On the motion of a material point on a fixed ellipsoidal surface

Full Text

Современные технические устройства зачастую содержат в себе элементы малых размеров, движущиеся по неподвижным (или медленно перемещающимся в пространстве) поверхностям, являющимися частью устройства.

В статье исследуется движение материальной точки по неподвижной абсолютно гладкой поверхности в однородном поле тяжести. Предполагается, что поверхность является частью поверхности трехосного эллипсоида, одна из осей которого вертикальна.

Существует устойчивое положение равновесия, когда материальная точка покоится в лежащей на этой оси наинизшей точке поверхности. Основное внимание в статье уделяется анализу нелинейных колебаний (условно-периодических и периодических) точки в окрестности этого устойчивого положения равновесия. Анализ осуществляется при помощи современных методов и алгоритмов аналитического и численного исследования динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона [1$–$5].

1. Введение. Функция Гамильтона. Пусть материальная точка весом $mg$ движется в однородном поле тяжести, все время оставаясь на внутренней части неподвижной абсолютно гладкой эллипсоидальной поверхности

$\frac{{\xi }^2}{a^2}+\frac{{\eta }^2}{b^2}+\frac{{\varsigma }^2}{c^2}=1$ $(a<b<c)$ (1.1)

Ось $O\varsigma$ направлена вверх. Предполагается, что движение происходит в области $-c\le \varsigma <0$, поэтому координаты $\xi ,\eta ,\varsigma$ точки удовлетворяют уравнению

$\varsigma =-c\sqrt{1-\frac{{\xi }^2}{a^2}-\frac{{\eta }^2}{b^2}}$ (1.2)

Потенциальная и кинетическая энергии вычисляются по формулам

$\Pi =mg\varsigma$, $T=\frac{1}{2}m({\dot{\xi }}^2+{\dot{\eta }}^2+{\dot{\varsigma }}^2)$ ( $\dot{\varsigma }=\frac{\partial \varsigma }{\partial \xi }\dot{\xi }+\frac{\partial \varsigma }{\partial \eta }\dot{\eta }$ ), (1.3)

где точкой обозначена производная по времени $t$.

Существует очевидное положение равновесия $\xi =\eta =\mathrm{0,}\varsigma =-c$. По теореме Лагранжа это положение равновесия устойчиво, так как в нем потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум [6]. Цель статьи состоит в исследовании нелинейных колебаний точки вблизи этого положения равновесия.

Рассматриваемая механическая система является консервативной и имеет две степени свободы. Величины $\xi ,\eta$ $–$ обобщенные координаты, а соответствующие обобщенные импульсы задаются равенствами

$p_{\xi }=\frac{\partial T}{\partial \dot{\xi }}$, $p_{\eta }=\frac{\partial T}{\partial \dot{\eta }}$

Найдя отсюда величины $\dot{\xi },\dot{\eta }$ как функции $\xi ,\eta ,p_{\xi },p_{\eta }$ и подставив их в выражение $T+\Pi$, получим функцию Гамильтона $H(\xi ,\eta ,p_{\xi },p_{\eta })$. Уравнения движения запишутся в виде

$\frac{d\xi }{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{\xi }},$ $\frac{d\eta }{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{\eta }},$ $\frac{d{p}_{\xi }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial \xi }$, $\frac{d{p}_{\eta }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial \eta }$

Для удобства дальнейших вычислений целесообразно получить уравнения движения в безразмерной форме. Для этого сделаем каноническое (с валентностью $1/(mc\sqrt{gc})$ ) преобразование [6, 7] $\xi ,\eta ,p_{\xi },p_{\eta }\to q_1,q_2,p_1,p_2$ по формулам

$\xi =\sqrt{ac}{q}_1$, $\eta =\sqrt{bc}{q}_2$, $p_{\xi }=mc\sqrt{\frac{g}{a}}{p}_1$, $p_{\eta }=mc\sqrt{\frac{g}{b}}{p}_2$

и введем еще безразмерное время $\tau =\sqrt{g/c}t$.

Несложные выкладки показывают, что в новых переменных уравнения движения примут вид

$\frac{d{q}_j}{d\tau }=\frac{\partial H}{\partial p_j},$ $\frac{d{p}_j}{d\tau }=-\frac{\partial H}{\partial q_j}$ $(j=\mathrm{1,2})$, (1.4)

где

$\begin{array}{c}H=\frac{{\omega }_1[1-{\omega }_1{q}_1^2+{\omega }_2({\omega }_2^2-1)q_2^2]p_1^2-2{\omega }_1^2{\omega }_2^2{q}_1{q}_2{p}_1{p}_2+{\omega }_2[1-{\omega }_2{q}_2^2+{\omega }_1({\omega }_1^2-1)q_1^2]p_2^2}{2[1+{\omega }_1({\omega }_1^2-1)q_1^2+{\omega }_2({\omega }_2^2-1)q_2^2]}-\\ -\sqrt{1-{\omega }_1{q}_1^2-{\omega }_2{q}_2^2}\end{array}$ (1.5)

Здесь

${\omega }_1=\frac{c}{a}$, ${\omega }_2=\frac{c}{b}$ ( ${\omega }_1>{\omega }_2>1$ ) (1.6)

Величины (1.6) $–$ это отвечающие безразмерному времени $\tau$ частоты малых линейных колебаний в окрестности изучаемого равновесия $\xi =\eta =0$, $\varsigma =-c$ которому в новых переменных соответствует решение $q_1=q_2=p_1=p_2=0$ уравнений (1.4).

