Nonregular precession of a rigid body in three uniform fields

Abstract

This article presents a solution to the problem of the conditions of nonregular precession of a rigid body in three homogeneous fields, in which the ratio of precession and proper rotation velocities is constant. It is shown that the precession of a dynamically symmetric body is possible at a precession velocity equal to, twice as large as, or twice as small as the proper rotation velocity. For each of the cases, the set of admissible positions of the centres of the forces and the relation between the body moments of inertia and constant nutation angle are given.

Full Text

1. Введение. Задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки имеет много обобщений при движении в различных силовых полях. Большое количество исследований посвящено случаю, когда силовое поле одно или действуют несколько полей с общей осью симметрии. Были найдены [1] решения для тяжелого твердого тела в магнитном поле, для гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил [2, 3].

Важным случаем движения является прецессия. Регулярная прецессия симметричного тяжелого тела хорошо известна. Гриоли в 1947 году была доказана [4] возможность регулярной прецессии несимметричного тела вокруг оси, отклоненной от вертикали. В задаче о движении тела в жидкости позже было найдено [5] решение вида [4]. Отметим, что прецессия тела с полостью, заполненной жидкостью, также возможна при отсутствии динамической симметрии [6–9]. Обзор прецессий твердого тела и гиростата под действием сил различной природы приведен в [10, 11].

В значительно меньшей степени изучен случай, когда направления полей заданы двумя или тремя векторами в инерциальном пространстве. Первые примеры регулярной прецессии несимметричного твердого тела и гиростата в двух [12] и трех [13] однородных полях были построены Х. Яхья, причем, как отмечено автором, решение [13] было первым решением уравнений движения тела в трех полях, отличным от случаев равновесий.

В решениях [12, 13] оси прецессии и собственного вращения ортогональны, а скорости прецессии и собственного вращения совпадают; эти решения можно считать аналогами для двух и трех полей прецессии Гриоли [4] в поле тяжести. В наших работах описаны все возможные случаи прецессии твердого тела и гиростата в двух [14] и трех [15] однородных полях; найден новый случай, когда оси прецессии и собственного вращения не ортогональны и скорость прецессии вдвое больше скорости собственного вращения.

Была рассмотрена [16] регулярная прецессия гиростата в трех полях, одно из которых — осесимметричное, и для частного случая, когда скорости прецессии и собственного вращения равны, поля ортогональны и ось прецессии совпадает с осью симметрии неоднородного поля, получены условия, связывающие параметры системы. В работе [17] выполнено исследование всех возможных случаев регулярной прецессии в данной суперпозиции трех полей, найдены конфигурационные условия и центры приведения сил. Показано [17], что прецессия возможна при скорости прецессии равной, вдвое большей или вдвое меньшей скорости собственного вращения.

Задача о нерегулярной прецессии, при которой отношение скоростей прецессии и собственного вращения постоянно [18–20], расширяет множество известных точных решений [13, 15–17], описывающих вращение тела в трех полях. Исследования [18–20] выполнены для случая, когда поля ортогональны и ось прецессии совпадает с направлением одного из полей; получены условия прецессии в случае динамической симметрии тела.

В настоящей статье при использовании методов [15, 17] проанализированы возможные случаи нерегулярной прецессии динамически симметричного тела с неподвижной точкой в суперпозиции трех независимых однородных полей с постоянным отношением скоростей прецессии и собственного вращения. Задача решается при произвольных углах между силовыми линиями полей и с произвольным направлением оси прецессии в инерциальном пространстве. Показано, что, как и в задаче [17], прецессия возможна при скорости прецессии, равной, вдвое большей или вдвое меньшей скорости собственного вращения. Для каждого из случаев найдены связь между моментами инерции тела и постоянным углом нутации и множество допустимых положений центров приведения сил. Выделен частный случай ортогональных полей и указано множество положений центров приведения сил, при которых движение тела в трех полях экспоненциально быстро со временем приближается к состоянию покоя.

2. Постановка задачи. Для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки под действием трех полей используем уравнения [13]

$I\dot{\omega }+\omega \times I\omega ={\alpha }_1\times u_1+{\alpha }_2\times u_2+{\alpha }_3\times u_3\stackrel{def}{=}M$ (2.1)

${\stackrel{}{\dot{\alpha }}}_i+\omega \times {\alpha }_i=0;i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3$ (2.2)

Здесь ${\left(\right)}^{•}$ — производная по времени в системе отсчета, связанной с телом, $I$ — оператор инерции тела в неподвижной точке $O$, $\omega$ — угловая скорость тела, единичные векторы ${\alpha }_i$ задают направления сил каждого из полей, $u_i=p_{i}O{C}_i$, $C_i$ — центры приведения сил.

Прецессия тела задается равенством

$\omega ={\omega }_{r}m+{\omega }_p\rho$ (2.3)

Единичные векторы m и $\rho$ постоянны, соответственно, в подвижной и инерциальной системах. Скалярные функции ${\omega }_r\left(t\right)$ и ${\omega }_p\left(t\right)$ — это величины скоростей собственного вращения и прецессии.

Рассмотрим, как и в работе [18], прецессии, для которых отношение скоростей постоянно

${\omega }_p/{\omega }_r=\kappa =const$ (2.4)

Векторная функция $\rho \left(t\right)$ удовлетворяет уравнению (2.2), которое, при учете равенства (2.3), становится линейным

$\dot{\rho }+{\omega }_r\left(t\right)m\times \rho =0$ (2.5)

Пусть $\left(l_1,l_2,l_3\right)$ — некоторый связанный с телом ортонормированный правый базис и $l_3=m$. Решение уравнения (2.5) можно записать в виде

$\rho =\sin \theta \left(\sin \tau l_1+\cos \tau l_2\right)+\cos \theta l_3,d\tau ={\omega }_r\left(t\right)dt$ (2.6)

Произвольный параметр $\theta$ — это постоянный угол между осями собственного вращения и прецессии (угол нутации), $\cos \theta =\left(m,\rho \right)$.

