – обе они характеризуются полярной осью. Тут стоит обратить внимание на то, что им упущено – при четком расписывании симметрий одной из причин (собственно турмалина) и следствия (появляющегося электрического поля) осталась не указанной симметрия второй причины – теплового воздействия на кристалл. Налицо как бы нарушение собственной установки на внимание ко всем причинам, которые могут повлиять на симметрию следствия.

В общем плане симметрия теплового воздействия имеет изотропный характер в силу броуновского движения молекул, т. е. по системе групп Кюри она относится к симметрии простого шара ∞/∞·m, не имеющего полярных осей. Но если так, то приходим к парадоксу: полярная ось есть у следствия и только у одной из причин – у турмалина, тогда как по принципу Кюри (см. выше) у следствия могут проявиться только те элементы симметрии, которые есть у обеих действующих причин. В чем же тут дело?

Ответ заключается в неправильной оценке симметрии одного из агентов – тепловое воздействие изотропно во внешней среде, но в данном случае должна рассматриваться внутренняя среда кристалла, в которой повышение температуры сопровождается расширением, а расширение – это векторный, центробежный процесс, при котором составные элементы вещества (среды) – атомы-молекулы – не просто усиливают свои колебательные движения, а еще и перемещаются от центра во все стороны. Но перемещение – это всегда вектор (здесь – полярный вектор, по Шубникову), в результате получаем структуру с симметрией не простого шара, а шара с радиусами в виде полярных векторов. Вот тут все становится на свои места – обе причины имеют полярные векторы и “… их диссимметрии складываются” – именно по Кюри, т. е. наведенное электрическое поле наследует свою полярность и от турмалина (взяв от него направление единственной оси кристалла), и от векторно-шаровой симметрии градиента температуры кристалла, выбирая из всего множества ее радиусов-векторов только один, совпадающий с осью турмалина.

Таким образом, проблема решена путем обнаружения нового вида симметрии – шара с полярно-векторными радиусами³. И этот новый вид предельной шаровой симметрии очень естественно дополняет два шаровых вида Кюри–Шубникова – простой шар (скалярный) и шар с закрученными (аксиально-тензорными) диаметрами.

Вид предельной симметрии полярного тензора (механическое сдавливание). Другая ситуация, разобранная Шубниковым там же, – сдавливание кубика каменной соли [2, стр. 142–143]. Этот мысленный опыт поставлен для выявления симметрии полярного тензора – тензора напряжения сжатия/растяжения. Именно здесь, перед описанием опыта, и фигурирует то важное положение, приведенное выше, о необходимости учета симметрий всех возможных причин. В этом опыте двумя причинами являются: сам кристалл с его кубической симметрией (точнее сказать, как и в предыдущем случае, – кристаллическая среда); механическое воздействие, не связанное с внутренними кристаллическими свойствами. Эти разнородные причины и образуют общее следствие на паритетных началах.

В этом опыте Шубников четко указал характеристики симметрий обеих причин – исходный кристалл кубической сингонии с симметрией 6̅/4 и давление на него с симметрией тензора сжатия, аналогичной (по Шубникову) симметрии покоящегося цилиндра m·∞:m. Сложение диссимметрий этих причин дает остающуюся симметрию m·4:m, как раз эти элементы симметрии (причем только они) характеризуют следствие – деформированный кристалл каменной соли. Итак, несовпадающие элементы симметрий обеих причин погасили друг друга в результате их суперпозиции, и принцип Кюри блестяще подтвержден.

Тут у Шубникова все на месте – и следствие, и обе причины обозначены своими симметриями. Вопрос только в том, что при явлении давления имеем, вообще говоря, тензор, т. е. два сопряженных, противоположно направленных вектора, а симметрия для него подается как простой цилиндр – без всяких векторов. Это кажется странным, хотя по факту опыта, вроде бы, так и должно быть⁴.