Отметим, что функция Гамильтона (1.5) не изменяется, если индексы входящих в нее величин поменять местами, т.е.

$H(q_1,q_2,p_1,p_2;{\omega }_1,{\omega }_2)\equiv H(q_2,q_1,p_2,p_1;{\omega }_2,{\omega }_1)$ (1.7)

Вблизи решения $q_1=q_2=p_1=p_2=0$ функция Гамильтона (1.5) представима в виде сходящегося ряда по формам четных степеней:

$H=\frac{1}{2}{\omega }_1(q_1^2+p_1^2)+\frac{1}{2}{\omega }_2(q_2^2+p_2^2)+{\displaystyle \sum _{s=2}^{\infty }{H}_{2s}}$, $H_{2s}={\displaystyle \sum _{{\nu }_1+{\nu }_2+{\mu }_1+{\mu }_2=2s}{h}_{{\nu }_1{\nu }_2{\mu }_1{\mu }_2}{q}_1^{{\nu }_1}{q}_2^{{\nu }_2}{p}_1^{{\mu }_1}}{p}_2^{{\mu }_2}$ (1.8)

В разложении (1.8) величина $H_0=-1$, равная значению функции $H$ на решении $q_1=q_2=p_1=p_2=0$, отброшена.

Из 35-ти коэффициентов формы $H_4$ отличны от тождественного нуля только следующие 6 коэффициентов:

$h_{4000}=\frac{1}{8}{\omega }_1^2$, $h_{2200}=\frac{1}{4}{\omega }_1{\omega }_2$, $h_{2020}=-\frac{1}{2}{\omega }_1^4$

$h_{1111}=-{\omega }_1^2{\omega }_2^2$, $h_{0400}=\frac{1}{8}{\omega }_2^2$, $h_{0202}=-\frac{1}{2}{\omega }_2^4$ (1.9)

Из 84-х коэффициентов формы $H_6$ отличны от нуля только 10 коэффициентов:

$h_{6000}=\frac{1}{16}{\omega }_1^3$, $h_{4200}=\frac{3}{16}{\omega }_1^2{\omega }_2$, $h_{4020}=\frac{1}{2}{\omega }_1^5({\omega }_1^2-1)$, $h_{3111}={\omega }_1^3{\omega }_2^2({\omega }_1^2-1)$

$h_{2220}=\frac{1}{2}{\omega }_1^4{\omega }_2({\omega }_2^2-1)$, $h_{2202}=\frac{1}{2}{\omega }_1{\omega }_2^4({\omega }_1^2-1)$, $h_{2400}=\frac{3}{16}{\omega }_1{\omega }_2^2$ (1.10)

$h_{1311}={\omega }_1^2{\omega }_2^3({\omega }_2^2-1)$, $h_{0402}=\frac{1}{2}{\omega }_2^5({\omega }_2^2-1)$, $h_{0600}=\frac{1}{16}{\omega }_2^3$

2. О нормальной форме функции Гамильтона возмущенного движения. Вместо переменных $q_j,p_j$ $(j=\mathrm{1,2})$ введем новые канонически сопряженные переменные $Q_j,P_j$ при помощи близкого к тождественному канонического преобразования, задаваемого неявно формулами [3, 4, 6]

$p_j=\frac{\partial S}{\partial q_j}$, $Q_j=\frac{\partial S}{\partial P_j}$ $(j=\mathrm{1,2})$,  (2.1)

где

$S=q_1{P}_1+q_2{P}_2+S_4(q_1,q_2,P_1,P_2)+S_6(q_1,q_2,P_1,P_2)$

$S_{2k}={\displaystyle \sum _{{\nu }_1+{\nu }_2+{\mu }_1+{\mu }_2=2k}{s}_{{\nu }_1{\nu }_2{\mu }_1{\mu }_2}{q}_1^{{\nu }_1}{q}_2^{{\nu }_2}{P}_1^{{\mu }_1}}{P}_2^{{\mu }_2}$ $(k=\mathrm{2,3})$ (2.2)

Из (2.1),(2.2) следует, что $q_j,p_j$ выражаются через новые переменные $Q_j,P_j$ при помощи сходящихся рядов по степеням $Q_1,Q_2,P_1,P_2$:

$q_j=Q_j-\frac{\partial S_4^{*}}{\partial P_j}+\frac{{\partial }^2{S}_4^{*}}{\partial P_j\partial Q_1}\frac{\partial S_4^{*}}{\partial P_1}+\frac{{\partial }^2{S}_4^{*}}{\partial P_j\partial Q_2}\frac{\partial S_4^{*}}{\partial P_2}-\frac{\partial S_6^{*}}{\partial P_j}+O_7$ $(j=\mathrm{1,2})$ (2.3)

