Математические методы моделирования аномалий ветровых волн на поверхности океана

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Работа посвящена построению математической модели воздействия течений на ветровое волнение на поверхности океана и исследованию флуктуаций морского волнения неконтактными средствами (радиолокация, радиометрия, оптические средства зондирования). Приводится обзор многочисленных публикаций в данной области и предлагается новый подход к расчету флуктуаций ветровых волн с помощью специального асимптотического метода. Этот метод позволяет получить явные аналитические формулы для возмущений ветрового волнения. При этом имеется возможность в аналитической форме рассчитать упомянутые возмущения как в спектральной, так и в координатной форме. Это в свою очередь позволяет в явной фоме рассчитать возмущения отраженных радиолокационных сигналов и собственного радиоизлучения взволнованной морской поверхности под воздействием течений.

Полный текст

1. Введение. Важнейшие результаты в области исследования аномалий морской поверхности неконтактными средствами

К настоящему времени накоплен большой объем экспериментальных данных, посвященных наблюдению за морским волнением, в том числе за эффектами, связанными с воздействием на поверхность океана ветра, течений, а также наблюдению за эффектами взаимодействия поверхностных волн и течений. Эти экспериментальные данные получены средствами радиолокационного зондирования, исследованию собственного радиоизлучения взволнованной морской поверхности, лазерного зондирования, исследованию поверхности в видимом оптическом диапазоне [1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@ 8]. Большое количество работ посвящено построению гидродинамических моделей для различных аномалий поверхности океана, в том числе с учетом неоднородной структуры в толще морской воды [1, 9 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@ 15].

Исследования поверхности океана средствами радиолокации. Воздействие течений приводят к ряду интересных и сложных явлений на поверхности моря. К одному из таких явлений относится возникновение зон деформации амплитуды поверхностного волнения за счет воздействия вышедших из глубины на поверхность воды течений.

Давно было замечено, что при наличии океанских течений над неоднородностями морского дна возникают зоны, в которых амплитуда поверхностного волнения в определенном диапазоне изменена. На рис. 1 приведено сравнение радиолокационного изображения участка морской поверхности в Северном море и батиметрической карты данного участка.

 

Рис. 1. Радиолокационное изображение, полученное с помощью космического аппарата “Алмаз-1” в Северном море и батиметрическая схема участка съемки

 

Видимые на радиолокационных кадрах светлые зоны примерно соответствуют неоднородностям морского дна. При этом хорошо известно, что сигналы локатора не проникают в толщу морской воды. Чтобы объяснить это явление, требуется привлечь достаточно сложные модели взаимодействия течений с поверхностным волнением и модели отражения электромагнитных волн от поверхности моря.

Известно, что причины возникновения и распространения волн в толще воды весьма разнообразны. Это и природные океанические (или приливные) течения, набегающие на неоднородности морского дна, и извержение подводных вулканов, землетрясения, движение морских животных и пр.

Волны, вышедшие на поверхность океана, нельзя наблюдать непосредственно дистанционными методами, однако взаимодействие возникших на поверхности течений с ветровым волнением приводит к изменению спектра поверхностного волнения. Это изменение спектра уже можно “почувствовать” по данным радиоизмерений. Это могут быть как данные радиолокационных измерений, так и данные радиометрических измерений (т.е. данные о собственном радиоизлучении поверхности моря).

Остановимся сначала на радиолокационных измерениях. Представим себе (разумеется, упрощенно) морскую поверхность в виде синусоидальной волны. Хорошо известно, что в случае падения плоской электромагнитной волны на такую поверхность при определенном соотношении между длиной падающей электромагнитной волны Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeu4MdWeaaa@390D@  (или ее волновым числом Κ=2π/Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeuOMdSKaeyypa0 JaaGOmaiabec8aWjaac+cacqqHBoataaa@3EB2@  ), углом падения α MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeqySdegaaa@3937@  и периодом отражающей поверхности λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@394C@  (см. рис. 2) часть энергии падающей волны возвращается точно назад MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  эффект резонансного рассеяния Брэгга MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@ Вульфа. Это соотношение имеет вид

Λ λ =2sinα MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaWaaSaaaeaacqqHBo ataeaacqaH7oaBaaGaeyypa0JaaGOmaiGacohacaGGPbGaaiOBaiab eg7aHbaa@410A@  (1.1)

