On the stability of linear systems with a quadratic integral

封面

如何引用文章

全文:

详细

The problem of stability of non-degenerate linear systems admitting a first integral in the form of a non-degenerate quadratic form is considered. New algebraic criteria for stability, as well as complete instability of such systems, have been established in the form of equality to zero of traces of products of matrices, which include an additional symmetric matrix. These conditions are closely related to the symplectic geometry of the phase space, which is determined by the matrix of the original linear system and the symmetric matrix defining the first integral. General results are applied to finding conditions for complete instability of linear gyroscopic systems.

全文:

  1. Условия устойчивости. Предположим, что линейная система

x˙=Ax;xRm (1.1)

допускает квадратичный первый интеграл

f=(Bx,x)/2,B*=B (1.2)

Матрицы A и B связаны следующим соотношением:

BA=A*B (1.3)

В дальнейшем предполагается невырожденность матриц A и B. В частности, т четно. Действительно, согласно (1.3), матрица BA кососимметрическая. Она может быть невырожденной только при четном т. Положим т = 2n. Если | AB |≠ 0, то система (1.1) на самом деле гамильтонова, причем f будет функцией Гамильтона [1]. Но только она представлена не в канонических переменных. Согласно [2], система (1.1) допускает семейство квадратичных первых интегралов

fk=Ak*BAkx,x/2;kZ (1.4)

Конечно, не все они независимы. В типичном случае, когда матрица A не имеет кратных собственных значений, функции

f0=f,f1,,fn1 (1.5)

независимы (см. [2]). Более того, они попарно находятся в инволюции относительно естественной симплектической структуры, относительно которой система (1.1) будет гамильтоновой. Спектр матрицы A симметричен не только относительно вещественной, но и относительно чисто мнимой оси. Действительно,

0=AλE=B1BAλB=B1××A*BλB=A*+λE=A+λE

Степенью устойчивости s системы (1.1) назовем число пар чисто мнимых собственных значений матрицы A, а степень неустойчивости и — это количество собственных значений A в правой комплексной полуплоскости. Если матрица A невырождена, то

s+u=n (1.6)

Пусть i-, i+ — индексы инерции квадратичной формы (1.2). Если эта форма невырождена, то, очевидно,

i+i+=2n (1.7)

Так как – f также квадратичный интеграл системы (1.1), то без ущерба для общности можно считать, что

ii+ (1.8)

В [3] установлено неравенство

i+i2s (1.9)

Точнее, в [3] доказано более сильное неравенство, но в дальнейшем оно нам не понадобится. С другой стороны, в [2] доказано неравенство

ui (1.10)

Его частные варианты были известны ранее (см., например, [4]). С учетом соотношений (1.6), (1.7) и соглашения (1.8), неравенства (1.9) и (1.10) на самом деле эквивалентны (хотя их доказательства в [2] и [3] основаны на разных идеях).

Систему (1.1) назовем вполне неустойчивой, если s = 0 и и = n. В этом случае степень неустойчивости принимает максимально возможное значение и (согласно (1.8) и (1.10)) i=i+=n. Так что в этом случае фазовое пространство R2n с квадратичной формой (1.2) в качестве псевдоевклидовой метрики будет пространством Артина.

В «противоположном» случае, когда и = 0, а u = n, систему (1.1) будем называть устойчивой. В типичном случае, когда спектр матрицы A простой (именно его в дальнейшем и будем рассматривать), положение равновесия x = 0 устойчивой системы устойчиво по Ляпунову (как в прошлом, так и в будущем).

В [1] показано, что линейная система с квадратичным интегралом устойчива тогда и только тогда, когда она допускает первый интеграл в виде положительно определенной квадратичной формы. С другой стороны, рассмотрим конус в R2n :

K=xR2n:f0(x)==fn1(x)=0

Как было показано [2], критерий устойчивости системы (1.1) состоит в выполнении условия K = {0}. Более того, в этом случае положительно определенный квадратичный интеграл можно найти в виде пучка квадратичных интегралов (1.4)

i=0n1λifi;λiZ

Укажем несколько необычные алгебраические критерии полной неустойчивости и устойчивости линейной системы с квадратичным интегралом. Будем предполагать, что матрица A не имеет кратных собственных значений. Это означает, что дискриминант ее характеристического многочлена отличен от нуля.

