Nonregular precession of a rigid body in three uniform fields

封面

如何引用文章

全文:

详细

This article presents a solution to the problem of the conditions of nonregular precession of a rigid body in three homogeneous fields, in which the ratio of precession and proper rotation velocities is constant. It is shown that the precession of a dynamically symmetric body is possible at a precession velocity equal to, twice as large as, or twice as small as the proper rotation velocity. For each of the cases, the set of admissible positions of the centres of the forces and the relation between the body moments of inertia and constant nutation angle are given.

全文:

  1. Введение. Задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки имеет много обобщений при движении в различных силовых полях. Большое количество исследований посвящено случаю, когда силовое поле одно или действуют несколько полей с общей осью симметрии. Были найдены [1] решения для тяжелого твердого тела в магнитном поле, для гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил [2, 3].

Важным случаем движения является прецессия. Регулярная прецессия симметричного тяжелого тела хорошо известна. Гриоли в 1947 году была доказана [4] возможность регулярной прецессии несимметричного тела вокруг оси, отклоненной от вертикали. В задаче о движении тела в жидкости позже было найдено [5] решение вида [4]. Отметим, что прецессия тела с полостью, заполненной жидкостью, также возможна при отсутствии динамической симметрии [6–9]. Обзор прецессий твердого тела и гиростата под действием сил различной природы приведен в [10, 11].

В значительно меньшей степени изучен случай, когда направления полей заданы двумя или тремя векторами в инерциальном пространстве. Первые примеры регулярной прецессии несимметричного твердого тела и гиростата в двух [12] и трех [13] однородных полях были построены Х. Яхья, причем, как отмечено автором, решение [13] было первым решением уравнений движения тела в трех полях, отличным от случаев равновесий.

В решениях [12, 13] оси прецессии и собственного вращения ортогональны, а скорости прецессии и собственного вращения совпадают; эти решения можно считать аналогами для двух и трех полей прецессии Гриоли [4] в поле тяжести. В наших работах описаны все возможные случаи прецессии твердого тела и гиростата в двух [14] и трех [15] однородных полях; найден новый случай, когда оси прецессии и собственного вращения не ортогональны и скорость прецессии вдвое больше скорости собственного вращения.

Была рассмотрена [16] регулярная прецессия гиростата в трех полях, одно из которых — осесимметричное, и для частного случая, когда скорости прецессии и собственного вращения равны, поля ортогональны и ось прецессии совпадает с осью симметрии неоднородного поля, получены условия, связывающие параметры системы. В работе [17] выполнено исследование всех возможных случаев регулярной прецессии в данной суперпозиции трех полей, найдены конфигурационные условия и центры приведения сил. Показано [17], что прецессия возможна при скорости прецессии равной, вдвое большей или вдвое меньшей скорости собственного вращения.

Задача о нерегулярной прецессии, при которой отношение скоростей прецессии и собственного вращения постоянно [18–20], расширяет множество известных точных решений [13, 15–17], описывающих вращение тела в трех полях. Исследования [18–20] выполнены для случая, когда поля ортогональны и ось прецессии совпадает с направлением одного из полей; получены условия прецессии в случае динамической симметрии тела.

В настоящей статье при использовании методов [15, 17] проанализированы возможные случаи нерегулярной прецессии динамически симметричного тела с неподвижной точкой в суперпозиции трех независимых однородных полей с постоянным отношением скоростей прецессии и собственного вращения. Задача решается при произвольных углах между силовыми линиями полей и с произвольным направлением оси прецессии в инерциальном пространстве. Показано, что, как и в задаче [17], прецессия возможна при скорости прецессии, равной, вдвое большей или вдвое меньшей скорости собственного вращения. Для каждого из случаев найдены связь между моментами инерции тела и постоянным углом нутации и множество допустимых положений центров приведения сил. Выделен частный случай ортогональных полей и указано множество положений центров приведения сил, при которых движение тела в трех полях экспоненциально быстро со временем приближается к состоянию покоя.

  1. Постановка задачи. Для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки под действием трех полей используем уравнения [13]

Iω˙+ω×Iω=α1×u1+α2×u2+α3×u3=defM (2.1)

α˙i+ω×αi=0;i=1,2,3 (2.2)

Здесь  — производная по времени в системе отсчета, связанной с телом, I — оператор инерции тела в неподвижной точке O, ω — угловая скорость тела, единичные векторы αi задают направления сил каждого из полей, ui=piOCi, Ci — центры приведения сил.