 

Рис. 2. Явление резонансного рассеивания на периодической поверхности

 

Оказывается (это проверено в эксперименте и с помощью численных расчетов), что сигнал, отраженный точно назад, примерно пропорционален амплитуде h MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamiAaaaa@3885@  синусоиды, описывающей отражающую поверхность, если величина h MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamiAaaaa@3885@  невелика (например, h/λ<0.1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamiAaiaac+cacq aH7oaBcqGH8aapcaaIWaGaaiOlaiaaigdaaaa@3E17@  ). Таким образом, по интенсивности обратного рассеяния радиоволн можно было бы судить об амплитуде поверхностных волн, длина которых связана с длиной электромагнитной волны соотношением (1.1).

Однако поверхность моря представляет собой, естественно, не одну синусоиду.

Пространственный спектр рельефа поверхности моря весьма широк. Он содержит как короткие (сантиметровые и миллиметровые волны), так и крупные волны, длина которых достигает десятков и даже сотен метров. Наличие длинноволновых компонент в спектре рельефа поверхности моря “портит” описанный выше эффект резонансного рассеяния, и реальный результат одного измерения отраженного сигнала уже не будет пропорционален амплитуде интересующей нас поверхностной гармоники.

Несмотря на сказанное, результаты экспериментов и математического моделирования показали, что если проделать достаточное количество измерений отраженных сигналов (причем время задержки между измерениями должно быть таким, чтобы поверхностные гармоники успели изменить фазовые соотношения между собой), то среднее значение полученных результатов измерений уже будет примерно пропорционально амплитуде интересующей нас гармоники. При приближении угла падения электромагнитной волны к прямому (отвесное падение) эта зависимость становится более слабой и исчезает.

Данный результат является крайне важным для проблемы выявления аномалий поверхности, характеризующихся увеличением или, наоборот, уменьшением средней амплитуды в коротковолновой части спектра морского волнения. Во-первых, оказывается доступным простое средство определить среднюю амплитуду резонансных гармоник поверхности путем усреднения амплитуды пришедшего сигнала по достаточному количеству облученных поверхностей. Во-вторых, на основе результатов моделирования появляется возможность установить диапазон углов, для которых такая процедура корректна. Связь между усредненными амплитудами волн и отраженных сигналов была обнаружена ранее эмпирически. Считалось, что зависимость существует только лишь для скользящих углов падения. Численное моделирование показывает, что зависимость (не обязательно являющаяся прямой пропорциональностью) среднего отраженного сигнала от резонансной гармоники поверхности прослеживается вплоть до 30° (угол отсчитывается от вертикали).

На рис. 3 изображен радиолокационный кадр со стороной L MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamitaaaa@3869@ , элемент разрешения локатора (а) и квадрат, по элементам которого проводится усреднение (l). Характерные масштабы: L~1020 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamitaiaac6haca aIXaGaaGimaiabgkHiTiaaikdacaaIWaaaaa@3D43@  км, a~24 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamyyaiaac6haca aIYaGaeyOeI0IaaGinaaaa@3BE7@  км, λ~200400 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeq4UdWMaaiOFai aaikdacaaIWaGaaGimaiabgkHiTiaaisdacaaIWaGaaGimaaaa@3F9D@  м.

 

Рис. 3. Обработка радиолокационного кадра с помощью процедуры усреднения.Сравнение различных масштабов задачи

 

Исследования поверхности океана средствами пассивной радиолокации. Важным и эффективным средством исследования аномалий поверхности моря является исследование собственного радиоизлучения поверхности. С помощью измерений собственного радиоизлучения можно получить интересные результаты о возмущениях (о которых было сказано выше при описании метода радиолокационного зондирования) поверхности океана на большой площади. Собственное радиоизлучение поверхности весьма чувствительно к небольшим флуктуациям поверхности. Эффект резонансной зависимости собственного радиоизлучения поверхности был впервые исследован в работе [4]. Было установлено, что на определенных углах наклона зондирования (около 30° с вертикалью) собственное инфракрасное радиоизлучение взволнованной поверхности максимально чувствительно к амплитуде миллиметровых и сантиметровых волн излучающей поверхности. Поэтому при исследовании поверхности средствами пассивной радиолокации крутые углы зондирования предпочтительнее пологих.