Для прояснения этой ситуации повторим опыт с некоторым изменением входящих условий – поставим под пресс не каменную соль, а кристалл с полярной осью. Тогда, согласно открытию братьев Кюри, в деформированном кристалле появится разность потенциалов, т. е. вдоль этой оси будет наведено электрическое поле (естественно, полярно ориентированное). Здесь опять обращаемся к принципу Кюри – если в следствии появляется полярная ось, то она должна быть у обеих причин. У одной из причин (кристалла) она фиксирована условием постановки опыта, а у другой…? Так ведь и у второй причины, у тензора давления, имеются даже два полярных вектора, встречных друг другу на одной оси. Вот тут и выясняется, что симметрия тензора давления должна быть представлена не цилиндром, а двумя разнонаправленными конусами. И эта интерпретация будет справедлива не только для сжатия–растяжения, но и для любого воздействия, ориентированного в две противоположные стороны, например для случая зонального метаморфизма [9], а в морфологии кристаллов – например для процесса двойникования по типу песочных часов.

У сравниваемых тут двух фигур предельной симметрии (неподвижного цилиндра и двойного конуса) элементы симметрии сходны: одна ось бесконечного порядка, поперечная плоскость симметрии и бесконечное множество продольных плоскостей симметрии, потому характеристики их симметрий выглядят одинаково – m·∞:m.

Сходство стандартных элементов симметрии налицо, что может как-то затушевать различие. При этом чистая кинематика говорит, по-видимому, о том же – встречные векторы действительно гасят друг друга, и перемещения предмета в пространстве не происходит. Но здесь существенна не кинематика, а динамика – не перемещается только центр тяжести предмета, а внутреннее движение торцов предмета навстречу друг другу имеет место быть с безусловностью⁵. Поскольку сжатие налицо, игнорировать эти векторы нельзя. Да и различие в симметриях вполне однозначно: ось цилиндра – скаляр, а у двух соосных конусов она же – тензор, т. е. соосные разнонаправленные векторы. Разница существенная, хотя в шубниковских символах и не отражаемая, так как полярность оси в них не фиксируется в явном виде. Конечно, грамотный кристаллограф и по ним разберется – есть ли в кристалле полярная ось или нет, поскольку строение кристаллов вполне закономерно. Но это возможно только в рамках классической кристаллографии, а при выходе в предельные формы симметрии, как показано выше, уточнение о качестве оси становится необходимым. Поэтому здесь обозначим полярную ось штрихом (2ʹ, 3ʹ, …∞ʹ), а тензорную, т. е. пару соосных векторов, – двумя штрихами. Тогда символ предельной группы для полярного тензора станет (m·∞ʺ:m) в отличие от символа покоящегося цилиндра (m·∞:m).

К систематике предельных форм симметрии. На рис. 1 и 2 приведены системы предельных симметрий по Шубникову и по Кюри. Включение двух новых предельных видов симметрии требует уточнения общей их систематики.

Такая попытка систематизации представлена на рис. 5 в виде общей схемы-таблицы. Однако в ней кроме двух описанных выше новых видов предельной симметрии появляются два дополнительных вида в самом правом столбце, но о предпосылках их появления поговорим позже, а сначала разберемся в трех левых столбцах, пока без четвертого. Именно в третьем столбце расположены обоснованные выше предельные виды симметрии – двойной конус и радиально-полярный шар.

Рис. 5. Сводная таблица видов предельной симметрии для неограниченных сред. В штриховой рамке – предельные симметрии четырех типов движений А.В. Шубникова (рис. 4). Их названия использованы и для конструирования обозначений остальных предельных видов симметрии. Наличие полярных векторов отмечено штрихом при символе соответствующей оси, двойной штрих – наличие полярного тензора.

При этом объединении семи видов симметрии Кюри с двумя нововведенными видами намечаются три последовательно связанные линии: 1) простой цилиндр – простой шар; 2) вращающийся цилиндр – закрученный цилиндр – шар с закрученными радиусами; 3) простой конус – двойной конус – шар с конусными (полярными) радиусами. Эти линии составляют три левых столбца таблицы, причем часть ее, выделенная штриховым квадратом, – суть шубниковские типы движений (рис. 4), выраженные наглядными фигурами, восходящими к идеям Кюри.