Прецессия тела задается равенством

ω=ωrm+ωpρ (2.3)

Единичные векторы m и ρ постоянны, соответственно, в подвижной и инерциальной системах. Скалярные функции ωrt и ωpt — это величины скоростей собственного вращения и прецессии.

Рассмотрим, как и в работе [18], прецессии, для которых отношение скоростей постоянно

ωp/ωr=κ=const (2.4)

Векторная функция ρt удовлетворяет уравнению (2.2), которое, при учете равенства (2.3), становится линейным

ρ˙+ωrtm×ρ=0 (2.5)

Пусть l1,l2,l3 — некоторый связанный с телом ортонормированный правый базис и l3=m. Решение уравнения (2.5) можно записать в виде

ρ=sinθsinτ l1+cosτ l2+cosθl3,dτ=ωrtdt (2.6)

Произвольный параметр θ — это постоянный угол между осями собственного вращения и прецессии (угол нутации), cosθ=m,ρ.

Векторные функции ωt, αit, как и ранее [15, 17], задаются в связанном с телом ортонормированном базисе l1,l2,l3 равенствами:

ω=Ωω~,ω~=κsinθsinτ l1+cosτ l2++1+κcosθl3,Ω=ωrt (2.7)

αi=Rsi;i=1,2,3,ρ=Rl3 (2.8)

Элементы матрицы оператора поворота R в базисе li следующие:

r11=cos2θ2cosκ+1τsin2θ2cosκ1τ, r13=sinθ sinτ

r12=cos2θ2sinκ+1τ+sin2θ2sinκ1τ, r31=sinθ sinκτ

r21=cos2θ2sinκ+1τsin2θ2sinκ1τ, r23=sinθ cosτ, r33=cosθ

r22=cos2θ2cosκ+1τsin2θ2cosκ1τ, r32=sinθ cosκτ (2.9)

Функции αit, заданные равенствами (2.8), являются решениями линейных (при заданной формулой (2.7) функции ωt) уравнений (2.2) при произвольных постоянных (в связанной с телом системе отсчета) векторах si.

Определим условия обращения в тождество равенства (2.1) при функциях ω,αi, заданных равенствами (2.7) и (2.8). Из формул (2.6) и (2.7) получим

ω˙=Ω˙ω~+Ω2κ sinθcosτ l1sinτ l2 (2.10)

Уравнение (2.1) записывается в виде

Ω˙a+Ω2b=M (2.11)

a=Iω~, b=ω~×Iω~+κ sinθIcosτ l1sinτ l2 (2.12)

При Ω˙=0 имеем регулярную прецессию, условия которой в трех однородных полях получены ранее [15]. При Ω˙0 необходимо выполнение условия компланарности:

a,b,M=0 (2.13)

Если a,b,l30, то из уравнения (2.11) находим

Ω˙=M,b,l3a,b,l3,Ω2=a,M,l3a,b,l3 (2.14)

Так как Ω˙=ΩdΩ/dτ, то для совместности равенств (2.14) необходимо выполнение условия

M,b,l3a,b,l3=12ddτa,M,l3a,b,l3

или

2M,b,l3a,b,l3=a,M,l3'a,b,l3a,M,l3a,b,l3' (2.15)

Таким образом, для того чтобы тело могло совершать в трех однородных полях прецессию с постоянным отношением скоростей (2.4), необходимо (и достаточно), чтобы тождественно выполнялись равенства (2.13) и (2.15) для функций a,b,M,ω~ переменной τ, заданных равенствами (2.7), (2.8) и (2.12).

Если рассматривать осесимметричное тело, ось собственного вращения которого совпадает с осью динамической симметрии (как в работе [18]), то есть случай

Iij=0;ij,  I1=I2, (2.16)

то из формул (2.7), (2.12) получим

a=κsinθ I1sinτ l1+cosτ l2+1+κ cosθI3l3 (2.17)

b=λcosτ l1sinτ l2, λ=κ sinθ1+κ cosθI3κ cosθ I1 (2.18)

a,b,l3=λκ sinθI1 (2.19)

Условие (2.15) совместности равенств (2.14) с учетом формулы (2.19) (при λ0) упрощается и записывается в виде

2M,b,l3=a,M,l3' (2.20)

Ниже решается задача определения условий совместного выполнения тождеств (2.13) и (2.20) для тела с осевой симметрией.