Радиометры космического базирования получают информацию об интенсивности радиоизлучения поверхности моря на площади в десятки тысяч квадратных километров. Описанные выше аномалии морского волнения могут быть обнаружены также во многих случаях и радиометрическими средствами. Математическое моделирование собственного радиоизлучения взволнованной поверхности осуществляется в работах [1, 6]. Интересный эксперимент по определению параметров излучающей поверхности в лабораторных условиях проделан под руководством Ю.Г. Трохимовского. Была установлена возможность определить характеристики формы волнистой поверхности воды, которая создана с помощью частично погруженной в воду капроновой сетки. Было проведено сравнение экспериментальных данных о собственном радиоизлучении волнистой поверхности воды и результатов математического моделирования данного излучения. Оно основано на использовании связи между мощностью собственного радиоизлучения в данном направлении и величиной поглощенной энергии когерентной плоской волны, падающей на поверхность в противоположном направлении [5].

Взаимодействие приповерхностных течений с поверхностными волнами. Вопросам количественного описания трансформаций ветровых поверхностных волн под воздействием возмущений, вышедших из глубины, посвящено также большое количество работ. Обратим здесь внимание на две группы исследований, связанных, во-первых, с выводом и анализом так называемого кинетического уравнения для плотности волнового действия [3] и численным моделированием на его основе и, во-вторых, посвященных выводу и анализу двумерного уравнения типа Шредингера и расчетам на его основе трансформаций поверхностных волн, удовлетворяющих так называемому “условию синхронизма” [9]. Приведем результаты эксперимента, выполненного на Черном море в 80-х гг. прошлого века, и обсудим его результаты в свете существующих теоретических моделей взаимодействия поверхностных волн с течениями. На рис. 4 представлена схема обтекания подводного препятствия, имеющего вид продолговатого хребта высотой около 10 м и длиной около 100 м, расположенного на глубине примерно 50 м.

 

Рис. 4. Схема обтекания подводного препятствия

 

На рис. 5 представлена картина трансформаций ветровой ряби волн с длиной около 4 см над препятствием, схема обтекания которого показана на рис. 4.

 

Рис. 5. Трансформация ветровой ряби над обтекаемыми неоднородностями дна

 

Эта картина получена с помощью радиолокатора, расположенного на вертолете, который совершил несколько пролетов над зоной трансформаций. Течение набегает на препятствие со скоростью около 3 м/с по направлению, указанному стрелкой. Трансформация ветровой ряби наблюдается внутри “восьмерки”. Для того, чтобы дать этим экспериментальным данным теоретическое объяснение, необходимо сначала сделать расчет поля скоростей течений, вышедших из глубины на поверхность, который может быть выполнен с помощью различных теоретических моделей.

Расчеты приводят к результатам, отраженным на рис. 6, из которого видно, что возмущение скорости локализовано строго над началом препятствия, а зона существенного возмущения скорости имеет небольшую протяженность MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  примерно 10 м.

 

Рис. 6. Поле скоростей на поверхности воды непосредственно над движущимся телом

 

Вернемся к картине возмущения поверхностных волн, полученной с помощью радиолокатора вертолетного базирования, представленной на рис. 5. Кроме того, известна экспериментальная картина трансформации ветровых волн с групповыми скоростями V 1 =0.1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamOvamaaBaaale aacaaIXaaabeaakiabg2da9iaaicdacaGGUaGaaGymaaaa@3C91@  м/с, V 2 =0.2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamOvamaaBaaale aacaaIYaaabeaakiabg2da9iaaicdacaGGUaGaaGOmaaaa@3C93@  м/с, V 3 =4.2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamOvamaaBaaale aacaaIZaaabeaakiabg2da9iaaisdacaGGUaGaaGOmaaaa@3C98@  м/с с длинами волн, соответственно Λ 1 =0.04 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeu4MdW0aaSbaaS qaaiaaigdaaeqaaOGaeyypa0JaaGimaiaac6cacaaIWaGaaGinaaaa @3DE8@  м, Λ 2 =0.24 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeu4MdW0aaSbaaS qaaiaaikdaaeqaaOGaeyypa0JaaGimaiaac6cacaaIYaGaaGinaaaa @3DEB@  м.