$p_j=P_j+\frac{\partial S_4^{*}}{\partial Q_j}-\frac{{\partial }^2{S}_4^{*}}{\partial Q_j\partial Q_1}\frac{\partial S_4^{*}}{\partial P_1}-\frac{{\partial }^2{S}_4^{*}}{\partial Q_j\partial Q_2}\frac{\partial S_4^{*}}{\partial P_2}+\frac{\partial S_6^{*}}{\partial Q_j}+O_7$ $(j=\mathrm{1,2})$ (2.4)

Здесь $S_{2k}^{*}$ $–$ функции $S_{2k}$ из (2.2), в которых $q_1,q_2$ заменены на $Q_1,Q_2$:

$S_{2k}^{*}=S_{2k}(Q_1,Q_2,P_1,P_2)$, (2.5)

через $O_n$ здесь и далее обозначается совокупность членов не ниже n-й степени относительно $Q_1,Q_2,P_1,P_2$.

Подставив выражения (2.3), (2.4) в функцию Гамильтона (1.8) и подобрав надлежащим образом коэффициенты $s_{{\nu }_1{\nu }_2{\mu }_1{\mu }_2}$ форм $S_4$ и $S_6$, можно упростить (нормализовать) формы четвертой и шестой степеней в новой функции Гамильтона. При этом существенно наличие резонансов $k_1{\omega }_1=k_2{\omega }_2$, где ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ задаются равенствами (1.6), а $k_1,k_2$ $–$ натуральные числа, причем $k_2>k_1$. Число $k_1+k_2$ $–$ порядок резонанса.

1. Так как разложение функции Гамильтона в ряд (1.8) не содержит форм нечетных степеней, а сумма показателей ${\nu }_1+{\mu }_1$ и ${\nu }_2+{\mu }_2$ в любом из членов ряда есть четное число, то все резонансы до пятого порядка включительно ( ${\omega }_1=2{\omega }_2$, ${\omega }_1=3{\omega }_2$, ${\omega }_1=4{\omega }_2$, $2{\omega }_1=3{\omega }_2$ ) не препятствуют приведению функции (1.8) к нормальной форме вида

$H=H^{(0)}(r_1,r_2)+O_6$, $H^{(0)}={\omega }_1{r}_1+{\omega }_2{r}_2+c_{20}{r}_1^2+c_{11}{r}_1{r}_2+c_{02}{r}_2^2$, (2.6)

где

$Q_j=\sqrt{2r_j}\sin {\phi }_j$, $P_j=\sqrt{2r_j}\cos {\phi }_j$ $(j=\mathrm{1,2})$ (2.7)

Вычисления по подробно описанному в статье [8] алгоритму нормализации консервативной системы показывают, что форма $S_4^{*}$ содержит только 8 одночленов $s_{{\nu }_1{\nu }_2{\mu }_1{\mu }_2}({\omega }_1,{\omega }_2)Q_1^{{\nu }_1}{Q}_2^{{\nu }_2}{P}_1^{{\mu }_1}{P}_2^{{\mu }_2}$. При этом, ввиду свойства (1.7) исходной функции Гамильтона, коэффициенты одночленов удовлетворяют такому свойству симметрии:

$s_{{\nu }_1{\nu }_2{\mu }_1{\mu }_2}({\omega }_1,{\omega }_2)\equiv s_{{\nu }_2{\nu }_1{\mu }_2{\mu }_1}({\omega }_2,{\omega }_1)$ (2.8)

Четыре из коэффициентов формы $S_4^{*}$ задаются формулами

$s_{3010}=\frac{1}{64}{\omega }_1(5+4{\omega }_1^2)$, $s_{2101}=\frac{{\omega }_1({\omega }_1^2-2{\omega }_2^2+4{\omega }_1^2{\omega }_2^2)}{16({\omega }_1^2-{\omega }_2^2)}$

$s_{1012}=-\frac{{\omega }_2^3(1-4{\omega }_1^2)}{16({\omega }_1^2-{\omega }_2^2)}$, $s_{1030}=\frac{1}{64}{\omega }_1(3-4{\omega }_1^2)$, (2.9)

а оставшиеся четыре коэффициента $s_{0301},s_{1210},s_{0121},s_{0103}$ находятся из (2.8), (2.9).

Коэффициенты $c_{ij}$ нормальной формы (2.6) определяются следующими равенствами:

$c_{20}=\frac{1}{16}{\omega }_1^2(3-4{\omega }_1^2)$, $c_{11}=\frac{1}{4}{\omega }_1{\omega }_2$, $c_{02}=\frac{1}{16}{\omega }_2^2(3-4{\omega }_2^2)$ (2.10)

2. При нормализации функции (1.8) до членов седьмой степени включительно из резонансов шестого и седьмого порядков ( ${\omega }_1=5{\omega }_2$, ${\omega }_1=6{\omega }_2$, $2{\omega }_1=3{\omega }_2$, $2{\omega }_1=4{\omega }_2$, $2{\omega }_1=5{\omega }_2$, $3{\omega }_1=4{\omega }_2$ ) важен только резонанс $2{\omega }_1=4{\omega }_2$. На самом деле это резонанс третьего порядка ${\omega }_1=2{\omega }_2$. Но его наличие, как замечено выше, не повлияло на функцию $S_4^{*}$ и нормальную форму (2.6).