Векторные функции $\omega \left(t\right), {\alpha }_i\left(t\right)$, как и ранее [15, 17], задаются в связанном с телом ортонормированном базисе $\left(l_1,l_2,l_3\right)$ равенствами:

$\begin{array}{c}\omega =\Omega \tilde{\omega },\tilde{\omega }=\kappa \sin \theta \left(\sin \tau l_1+\cos \tau l_2\right)+\\ +\left(1+\kappa \cos \theta \right)l_3,\Omega ={\omega }_r\left(t\right)\end{array}$ (2.7)

${\alpha }_i=-R{s}_i;i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\rho =-R{l}_3$ (2.8)

Элементы матрицы оператора поворота $R$ в базисе $\left(l_i\right)$ следующие:

$\begin{array}{c}{r}_{11}=-{\cos }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa +1\right)\tau -{\sin }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa -1\right)\tau ,r_{13}=-\sin \theta \sin \tau \\ \end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{12}={\cos }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa +1\right)\tau +{\sin }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa -1\right)\tau ,r_{31}=-\sin \theta \sin \kappa \tau \\ \end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{21}={\cos }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa +1\right)\tau -{\sin }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa -1\right)\tau ,r_{23}=-\sin \theta \cos \tau ,r_{33}=-\cos \theta \\ \end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{22}={\cos }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa +1\right)\tau -{\sin }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa -1\right)\tau ,r_{32}=-\sin \theta \cos \kappa \tau \\ \end{array}$ (2.9)

Функции ${\alpha }_i\left(t\right)$, заданные равенствами (2.8), являются решениями линейных (при заданной формулой (2.7) функции $\omega \left(t\right)$) уравнений (2.2) при произвольных постоянных (в связанной с телом системе отсчета) векторах $s_i$.

Определим условия обращения в тождество равенства (2.1) при функциях $\omega ,{\alpha }_i$, заданных равенствами (2.7) и (2.8). Из формул (2.6) и (2.7) получим

$\dot{\omega }=\dot{\Omega }\tilde{\omega }+{\Omega }^2\kappa \sin \theta \left(\cos \tau l_1-\sin \tau l_2\right)$ (2.10)

Уравнение (2.1) записывается в виде

$\dot{\Omega }a+{\Omega }^{2}b=M$ (2.11)

$a=I\tilde{\omega },b=\tilde{\omega }\times I\tilde{\omega }+\kappa \sin \theta I\left(\cos \tau l_1-\sin \tau l_2\right)$ (2.12)

При $\dot{\Omega }=0$ имеем регулярную прецессию, условия которой в трех однородных полях получены ранее [15]. При $\dot{\Omega }\ne 0$ необходимо выполнение условия компланарности:

$⟨a,b,M⟩=0$ (2.13)

Если $⟨a,b,l_3⟩\ne 0$, то из уравнения (2.11) находим

$\dot{\Omega }=\frac{⟨M,b,l_3⟩}{⟨a,b,l_3⟩},{\Omega }^2=\frac{⟨a,M,l_3⟩}{⟨a,b,l_3⟩}$ (2.14)

Так как $\dot{\Omega }=\Omega d\Omega /d\tau$, то для совместности равенств (2.14) необходимо выполнение условия

$\frac{⟨M,b,l_3⟩}{⟨a,b,l_3⟩}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau }\frac{⟨a,M,l_3⟩}{⟨a,b,l_3⟩}$

или

$2⟨M,b,l_3⟩⟨a,b,l_3⟩={⟨a,M,l_3⟩}^{\text{'}}⟨a,b,l_3⟩-⟨a,M,l_3⟩{⟨a,b,l_3⟩}^{\text{'}}$ (2.15)

Таким образом, для того чтобы тело могло совершать в трех однородных полях прецессию с постоянным отношением скоростей (2.4), необходимо (и достаточно), чтобы тождественно выполнялись равенства (2.13) и (2.15) для функций $a,b,M,\tilde{\omega }$ переменной $\tau$, заданных равенствами (2.7), (2.8) и (2.12).

Если рассматривать осесимметричное тело, ось собственного вращения которого совпадает с осью динамической симметрии (как в работе [18]), то есть случай

$I_{ij}=0;i\ne j,I_1=I_2,$ (2.16)

то из формул (2.7), (2.12) получим

$a=\kappa \sin \theta I_1\left(\sin \tau l_1+\cos \tau l_2\right)+\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3{l}_3$ (2.17)

$b=\lambda \left(\cos \tau l_1-\sin \tau l_2\right),\lambda =\kappa \sin \theta \left(\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3-\kappa \cos \theta I_1\right)$ (2.18)

$⟨a,b,l_3⟩=-\lambda \kappa \sin \theta I_1$ (2.19)

Условие (2.15) совместности равенств (2.14) с учетом формулы (2.19) (при $\lambda \ne 0$) упрощается и записывается в виде

$2⟨M,b,l_3⟩={⟨a,M,l_3⟩}^{\text{'}}$ (2.20)

Ниже решается задача определения условий совместного выполнения тождеств (2.13) и (2.20) для тела с осевой симметрией.

3. Предварительный анализ. В рассматриваемом далее случае осевой симметрии из формулы (2.14) при учете формул (2.17)–(2.19) получим

${\Omega }^2=\frac{\cos \tau M_1-\sin \tau M_2}{\lambda }$ (3.1)

Условия (2.13) и (2.20) записываются в виде

$\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3\left(\sin \tau M_1+\cos \tau M_2\right)\equiv \kappa \sin \theta I_1{M}_3$ (3.2)

$2\lambda \left(\sin \tau M_1+\cos \tau M_2\right)\equiv \kappa \sin \theta I_1(\cos \tau M_1-\sin \tau M_2{)}^{\text{'}}$ (3.3)

Для получения условий выполнения тождеств (3.2), (3.3) будем использовать, как и в работе [17], запись момента внешних сил, удобную при произвольных (неортогональных) полях.

Зададим векторы $n_i$ и оператор G равенствами

$n_1=\frac{s_2\times s_3}{⟨s_1,s_2,s_3⟩}\left(123\right)$ (3.4)

$u_i=G{n}_i;i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3$ (3.5)

Здесь $⟨a,b,c⟩=\left(a,b\times c\right)$, $\left(123\right)$ — знак циклической перестановки.