  1. Предварительный анализ. В рассматриваемом далее случае осевой симметрии из формулы (2.14) при учете формул (2.17)–(2.19) получим

Ω2=cosτM1sinτM2λ (3.1)

Условия (2.13) и (2.20) записываются в виде

1+κ cosθI3sinτM1+cosτM2κ sinθI1M3 (3.2)

2λsinτM1+cosτM2κ sinθI1(cosτM1sinτM2)' (3.3)

Для получения условий выполнения тождеств (3.2), (3.3) будем использовать, как и в работе [17], запись момента внешних сил, удобную при произвольных (неортогональных) полях.

Зададим векторы ni и оператор G равенствами

n1=s2×s3s1,s2,s3123 (3.4)

ui=Gni; i=1,2,3 (3.5)

Здесь a,b,c=a,b×c, 123 — знак циклической перестановки.

Всюду рассматриваем случай неприводимых полей и считаем векторы αi некомпланарными, тогда, в силу равенств (2.8), s1,s2,s30.

Имеем формулу [17] для суммы моментов внешних сил

M=α1×u1+α2×u2+α3×u3=Gl1×Rl1+Gl2×Rl2+Gl3×Rl3 ==Gl1×Rl1+Gl2×Rl2+Gl3×Rl3 (3.6)

Учитывая равенства (2.9), запишем формулу (3.6) в виде

M=C10+C11cosτ+C21sinτ+C12cosκτ+C22sinκτ+C13cosκ1τ++C23sinκ1τ+C14×cosκ+1τ+C24sinκ+1τ (3.7)

C10=cosθ Gl3×l3,Ci1=sinθ Gl3×l3i,Ci2=sinθ Gl3i×l3

Cij=13ij1+1jcosθ2×Gl2×l3i+1i+jGl1×lii=1,2,j=3,4 (3.8)

Отсюда следует

sinτM1+cosτM2=cosθG13cosτG23sinτ+G32sinκτG31cosκτ++sinθ2(G12+G21cosκ+1τ+(G11G22)sinκ+1τ)++G12G21cosκ1τ+(G11+G22)sinκ1τ) (3.9)

cosτM1sinτM2=cosθG23cosτ+G13sinτ+G32cosκτ+G31sinκτ++sinθ2(2G33+G11G22cosκ+1τG12+G21sinκ+1τG11+G22cosκ1τ+G12G21sinκ1τ) (3.10)

cosτM1sinτM2=cosθG23cosτ+G13sinτ+G32cosκτ+G31sinκτ++sinθ2(2G33+G11G22cosκ+1τG12+G21sinκ+1τG11+G22cosκ1τ+G12G21sinκ1τ)

M3=sinθG13cosτ+G23sinτ++sin2θ2(G21G12cosκ1τ(G11+G22)sinκ1τ)++cos2θ2(G12+G21)cosκ+1τ++(G11G22)sinκ+1τ (3.11)

Тождества (3.2) и (3.3) принимают вид

λ1(G13cosτG23sinτ)++λ2G32sinκτG31cosκτ++λ3G12G21cosκ1τ++G11+G22sinκ1τ++λ4G12+G21cosκ+1τ++G11G22sinκ+1τ0 (3.12)

λ5(G13cosτG23sinτ)++λ6G32sinκτG31cosκτ++λ7G12G21cosκ1τ++G11+G22sinκ1τ++λ8G12+G21cosκ+1τ++G11G22sinκ+1τ0 (3.13)

Здесь

λ1=ctgθκλ+κI1λ2=1+κ cosθI3λ3,4=12κλ±κ2sinθI1

λ5=cosθ2λ+κ sinθ I1λ6=2λκ2sinθ cosθ I1

λ7=sinθλsinθ2κκ1I1λ8=sinθλ+sinθ2κκ+1I1 (3.14)

Рассмотрим возможность выполнения тождеств (3.12) и (3.13) в общем случае, когда все частоты разные. Необходимо выполнение условий

λ1Gi3=0, λ5Gi3=0, λ2G3i=0, λ6G3i=0; i=1,2 (3.15)

λ3G12G21=λ7G12G21=0λ3G11+G22=λ7G11+G22=0 (3.16)