Теорема 1. Система (1.1) вполне неустойчива тогда и только тогда, когда найдется положительно (или отрицательно) определенная симметрическая матрица S такая, что

trSAk*BAk=0 (1.11)

для всех k=0,1,...,n-1.

В силу соотношения (1.3) условие (1.11) эквивалентно условию

trSBA2k=0 (1.12)

Выбирая в качестве S единичную матрицу, сразу получаем:

Следствие. Если

trBA2k=0 (1.13)

для всех k = 0,1, ..., n –1, то линейная система вполне неустойчива.

Конечно, условие (1.13) редко выполняется. Однако если A не имеет чисто мнимых собственных значений, то в нормальных канонических переменных Вильямсона матрица B вполне неустойчивой системы имеет нулевую диагональ. Как показано в [2], этим же свойством обладают и все матрицы BA2k.

Теорема 2. Система (1.1) устойчива тогда и только тогда, когда для любой симметрической матрицы , удовлетворяющей условию (1.11), квадратичная форма (Sy, y), y ∈ R2n принимает значения разных знаков.

Следствие. Система (1.1) неустойчива тогда и только тогда, когда найдется ненулевая симметрическая матрица  такая, что (Sy, y) ≥ 0 (или ≤ 0) для всех y ∈ R2n.

Теорема 3. Среди симметрических невырожденных матриц , удовлетворяющих соотношениям (1.11), всегда найдется такая, что индексы инерции квадратичной формы (Sy, y) равны s и 2u + s.

Если система вполне неустойчива, то s = 0 и матрица S будет дефинитной (что соответствует заключению теоремы 1). В устойчивом случае и = 0, и поэтому квадратичная форма (Sy, y) будет артиновой формой (очевидно принимающей значения разных знаков). Теорема 3 не допускает обращения. Это показывает простой пример линейной системы на плоскости (п = 1). Система

x˙1=x1,x˙2=x2

имеет квадратичный интеграл f = x1x2. Здесь s = 0, а и = 1. Соотношению (1.11), очевидно, удовлетворяют симметрические матрицы

S1=1001 и S2=1001

Индексы инерции квадратичной формы (S1y, y) равны i+=2, i-=0 (что отвечает заключению теоремы 3), а квадратичная форма (S2y,y) будет артиновой (i+=i-=1).

Каков инвариантный смысл соотношения (1.11) (или (1.12))? При линейной подстановке xCx матрицы A и B преобразуются по следующим правилам:

AC1AC,BC*BC

Если симметрическая матрица S преобразуется по правилу

SC1SC*1, (1.14)

то

SBA2kC1SBA2kC,

и, следовательно, tr(SBA2k) не изменится.

Введем векторное пространство R2n* = {y}, сопряженное к R2n = {x}. Каноническое спаривание у ∙ x (значение ковектора на векторе) будет инвариантом, если векторы из R2n* преобразуются по ковариантному закону:

yC*1y (1.15)

Следовательно, согласно (1.14), симметрическую матрицу S следует считать матрицей квадратичной формы в сопряженном пространстве. Подчеркнем, что в результате линейной подстановки (1.15) сохраняется дефинитность, полудефинитность или знакопеременность квадратичной формы Sy,y.

  1. Доказательства. Теоремы 1–3 доказываются с помощью теории вещественных нормальных форм линейных дифференциальных уравнений Гамильтона, к которым невырожденным линейным преобразованием приводится линейная система (1.1) с квадратичным интегралом (1.2). Согласно Вильямсону, фазовое пространство R2n распадается в прямую сумму косоортогональных (относительно соответствующей симплектической структуры) подпространств так, что гамильтониан представляется в виде суммы квадратичных форм (частичных гамильтонианов) на этих подпространствах, при этом:
    1. вещественной паре ±а (а ≠ 0) собственных чисел отвечает гамильтониан -apq (здесь и далее p, q обозначают пару сопряженных канонических переменных),
    2. чисто мнимой паре ±ib(b0) — b(p2+q2)/2,
    3. четверке собственных значений ±a±ib (ab0) — a(p1q1+p2q2)+b(p1q2p2q1).

