Full Text
1. Введение. В механике известна аксиома об освобождаемости от связей. Так, например, в [1] она формулируется следующим образом: «Механическое состояние системы не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы, равные реакциям связей». Для однозначного определения реакции связи требуется дополнительное условие [2]. Обычно принимается условие идеальности связи и тогда между той или иной связью и силой (реакцией связи) устанавливается однозначное соответствие. Применение принципа освобождения от связей предполагает увеличение числа степеней свободы исходной механической системы на число отброшенных связей.
Формулируется обратное положение, в соответствии с которым движение системы не изменится, если игнорировать действующие на нее силы и наложить связи, реакции которых и обеспечивают заданное движение [3, 4]. Такая аксиома для однозначного соответствия между силами и связями также требует дополнительных условий, например, их идеальности. В этом случае происходит обратное явление: изучаемая исходная механическая система получается из другой, с большим числом степеней свободы механической системы, на которую накладываются голономные идеальные связи, а движение происходит в отсутствии действующих активных сил. Таким образом основной задачей является определение уравнений связей в расширенном пространстве конфигураций, однозначно порождающих заданное силовое поле в исходном пространстве.
2. Постановка задачи. Как известно [1, 2, 5] изучение динамики движения механической системы с степенями свободы на которую накладываются стационарные голономные связи можно осуществлять с помощью уравнений Лагранжа
(2.1)
В дифференциальных уравнениях (2.1) обобщенные координаты, элементы матрицы инерционных коэффициентов, в общем случае зависящих от всех обобщенных координат, обобщенные силы, зависящие от внешних стационарных, не зависящих от времени сил, действующих на механическую систему и соответствующие каждой обобщенной координате. Повторяющиеся в (1.1) верхние и нижние индексы, как это принято в тензорном анализе [6] означают по ним суммирование.
Рассматривается и другая механическая система с степенями свободы отличающаяся от исходной отсутствием внешних сил, генерирующих в (2.1) обобщенные силы , но дополненная уравнением движения относительно новой введенной координаты и уравнением голономной идеальной связи между координатами
(2.2)
Ставится задача определения такого уравнения связи (2.2), которое при известном законе изменения координаты обеспечивает те же законы изменения координат новой рассматриваемой механической системы, как и у исходной при тех же начальных условиях. Если такая связь существует, то справедлив принцип обратный принципу освобождаемости от связей, а именно: можно игнорировать действующие на механическую систему силы и заменить их действие наложением связей.
3. Метод решения. Для новой рассматриваемой механической системы вводится матрица инерционных коэффициентов отличающаяся от такой же матрицы для исходной системы наличием дополнительной строки и столбца
(3.1)
Причем ненулевой элемент считается функцией обобщенных координат . Такая структура матрицы инерционных коэффициентов соответствует ортогональности дополнительно введенной координаты всем остальным. Примером такой новой механической системы может являться исходный плоский механизм с степенями подвижности, которому сообщается движение, как единому целому, вдоль оси, ортогональной исходной поверхности.
С геометрической точки зрения такая матрица инерционных коэффициентов соответствует метрике расширенного риманова пространства, которое всегда может быть реализовано во вмещающем евклидовом пространстве размерность которого определяется формулой [6]
(3.2)
Кинетическая энергия новой системы определяется выражением
(3.3)
Тогда уравнения движения, составленные с помощью уравнений Лагранжа в отсутствии действия внешних сил можно разделить на две группы. В первую группу входят уравнений, соответствующих первым координатам
(3.4)
Во второй группе содержится только одно уравнение, составленное для координаты
(3.5)
Для того чтобы уравнения (3.4) описывали движение исходной механической системы необходимо, чтобы инерционный коэффициент определялся из системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно координат
(3.6)
В уравнениях (3.6), в силу независимости от времени должна быть величиной постоянной и рассматриваться как параметр. Результатом решения будет являться функция , зависящая от координат с точностью до аддитивной функции , зависящей от дополнительно введенной координаты
(3.7)
Тогда уравнения (3.4) и (3.5) можно представить в форме
(3.8)
Такая структура уравнений (3.8) позволяет правые части полученных уравнений рассматривать как характеристики взаимодействия исходной системы, перемещающейся в исходном -мерном пространстве конфигураций, с той же системой, но перемещающейся как твердое тело поступательно относительно дополнительно введенной координаты . При отсутствии внешних сил , действующих на исходную систему, правые части уравнений в соответствии с (3.8) обращаются в нуль, рассматриваемые движения независимы, а кинетическая энергия в каждом движении сохраняется. При наличии внешних сил , действующих на исходную механическую систему, кинетическая энергия всей системы с учетом ее дополнительного движения также сохраняется. В процессе движения может осуществляться лишь перераспределение кинетической энергии между отдельными видами движения.
Особенность уравнения (3.6) состоит также в том, что рассматриваемый метод замены сил уравнениями связей может быть реализован только для потенциальных сил
(3.9)
где потенциальная энергия исходной механической системы.
Сопоставление (3.9) с (3.6) и (3.3) показывает, что потенциальная энергия исходной системы с точностью до аддитивной постоянной равна части кинетической энергии той же системы, определяемой поступательным движением как единого твердого тела, с изменением дополнительно введенной виртуальной координаты , ортогональной всем действительным координатам .