Если ${\omega }_1\ne 2{\omega }_2$, то нормальная форма функции (1.8) имеет вид

$H={\omega }_1{r}_1+{\omega }_2{r}_2+c_{20}{r}_1^2+c_{11}{r}_1{r}_2+c_{02}{r}_2^2+c_{30}{r}_1^3+c_{21}{r}_1^2{r}_2+c_{12}{r}_1{r}_2^2+c_{03}{r}_2^3+O_8$ (2.11)

Коэффициенты $c_{20},c_{11},c_{02}$ задаются формулами (2.10), а

$c_{30}=\frac{1}{256}{\omega }_1^3(48{\omega }_1^4-72{\omega }_1^2+23)$, $c_{21}=\frac{{\omega }_1^2{\omega }_2(16{\omega }_1^4{\omega }_2^2+8{\omega }_1^2{\omega }_2^2-16{\omega }_1^4+10{\omega }_1^2-9{\omega }_2^2)}{64({\omega }_1^2-{\omega }_2^2)}$

$c_{12}=\frac{{\omega }_1{\omega }_2^2(16{\omega }_1^2{\omega }_2^4+8{\omega }_1^2{\omega }_2^2-16{\omega }_2^4+10{\omega }_2^2-9{\omega }_1^2)}{64({\omega }_2^2-{\omega }_1^2)}$, $c_{03}=\frac{1}{256}{\omega }_2^3(48{\omega }_2^4-72{\omega }_2^2+23)$ (2.12)

При этом форма $S_4^{*}$ определяется, как и выше, равенствами (2.8) и (2.9), а форма $S_6^{*}$ содержит 20 одночленов и представима в виде

$S_6^{*}=\frac{R_6}{24576{({\omega }_1^2-{\omega }_2^2)}^2{({\omega }_1^2-4{\omega }_2^2)}^2{(4{\omega }_1^2-{\omega }_2^2)}^2}$, (2.13)

где

$R_6={\displaystyle \sum _{{\nu }_1+{\nu }_2+{\mu }_1+{\mu }_2=6}{r}_{{\nu }_1{\nu }_2{\mu }_1{\mu }_2}({\omega }_1,{\omega }_2)Q_1^{{\nu }_1}{Q}_2^{{\nu }_2}{P}_1^{{\mu }_1}}{P}_2^{{\mu }_2}$, $r_{{\nu }_1{\nu }_2{\mu }_1{\mu }_2}({\omega }_1,{\omega }_2)\equiv r_{{\nu }_2{\nu }_1{\mu }_2{\mu }_1}({\omega }_2,{\omega }_1)$         (2.14)

Выпишем выражения для 10-ти из коэффициентов формы $R_6$ (остальные 10 находятся при помощи второго из соотношений (2.14)):

$\begin{array}{c}{r}_{5010}=3{\omega }_1^2\left[1100{\omega }_2^8+(-6875+1248{\omega }_2^2){\omega }_2^6{\omega }_1^2+10(1155-780{\omega }_2^2-32{\omega }_2^4){\omega }_2^4{\omega }_1^4\right.+\\ +(-6875+13104{\omega }_2^2+2000{\omega }_2^4){\omega }_2^2{\omega }_1^6+20\left(55-390{\omega }_2^2-168{\omega }_2^4\right){\omega }_1^8+\\ +16(78+125{\omega }_2^2){\omega }_1^{10}-320{\omega }_1^{12}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{4101}=48{\omega }_1^2[144{\omega }_2^8-36(21+16{\omega }_2^2){\omega }_2^6{\omega }_1^2+40(23+62{\omega }_2^2+8{\omega }_2^4){\omega }_2^4{\omega }_1^4-\\ -(409+2056{\omega }_2^2+1360{\omega }_2^4){\omega }_2^2{\omega }_1^6+8(7+70{\omega }_2^2+40{\omega }_2^4){\omega }_1^8-48{\omega }_1^{10}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{3210}=24{\omega }_1[204{\omega }_2^9+{\omega }_2^7(-1551+1216{\omega }_2^2){\omega }_1^2+{\omega }_2^5(3255-5424{\omega }_2^2-448{\omega }_2^4){\omega }_1^4+\\ +144{\omega }_2^3(-15+36{\omega }_2^2+11{\omega }_2^4){\omega }_1^6+8{\omega }_2(45-266{\omega }_2^2+114{\omega }_2^4){\omega }_1^8-\\ -32{\omega }_2(-9+10{\omega }_2^2){\omega }_1^{10}]\end{array}$