При сделанных в разд. 1 предположениях о невырожденности системы (1.1) с гамильтонианом (1.2) и об отсутствии кратных корней других частичных гамильтонианов нет. В этих переменных матрица квадратичного интеграла f имеет блочно-диагональный вид, где по диагонали расположены матрицы

0aa0,b00b,0a0ba0b00b0ab0a0, (2.1)

отвечающие случаям (а–в). Как показано в [2], симметрическая матрица Am*BAm в этих координатах имеет тот же вид, что и матрица B, но только в случаях (а) и (б) перед блоками на диагонали присутствуют множители (1)ma2m и b2m соответственно. Что касается случая (в), то ограничение квадратичного интеграла fm на плоскость с каноническими координатами p1, q1, p2, q2 принимает следующий вид:

μm(p1q1+p2q2)+νm(p1q2p2q1),

где

μm=Re(1)m+1(aib)2m+1,νm=Im(1)m+1(aib)2m+1

Следует отметить, что число a — ib является одним из четверки собственных значений матрицы A.

После этих предварительных замечаний докажем сначала более простую теорему 3. Используя нормальные канонические координаты, будем искать невырожденную симметрическую матрицу S в диагональном виде. Для блоков, отвечающих случаям (а) и (в), на диагонали матрицы S поместим 1, а в каждом блоке случая (б) на диагонали поместим 1 и — 1. Ясно, что в нормальных канонических переменных выполнены все n соотношений (1.11). Поскольку каждому блоку вида (а) и (в) отвечает пара вещественных и четверка комплексных собственных значений матрицы A, а блоку вида (б) отвечает пара чисто мнимых собственных значений, то сигнатура квадратичной формы (Sy, у) есть 2u + s и s. Остается воспользоваться замечаниями из разд. 1 и вспомнить, что сигнатура квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных заменах переменных.

Докажем теперь теорему 1. Согласно теореме 3, если линейная система вполне неустойчива (то есть s = 0), то найдется дефинитная симметрическая матрица S, удовлетворяющая всем соотношениям (1.11).

Обратно, пусть найдется такая дефинитная симметрическая матрица S. Покажем, что S = 0. Предположим противное, что s ≥ 1. Воспользуемся нормальными каноническими координатами Вильямсона. Если s ≥ 1, то найдется двумерная инвариантная плоскость, отвечающая случаю (б).

Пусть симметрическая матрица S удовлетворяет всем n соотношениям (1.11) или, что то же самое, (1.12)). Поскольку матрицы BA2k имеют описанный выше блочный вид (2.1), то матрицу S тоже следует считать блочно-диагональной с теми же размерами, что и размеры блоков матрицы B. Остальные элементы матрицы S (вне этих блоков) не участвуют в соотношениях (1.11).

Итак, пусть

BA2k=diag[D1(k),D2(k),],S=diag[S1,S2,],

причем квадратичные симметрические матрицы Dj(k) и Sj имеют одинаковые размеры (2 х2 или 4х4). Соотношения (1.11) принимают следующий вид:

jtr(SjDj(k))=0;k=0,1,,n1 (2.2)

Если матрица Dj(k) отвечает случаю (а), то

tr(SjDj(k))=a2k+1(2s12(j)), (2.3)

где s12(j) — внедиагональный элемент симметрической 2×2-матрицы Sj.

В случае (б) этот след, очевидно, равен

b2k+1trSj (2.4)

В случае (в) имеем

tr(SjDj(k))=2μk(s12(j)+s34(j))+2νk(s14(j)+s23(j)), (2.5)

где spq(j) — элементы симметрической 4×4-матрицы Sj.

Учитывая формулы (2.3)-(2.5), заключаем, что n соотношений (2.2) дают замкнутую однородную систему n линейных уравнений для нахождения комбинаций элементов матриц Sj:

s12(j),trSj,s12(j)+s34(j),s14(j)+s23(j)

Так как спектр матрицы A простой, то определитель n×n — матрицы коэффициентов этой системы отличен от нуля (этот факт уже установлен при доказательстве функциональной независимости квадратичных форм f0 = f, fv..., fn-1). В частности, rSj в случае (б). Значит, если матрица A имеет хотя бы одну пару чисто мнимых собственных значений (то есть s ≥ 1), то симметрическая матрица S не может быть дефинитной, поскольку (по критерию Сильвестра) все диагональные элементы должны иметь один знак. Однако этот вывод противоречит нашему предположению о дефинитности матрицы S, что доказывает теорему 1.