λ4G12+G21=λ8G12+G21=0λ4G11G22=λ8G11G22=0 (3.17)

Если λ32+λ72>0 и λ42+λ82>0, то из условий (3.15), (3.16) следует

G11=G22=G12=G21=0

Матрица G в этом случае вырожденная, и система приводимая. Для прецессии в трех неприводимых полях необходимо одно из условий

λ3=λ7=0 (3.18)

λ4=λ8=0 (3.19)

Пусть выполнено условие (3.18). Из формул (3.14) получаем

1+κ cosθI3+κ1cosθI1=01+κ cosθI3κ cosθ I1κ12I1=0

Отсюда следует κ=1/3 и cosθ=3I3+I1/I1I3. В этом случае cos θ>1 при I1,3>0. Аналогично проверяем, что при условиях (3.19) необходимо κ=1/3 и условие cos θ<1 также не может быть выполнено.

Таким образом, рассматриваемая нерегулярная прецессия осесимметричного тела в трех неприводимых полях невозможна, если все частоты в тождествах (3.12) и (3.13) различные, то есть в случае, когда различны числа 1,κ,κ1,κ+1.

При κ>0 возможны три случая совпадения частот:

1)κ=1;2)κ=2;3)κ=1/2.

Ниже рассмотрим каждый их этих случаев отдельно.

После определения допустимых значений параметров Gij определяем Ωτ по формулам (3.1) и (3.10). Зависимость τ=τt найдем, интегрируя равенство

dt=dτΩτ (3.20)

Замечание 1. Всюду рассматривается случай λ0. При λ=0 из формулы (2.18) получаем b=0 и уравнение (2.11) принимает вид Ω˙a=M, для существования его решения необходимо, чтобы векторы a и M были коллинеарны. Была выполнена проверка условия a×M=0. В общем случае, при несовпадении частот, это условие выполнено только при G=0, тогда M=0. В случае κ=1 необходимы условия G11=G22=G33,Gij=0;ij. Так как при κ=1 оператор поворота R — симметрический, то для G=cE из формулы (3.6) получаем снова M=0. При κ=2 для коллинеарности a и M необходимо G31=G32=G33=0, а при κ=1/2 необходимо G13=G23=G33=0. В обоих случаях матрица G вырожденная, задача приводимая (к двум полям). Таким образом, при λ=0 нет решений поставленной задачи о прецессии с постоянным отношением скоростей в трех неприводимых однородных полях.

Замечание 2. При осевой динамической симметрии из условий (2.16) получаем условие (2.19) a,b,l3=const, что упрощает тождество (2.15). Была решена обратная задача — определение конфигураций тела, при которых возможно условие a,b,l3=const. Проверка показала, что если 1+κcosθ0, то необходима осевая симметрия тела. При 1+κcosθ=0 условие a,b,l3=const выполнено при любой диагональной матрице I, но условия (2.13) и (2.20) в этом случае выполняются, только если G31=G32=G33=0. Матрица G вырожденная, нерегулярная прецессия в трех неприводимых полях с постоянным отношением скоростей в случае 1+κ cosθ=0 не существует в случае a,b,l3=const.

  1. Прецессия с равными скоростями прецессии и собственного вращения. Для выполнения тождеств (3.12) и (3.13) при необходимо и достаточно условий

λ1G13λ2G31=λ5G13λ6G31==λ1G23λ2G32=λ5G23λ6G32=0 (4.1)

λ3G12G21=λ7G12G21=0 (4.2)

λ4G12+G21=λ8G12+G21==λ4G11G22=λ8G11G22=0 (4.3)

Здесь параметры λk заданы формулами (3.14) с κ=1.

Так как λ32+λ72>0 и λ42+λ82>0, то из условий (4.2) и (4.3) следует

G12=G21=0, G11=G22 (4.4)

Если λ2λ5λ1λ60, то из условий (4.1) следует

G13=G31=G23=G32=0

В этом случае G=diagG11,G11,G33, из формул (3.1) и (3.10) следует Ω=const и получаем регулярную прецессию [15].