$\begin{array}{l}{r}_{3030}=2{\omega }_1^2[1796{\omega }_2^8-{\omega }_2^6(11225+5088{\omega }_2^2){\omega }_1^2+2{\omega }_2^4(9429+15900{\omega }_2^2+1568{\omega }_2^4){\omega }_1^4-\\ -{\omega }_2^2(11225+53424{\omega }_2^2+19600{\omega }_2^4){\omega }_1^6+4(449+7950{\omega }_2^2+8232{\omega }_2^4){\omega }_1^8-\\ -16(318+1225{\omega }_2^2){\omega }_1^{10}+3136{\omega }_1^{12}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{3012}=24{\omega }_1{\omega }_2^3[2{\omega }_1^6(-37+164{\omega }_1^2+32{\omega }_1^4)+9{\omega }_1^4(49-240{\omega }_1^2+48{\omega }_1^4){\omega }_2^2-\\ -3{\omega }_1^2(205-1208{\omega }_1^2+976{\omega }_1^4){\omega }_2^4+4(35-232{\omega }_1^2+176{\omega }_1^4){\omega }_2^6]\end{array}$

$\begin{array}{l}{r}_{2103}=24{\omega }_1{\omega }_2[60{\omega }_1^8+{\omega }_1^6(-427+128{\omega }_1^2){\omega }_2^2-{\omega }_1^4(-1175+1184{\omega }_1^2+448{\omega }_1^4){\omega }_2^4+\\ +4{\omega }_1^2(-235+8{\omega }_1^2+524{\omega }_1^4){\omega }_2^6+8(21+120{\omega }_1^2-158{\omega }_1^4){\omega }_2^8+32(-7+6{\omega }_1^2){\omega }_2^{10}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{2121}=48[16{\omega }_2^{10}-4{\omega }_2^8(17+32{\omega }_2^2){\omega }_1^2+4{\omega }_2^6(-87+404{\omega }_2^2+64{\omega }_2^4){\omega }_1^4-\\ -{\omega }_2^4(-1007+2668{\omega }_2^2+2048{\omega }_2^4){\omega }_1^6+{\omega }_2^2(-661+104{\omega }_2^2+4656{\omega }_2^4){\omega }_1^8+\\ +4(27+205{\omega }_2^2-580{\omega }_2^4){\omega }_1^{10}+16(-11+20{\omega }_2^2){\omega }_1^{12}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{1014}=48{\omega }_2^4[12(-1+4{\omega }_1^2){\omega }_1^6-{\omega }_1^4(-195+524{\omega }_1^2+256{\omega }_1^4){\omega }_2^2+\\ +48{\omega }_1^2(-4+{\omega }_1^2+24{\omega }_1^4){\omega }_2^4+12(3+23{\omega }_1^2-44{\omega }_1^4){\omega }_2^6+64(-1+{\omega }_1^2){\omega }_2^8]\end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{1050}=3{\omega }_1^2[332{\omega }_2^8-{\omega }_2^6(2075+1056{\omega }_2^2){\omega }_1^2+2{\omega }_2^4(1743+3300{\omega }_2^2+352{\omega }_2^4){\omega }_1^4-\\ -{\omega }_2^2(2075+11088{\omega }_2^2+4400{\omega }_2^4){\omega }_1^6+4(83+1650{\omega }_2^2+1848{\omega }_2^4){\omega }_1^8-\\ -16(66+275{\omega }_2^2){\omega }_1^{10}+704{\omega }_1^{12}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{r}_{1032}=24{\omega }_1{\omega }_2^3[2{\omega }_1^6(-31+92{\omega }_1^2+32{\omega }_1^4)-{\omega }_1^4(-337+1040{\omega }_1^2+80{\omega }_1^4){\omega }_2^2-\\ -{\omega }_1^2(371-1240{\omega }_1^2+752{\omega }_1^4){\omega }_2^4+12(5-8{\omega }_1^2+16{\omega }_1^4){\omega }_2^6]\end{array}$ (2.15)

3. При резонансе ${\omega }_1=2{\omega }_2$ к нормальной форме (2.11) добавится слагаемое (резонансный член) вида ${\alpha }_{12}{r}_1{r}_2^2\cos (2{\phi }_1-4{\phi }_2)$. При этом, как показывают несложные вычисления, коэффициенты нормальной формы будут такими:

$c_{20}=\frac{1}{4}{\omega }_2^2(3-16{\omega }_2^2)$, $c_{11}=\frac{1}{2}{\omega }_2^2$, $c_{02}=\frac{1}{16}{\omega }_2^2(3-4{\omega }_2^2)$ (2.16)

$c_{30}=\frac{1}{32}{\omega }_2^3(768{\omega }_2^4-288{\omega }_2^2+23)$, $c_{21}=\frac{1}{48}{\omega }_2^3(256{\omega }_2^4-224{\omega }_2^2+31)$

$c_{12}=-\frac{1}{48}{\omega }_2^3(32{\omega }_2^4+8{\omega }_2^2-13)$, $c_{03}=\frac{1}{256}{\omega }_2^3(48{\omega }_2^4-72{\omega }_2^2+23)$ (2.17)

${\alpha }_{12}=\frac{3}{64}{\omega }_2^3(12{\omega }_2^2-1)$ (2.18)