Всюду рассматриваем случай неприводимых полей и считаем векторы ${\alpha }_i$ некомпланарными, тогда, в силу равенств (2.8), $⟨s_1,s_2,s_3⟩\ne 0$.

Имеем формулу [17] для суммы моментов внешних сил

$\begin{array}{c}M={\alpha }_1\times u_1+{\alpha }_2\times u_2+{\alpha }_3\times u_3=G{l}_1\times R{l}_1+G{l}_2\times R{l}_2+G{l}_3\times R{l}_3=\\ =G{l}_1\times R{l}_1+G{l}_2\times R{l}_2+G{l}_3\times R{l}_3\end{array}$ (3.6)

Учитывая равенства (2.9), запишем формулу (3.6) в виде

$\begin{array}{c}M=C_{10}+C_{11}\cos \tau +C_{21}\sin \tau +C_{12}\cos \kappa \tau +C_{22}\sin \kappa \tau +C_{13}\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\\ +C_{23}\sin \left(\kappa -1\right)\tau +C_{14}\times \cos \left(\kappa +1\right)\tau +C_{24}\sin \left(\kappa +1\right)\tau \end{array}$ (3.7)

$C_{10}=-\cos \theta G{l}_3\times l_3,C_{i1}=-\sin \theta G{l}_3\times l_{3-i},C_{i2}=-\sin \theta G{l}_{3-i}\times l_3$

$\begin{array}{c}{C}_{ij}={\left(-1\right)}^{3ij}\frac{1+{\left(-1\right)}^j\cos \theta }{2}\times \left(G{l}_2\times l_{3-i}+{\left(-1\right)}^{i+j}G{l}_1\times l_i\right)\\ i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}j=\mathrm{3,4}\end{array}$ (3.8)

Отсюда следует

$\begin{array}{c}\sin \tau M_1+\cos \tau M_2=\cos \theta \left(G_{13}\cos \tau -G_{23}\sin \tau \right)+G_{32}\sin \kappa \tau -G_{31}\cos \kappa \tau +\\ +\frac{\sin \theta }{2}\left((G_{12}+G_{21}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau +(G_{11}-G_{22})\sin \left(\kappa +1\right)\tau )+\\ +\left(G_{12}-G_{21}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +(G_{11}+G_{22})\sin \left(\kappa -1\right)\tau )\end{array}$ (3.9)

$\begin{array}{c}\cos \tau M_1-\sin \tau M_2=-\cos \theta \left(G_{23}\cos \tau +G_{13}\sin \tau +G_{32}\cos \kappa \tau +G_{31}\sin \kappa \tau \right)+\\ +\frac{\sin \theta }{2}(2G_{33}+\left(G_{11}-G_{22}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau -\left(G_{12}+G_{21}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau -\\ -\left(G_{11}+G_{22}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\left(G_{12}-G_{21}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau )\end{array}$ (3.10)

$\begin{array}{c}\cos \tau M_1-\sin \tau M_2=-\cos \theta \left(G_{23}\cos \tau +G_{13}\sin \tau +G_{32}\cos \kappa \tau +G_{31}\sin \kappa \tau \right)+\\ +\frac{\sin \theta }{2}(2G_{33}+\left(G_{11}-G_{22}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau -\left(G_{12}+G_{21}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau -\\ -\left(G_{11}+G_{22}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\left(G_{12}-G_{21}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau )\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_3=\sin \theta \left(-G_{13}\cos \tau +G_{23}\sin \tau \right)+\\ +{\sin }^2\frac{\theta }{2}\left((G_{21}-G_{12}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau -\\ -(G_{11}+G_{22})\sin \left(\kappa -1\right)\tau )+\\ +{\cos }^2\frac{\theta }{2}\left(\begin{array}{l}(G_{12}+G_{21})\cos \left(\kappa +1\right)\tau +\\ +(G_{11}-G_{22})\sin \left(\kappa +1\right)\tau \end{array}\right)\end{array}$ (3.11)

Тождества (3.2) и (3.3) принимают вид

$\begin{array}{c}{\lambda }_1(G_{13}\cos \tau -G_{23}\sin \tau )+\\ +{\lambda }_2\left(G_{32}\sin \kappa \tau -G_{31}\cos \kappa \tau \right)+\\ +{\lambda }_3\left(\begin{array}{l}\left(G_{12}-G_{21}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\\ +\left(G_{11}+G_{22}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau \end{array}\right)+\\ +{\lambda }_4\left(\begin{array}{c}\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau +\\ +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau \end{array}\right)\equiv 0\end{array}$ (3.12)

$\begin{array}{c}{\lambda }_5(G_{13}\cos \tau -G_{23}\sin \tau )+\\ +{\lambda }_6\left(G_{32}\sin \kappa \tau -G_{31}\cos \kappa \tau \right)+\\ +{\lambda }_7\left(\begin{array}{l}\left(G_{12}-G_{21}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\\ +\left(G_{11}+G_{22}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau \end{array}\right)+\\ +{\lambda }_8\left(\begin{array}{l}\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau +\\ +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau \end{array}\right)\equiv 0\end{array}$ (3.13)

Здесь

$\begin{array}{c}{\lambda }_1=\frac{ctg\theta }{\kappa }\lambda +\kappa I_1\\ {\lambda }_2=\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3\\ {\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\frac{1}{2\kappa }\left(\lambda \pm {\kappa }^2\sin \theta I_1\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }_5=\cos \theta \left(2\lambda +\kappa \sin \theta I_1\right)\\ {\lambda }_6=2\lambda -{\kappa }^2\sin \theta \cos \theta I_1\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }_7=\sin \theta \left(\lambda -\frac{\sin \theta }{2}\kappa \left(\kappa -1\right)I_1\right)\\ {\lambda }_8=\sin \theta \left(\lambda +\frac{\sin \theta }{2}\kappa \left(\kappa +1\right)I_1\right)\end{array}$ (3.14)