Нерегулярная прецессия с равными скоростями прецессии и собственного вращения возможна только условии

λ2λ5λ1λ6=0

Это условие при учете формул (3.14) записывается в виде

1+cosθ3cosθ2I3+3cosθ1cosθI1=0 (4.5)

Отметим некоторые частные случаи выполнения условия (4.5)

1)I1=I2=I3,cosθ=12,2)I1=I2=2I3,cosθ=13

Условие (4.5) при ограничении I3<2I1 может быть выполнено, если

0<cosθ<735/60,590667 (4.6)

При условии (4.5) связи (4.1) записываются в виде

2cosθG13=3cosθG31,2cosθG23=3cosθG32 (4.7)

Условия (4.4) и (4.7) позволяют задать матрицу G четырьмя параметрами

G11=G22=ν1G33=ν1+ν2G12=G21=0 (4.8)

G13=3cosθ ν3G31=2cosθν3G23=3cosθ ν4G32=2cosθν4

Из формулы (3.10) при условиях (4.8) получаем

cosτM1sinτM2==sinθG33G11cosθ(G23+G32cosτ++G13+G31sinτ)==sinθ ν22cosθ1+cosθν4cosτ+ν3sinτ

Параметр λ задан формулой (2.18), учитывая связь (4.5), запишем

λ=sinθ1+cosθI3cosθ I1=sinθ cosθ23cosθI1

Формула (3.1) принимает вид

Ω2=23cosθ××ν2sinθ2cosθ1+cosθν4cosτ+ν3sinτsinθ cosθ I1 (4.9)

Положения центров приведения получаем из формул (3.5) и (4.8).

Прецессия с равными скоростями прецессии и собственного вращения является, в терминологии [10], прецессионно-изоконическим движением. Такое движение рассмотрено в работе [19] в случае ортогональных полей, когда прецессия происходит вокруг вертикали.

  1. Прецессия со скоростью прецессии, вдвое большей скорости собственного вращения. Для выполнения тождеств (3.12) и (3.13) при κ=2 необходимо и достаточно условий

λ1G13+λ3G12G21=0λ5G13+λ7G12G21=0 (5.1)

λ1G23λ3G11+G22=0λ5G23λ7G11+G22=0 (5.2)

λ2G32=λ6G32=0, λ2G31=λ6G31=0 (5.3)

λ4G12+G21=λ8G12+G21==λ4G11G22=λ8G11G22=0 (5.4)

Параметры λk заданы формулами (3.14) с κ=2.

Так как λ22+λ62>0 и λ42+λ82>0, то из условий (5.2) и (5.3) следует

G31=G32=0G11=G22G12=G21 (5.5)

Если λ3λ5λ1λ70, то из условий (5.1) и (5.5) получим

G13=G23=G11=G22=G12=G21=0

Матрица G — вырожденная в этом случае, поэтому необходимо

λ3λ5λ1λ7=0

Данное условие при учете формул (3.14) записывается в виде

1+2cosθ3cosθ2I3++1cosθ1+6cosθI1=0 (5.6)

Условие (5.6) при I3<2I1 может быть выполнено, только если

16<cosθ<12 (5.7)

Отметим частные случаи выполнения условия (5.6)

1)I1=I2=I3,cosθ=14, 2)I1=I2=2I3,cosθ=0

При условиях (5.5) и (5.6) связи (5.1) записываются в виде

4cosθG13+5sinθ G12=04cosθG235sinθ G11=0 (5.8)

Полученные условия (5.5) и (5.8) позволяют задать матрицу G тремя параметрами vi:

G11=G22=4cosθν1G23=5sinθ ν1,G31=G32=0

G12=G21=4cosθν2G13=5sinθ ν2, G33=ν3 (5.9)

Найдем скорость Ωτ. Из формул (3.10) и (5.9) получаем

cosτM1sinτM2==sinθν3+41+cosθν2sinτν1cosτ

Если учесть связь (5.6), то из формулы (3.14) получим

λ=1+2cosθI32cosθ I1=1+cosθ23cosθI1

Формула (3.1) записывается в виде

Ω2=sinθ23cosθI11+cosθ××  ν3+41+cosθν2sinτν1cosτ (5.10)

Множество допустимых положений центров приведения получаем из формул (3.5) и (5.9).

Отметим, что условия (5.6) и (5.7) указаны в работе [18]. Вывод [18] об ортогональности векторов u1 и u2 справедлив только для рассмотренного в этой работе частного случая ортогональных полей при оси прецессии, коллинеарной силовым линиям поля номер три.