Наличие пустого места в первом столбце вполне закономерно – если удвоение векторов (с их перенаправлением) переводит их в тензоры, то удвоение скаляра оставляет его в прежнем статусе. То есть формально это место можно заполнить таким же цилиндром, как и в первой строке. Система при этом ясно видна: вторая строка – это удвоение первой, а третья строка есть радиальная развертка второй строки (или даже первой) по всем направлениям пространства, естественно приводящая к шаровым формам.

Все было бы вполне закономерно, если бы при этой системе не оказался неучтенным один вид предельной симметрии – вращающийся конус (№ 1 на рис. 1), отображающий совмещение сразу двух движений – поступательного вдоль оси и вращательного вокруг нее, т. е. объединяющий полярный и аксиальный векторы. Его учет необходим в любой систематике, и в развиваемой тут системе его место – в первой строке, вслед за двумя его составными частями – полярным и аксиальным векторами. При этом возникают еще два пустых места под ним, для которых уже не просматривается какого-либо рационального объяснения, аналогичного таковому в скалярном столбце. Однако возможно сконструировать еще два вида предельных симметрий в линиях тензоров (средняя строка) и шаров (нижняя строка) – именно по аналогии со вторым и третьим столбцами схемы.

Пока выделение этих двух предельных симметрий базируется на чистой логике. Но и на данном уровне можно видеть, что в механике симметрия полярно-аксиального тензора проявляется, например, в домкрате, раздвигающемся в обе стороны при его вращении. Вообще в природе она овеществляется в разных спиралевидных формах, конкретней – в движении и становлении спиральных структур. В кристаллографии, например, это проявляется при спиральном росте кристаллов. Следовательно, кристаллы в стационарном состоянии имеют одни типы предельной симметрии, а в динамике (при их росте) тем же кристаллам соответствуют другие предельные типы. Очевидно, это предвидел глубоко мыслящий кристаллограф и философ Пьер Кюри, что явно следует из его фразы, вынесенной в эпиграф.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Идею Пьера Кюри о возможности приложения понятия симметрии к неограниченным средам развили академик А.В. Шубников (введение понятия кристаллическая среда, рассмотрение симметрий физических свойств кристаллов) и профессор И.И. Шафрановский (характеристика симметрий маточной среды), но пока безотносительно к возможной изменчивости предельных видов симметрий в такой ситуации. Дальнейшее углубление этого подхода выявляет новые виды предельной симметрии, которые вкупе с известными видами предельной симметрии Кюри–Шубникова образуют стройную, закономерную систему, представленную на рис. 5. В ней остались все семь ранее известных фигур системы Кюри–Шубникова и к ним добавлено четыре новых вида предельной симметрии – два тензора (полярный и полярно-аксиальный) и два шара под ними (с такими же диаметрами).

¹ Такое представление соответствует двум шарам – одному, описанному вокруг многогранника кубической сингонии, и второму, вписанному в него же. При этом полярные оси у этих фигур будут одним своим концом касаться внешнего шара (описанного вокруг), а другим – внутреннего, вписанного шара, аналогично тому, как изображено на рис. 3.

² Понятие кристаллическая среда, не имеющая ограничений (в противовес реальному кристаллу, т. е. кристаллическому телу), введено тоже А.В. Шубниковым [16].

³ Правда, для кристалла турмалина эквипотенциальные поверхности нагревания описываются не шаром, а эллипсоидом, но для данной аппроксимации это не имеет принципиального значения. Важно, что радиальные векторы и в шаре, и в эллипсоиде полностью заполняют все направления, идущие от центра. То есть любое из выбранных направлений оказывается вектором.

⁴ Кстати говоря, прилагая симметрию простого цилиндра к процессу сжатия–растяжения, Шубников идет непосредственно по Кюри – симметрия (а) на рис. 2.

⁵ Чтобы визуально убедиться в наличии фактора движения при сжатии любого объекта, достаточно вместо него поместить пружину.