Рассмотрим возможность выполнения тождеств (3.12) и (3.13) в общем случае, когда все частоты разные. Необходимо выполнение условий

${\lambda }_1{G}_{i3}=\mathrm{0,}{\lambda }_5{G}_{i3}=\mathrm{0,}{\lambda }_2{G}_{3i}=\mathrm{0,}{\lambda }_6{G}_{3i}=0;i=\mathrm{1,}2$ (3.15)

$\begin{array}{c}{\lambda }_3\left(G_{12}-G_{21}\right)={\lambda }_7\left(G_{12}-G_{21}\right)=0\\ {\lambda }_3\left(G_{11}+G_{22}\right)={\lambda }_7\left(G_{11}+G_{22}\right)=0\end{array}$ (3.16)

$\begin{array}{c}{\lambda }_4\left(G_{12}+G_{21}\right)={\lambda }_8\left(G_{12}+G_{21}\right)=0\\ {\lambda }_4\left(G_{11}-G_{22}\right)={\lambda }_8\left(G_{11}-G_{22}\right)=0\end{array}$ (3.17)

Если ${\lambda }_3^2+{\lambda }_7^2>0$ и ${\lambda }_4^2+{\lambda }_8^2>0$, то из условий (3.15), (3.16) следует

$G_{11}=G_{22}=G_{12}=G_{21}=0$

Матрица $G$ в этом случае вырожденная, и система приводимая. Для прецессии в трех неприводимых полях необходимо одно из условий

${\lambda }_3={\lambda }_7=0$ (3.18)

${\lambda }_4={\lambda }_8=0$ (3.19)

Пусть выполнено условие (3.18). Из формул (3.14) получаем

$\begin{array}{c}\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3+\kappa \left(1-\cos \theta \right)I_1=0\\ \left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3-\kappa \cos \theta I_1-\frac{\kappa -1}{2}{I}_1=0\end{array}$

Отсюда следует $\kappa =1/3$ и $\cos \theta =\left(3I_3+I_1\right)/\left(I_1-I_3\right)$. В этом случае $\left|\cos \theta \right|>1$ при $I_{\mathrm{1,3}}>0$. Аналогично проверяем, что при условиях (3.19) необходимо $\kappa =-1/3$ и условие $\left|\cos \theta \right|<1$ также не может быть выполнено.

Таким образом, рассматриваемая нерегулярная прецессия осесимметричного тела в трех неприводимых полях невозможна, если все частоты в тождествах (3.12) и (3.13) различные, то есть в случае, когда различны числа $\mathrm{1,}\left|\kappa \right|,\left|\kappa -1\right|,\left|\kappa +1\right|$.

При $\kappa >0$ возможны три случая совпадения частот:

$1)\kappa =1;2)\kappa =2;3)\kappa =1/2.$

Ниже рассмотрим каждый их этих случаев отдельно.

После определения допустимых значений параметров $G_{ij}$ определяем $\Omega \left(\tau \right)$ по формулам (3.1) и (3.10). Зависимость $\tau =\tau \left(t\right)$ найдем, интегрируя равенство

$dt=\frac{d\tau }{\Omega \left(\tau \right)}$ (3.20)

Замечание 1. Всюду рассматривается случай $\lambda \ne 0$. При $\lambda =0$ из формулы (2.18) получаем $b=0$ и уравнение (2.11) принимает вид $\dot{\Omega }a=M$, для существования его решения необходимо, чтобы векторы $a$ и $M$ были коллинеарны. Была выполнена проверка условия $a\times M=0$. В общем случае, при несовпадении частот, это условие выполнено только при $G=0$, тогда $M=0$. В случае $\kappa =1$ необходимы условия $G_{11}=G_{22}=G_{33},G_{ij}=0;i\ne j$. Так как при $\kappa =1$ оператор поворота $R$ — симметрический, то для $G=cE$ из формулы (3.6) получаем снова $M=0$. При $\kappa =2$ для коллинеарности $a$ и $M$ необходимо $G_{31}=G_{32}=G_{33}=0$, а при $\kappa =1/2$ необходимо $G_{13}=G_{23}=G_{33}=0$. В обоих случаях матрица $G$ — вырожденная, задача приводимая (к двум полям). Таким образом, при $\lambda =0$ нет решений поставленной задачи о прецессии с постоянным отношением скоростей в трех неприводимых однородных полях.

Замечание 2. При осевой динамической симметрии из условий (2.16) получаем условие (2.19) $⟨a,b,l_3⟩=const$, что упрощает тождество (2.15). Была решена обратная задача — определение конфигураций тела, при которых возможно условие $⟨a,b,l_3⟩=const$. Проверка показала, что если $1+\kappa \cos \theta \ne 0$, то необходима осевая симметрия тела. При $1+\kappa \cos \theta =0$ условие $\left(a,b,l_3\right)=const$ выполнено при любой диагональной матрице I, но условия (2.13) и (2.20) в этом случае выполняются, только если $G_{31}=G_{32}=G_{33}=0$. Матрица $G$ вырожденная, нерегулярная прецессия в трех неприводимых полях с постоянным отношением скоростей в случае $1+\kappa \cos \theta =0$ не существует в случае $⟨a,b,l_3⟩=const$.

4. Прецессия с равными скоростями прецессии и собственного вращения. Для выполнения тождеств (3.12) и (3.13) при необходимо и достаточно условий

$\begin{array}{c}{\lambda }_1{G}_{13}-{\lambda }_2{G}_{31}={\lambda }_5{G}_{13}-{\lambda }_6{G}_{31}=\\ ={\lambda }_1{G}_{23}-{\lambda }_2{G}_{32}={\lambda }_5{G}_{23}-{\lambda }_6{G}_{32}=0\end{array}$ (4.1)

${\lambda }_3\left(G_{12}-G_{21}\right)={\lambda }_7\left(G_{12}-G_{21}\right)=0$ (4.2)

$\begin{array}{c}{\lambda }_4\left(G_{12}+G_{21}\right)={\lambda }_8\left(G_{12}+G_{21}\right)=\\ ={\lambda }_4\left(G_{11}-G_{22}\right)={\lambda }_8\left(G_{11}-G_{22}\right)=0\end{array}$ (4.3)

Здесь параметры ${\lambda }_k$ заданы формулами (3.14) с $\kappa =1$.