  1. Прецессия со скоростью прецессии, вдвое меньшей скорости собственного вращения. Для выполнения тождеств (3.12) и (3.13) при κ=1/2 необходимо и достаточно условий

λ1G13=λ1G23=λ5G13=λ5G23=0 (6.1)

λ2G31λ3G12G21=0λ6G31λ7G12G21=0 (6.2)

λ2G32λ3G11+G22=0λ6G32λ7G11+G22=0 (6.3)

λ4G12+G21=λ8G12+G21==λ4G11G22=λ8G11G22=0 (6.4)

Проверяем, используя формулы (3.14) с κ=1/2, что если λ1=0, то λ50 и, если λ4=0, то λ80, тогда из условий (6.1) и (6.4) следует

G13=G23=0,G11=G22, G12=G21 (6.5)

Если λ2λ7λ3λ60, то из условий (6.2), (6.3) и (6.5) получим

G31=G32=G11=G22=G12=G21=0

Матрица G — вырожденная в этом случае, поэтому необходимо

λ2λ7λ3λ6=0

Данное условие при учете формул (3.14) записывается в виде

2+cosθ3cosθ1I3++31cosθcosθ I1=0 (6.6)

Условие (6.6) при I3<2I1 может быть выполнено, только если

0,0756041618113<cosθ<13 (6.7)

Частные случаи выполнения условия (6.6):

1)I1=I2=I3,cosθ=14,2)I1=I2=103I3,cosθ=17

При условиях (6.5) связи (6.3) и (6.4) записываются в виде

3cosθ G31sinθ G12=3cosθ G32sinθ G11=0 (6.8)

Полученные условия позволяют задать матрицу G тремя параметрами

G11=G22=3cosθ ν1, G32=sinθ ν1, G13=G23=0

G12=G21=3cosθ ν2, G31=sinθ ν2, G33=ν3 (6.9)

Параметр λ при условии (6.6) равен

λ=sinθ cosθ I1213cosθ

Из формулы (3.10) при условиях (6.9) получим

cosτM1sinτM2==sinθν34cosθν1cosτ2+ν2sinτ2

Формула (3.1) принимает вид

Ω2=213cosθcosθ I1××ν34cosθν1cosτ2+ν2sinτ2 (6.10)

Отметим, что прецессия осесимметричного тела со скоростью прецессии, вдвое меньшей скорости собственного вращения, рассматривалась в работе [20] в частном случае, когда силовые линии полей взаимно ортогональны и ось прецессии совпадает с силовой линией одного из полей.

  1. Случай ортогональных полей. Запишем полученные в пп. 4–6 условия в частном случае ортогональных полей. Пусть единичные векторы α1,α2,α3 образуют правую ортогональную тройку, тогда в соответствии с формулами (2.8) единичные векторы s1,s2,s3 образуют левую ортогональную тройку. Из формул (3.4) получим

ni=si;i=1,2,3 (7.1)

Рассмотрим теперь для сравнения с результатами работы [18] частный случай ρ=α3. Из формул (2.8) в этом случае получим s3=l3. Всюду выше векторы l1,l2 правого ортогонального базиса пока не определены. Так как si — левая тройка, то можно положить l1=s1,l2=s2,l3=s3. Из формулы (7.1) тогда получим n1=l1,n2=l2,n3=l3. Формула (3.5) определяет при известной матрице G положения центров приведения сил

u1=Gl1,u2=Gl2,u3=Gl3 (7.2)

В случае κ=1 из формул (7.2) и (4.8) получаем

u1=ν1l1+2cosθν3l3u2=ν1l22cosθν4l3

u3=3cosθ(ν3l1+ν4l2)+(ν1+ν2)l3 (7.3)

В случае κ=2 из формул (7.2) и (5.9) получаем

u1=4cosθν1l1ν2l2u2=4cosθν2l1+ν1l2

u3=5sinθ(ν2l1ν1l2)+ν3l3 (7.4)

В случае κ=1/2 из формул (7.2) и (6.9) получаем

u1=3cosθν1l1ν2l2+sinθ ν2l3

u2=3cosθν2l1+ν1l2sinθ ν1l3,u3=ν3l3 (7.5)

Формулы (3.20), (4.9), (5.10), (6.10) позволяют выразить зависимость от времени скоростей прецессии и собственного вращения через эллиптические функции. Выделим случаи, когда эта зависимость определяется элементарными функциями. В этих случаях происходит экспоненциально быстрое стремление к нулю указанных скоростей.