Зона трансформации ветровых волн в диапазонах Λ 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeu4MdW0aaSbaaS qaaiaaigdaaeqaaaaa@39F4@  и Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeu4MdW0aaSbaaS qaaiaaikdaaeqaaaaa@39F5@  примерно соответствует “восьмерке” на рис. 5. Согласно теории резонансного рассеяния амплитуды первых двух кривых примерно пропорциональны амплитудам поверхностных волн длиной 2 и 12 см.

Эксперименты показывают, что зона трансформации поверхностной ряби может существенно превышать размеры области, занятой течением, вызывающим эту трансформацию.

Кроме того, многочисленные экспериментальные данные говорят о том, что изменение спектра под действием течений имеют место и в длинноволновой части спектра, и для волн средней и малой длины. Ниже приводится модель, которая может претендовать на объяснение эффекта присутствия в спектре трансформаций ветрового волнения компонент различной длины, включая короткие волны (миллиметры MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@ сантиметры).

В настоящей работе представлен метод расчета деформации поверхности моря, основанный на модели трехмерной идеальной жидкости (см., напр., [9, 16]). Ранее задача о деформации поверхности океана под действием течений, набегающих на неровности морского дна рассматривались во многих работах российских и зарубежных авторов (см., напр., монографию [1] и приведенную в ней литературу). В настоящей работе излагается новый асимптотический подход к определению возмущения ветровой волны на поверхности океана под действием течения, вышедшего из глубины. Получена явная формула для деформации спектра поверхности через преобразование Фурье от поля скоростей течения, вышедшего на поверхность, а также указан метод построения формы деформированной поверхности в исходных координатах.

Настоящая работа существенно использует следующее соображение. Уравнение деформации поверхности жидкости, выведенное в [9] весьма сложное, оно содержит нелокальные операторы. Но если предположить, что поток жидкости представляет собой однородный поток, двигающейся с постоянной скоростью с возмущением, величина которого существенно меньше скорости основного однородного потока, то можно получить методом асимптотического разложения явные формулы для спектра возмущения ветровых волн, содержащие спектр поля скоростей возмущения однородного потока на поверхности жидкости. Указанное предположение о малости возмущения однородного потока часто действительно выполняется для реальных ситуаций, и эти формулы могут быть полезны для математического моделирования гидродинамических полей на поверхности океана.

2. Постановка задачи о деформации ветрового волнения под действием течений

Приведем в этом разделе для полноты изложения вывод основного уравнения, следуя [9]. Далее асимптотическими методами осуществляется вывод уравнения для приближенной модели трансформации спектра водной поверхности, ранее такой подход применялся в [17].

Будем рассматривать невязкую жидкость с безвихревым движением [16]. Введем потенциал скорости Φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHMoGraaa@3932@ ; из условия несжимаемости следует, что 2 Φ=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq GHhis0paWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabfA6agjabg2da9iaa icdaaaa@3D8A@ . Обозначим свободную поверхность z=ζ(x,y,t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG6bGaeyypa0JaeqOTdONaaiikaiaadIhacaGGSaGaamyEaiaacYca caWG0bGaaiykaaaa@4127@ . Пусть xy = x , y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq GHhis0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabg2da 9maabmaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIylapaqaa8qacqGHci ITcaWG4baaaiaacYcadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIylapaqaa8qacqGH ciITcaWG5baaaaGaayjkaiaawMcaaaaa@473A@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  оператор горизонтального градиента. Кинематическое условие для рассматриваемого движения на свободной поверхности имеет вид:

ζ t = Φ z z=ζ xy Φ z=ζ , xy ζ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada WcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeqOTdOhapaqaa8qacqGHciITcaWG0baa aiabg2da9maaeiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuOPdy eapaqaa8qacqGHciITcaWG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGa amOEaiabg2da9iabeA7a6bWdaeqaaOWdbiabgkHiTmaabmaapaqaa8 qadaabcaWdaeaapeGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMha a8aabeaak8qacqqHMoGraiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacq GH9aqpcqaH2oGEa8aabeaak8qacaGGSaGaey4bIe9damaaBaaaleaa peGaamiEaiaadMhaa8aabeaak8qacqaH2oGEaiaawIcacaGLPaaaaa a@5E5D@