Для того, чтобы уравнения имели форму уравнений Лагранжа с неопределенными множителями необходимо ввести уравнение связи (2.2), а правые части уравнений (3.8) представить в форме
(3.10)
Уравнения (3.10) следует рассматривать как уравнения для определения уравнения связи (2.2) и неопределенного множителя . Этим уравнениям удовлетворяет решение
(3.11)
где произвольный нормирующий размерный постоянный множитель, позволяющий уравнение связи (2.2) представлять в безразмерной форме.
Следует иметь в виду, что решение (3.11) представлено с точностью до постоянного слагаемого.
Аддитивная функция , входящая в (3.7), (3.8), (3.11) должна быть дифференцируемой функцией. Наиболее простой ее вид
(3.12)
Тогда из (3.11) можно установить связь введенной дополнительной координаты , со всеми обобщенными координатами изначально рассматриваемой механической системы (2.1)
(3.13)
4. Метод Г. Герца и «скрытые движения». Рассматриваемый метод игнорирования действующих на механическую систему сил и замена их связями согласуется с идеями Герца [7], которые А. Пуанкаре сформулировал следующим образом [8]:
- «В природе имеются лишь системы со связями, свободные от действия любой внешней силы».
- «Если некоторые тела кажутся нам подчиненными каким-либо силам, это значит, что они связаны с другими телами, для нас невидимыми».
Однако, по мнению К. Ланцош [9, стр. 157158], «эта любопытная гипотеза так и осталась в виде эскизных набросков», хотя «теория относительности … дала эффективный пример бессиловой механики Герца».
Вместе с тем имеются и некоторые отличия от предлагаемого Герцем метода. В частности, в бессиловой механике обязательно вводятся циклические координаты, за счет чего получают первые интегралы движения. Поэтому и возникает возможность формировать воздействия на изучаемую механическую систему и трактовать эти воздействия как силы.
Действительно, если материальная точка движется по поверхности вращения и ее положение определяется координатами u1 и (рис. 1), то ее кинетическая энергия будет определяться выражением
(4.1)
где радиус окружности в сечении поверхности с координатой , циклическая координата.
Рис. 1. Поверхность, соответствующая голономной связи, генерирующей активную силу
Тогда, при отсутствии внешних активных сил, рассматривая поверхность вращения как идеальную связь, можно получить дифференциальные уравнения движения
(4.2)
Второе уравнение в (6.2) и есть первый интеграл, а физический смысл постоянной момент количества движения точки относительно оси .
Теперь можно считать, что на материальную точку действует сила , направленная по касательной к координатной оси в каждой точке траектории
(4.3)
где радиус окружности в начальном сечении поверхности вращения.
Предлагаемый метод учета сил наложением связей не предполагает наличия циклических координат, но первый интеграл имеется постоянство и равенство скоростей всех точек рассматриваемой механической системы, перемещающейся относительно дополнительно введенной координаты ортогональной всем остальным.
5. Одномерное движение материальной точки массы m под действием различных сил
Уравнение для исходной механической системы согласно (2.1) имеет вид
(5.1)
Вводится координата и определяется инерционный коэффициент из уравнения типа (3.6) при
(5.2)
Тогда кинетическая энергия новой механической системы в соответствии с (3.3) определяется выражением
(5.3)
В этом случае уравнения (3.8) приобретают форму
(5.4)
но в соответствии с (3.7) и (3.12)
(5.5)
и поэтому второе уравнение в (5.4) обращается в тождество, а первое уравнение преобразуется к форме уравнения Лагранжа с неопределенным множителем
(5.6)
где и определяется в соответствии с (3.10), (3.11).
5.1. Действие постоянной силы
Тогда
(5.7)
Уравнение движения имеет вид
(5.8)
5.2. Действие восстанавливающей силы, пропорциональной координате
Тогда
(5.9)
Уравнение движения имеет вид
(5.10)
5.3. Действие силы притяжения
Тогда
(5.11)
Уравнение движения имеет вид
(5.12)
На рис. 2 для всех трех примеров для наглядности представлены графики зависимостей уравнений голономных связей для рассматриваемых случаев. Размерности параметров, при которых построены графики согласуются с размерностями обобщенных координат и .
Рис. 2а. Графическое представление уравнений голономных связей: 13:
Рис. 2б. Графическое представление уравнений голономных связей: , 13:
Рис. 2в. Графическое представление уравнений голономных связей: , 1–3:
Выводы. Рассмотренный метод замещения действующих на механическую систему потенциальных сил, не зависящих от времени, соответствует концепции Г. Герца о «скрытых движениях». Отличие состоит в необязательности введения циклических координат и в отсутствии придания формальному механико-математическому методу физической сущности. Практическая значимость предложенного метода не очевидна, но может состоять в более глубоком понимании равноправности решения задач механики как с помощью введения в расчетную схему решаемой задачи сил, подчиняющихся той или иной закономерности или уравнений связи.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда 24-21-00477, https://rscf.ru/project/24-21-00477/
Автор выражает благодарность участникам семинара по теории управления и динамике систем ИПМех РАН под руководством академика Черноусько Ф.Л. за ценные замечания, способствующие улучшению содержания статьи.