Нам осталось доказать теорему 2. Пусть линейная система (1.1) устойчива. Тогда в нормальных канонических координатах Вильямсона матрица  имеет следующий блочно-диагональный вид:

diagb100b1,b200b2,,

причем вещественные числа b1, b2, … (и их квадраты) все различны и не равны нулю. Матрица BA2k имеет тот же вид:

diagb12k+100b12k+1,b22k+100b22k+1,

Пусть s1, s2, s2n — диагональные элементы матрицы S. Тогда соотношения (1.11) дают нам следующую линейную систему

b12k+1(s1+s2)+b22k+1(s3+s4)+=0;0kn1

Так как b1, b2, … различны, то определитель этой системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля. Следовательно,

s1+s2=0,s3+s4=0,

Но в этом случае квадратичная форма (Sy, у) принимает значения разных знаков, если, конечно, S ≠ 0.

Обратно, предположим, что всякая квадратичная форма (Sy, у) принимает как положительные, так и отрицательные значения, если ненулевая симметрическая матрица S удовлетворяет соотношениям (1.11) и при этом линейная система (1.1) неустойчива. Это означает, что в специальных нормальных координатах Вильямсона матрица B имеет диагональный блок вида (а) или (в).Такой же по виду блок имеют и все матрицы D(k)=BA2k. В качестве соответствующего блока Sj матрицы S возьмем единичную матрицу. Тогда

tr(SjDj(k))=0;0kn1

Полагая остальные блоки матрицы S равными нулю, получаем ненулевую симметрическую матрицу S, удовлетворяющую всем соотношениям (1.11), однако (Sy, у) ≥ 0 для всех у. Таким образом, в этом случае найдется ненулевая симметрическая матрица S такая, что выполнено условие (1.11), но квадратичная форма (Sy, у) не принимает значения разных знаков. Полученное противоречие доказывает устойчивость линейной системы (1.1). Что и требовалось.

Замечание. В работах [4, 5] (см. также обзор [6]) рассмотрена задача о наличии в пучке симметрических матриц T1,...,Ttau (он состоит из линейных комбинаций μjTj, μj R) дефинитной матрицы. Для этого необходимо и достаточно, чтобы из условий tr(STj) = 0 , 1 ≤ j ≤ r вытекала индефинитность симметрической матрицы . Это утверждение можно было бы использовать для доказательства теоремы 2 (вместе с тем фактом, что матрица любого квадратичного интеграла линейной системы (1.1) принадлежит пучку симметрических матриц BA2k, 0 ≤ k ≤ n — 1). Там же указаны условия существования в пучке матриц индефинитной и полудефинитной матриц. Однако все эти условия не пригодны для доказательства теорем 1 и 3, которые (как и теорема 2) имеют симплектическую природу.

  1. Ганкелевы формы. Укажем еще один алгебраический критерий устойчивости линейных систем с квадратичным интегралом. Как уже было сказано в разд. 1, характеристический многочлен матрицы A не содержит нечетных степеней спектрального параметра:

λ2n+α1λ2n2++αn (3.1)

Поскольку (согласно предположению) этот многочлен не имеет кратных корней, то его дискриминант отличен от нуля.

Равновесие x = 0 системы (1.1) устойчиво тогда и только тогда, когда все корни многочлена n- й степени

μn+α1μn1++αn (3.2)

вещественные отрицательные числа. Следовательно, необходимое условие устойчивости заключается в выполнении неравенств α1>0,...,αn>0.

Пусть μ1,...,μn — простые корни многочлена (3.2). Положим

hk=μ1k++μnk,h0=n

Числа hk выражаются через коэффициенты по следующим формулам Ньютона:

2hm+hm1α1++h1αm1+mαm=0;mnhm+hm1α1++hmnαn=0;m>n

Отсюда h1=α1, h2=α122α2, h3=α13+3α1α23α3, Введем симметрическую матрицу n-го порядка

H=h0h1hn1h1h2hnhn1hnh2n2

и ганкелеву квадратичную форму Ф(z) = (Hz, z), z Rn. Хорошо известно, что D = | H |.

Теорема 4. Равновесие x = 0 системы (1.1) устойчиво тогда и только тогда, когда a1 >0,...,an >0 и функция Ф имеет в точке z = 0 строгий минимум.