Динамическое условие на поверхности обусловлено требованием, чтобы перепад давления по обе стороны определялся только поверхностным натяжением. Учитывая известное уравнение Бернулли для движения, получим на поверхности следующее уравнение:

p ρ +gζ+ Φ t + 1 2 xy Φ 2 z=ζ =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada WcaaWdaeaapeGaamiCaaWdaeaapeGaeqyWdihaaiabgUcaRiaadEga cqaH2oGEcqGHRaWkdaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuOPdyeapaqaa8 qacqGHciITcaWG0baaaiabgUcaRmaaeiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaa peGaaGymaaWdaeaapeGaaGOmaaaadaqadaWdaeaapeGaey4bIe9dam aaBaaaleaapeGaamiEaiaadMhaa8aabeaak8qacqqHMoGraiaawIca caGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaOGaayjcSdWdamaaBa aaleaapeGaamOEaiabg2da9iabeA7a6bWdaeqaaOWdbiabg2da9iaa icdaaaa@5730@ ,

где p MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGWbaaaa@38AD@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  плотность воды, а ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aHbpGCaaa@3978@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  давление. Пусть рассматривается модель жидкости бесконечной глубины, тогда, пренебрегая влиянием атмосферы, получим систему уравнений:

ΔΦ=Q ζ t = Φ z z=ζ xy Φ z=ζ , xy ζ gζ+ Φ t + 1 2 xy Φ z=ζ 2 + 1 2 Φ z z=ζ 2 =0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa Wdbiabfs5aejabfA6agjabg2da9iaadgfaaeaadaWcaaWdaeaapeGa eyOaIyRaeqOTdOhapaqaa8qacqGHciITcaWG0baaaiabg2da9maaei aapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuOPdyeapaqaa8qacqGH ciITcaWG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da9i abeA7a6bWdaeqaaOWdbiabgkHiTmaabmaapaqaa8qadaabcaWdaeaa peGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMhaa8aabeaak8qacq qHMoGraiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH2oGE a8aabeaak8qacaGGSaGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadM haa8aabeaak8qacqaH2oGEaiaawIcacaGLPaaaaeaacaWGNbGaeqOT dONaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kabfA6agbWdaeaapeGaey OaIyRaamiDaaaacqGHRaWkdaabcaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiaa igdaa8aabaWdbiaaikdaaaWaaqWaa8aabaWdbiabgEGir=aadaWgaa WcbaWdbiaadIhacaWG5baapaqabaGcpeGaeuOPdyeacaGLhWUaayjc SdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da9iabeA7a6bWdaeqaaaGcpe GaayjcSdWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaGccqGHRaWkdaWcaaWd aeaapeGaaGymaaWdaeaapeGaaGOmaaaadaqadaWdaeaapeWaaqGaa8 aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcqqHMoGra8aabaWdbiabgkGi 2kaadQhaaaaacaGLiWoapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGaeyypa0Jaeq OTdOhapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaWdamaaCaaaleqabaWdbiaa ikdaaaGccqGH9aqpcaaIWaGaaiilaaaaaa@91DC@  (2.1)

где Q MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGrbaaaa@388E@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  мощность источников течения. Представим потенциал Φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHMoGraaa@3932@  в виде суммы компоненты F MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGgbaaaa@3883@ , отвечающей за неоднородное течение, и компоненты Ψ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHOoqwaaa@3947@ , связанной с поверхностным течением. Смещение поверхности ζ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH2oGEaaa@3975@  также разделим на смещение η MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH3oaAaaa@3964@  для неоднородного и ξ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEaaa@397B@  для течения на поверхности. Разложим компоненту F MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGgbaaaa@3883@  в ряд Тейлора в точке z=η MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG6bGaeyypa0Jaeq4TdGgaaa@3B69@  :

  F= F z=η + F z z=η ξ+ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGgbGaeyypa0ZaaqGaa8aabaWdbiaadAeaaiaawIa7a8aadaWgaaWc baWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaak8qacqGHRaWkdaabca WdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kaadAeaa8aabaWdbiabgkGi 2kaadQhaaaaacaGLiWoapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGaeyypa0Jaeq 4TdGgapaqabaGcpeGaeqOVdGNaey4kaSIaeyOjGWlaaa@5001@

Учитывая, что для F MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGgbaaaa@3883@  система (2.1) выполнена, получим, что первое уравнение системы переходит в ΔΨ=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHuoarcqqHOoqwcqGH9aqpcaaIWaaaaa@3C6D@ .