Так как ${\lambda }_3^2+{\lambda }_7^2>0$ и ${\lambda }_4^2+{\lambda }_8^2>0$, то из условий (4.2) и (4.3) следует

$G_{12}=G_{21}=\mathrm{0,}{G}_{11}=G_{22}$ (4.4)

Если ${\lambda }_2{\lambda }_5-{\lambda }_1{\lambda }_6\ne 0$, то из условий (4.1) следует

$G_{13}=G_{31}=G_{23}=G_{32}=0$

В этом случае $G=diag\left(G_{11},G_{11},G_{33}\right)$, из формул (3.1) и (3.10) следует $\Omega =const$ и получаем регулярную прецессию [15].

Нерегулярная прецессия с равными скоростями прецессии и собственного вращения возможна только условии

${\lambda }_2{\lambda }_5-{\lambda }_1{\lambda }_6=0$

Это условие при учете формул (3.14) записывается в виде

$\left(1+\cos \theta \right)\left(3\cos \theta -2\right)I_3+3\cos \theta \left(1-\cos \theta \right)I_1=0$ (4.5)

Отметим некоторые частные случаи выполнения условия (4.5)

$1)I_1=I_2=I_3,\cos \theta =\frac{1}{2},2)I_1=I_2=2I_3,\cos \theta =\frac{1}{3}$

Условие (4.5) при ограничении $I_3<2I_1$ может быть выполнено, если

$0<\cos \theta <\left(\sqrt{73}-5\right)/6\approx \mathrm{0,590667}$ (4.6)

При условии (4.5) связи (4.1) записываются в виде

$\begin{array}{c}\left(2-\cos \theta \right)G_{13}=3\cos \theta G_{31},\\ \left(2-\cos \theta \right)G_{23}=3\cos \theta G_{32}\end{array}$ (4.7)

Условия (4.4) и (4.7) позволяют задать матрицу $G$ четырьмя параметрами

$\begin{array}{c}{G}_{11}=G_{22}={\nu }_1\\ G_{33}={\nu }_1+{\nu }_2\\ G_{12}=G_{21}=0\end{array}$ (4.8)

$\begin{array}{c}{G}_{13}=3\cos \theta {\nu }_3\\ G_{31}=\left(2-\cos \theta \right){\nu }_3\\ G_{23}=3\cos \theta {\nu }_4\\ G_{32}=\left(2-\cos \theta \right){\nu }_4\end{array}$

Из формулы (3.10) при условиях (4.8) получаем

$\begin{array}{c}\cos \tau M_1-\sin \tau M_2=\\ =\sin \theta \left(G_{33}-G_{11}\right)-\cos \theta (\left(G_{23}+G_{32}\right)\cos \tau +\\ +\left(G_{13}+G_{31}\right)\sin \tau )=\\ =\sin \theta {\nu }_2-2\cos \theta \left(1+\cos \theta \right)\left({\nu }_4\cos \tau +{\nu }_3\sin \tau \right)\end{array}$

Параметр $\lambda$ задан формулой (2.18), учитывая связь (4.5), запишем

$\lambda =\sin \theta \left(\left(1+\cos \theta \right)I_3-\cos \theta I_1\right)=\frac{\sin \theta \cos \theta }{2-3\cos \theta }{I}_1$

Формула (3.1) принимает вид

$\begin{array}{c}{\Omega }^2=\left(2-3\cos \theta \right)\times \\ \times \frac{{\nu }_2\sin \theta -2\cos \theta \left(1+\cos \theta \right)\left({\nu }_4\cos \tau +{\nu }_3\sin \tau \right)}{\sin \theta \cos \theta I_1}\end{array}$ (4.9)

Положения центров приведения получаем из формул (3.5) и (4.8).

Прецессия с равными скоростями прецессии и собственного вращения является, в терминологии [10], прецессионно-изоконическим движением. Такое движение рассмотрено в работе [19] в случае ортогональных полей, когда прецессия происходит вокруг вертикали.

5. Прецессия со скоростью прецессии, вдвое большей скорости собственного вращения. Для выполнения тождеств (3.12) и (3.13) при $\kappa =2$ необходимо и достаточно условий

$\begin{array}{c}{\lambda }_1{G}_{13}+{\lambda }_3\left(G_{12}-G_{21}\right)=0\\ {\lambda }_5{G}_{13}+{\lambda }_7\left(G_{12}-G_{21}\right)=0\end{array}$ (5.1)

$\begin{array}{c}{\lambda }_1{G}_{23}-{\lambda }_3\left(G_{11}+G_{22}\right)=0\\ {\lambda }_5{G}_{23}-{\lambda }_7\left(G_{11}+G_{22}\right)=0\end{array}$ (5.2)

${\lambda }_2{G}_{32}={\lambda }_6{G}_{32}=\mathrm{0,}{\lambda }_2{G}_{31}={\lambda }_6{G}_{31}=0$ (5.3)

$\begin{array}{c}{\lambda }_4\left(G_{12}+G_{21}\right)={\lambda }_8\left(G_{12}+G_{21}\right)=\\ ={\lambda }_4\left(G_{11}-G_{22}\right)={\lambda }_8\left(G_{11}-G_{22}\right)=0\end{array}$ (5.4)

Параметры ${\lambda }_k$ заданы формулами (3.14) с $\kappa =2$.