Функции $S_4^{*}$ и $S_6^{*}$ в нормализующей замене переменных (2.3), (2.4) имеют следующий вид:

$\begin{array}{c}{S}_4^{*}=\frac{1}{32}{\omega }_2(16{\omega }_2^2+5)Q_1^3{P}_1-\frac{1}{48}{\omega }_2(16{\omega }_2^2-7)Q_1{Q}_2^2{P}_1-\frac{1}{32}{\omega }_2(16{\omega }_2^2-3)P_1^3{Q}_1+\\ +\frac{1}{48}{\omega }_2(16{\omega }_2^2-1)P_2^2{Q}_1{P}_1-\frac{1}{6}{\omega }_2(4{\omega }_2^2-1)P_1^2{P}_2{Q}_2+\frac{1}{12}{\omega }_2(8{\omega }_2^2+1)Q_1^2{Q}_2{P}_2+\\ +\frac{1}{64}{\omega }_2(4{\omega }_2^2+5)Q_2^3{P}_2-\frac{1}{64}{\omega }_2(4{\omega }_2^2-3)Q_2{P}_2^3\end{array}$ (2.19)

$\begin{array}{l}{S}_6^{*}=\frac{1}{9216}{\omega }_2^2(1664{\omega }_2^4-940{\omega }_2^2+401)P_2^3{Q}_2{P}_1^2-\frac{1}{480}{\omega }_2^2(364{\omega }_2^2-43)Q_2{P}_2{P}_1^4+\\ +\frac{1}{23040}{\omega }_2^2(6400{\omega }_2^4-16256{\omega }_2^2+2287)Q_1{Q}_2^2{P}_1^3+\frac{1}{23040}{\omega }_2^2(8960{\omega }_2^4+2336{\omega }_2^2-217)Q_1{P}_1^3{P}_2^2+\\ +\frac{1}{1024}{\omega }_2^2(640{\omega }_2^4-692{\omega }_2^2+103)P_2{P}_1^2{Q}_2^3-\frac{1}{6144}{\omega }_2^2(1280{\omega }_2^4-636{\omega }_2^2+73)P_2^4{Q}_1{P}_1-\\ -\frac{1}{7680}{\omega }_2^2(11520{\omega }_2^4-3392{\omega }_2^2-1441)Q_1^3{Q}_2^2{P}_1+\frac{1}{7680}{\omega }_2^2(6400{\omega }_2^4+928{\omega }_2^2-71)P_2^2{Q}_1^3{P}_1+\\ +\frac{1}{18432}{\omega }_2^2(5120{\omega }_2^4-6652{\omega }_2^2+1577)Q_2^4{Q}_1{P}_1-\frac{1}{9216}{\omega }_2^2(3200{\omega }_2^4-1468{\omega }_2^2-67)P_2^3{Q}_1^2{Q}_2-\\ -\frac{1}{3072}{\omega }_2^2(1408{\omega }_2^4-2508{\omega }_2^2-199)Q_2^3{Q}_1^2{P}_2+\frac{1}{1440}{\omega }_2^2(1600{\omega }_2^4+208{\omega }_2^2+109)Q_2{Q}_1^4{P}_2-\\ -\frac{1}{8192}{\omega }_2^2(80{\omega }_2^4-312{\omega }_2^2-275)Q_2^5{P}_2+\frac{1}{12288}{\omega }_2^2(784{\omega }_2^4-1272{\omega }_2^2+449)Q_2^3{P}_2^3+\\ +\frac{1}{2048}{\omega }_2^2(2816{\omega }_2^4-1056{\omega }_2^2+83)Q_1{P}_1^5+\frac{1}{3072}{\omega }_2^2(12544{\omega }_2^4-5088{\omega }_2^2+449)P_1^3{Q}_1^3+\\ +\frac{1}{8192}{\omega }_2^2(176{\omega }_2^4-264{\omega }_2^2+83)Q_2{P}_2^5+\frac{1}{1024}{\omega }_2^2(128{\omega }_2^4+108{\omega }_2^2+51)P_2^2{Q}_2^2{Q}_1{P}_1+\\ +\frac{1}{1920}{\omega }_2^2(2560{\omega }_2^4-3344{\omega }_2^2+403)P_2{Q}_2{P}_1^2{Q}_1^2-\frac{1}{2048}{\omega }_2^2(1280{\omega }_2^4-1248{\omega }_2^2-275)Q_1^5{P}_1\end{array}$(2.20)

3. О невырожденности и изоэнергетической невырожденности системы с функцией Гамильтона (2.6). В рассматриваемой нами задаче о движении точки по поверхности (1.1) функция (2.6) является функцией Гамильтона общего эллиптического типа, т.е. [1] в окрестности равновесия $r_1=r_2=0$ система с этой функцией Гамильтона является невырожденной или изоэнергетически невырожденной. Система будет невырожденной, если отличен от нуля определитель второго порядка

$D_2=\det ‖\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_1^2}& \frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_1\partial r_2}\\ \frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_2\partial r_1}& \frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_2^2}\end{array}‖=4c_{20}{c}_{02}-c_{11}^2$  (3.1)

А когда отличен от нуля определитель третьего порядка

$D_3=\det ‖\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_1^2}& \frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_1\partial r_2}& {\omega }_1\\ \frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_2\partial r_1}& \frac{{\partial }^2{H}^{(0)}}{\partial r_2^2}& {\omega }_2\\ {\omega }_1& {\omega }_2& 0\end{array}‖=-2(c_{20}{\omega }_2^2-c_{11}{\omega }_1{\omega }_2+c_{02}{\omega }_1^2),$ (3.2)

то система будет изоэнергетически невырожденной.