Рассмотрим подробнее третье уравнение системы. Подставляя в него Φ=F+Ψ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHMoGrcqGH9aqpcaWGgbGaey4kaSIaeuiQdKfaaa@3D74@ , получим:

Ψ t + F t + 2 F tz z=η ξ+gξ+gη+ 1 2 xy Ψ+F+ F z z=η 2 + + 1 2 Ψ z + F z + 2 F z 2 z=η ξ 2 =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa Wdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcqqHOoqwa8aabaWdbiabgkGi2kaa dshaaaGaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kaadAeaa8aabaWdbi abgkGi2kaadshaaaGaey4kaSYaaqGaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qa cqGHciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiaadAeaa8aabaWdbi abgkGi2kaadshacqGHciITcaWG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaa peGaamOEaiabg2da9iabeE7aObWdaeqaaOWdbiabe67a4jabgUcaRi aadEgacqaH+oaEcqGHRaWkcaWGNbGaeq4TdGMaey4kaSYaaSaaa8aa baWdbiaaigdaa8aabaWdbiaaikdaaaWaaqWaa8aabaWdbiabgEGir= aadaWgaaWcbaWdbiaadIhacaWG5baapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWd biabfI6azjabgUcaRiaadAeacqGHRaWkdaabcaWdaeaapeWaaSaaa8 aabaWdbiabgkGi2kaadAeaa8aabaWdbiabgkGi2kaadQhaaaaacaGL iWoapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGaeyypa0Jaeq4TdGgapaqabaaak8 qacaGLOaGaayzkaaaacaGLhWUaayjcSdWdamaaCaaaleqabaWdbiaa ikdaaaGccqGHRaWkaeaacqGHRaWkdaWcaaWdaeaapeGaaGymaaWdae aapeGaaGOmaaaadaqadaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kab fI6azbWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEaaaacqGHRaWkdaWcaaWdaeaape GaeyOaIyRaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEaaaacqGHRaWkdaab caWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2+aadaahaaWcbeqaa8qaca aIYaaaaOGaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEa8aadaahaaWcbeqa a8qacaaIYaaaaaaaaOGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2 da9iabeE7aObWdaeqaaOWdbiabe67a4bGaayjkaiaawMcaa8aadaah aaWcbeqaa8qacaaIYaaaaOGaeyypa0JaaGimaaaaaa@996B@