Для указания более ясного смысла связей между положениями центров приведения в названных выделенных случаях запишем формулы (7.3)–(7.5) по-другому.

В формулах (7.3) обозначим μ3e=2cosθν3l1+ν4l2, где e — единичный вектор, μ1,2=ν1,2,li=ei,i=1,2,3, и запишем формулы в виде

u1=μ1e1+μ3e×e2, u2=μ1e2+μ3e×e1

u3=3cosθ2cosθμ3e+(μ1+μ2)e3 (7.6)

В формулах (7.4) выполним замены

4cosθν1=μ1cosξ4cosθν2=μ1sinξ,ν3=μ2

cosξl1sinξl2=e1sinξl1+cosξl2=e2l3=e3, cos2ξe2sin2ξe1=e

и запишем эти формулы в виде

u1=μ1e1u2=μ1e2u3=5sinθ4cosθμ1e+μ2e3 (7.7)

Аналогичными преобразованиями формулы (7.5) можно привести к виду

u1=μ1e1+tgθ sinξ3e3u2=μ1e2+tgθ cosξ3e3u3=μ2e3 (7.8)

В формулах (7.6)–(7.8) μi,ξ — произвольные параметры, e1,e2,e3 — правая ортонормированная тройка, где e3 направлен по оси динамической симметрии, e — произвольный единичный вектор в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.

Формулы (4.9), (5.10) и (6.10) для скорости собственного вращения запишем, используя параметры, входящие в описания (7.6)–(7.8) векторов ui:

κ=1  Ω2=1I123cosθ××μ2cosθ21+cosθ2cosθsinθμ3sinτ+ε (7.9)

κ=2Ω2=sinθ23cosθI11+cosθ××μ241+cosθ4cosθμ1cosτ+ξ (7.10)

κ=12Ω2=213cosθcosθI1××μ243μ1cosτ2ξ (7.11)

В формуле (7.9) ε — угол между e и e1.

В случаях

κ=1μ2=±21+cosθcosθ2cosθsinθμ3κ=2μ2=±41+cosθ4cosθμ1

κ=12, μ2=±43μ1 (7.12)

уравнение (3.21) интегрируется в элементарных функциях.

Например, в случае κ=2 при соответствующем условии (7.12) получим

cosτ+ξ2=exprt+c1exprt+c+1Ω2=r2sin2τ+ξ2r2=8sinθ2cosθ4cosθI1

При t+ получаем Ω0. Такой же результат получаем и в других случаях (7.12).

Формулы (7.6)–(7.8) при условиях (7.12) записываются в виде

κ=1, u1=μ1e1+μ3e×e2, u2=μ1e2+μ3e×e1

u3=μ1e3+3cosθ2cosθμ3e±21+cosθ3sinθe3 (7.13)

κ=2u1μ1=e1u2μ1=e2u3μ1=5sinθ4cosθe±41+cosθ5sinθe3 (7.14)

κ=12u1μ1=e1+tgθ sinξ3e3u2μ1=e2tgθ cosξ3e3u3μ1=±43e3 (7.15)

Таким образом, если центры приведения заданы формулами (7.13)–(7.15), то нерегулярная прецессия тела с постоянным отношением скоростей в трех однородных полях экспоненциально быстро затухает со временем, приближаясь к состоянию покоя.

Заключение. Известные точные решения задачи о вращении твердого тела в суперпозиции трех полей описывают регулярную прецессию [13, 15–17] либо нерегулярную прецессию с постоянным отношением скоростей прецессии и собственного вращения [18–20]. Задача о нерегулярной прецессии рассмотрена [18–20] для осесимметричного тела, совершающего прецессию вокруг силовой линии одного из трех однородных ортогональных полей. В настоящей работе описаны все возможные случаи нерегулярной прецессии с постоянным отношением скоростей симметричного тела в трех неприводимых однородных полях. Конфигурационные условия прецессии получены без предположения о взаимной ортогональности полей и при произвольном направлении оси прецессии. Показано, что прецессия динамически симметричного тела возможна при скорости прецессии, равной, вдвое большей или вдвое меньшей скорости собственного вращения. Выделены положения центров приведения сил, для которых прецессионное движение экспоненциально быстро со временем приближается к состоянию покоя.