Доказательство. Так как D ≠ 0, то многочлен (3.2) не имеет кратных корней. В этом случае критерий вещественности всех корней многочлена (3.2) есть условие положительной определенности квадратичной формы Ф [7]. Остается воспользоваться следующим фактом, вытекающим из правила Декарта: многочлен (3.2) без комплексных корней имеет n отрицательных корней тогда и только тогда, когда все его коэффициенты положительны. Что и требовалось.

Пусть I+, I- — индексы инерции ганкелевой формы Φ. Так как D=Φ0, то I++I-=n. В этом случае разность n-I+-I- всегда четна.

Теорема 5. Пусть ганкелева форма Φ невырождена. Тогда в спектре матрицы A имеется ровно n-I+-I-/2 различных комплексных четверок (чисел ±a±ib, ab0).

В технической литературе наличие комплексных четверок в спектре линейной системы принято связывать с неустойчивостью типа флаттера. Если же в правой комплексной полуплоскости имеются только вещественные собственные значения, то в этом случае говорят о неустойчивости типа дивергенции (см., напр., [8, 9]).

Следствие 1. Пусть ганкелева форма  не имеет в начале координат минимума. Тогда в линейной системе будет неустойчивость типа флаттера.

Следствие 2. Если D=H<0, то x=0 — неустойчивое равновесие, имеющее тип флаттера.

Действительно, в этом случае ганкелева форма  невырожденна, но не имеет минимума (согласно критерию Сильвестра).

Следствие 3. Пусть форма Ф положительно определена, а хотя бы один из коэффициентов характеристического многочлена (3.1) отрицательный. Тогда равновесие x = 0 системы (1.1) неустойчиво, причем эта неустойчивость имеет тип дивергенции.

Это утверждение вытекает из теорем 4 и 5. Вообще, если  положительно определена, то степень неустойчивости системы (1.1) равна числу перемен знаков коэффициентов многочлена (3.1).

Сама теорема 5 является следствием известного результата о ганкелевых квадратичных формах [7]: если D ≠ 0, то количество вещественных корней многочлена (3.2) равно I+-I-. Далее вещественному корню (3.2) отвечает либо пара вещественных, либо пара чисто мнимых корней многочлена (3.1). А каждой паре комплексных корней α ± iβ (β ≠ 0) многочлена (3.2) (таких пар n-I+-I-/2) отвечает комплексная четверка корней (3.1). Что и требовалось.

  1. Пример из теории гироскопической стабилизации. В качестве примера рассмотрим классическую задачу о гироскопической стабилизации неустойчивого равновесия линейной механической системы с двумя степенями свободы. Она описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

x¨1+γx˙2ax1=0,x¨2γx˙1bx2=0 (4.1)

Здесь a и b — положительные постоянные, параметр γ определяет интенсивность гироскопических сил. Размерность фазового пространства равна четырем; так что n = 2.

Уравнения (4.1) допускают квадратичный интеграл энергии

f=(x˙12+x˙22ax12bx22)/2

Дополнительный интеграл (1.4):

f1=[(γx˙2+ax1)2+(γx˙1+bx2)2ax˙12bx˙22]/2

Оба интеграла имеют одинаковые индексы инерции: i+=i-=2. Согласно [1], степень неустойчивости u и индекс инерции i- имеют одинаковую четность. Следовательно, если система (4.1) неустойчива, то u = 2. В этом случае свойства неустойчивости и полной неустойчивости линейной системы совпадают.

Условия гироскопической стабилизации системы (4.1) хорошо известны (см., например, [9, гл. 6]). Воспроизведем диаграмму степеней устойчивости в удобном для нас виде. Характеристический многочлен линейной системы (4.1) есть

λ4+λ2(γ2ab)+ab (4.2)

Считая γ ≠ 0, положим b=b'γ2a=a'γ2 и λ=λ'λ2. Тогда (4.2) принимает следующий вид:

γ4[λ'4+λ'2(1a'b')+a'b']

Для задачи об устойчивости наличие множителя γ4 не играет никакой роли. Диаграмма степеней устойчивости на плоскости параметров a′, b′ изображена на рис. 1. Дискриминантная кривая (где дискриминант D = (a — b′)2 — 2(a′ + b′ + 1) обращается в нуль) является параболой, которая касается осей a′ и b′ точках (1, 0) и (0, 1) соответственно. В каждой из областей изображено расположение собственных значений (кратные собственные значения более «жирные»). Точки a′ = 1, b′ = 0 и a′ = 0, b′ = 1 отвечают нулевому корню кратности 4. Рисунок наглядно показывает смену расположения характеристических корней при переходе через бифуркационные кривые. Область параметров, отвечающих полной неустойчивости системы (4.1), заштрихована. Кстати сказать, области устойчивости и неустойчивости, а также области флаттера и дивергенции сразу же определяются из заключений теорем 4 и 5 (и их следствий).