Для проверки выполнения условий невырожденности и изоэнергетической невырожденности удобно ввести обозначения $a=\sqrt{x}c$, $b=\sqrt{y}c$. Из (1.6) следует, что в плоскости $x,y$ область допустимых значений безразмерных параметров $x,y$ представляет собой (см. рис. 1) внутренность прямоугольного треугольника с вершинами (0,0), (0,1) , (1,1):

$0<x<y<1$ (3.3)

В области (3.3) выражения (1.6) для частот принимают вид

${\omega }_1=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ${\omega }_2=\frac{1}{\sqrt{y}}$ (3.4)

Из (3.4), (3.1) и (2.10 ) получаем

$D_2=\frac{y(5x-12)-4(3x-4)}{64x^2{y}^2}$ (3.5)

На рис.1 показана часть кривой $D_2=0$, лежащая в треугольнике (3.3). Она является участком гиперболы

$y=\frac{4(3x-4)}{(5x-12)}$ (3.6)

Рис. 1

Граничными точками этого участка являются точки (4/7,1) и (4/5,4/5). Область $D_2<0$ на рис. 1 выделена серым цветом. Штриховой линией в области $D_2>0$ показана прямая $y=4x$. На ней имеет место резонанс третьего порядка ${\omega }_1=2{\omega }_2$. При этом резонансе полуоси эллипсоида (1.1) связаны равенством $b=2a$.

Для определителя $D_3$ из (3.2), (3.4) и (2.10) имеем выражение

$D_3=\frac{y(2-x)+2x}{4x^2{y}^2}$ (3.7)

Всюду в области (3.3) величина $D_3>0$.

4. Условно-периодические колебания. Общее решение системы дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона $H^{(0)}$ из (2.6) записывается в виде

$Q_J=\sqrt{2r_{j0}}\sin {\phi }_j$, $P_J=\sqrt{2r_{j0}}\cos {\phi }_j$, ${\phi }_j={\Omega }_j\tau +{\phi }_{j0}$ $(j=\mathrm{1,2})$ (4.1)

${\Omega }_1={\omega }_1+2c_{20}{r}_{10}+c_{11}{r}_{20}$, ${\Omega }_2={\omega }_2+c_{11}{r}_{10}+2c_{02}{r}_{20}$, (4.2)

где $r_{j0},{\phi }_{j0}$ $–$ начальные значения величин $r_j,{\phi }_j$, а ${\omega }_1,{\omega }_2$ и $c_{ij}$ вычисляются по формулам (1.6) и (2.10) соответственно.

Если нет резонансов $k_1{\omega }_1=k_2{\omega }_2$, то при малых $r_{10},r_{20}$ движения в системе с функцией $H^{(0)}$ будут условно-периодическими с рационально независимыми частотами (4.2).

Так как (см. разд. 3) функция (2.6) является функцией Гамильтона общего эллиптического типа, то, согласно КАМ-теории [1], движения в системе с функцией (2.6) для большинства начальных условий $r_{10},r_{20}$ будут условно-периодическими с частотами (4.2). Множество начальных условий, не принадлежащих этому большинству, имеет малую меру: в окрестности $r_1+r_2<\mu$ его относительная мера имеет порядок ${\mu }^{1/2}$ [1, 9].

Значения координат $\xi ,\eta ,\varsigma$ движущейся материальной точки можно получить с погрешностью $O_7$ из (1.2), равенств $\xi =\sqrt{ac}{q}_1,\eta =\sqrt{bc}{q}_2$, формул замены (2.3), (2.4), формул (2.8), (2.9) и (2.13)$–$(2.15) для функций $S_4^{*}$ и $S_6^{*}$ и выражений (2.10), (2.12) для коэффициентов нормальной формы (2.11).

В качестве конкретного примера рассмотрим случай движения точки по эллипсоидальной поверхности (1.2), у которой $c=2\sqrt{2}a=2b$. В этом случае ${\omega }_1=2\sqrt{2}$, ${\omega }_2=2$,

$\begin{array}{c}{S}_4^{*}=\frac{37\sqrt{2}}{32}{Q}_1^3{P}_1-\frac{29}{8}{Q}_1{Q}_2^2{P}_1-\frac{29\sqrt{2}}{32}{P}_1^3{Q}_1+\frac{31}{8}{P}_2^2{Q}_1{P}_1-\\ -\frac{15\sqrt{2}}{4}{P}_1^2{P}_2{Q}_2+4\sqrt{2}{Q}_1^2{Q}_2{P}_2+\frac{21}{32}{Q}_2^3{P}_2-\frac{13}{32}{Q}_2{P}_2^3\end{array}$ (4.3)