Здесь

1 2 xy Ψ+F+ F z z=η 2 = 1 2 F x 2 + 2 F xz z=η ξ 2 + Ψ x 2 + +2 F x Ψ x + 2 F x 2 F xz z=η ξ+ 2 2 F xz z=η Ψ x ξ+ F y 2 + Ψ y 2 + + 2 F xz z=η ξ 2 +2 F y Ψ y + 2 F y 2 F yz z=η ξ+ 2 Ψ y 2 F yz z=η , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa Wdbmaalaaapaqaa8qacaaIXaaapaqaa8qacaaIYaaaamaaemaapaqa a8qacqGHhis0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbm aabmaapaqaa8qacqqHOoqwcqGHRaWkcaWGgbGaey4kaSYaaqGaa8aa baWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcaWGgbaapaqaa8qacqGHciITca WG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da9iabeE7a ObWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaaaGaay5bSlaawIa7a8aadaahaa Wcbeqaa8qacaaIYaaaaOGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaigdaa8aa baWdbiaaikdaaaWaaeqaa8aabaWdbmaabmaapaqaa8qadaWcaaWdae aapeGaeyOaIyRaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamiEaaaaaiaawIca caGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgUcaRmaabmaapa qaa8qadaabcaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2+aadaahaaWc beqaa8qacaaIYaaaaOGaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamiEaiabgk Gi2kaadQhaaaaacaGLiWoapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGaeyypa0Ja eq4TdGgapaqabaGcpeGaeqOVdGhacaGLOaGaayzkaaWdamaaCaaale qabaWdbiaaikdaaaGccqGHRaWkdaqadaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWd biabgkGi2kabfI6azbWdaeaapeGaeyOaIyRaamiEaaaaaiaawIcaca GLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgUcaRaGaayjkaaaa baGaey4kaSIaaGOmamaalaaapaqaa8qacqGHciITcaWGgbaapaqaa8 qacqGHciITcaWG4baaamaalaaapaqaa8qacqGHciITcqqHOoqwa8aa baWdbiabgkGi2kaadIhaaaGaey4kaSYaaqGaa8aabaWdbiaaikdada WcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamiEaaaa daWcaaWdaeaapeGaeyOaIy7damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaGcca WGgbaapaqaa8qacqGHciITcaWG4bGaeyOaIyRaamOEaaaaaiaawIa7 a8aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaak8qacq aH+oaEcqGHRaWkdaabcaWdaeaapeGaaGOmamaalaaapaqaa8qacqGH ciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiaadAeaa8aabaWdbiabgk Gi2kaadIhacqGHciITcaWG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGa amOEaiabg2da9iabeE7aObWdaeqaaOWdbmaalaaapaqaa8qacqGHci ITcqqHOoqwa8aabaWdbiabgkGi2kaadIhaaaGaeqOVdGNaey4kaSYa aeWaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcaWGgbaapaqaa8qacq GHciITcaWG5baaaaGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qacaaI YaaaaOGaey4kaSYaaeWaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcq qHOoqwa8aabaWdbiabgkGi2kaadMhaaaaacaGLOaGaayzkaaWdamaa CaaaleqabaWdbiaaikdaaaGccqGHRaWkaeaacqGHRaWkdaqadaWdae aapeWaaqGaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITpaWaaWbaaSqa beaapeGaaGOmaaaakiaadAeaa8aabaWdbiabgkGi2kaadIhacqGHci ITcaWG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da9iab eE7aObWdaeqaaOWdbiabe67a4bGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbe qaa8qacaaIYaaaaOGaey4kaSIaaGOmamaalaaapaqaa8qacqGHciIT caWGgbaapaqaa8qacqGHciITcaWG5baaamaalaaapaqaa8qacqGHci ITcqqHOoqwa8aabaWdbiabgkGi2kaadMhaaaGaey4kaSYaaeGaa8aa baWdbmaaeiaapaqaa8qacaaIYaWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kaadA eaa8aabaWdbiabgkGi2kaadMhaaaWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2+aa daahaaWcbeqaa8qacaaIYaaaaOGaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaam yEaiabgkGi2kaadQhaaaaacaGLiWoapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGa eyypa0Jaeq4TdGgapaqabaGcpeGaeqOVdGNaey4kaSYaaqGaa8aaba WdbiaaikdadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuiQdKfapaqaa8qacqGH ciITcaWG5baaamaalaaapaqaa8qacqGHciITpaWaaWbaaSqabeaape GaaGOmaaaakiaadAeaa8aabaWdbiabgkGi2kaadMhacqGHciITcaWG 6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da9iabeE7aOb WdaeqaaaGcpeGaayzkaaGaaiilaaaaaa@150F@

будем считать амплитуду поверхностных волн малой, поэтому можно пренебречь квадратичными членами по Ψ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHOoqwaaa@3947@  и ξ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEaaa@397B@ , тогда получим

1 2 xy Ψ+F+ F z z=η 2 = 1 2 xy F 2 + xy F xy F z ξ+ xy F xy Ψ z=η MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada WcaaWdaeaapeGaaGymaaWdaeaapeGaaGOmaaaadaabdaWdaeaapeGa ey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMhaa8aabeaak8qadaqada WdaeaapeGaeuiQdKLaey4kaSIaamOraiabgUcaRmaaeiaapaqaa8qa daWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEaa aaaiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aa beaaaOWdbiaawIcacaGLPaaaaiaawEa7caGLiWoapaWaaWbaaSqabe aapeGaaGOmaaaakiabg2da9maaeiaapaqaa8qadaWcaaqaaiaaigda aeaacaaIYaaaamaabmaabaGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEai aadMhaa8aabeaak8qacaWGgbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaa caaIYaaaaOGaey4kaSYaaeWaa8aabaWdbiabgEGir=aadaWgaaWcba WdbiaadIhacaWG5baapaqabaGcpeGaamOramaalaaabaGaeyOaIyRa ey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMhaa8aabeaak8qacaWGgb aabaGaeyOaIyRaamOEaaaaaiaawIcacaGLPaaacqaH+oaEcqGHRaWk daqadaWdaeaapeGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMhaa8 aabeaak8qacaWGgbGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMha a8aabeaak8qacqqHOoqwaiaawIcacaGLPaaaaiaawIa7a8aadaWgaa WcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaaaaa@8048@