Так как ${\lambda }_2^2+{\lambda }_6^2>0$ и ${\lambda }_4^2+{\lambda }_8^2>0$, то из условий (5.2) и (5.3) следует

$\begin{array}{c}{G}_{31}=G_{32}=0\\ G_{11}=G_{22}\\ G_{12}=-G_{21}\end{array}$ (5.5)

Если ${\lambda }_3{\lambda }_5-{\lambda }_1{\lambda }_7\ne 0$, то из условий (5.1) и (5.5) получим

$G_{13}=G_{23}=G_{11}=G_{22}=G_{12}=G_{21}=0$

Матрица $G$ — вырожденная в этом случае, поэтому необходимо

${\lambda }_3{\lambda }_5-{\lambda }_1{\lambda }_7=0$

Данное условие при учете формул (3.14) записывается в виде

$\begin{array}{c}\left(1+2\cos \theta \right)\left(3\cos \theta -2\right)I_3+\\ +\left(1-\cos \theta \right)\left(1+6\cos \theta \right)I_1=0\end{array}$ (5.6)

Условие (5.6) при $I_3<2I_1$ может быть выполнено, только если

$-\frac{1}{6}<\cos \theta <\frac{1}{2}$ (5.7)

Отметим частные случаи выполнения условия (5.6)

$1)I_1=I_2=I_3,\cos \theta =\frac{1}{4},2)I_1=I_2=2I_3,\cos \theta =0$

При условиях (5.5) и (5.6) связи (5.1) записываются в виде

$\begin{array}{c}\left(4-\cos \theta \right)G_{13}+5\sin \theta G_{12}=0\\ \left(4-\cos \theta \right)G_{23}-5\sin \theta G_{11}=0\end{array}$ (5.8)

Полученные условия (5.5) и (5.8) позволяют задать матрицу $G$ тремя параметрами $v_i$:

$\begin{array}{c}{G}_{11}=G_{22}=\left(4-\cos \theta \right){\nu }_1\\ G_{23}=5\sin \theta {\nu }_1,G_{31}=G_{32}=0\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{12}=-G_{21}=\left(4-\cos \theta \right){\nu }_2\\ G_{13}=-5\sin \theta {\nu }_2,G_{33}={\nu }_3\end{array}$ (5.9)

Найдем скорость $\Omega \left(\tau \right)$. Из формул (3.10) и (5.9) получаем

$\begin{array}{c}\cos \tau M_1-\sin \tau M_2=\\ =\sin \theta \left({\nu }_3+4\left(1+\cos \theta \right)\left({\nu }_2\sin \tau -{\nu }_1\cos \tau \right)\right)\end{array}$

Если учесть связь (5.6), то из формулы (3.14) получим

$\lambda =\left(1+2\cos \theta \right)I_3-2\cos \theta I_1=\frac{1+\cos \theta }{2-3\cos \theta }{I}_1$

Формула (3.1) записывается в виде

$\begin{array}{c}{\Omega }^2=\frac{\sin \theta \left(2-3\cos \theta \right)}{I_1\left(1+\cos \theta \right)}\times \\ \times \left({\nu }_3+4\left(1+\cos \theta \right)\left({\nu }_2\sin \tau -{\nu }_1\cos \tau \right)\right)\end{array}$ (5.10)

Множество допустимых положений центров приведения получаем из формул (3.5) и (5.9).

Отметим, что условия (5.6) и (5.7) указаны в работе [18]. Вывод [18] об ортогональности векторов $u_1$ и $u_2$ справедлив только для рассмотренного в этой работе частного случая ортогональных полей при оси прецессии, коллинеарной силовым линиям поля номер три.

6. Прецессия со скоростью прецессии, вдвое меньшей скорости собственного вращения. Для выполнения тождеств (3.12) и (3.13) при $\kappa =1/2$ необходимо и достаточно условий

${\lambda }_1{G}_{13}={\lambda }_1{G}_{23}={\lambda }_5{G}_{13}={\lambda }_5{G}_{23}=0$ (6.1)

$\begin{array}{c}{\lambda }_2{G}_{31}-{\lambda }_3\left(G_{12}-G_{21}\right)=0\\ {\lambda }_6{G}_{31}-{\lambda }_7\left(G_{12}-G_{21}\right)=0\end{array}$ (6.2)

$\begin{array}{c}{\lambda }_2{G}_{32}-{\lambda }_3\left(G_{11}+G_{22}\right)=0\\ {\lambda }_6{G}_{32}-{\lambda }_7\left(G_{11}+G_{22}\right)=0\end{array}$ (6.3)

$\begin{array}{c}{\lambda }_4\left(G_{12}+G_{21}\right)={\lambda }_8\left(G_{12}+G_{21}\right)=\\ ={\lambda }_4\left(G_{11}-G_{22}\right)={\lambda }_8\left(G_{11}-G_{22}\right)=0\end{array}$ (6.4)

Проверяем, используя формулы (3.14) с $\kappa =1/2$, что если ${\lambda }_1=0$, то ${\lambda }_5\ne 0$ и, если ${\lambda }_4=0$, то ${\lambda }_8\ne 0$, тогда из условий (6.1) и (6.4) следует

$G_{13}=G_{23}=\mathrm{0,}{G}_{11}=G_{22},G_{12}=-G_{21}$ (6.5)

Если ${\lambda }_2{\lambda }_7-{\lambda }_3{\lambda }_6\ne 0$, то из условий (6.2), (6.3) и (6.5) получим

$G_{31}=G_{32}=G_{11}=G_{22}=G_{12}=G_{21}=0$

Матрица $G$ — вырожденная в этом случае, поэтому необходимо

${\lambda }_2{\lambda }_7-{\lambda }_3{\lambda }_6=0$

Данное условие при учете формул (3.14) записывается в виде

$\begin{array}{c}\left(2+\cos \theta \right)\left(3\cos \theta -1\right)I_3+\\ +3\left(1-\cos \theta \right)\cos \theta I_1=0\end{array}$ (6.6)

Условие (6.6) при $I_3<2I_1$ может быть выполнено, только если

$\mathrm{0,075604}\approx \frac{1}{6}\left(\sqrt{181}-13\right)<\cos \theta <\frac{1}{3}$ (6.7)

Частные случаи выполнения условия (6.6):

$1)I_1=I_2=I_3,\cos \theta =\frac{1}{4}\mathrm{,2})I_1=I_2=\frac{10}{3}{I}_3,\cos \theta =\frac{1}{7}$