×

作者简介

V. Ol’shanskii

Institute of Precision Mechanics and Control, Russian Academy of Sciences

编辑信件的主要联系方式.
Email: olshanskiy_vlad@mail.ru
俄罗斯联邦, Saratov

参考

  1. Bogoyavlensky O.I. Euler equations on finite dimensional Lie algebras arising in physical problems // Math. Phys. Commun., 1984, vol. 95, pp. 307–315.
  2. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces I. The equations of motion and their transformation // J. Theor. & Appl. Mech., 1986, vol. 5, no. 5, pp. 747–754.
  3. Yehia H.M., El-kenani H.N. Effect of the gravity and magnetic field to find regular precessions of a satellite-gyrostat with principal axes on a circular orbit // J. Appl. Comput. Mech., 2021, vol. 7(4), pp. 2120 — 2128.
  4. Grioli G. Esistenza e determinazione delle prezessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. Mat. Pura e Appl., 1947, vol. 26, iss. 3–4, pp. 271–281.
  5. Rubanovskii V.N. On a new particular solution of the equations of motion of a heavy solid in liquid // JAMM, 1985, vol. 49, iss. 2, pp. 160–165. (in Russian)
  6. Ol’shanskii V.Yu. On the regular precession of an asymmetric liquid-filled rigid body // Mech. Solids, 2018, vol. 53 (Suppl. 2), pp. 95–106.
  7. Ol’shanskii V.Yu. New cases of regular precession of an asymmetric liquid-filled rigid body // Celest. Mech. Dyn. Astron., 2019, vol. 131, iss. 12, art. no. 57.
  8. Ol’shanskii V.Yu. Analysis of regular precession conditions for asymmetrical liquid-filled rigid bodies // Celest. Mech. Dyn. Astron., 2020, vol. 132, iss. 9, art. no. 46.
  9. Ol’shanskii V.Yu. Semi-regular precession of an asymmetrical rigid body filled with a liquid // Mech. Solids, 2021, vol. 56, iss. 8, pp. 1500–1513.
  10. Gorr G.V., Kovalev A.M. Motion of a Gyrostat. Kyev: Naukova Dumka, 2013. 408 p. (in Russian)
  11. Gorr G.V., Maznev A.V., Shchetinina E.K. Precession Motions in Rigid Body Dynamics and Dynamics of Linked Rigid Bodies Systems. Donetsk: Donetsk National Univ., 2009. 222 p. (in Russian)
  12. Yehia H.M. On the regular precession of an asymmetric rigid body acted upon by uniform gravity and magnetic fields // Egypt. J. Bas. Appl. Sci. 2015, vol. 2, iss.3, pp. 200 — 205.
  13. Yehia H.M. Regular precession of a rigid body (gyrostat) acted upon by an irreducible combination of three classical fields // J. Egypt. Math. Soc., 2017, vol. 25, iss. 2, pp. 216 — 219.
  14. Ol’shanskii V.Yu. Regular precession of a rigid body in two uniform fields // Mech. Res. Commun., 2023, vol.127, art. no. 104041.
  15. Ol’shanskii V.Yu. Regular precession of a gyrostat in three uniform fields // Mech. Solids, 2022, vol.57, iss. 8, pp. 1873 — 1884.
  16. Hussein A.M. Precessional motion of a rigid body acted upon by three irreducible fields // Rus. J. Nonlin. Dyn., 2019, vol. 15, iss. 3, pp. 285–292.
  17. Ol’shanskii V.Yu. Regular precession of a gyrostat in three force fields // Mech. Solids, 2023, vol. 58, iss. 7, pp. 2515 — 2530.
  18. Gorr G.V. One class of resonance precession motions of a rigid body under the action of three homogeneous force fields // JAMM, 2023, vol. 87, iss. 1, pp. 3 — 18.
  19. Gorr G.V. Statement of the problem on precessions of a rigid body with a fixed point in three homogeneous force fields. Precession-isoconic motions of a rigid body // Izv. RAS. Mech. Solids, 2023, no. 3, pp. 123–134. (in Russian)
  20. Gorr G.V. On a class of precessions of a rigid body with a fixed point under the action of forces of three homogeneous force field // Rus. J. Nonlin. Dyn., 2023, vol.19, iss. 2, pp. 249–264.

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML

版权所有 © Russian Academy of Sciences, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».