$\begin{array}{l}{S}_6^{*}=-\frac{2349}{1024}{P}_1{Q}_1^5+\frac{243}{2048}{P}_2{Q}_2^5+\frac{1137}{14}{P}_2{Q}_1^4{Q}_2+\frac{4187}{128}{Q}_1{Q}_2^4{P}_1-\\ -\frac{115909\sqrt{2}}{1792}{Q}_1^3{Q}_2^2{P}_1-\frac{3837\sqrt{2}}{128}{Q}_1^2{Q}_2^3{P}_2+\frac{13483}{512}{Q}_1^3{P}_1^3+\frac{2635}{1024}{Q}_2^3{P}_2^3+\\ +\frac{91927\sqrt{2}}{1792}{Q}_1^3{P}_1{P}_2^2+\frac{2523\sqrt{2}}{64}{Q}_2^3{P}_1^2{P}_2-\frac{2035\sqrt{2}}{128}{Q}_1^2{Q}_2{P}_2^3-\frac{14641\sqrt{2}}{1792}{Q}_1{Q}_2^2{P}_1^3-\\ -\frac{1429}{28}{Q}_1^2{Q}_2{P}_1^2{P}_2-\frac{5225}{128}{Q}_1{Q}_2^2{P}_1{P}_2^2-\frac{353}{16}{P}_1{Q}_1{P}_2^4-\frac{7869}{224}{P}_1^4{Q}_2{P}_2+\\ +\frac{9235}{1024}{Q}_1{P}_1^5+\frac{1843}{2048}{Q}_2{P}_2^5+\frac{36971\sqrt{2}}{1792}{Q}_1{P}_1^3{P}_2^2+\frac{291\sqrt{2}}{32}{Q}_2{P}_1^2{P}_2^3,\end{array}$ (4.4)

а коэффициенты нормальной формы (2.11) имеют такие значения:

$c_{20}=-\frac{29}{2}$, $c_{11}=\sqrt{2}$, $c_{02}=-\frac{13}{4}$                  (4.5)

$c_{30}=\frac{2519\sqrt{2}}{16}$, $c_{21}=\frac{843}{4}$, $c_{12}=-63\sqrt{2}$, $c_{03}=\frac{503}{32}$ (4.6)

Формулы (4.3)$–$(4.6) позволяют вычислить величины $\xi ,\eta$ с погрешностью $O_7$. Для краткости выпишем только первые члены соответствующих разложений:

$\xi =\frac{c}{2^{1/4}}\sqrt{r_{10}}\sin {\phi }_1+O_2$, $\eta =c\sqrt{r_{20}}\sin {\phi }_2+O_2$ (4.7)

В плоскости $O\xi \eta$ траектория материальной точки всюду плотно заполняет прямоугольник со сторонами $2^{3/4}c\sqrt{r_{10}}+O_2$ и $2c\sqrt{r_{20}}+O_2$. Для координаты $\varsigma$ из (4.7) и (1.2) получаем такое выражение:

$\varsigma =-c+2c(\sqrt{2}{r}_{10}{\sin }^2{\phi }_1+r_{20}{\sin }^2{\phi }_2)+O_3$ (4.8)

Из (4.8) видно, что при малых $r_{10},r_{20}$ материальная точка во все время движения по поверхности (1.1) не может подняться над ее положением равновесия $\xi =\eta =\mathrm{0,}\varsigma =-c$ выше, чем на $2c(\sqrt{2}{r}_{10}+r_{20})+O_3$.

5. О колебаниях при резонансе ${\omega }_1=2{\omega }_2$. Этот резонанс реализуется на прямой $y=4x$, показанной на рис. 1 штриховой линией. Согласно разд. 1 и 2 нормальная форма функции Гамильтона возмущенного движения записывается в виде

$H={\omega }_1{r}_1+{\omega }_2{r}_2+{\displaystyle \sum _{m+n=2}^3{c}_{mn}{r}_1^m}{r}_2^n+{\alpha }_{12}{r}_1{r}_2^2\cos (2{\phi }_1-4{\phi }_2)+O_8$, (5.1)

где ${\omega }_1=1/\sqrt{x}$, ${\omega }_2=1/(2\sqrt{x})$, причем $0<x<1/4$.

Из (2.16)$–$(2.18) следует, что коэффициенты нормальной формы (5.1) можно записать как функции величины $x$:

$c_{20}=\frac{3x-4}{16x^2}$, $c_{11}=\frac{1}{8x}$, $c_{02}=\frac{3x-1}{64x^2}$          (5.2)

$c_{30}=\frac{23x^2-72x+48}{256x^{7/2}}$, $c_{21}=\frac{31x^2-56x+16}{384x^{7/2}}$, $c_{12}=\frac{13x^2-2x-2}{384x^{7/2}}$

$c_{03}=\frac{23x^2-18x+3}{2048x^{7/2}}$, ${\alpha }_{12}=\frac{3(3-x)}{512x^{5/2}}$ (5.3)