При условиях (6.5) связи (6.3) и (6.4) записываются в виде

$3\cos \theta G_{31}-\sin \theta G_{12}=3\cos \theta G_{32}-\sin \theta G_{11}=0$ (6.8)

Полученные условия позволяют задать матрицу $G$ тремя параметрами

$G_{11}=G_{22}=3\cos \theta {\nu }_1,G_{32}=\sin \theta {\nu }_1,G_{13}=G_{23}=0$

$G_{12}=-G_{21}=3\cos \theta {\nu }_2,G_{31}=\sin \theta {\nu }_2,G_{33}={\nu }_3$ (6.9)

Параметр $\lambda$ при условии (6.6) равен

$\lambda =\frac{\sin \theta \cos \theta I_1}{2\left(1-3\cos \theta \right)}$

Из формулы (3.10) при условиях (6.9) получим

$\begin{array}{c}\cos \tau M_1-\sin \tau M_2=\\ =\sin \theta \left({\nu }_3-4\cos \theta \left({\nu }_1\cos \frac{\tau }{2}+{\nu }_2\sin \frac{\tau }{2}\right)\right)\end{array}$

Формула (3.1) принимает вид

$\begin{array}{c}{\Omega }^2=\frac{2\left(1-3\cos \theta \right)}{\cos \theta I_1}\times \\ \times \left({\nu }_3-4\cos \theta \left({\nu }_1\cos \frac{\tau }{2}+{\nu }_2\sin \frac{\tau }{2}\right)\right)\end{array}$ (6.10)

Отметим, что прецессия осесимметричного тела со скоростью прецессии, вдвое меньшей скорости собственного вращения, рассматривалась в работе [20] в частном случае, когда силовые линии полей взаимно ортогональны и ось прецессии совпадает с силовой линией одного из полей.

7. Случай ортогональных полей. Запишем полученные в пп. 4–6 условия в частном случае ортогональных полей. Пусть единичные векторы ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ образуют правую ортогональную тройку, тогда в соответствии с формулами (2.8) единичные векторы $s_1,s_2,s_3$ образуют левую ортогональную тройку. Из формул (3.4) получим

$n_i=s_i;i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3$ (7.1)

Рассмотрим теперь для сравнения с результатами работы [18] частный случай $\rho ={\alpha }_3$. Из формул (2.8) в этом случае получим $s_3=l_3$. Всюду выше векторы $l_1,l_2$ правого ортогонального базиса пока не определены. Так как $\left(s_i\right)$ — левая тройка, то можно положить $l_1=s_1,l_2=-s_2,l_3=s_3$. Из формулы (7.1) тогда получим $n_1=l_1,n_2=-l_2,n_3=l_3$. Формула (3.5) определяет при известной матрице $G$ положения центров приведения сил

$u_1=G{l}_1,u_2=-G{l}_2,u_3=G{l}_3$ (7.2)

В случае $\kappa =1$ из формул (7.2) и (4.8) получаем

$\begin{array}{c}{u}_1={\nu }_1{l}_1+\left(2-\cos \theta \right){\nu }_3{l}_3\\ u_2=-{\nu }_1{l}_2-\left(2-\cos \theta \right){\nu }_4{l}_3\end{array}$

$u_3=3\cos \theta ({\nu }_3{l}_1+{\nu }_4{l}_2)+({\nu }_1+{\nu }_2)l_3$ (7.3)

В случае $\kappa =2$ из формул (7.2) и (5.9) получаем

$\begin{array}{c}{u}_1=\left(4-\cos \theta \right)\left({\nu }_1{l}_1-{\nu }_2{l}_2\right)\\ u_2=-\left(4-\cos \theta \right)\left({\nu }_2{l}_1+{\nu }_1{l}_2\right)\end{array}$

$u_3=-5\sin \theta ({\nu }_2{l}_1-{\nu }_1{l}_2)+{\nu }_3{l}_3$ (7.4)

В случае $\kappa =1/2$ из формул (7.2) и (6.9) получаем

$u_1=3\cos \theta \left({\nu }_1{l}_1-{\nu }_2{l}_2\right)+\sin \theta {\nu }_2{l}_3$

$u_2=-3\cos \theta \left({\nu }_2{l}_1+{\nu }_1{l}_2\right)-\sin \theta {\nu }_1{l}_3,u_3={\nu }_3{l}_3$ (7.5)

Формулы (3.20), (4.9), (5.10), (6.10) позволяют выразить зависимость от времени скоростей прецессии и собственного вращения через эллиптические функции. Выделим случаи, когда эта зависимость определяется элементарными функциями. В этих случаях происходит экспоненциально быстрое стремление к нулю указанных скоростей.

Для указания более ясного смысла связей между положениями центров приведения в названных выделенных случаях запишем формулы (7.3)–(7.5) по-другому.

В формулах (7.3) обозначим ${\mu }_{3}e=\left(2-\cos \theta \right)\left({\nu }_3{l}_1+{\nu }_4{l}_2\right)$, где $e$ — единичный вектор, ${\mu }_{\mathrm{1,2}}={\nu }_{\mathrm{1,2}},l_i=e_i,i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3$, и запишем формулы в виде

$u_1={\mu }_1{e}_1+{\mu }_{3}e\times e_2,u_2=-{\mu }_1{e}_2+{\mu }_{3}e\times e_1$

$u_3=\frac{3\cos \theta }{2-\cos \theta }{\mu }_{3}e+({\mu }_1+{\mu }_2)e_3$ (7.6)

В формулах (7.4) выполним замены

$\begin{array}{c}\left(4-\cos \theta \right){\nu }_1={\mu }_1\cos \xi \\ \left(4-\cos \theta \right){\nu }_2={\mu }_1\sin \xi ,{\nu }_3={\mu }_2\end{array}$

$\begin{array}{c}\cos \xi l_1-\sin \xi l_2=e_1\\ \sin \xi l_1+\cos \xi l_2=e_2\\ l_3=e_3,\cos 2\xi e_2-\sin 2\xi e_1=e\end{array}$

и запишем эти формулы в виде

$\begin{array}{c}{u}_1={\mu }_1{e}_1\\ u_2=-{\mu }_1{e}_2\\ u_3=\frac{5\sin \theta }{4-\cos \theta }{\mu }_{1}e+{\mu }_2{e}_3\end{array}$ (7.7)

Аналогичными преобразованиями формулы (7.5) можно привести к виду

$\begin{array}{c}{u}_1={\mu }_1\left(e_1+\frac{tg\theta \sin \xi }{3}{e}_3\right)\\ u_2=-{\mu }_1\left(e_2+\frac{tg\theta \cos \xi }{3}{e}_3\right)\\ u_3={\mu }_2{e}_3\end{array}$ (7.8)

В формулах (7.6)–(7.8) ${\mu }_i,\xi$ — произвольные параметры, $e_1,e_2,e_3$ — правая ортонормированная тройка, где $e_3$ направлен по оси динамической симметрии, $e$ — произвольный единичный вектор в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.