 

Рис. 1

 

Исследуем вопрос об условиях полной неустойчивости системы (4.1), опираясь на теорему 1. Матрицы квадратичных форм f0 и f1 суть

B=a0000b0000100001 и BA2=a200aγ0b2bγ00bγγ2a0αγ00γ2b

Будем искать симметрическую матрицу S в следующем виде:

S=s100s50s2s600s6s30s500s4

Условие ее положительной определенности сводится к четырем неравенствам:

s1>0,s2>0,s2s3>s62,s1s4>s52 (4.3)

При этом, конечно, s3>0 и s4>0. Запишем в явном виде два соотношения:

as1+bs2=s3+s4 (4.4)

a2s1+b2s2+(γ2a)s3+(γ2b)s4+2aγs52bγs6=0 (4.5)

Надо найти решения этих двух уравнений, удовлетворяющих неравенствам (4.3).

Положим

s3=bs2,s4=as1 (4.6)

Если при этом s5=s6=0, то уравнение (4.5)

a(γ2b+a)s1+b(γ2a+b)s2=0 (4.7)

имеет решение с положительными s1, s2 при условии

γ2<|ab| (4.8)

Но тогда диагональная матрица S будет положительно определенной и линейная система (4.1) оказывается вполне неустойчивой (по теореме 1). На диаграмме степеней устойчивости условие (4.8) задает две связные области, расположенные выше и ниже двух прямых, обозначенных пунктиром. При этом спектр линейной системы (4.1) может состоять из двух пар вещественных чисел, или быть четверкой комплексных чисел.

В общем случае (когда s5 и s6 отличны от нуля) соотношение (4.7) принимает следующий вид:

a(γ2b+a)s1+b(γ2a+b)s2+2aγs52bγs6=0

Положим

(γ2a+b)s22γs6=0 и (γ2b+a)s1+2γs5=0

Учитывая (4.6), получаем, что два последних неравенства (4.3) удовлетворяются, если

(γ2a+b)2<4bγ2 и (γ2b+a)2<4aγ2 (4.9)

соответственно. Но эти оба неравенства совпадают и определяют на диаграмме степеней устойчивости область D < 0. Таким образом, объединение областей, задаваемых неравенствами (4.8) и (4.9), совпадает с областью полной неустойчивости линейной гироскопической системы (4.1).

×

作者简介

V. Kozlov

Steklov Mathematical Institute RAS

编辑信件的主要联系方式.
Email: vvkozlov@presidium.ras.ru
俄罗斯联邦, Moscow

参考

  1. Kozlov V.V. Linear systems with a quadratic integral // JAMM, 1992, vol. 56, iss. 6, pp. 803–809. doi: 10.1016/0021-8928(92)90114-N
  2. Kozlov V.V. Linear hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability // R.&C. Dyn., 2018, Vol. 23, no 1, pp. 26–46.
  3. Kozlov V.V., Karapetyan A.A. On the stability degree // Differ. Eqns., 2005, vol. 41, no. 2, pp. 195–201.
  4. John F. A note on the maximum principle for elliptic differential equations // Bull. Amer. Math. Soc., 1938, vol. 44, pp. 268–271.
  5. Dines L.L. On linear combinations of quadratic forms // Bull. Amer. Math. Soc., 1943, vol. 49, pp. 388–393.
  6. Uhlig F. A Reccurring theorem about pairs of quadratic forms and extensions: a survey // Linear Algebra and Its Appl., 1979, vol. 25, pp. 219–237.
  7. Gantmakher F.R. Matrix Theory. Moscow: Fizmatlit, 2004. 560 p. (in Russian)
  8. Kirillov O.N. Nonconservative Stability Problems of Modern Physics. Berlin: De Gruyter, 2013.
  9. Mailybaev A.A., Seyranyan A.P. Multiparameter Stability Problems. Theory and Applications in Mechanics. Moscow: Fizmatlit, 2009. 399 p. (in Russian)

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
2. Fig. 1

下载 (88KB)

版权所有 © Russian Academy of Sciences, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».