Формулы (4.9), (5.10) и (6.10) для скорости собственного вращения запишем, используя параметры, входящие в описания (7.6)–(7.8) векторов $u_i$:

$\begin{array}{c}\kappa =1\\ {\Omega }^2=\frac{1}{I_1}\left(2-3\cos \theta \right)\times \\ \times \left(\frac{{\mu }_2}{\cos \theta }-\frac{2\left(1+\cos \theta \right)}{\left(2-\cos \theta \right)\sin \theta }{\mu }_3\sin \left(\tau +\epsilon \right)\right)\end{array}$ (7.9)

$\begin{array}{c}\kappa =2\\ {\Omega }^2=\frac{\sin \theta \left(2-3\cos \theta \right)}{I_1\left(1+\cos \theta \right)}\times \\ \times \left({\mu }_2-\frac{4\left(1+\cos \theta \right)}{4-\cos \theta }{\mu }_1\cos \left(\tau +\xi \right)\right)\end{array}$ (7.10)

$\begin{array}{c}\kappa =\frac{1}{2}\\ {\Omega }^2=\frac{2\left(1-3\cos \theta \right)}{\cos \theta I_1}\times \\ \times \left({\mu }_2-\frac{4}{3}{\mu }_1\left(\cos \frac{\tau }{2}-\xi \right)\right)\end{array}$ (7.11)

В формуле (7.9) $\epsilon$ — угол между $e$ и $e_1$.

В случаях

$\begin{array}{c}\kappa =1\\ {\mu }_2=\pm \frac{2\left(1+\cos \theta \right)\cos \theta }{\left(2-\cos \theta \right)\sin \theta }{\mu }_3\\ \kappa =2\\ {\mu }_2=\pm \frac{4\left(1+\cos \theta \right)}{4-\cos \theta }{\mu }_1\end{array}$

$\kappa =\frac{1}{2},{\mu }_2=\pm \frac{4}{3}{\mu }_1$ (7.12)

уравнение (3.21) интегрируется в элементарных функциях.

Например, в случае $\kappa =2$ при соответствующем условии (7.12) получим

$\begin{array}{c}\cos \left(\frac{\tau +\xi }{2}\right)=\frac{\exp \left(rt+c\right)-1}{\exp \left(rt+c\right)+1}\\ {\Omega }^2=r^2{\sin }^2\left(\frac{\tau +\xi }{2}\right)\\ r^2=\frac{8\sin \theta \left(2-\cos \theta \right)}{\left(4-\cos \theta \right)I_1}\end{array}$

При $t\to +\infty$ получаем $\Omega \to 0$. Такой же результат получаем и в других случаях (7.12).

Формулы (7.6)–(7.8) при условиях (7.12) записываются в виде

$\kappa =\mathrm{1,}{u}_1={\mu }_1{e}_1+{\mu }_{3}e\times e_2,u_2=-{\mu }_1{e}_2+{\mu }_{3}e\times e_1$

$u_3={\mu }_1{e}_3+\frac{3\cos \theta }{2-\cos \theta }{\mu }_3\left(e\pm \frac{2\left(1+\cos \theta \right)}{3\sin \theta }{e}_3\right)$ (7.13)

$\begin{array}{c}\kappa =2\\ \frac{u_1}{{\mu }_1}=e_1\\ \frac{u_2}{{\mu }_1}=-e_2\\ \frac{u_3}{{\mu }_1}=\frac{5\sin \theta }{4-\cos \theta }\left(e\pm \frac{4\left(1+\cos \theta \right)}{5\sin \theta }{e}_3\right)\end{array}$ (7.14)

$\begin{array}{c}\kappa =\frac{1}{2}\\ \frac{u_1}{{\mu }_1}=e_1+\frac{tg\theta \sin \xi }{3}{e}_3\\ \frac{u_2}{{\mu }_1}=-e_2-\frac{tg\theta \cos \xi }{3}{e}_3\\ \frac{u_3}{{\mu }_1}=\pm \frac{4}{3}{e}_3\end{array}$ (7.15)

Таким образом, если центры приведения заданы формулами (7.13)–(7.15), то нерегулярная прецессия тела с постоянным отношением скоростей в трех однородных полях экспоненциально быстро затухает со временем, приближаясь к состоянию покоя.

Заключение. Известные точные решения задачи о вращении твердого тела в суперпозиции трех полей описывают регулярную прецессию [13, 15–17] либо нерегулярную прецессию с постоянным отношением скоростей прецессии и собственного вращения [18–20]. Задача о нерегулярной прецессии рассмотрена [18–20] для осесимметричного тела, совершающего прецессию вокруг силовой линии одного из трех однородных ортогональных полей. В настоящей работе описаны все возможные случаи нерегулярной прецессии с постоянным отношением скоростей симметричного тела в трех неприводимых однородных полях. Конфигурационные условия прецессии получены без предположения о взаимной ортогональности полей и при произвольном направлении оси прецессии. Показано, что прецессия динамически симметричного тела возможна при скорости прецессии, равной, вдвое большей или вдвое меньшей скорости собственного вращения. Выделены положения центров приведения сил, для которых прецессионное движение экспоненциально быстро со временем приближается к состоянию покоя.