Аналогично распишем для последнего слагаемого равенство:

1 2 F z z=η + 2 F z 2 z=η ξ+ Ψ z 2 = 1 2 F z z=η 2 + 1 2 2 F z 2 z=η ξ 2 + + 1 2 Ψ z z=η 2 + F z Ψ z z=η + F z 2 F z 2 z=η ξ+ 2 F z 2 Ψ z ξ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa Wdbmaalaaapaqaa8qacaaIXaaapaqaa8qacaaIYaaaamaabmaapaqa a8qadaabcaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kaadAeaa8aaba WdbiabgkGi2kaadQhaaaaacaGLiWoapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGa eyypa0Jaeq4TdGgapaqabaGcpeGaey4kaSYaaqGaa8aabaWdbmaala aapaqaa8qacqGHciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiaadAea a8aabaWdbiabgkGi2kaadQhapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaa aakiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aa beaak8qacqaH+oaEcqGHRaWkdaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuiQdK fapaqaa8qacqGHciITcaWG6baaaaGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWc beqaa8qacaaIYaaaaOGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaigdaa8aaba WdbiaaikdaaaWaaeWaa8aabaWdbmaaeiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaa peGaeyOaIyRaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEaaaaaiaawIa7a8 aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaaaOWdbiaa wIcacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgUcaRmaala aapaqaa8qacaaIXaaapaqaa8qacaaIYaaaamaabmaapaqaa8qadaab caWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2+aadaahaaWcbeqaa8qaca aIYaaaaOGaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEa8aadaahaaWcbeqa a8qacaaIYaaaaaaaaOGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2 da9iabeE7aObWdaeqaaOWdbiabe67a4bGaayjkaiaawMcaa8aadaah aaWcbeqaa8qacaaIYaaaaOGaey4kaScabaGaey4kaSYaaSaaa8aaba Wdbiaaigdaa8aabaWdbiaaikdaaaWaaeWaa8aabaWdbmaaeiaapaqa a8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuiQdKfapaqaa8qacqGHciITca WG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da9iabeE7a ObWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIYa aaaOGaey4kaSYaaqGaa8aabaWdbmaabmaapaqaa8qadaWcaaWdaeaa peGaeyOaIyRaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEaaaadaWcaaWdae aapeGaeyOaIyRaeuiQdKfapaqaa8qacqGHciITcaWG6baaaaGaayjk aiaawMcaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da9iabeE 7aObWdaeqaaOWdbiabgUcaRmaaeiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGa eyOaIyRaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEaaaadaWcaaWdaeaape GaeyOaIy7damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaGccaWGgbaapaqaa8qa cqGHciITcaWG6bWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaaGccaGLiW oapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGaeyypa0Jaeq4TdGgapaqabaGcpeGa eqOVdGNaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2+aadaahaaWcbeqaa8 qacaaIYaaaaOGaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEa8aadaahaaWc beqaa8qacaaIYaaaaaaakmaalaaapaqaa8qacqGHciITcqqHOoqwa8 aabaWdbiabgkGi2kaadQhaaaGaeqOVdGhaaaa@C9CB@

Учитывая, что F MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGgbaaaa@3883@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  стационарный поток, для которого система приобретает вид (2.1), получим следующее выражение для третьего уравнения в (2.1) относительно потенциала Ψ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHOoqwaaa@3947@ :

Ψ t z=η +gξ+ xy F xy F z ξ+ xy F xy Ψ z=η + F z Ψ z z=η + F z 2 F z 2 z=η ξ=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada abcaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kabfI6azbWdaeaapeGa eyOaIyRaamiDaaaaaiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacqGH9a qpcqaH3oaAa8aabeaak8qacqGHRaWkcaWGNbGaeqOVdGNaey4kaSYa aeWaa8aabaWdbiabgEGir=aadaWgaaWcbaWdbiaadIhacaWG5baapa qabaGcpeGaamOramaalaaapaqaa8qacqGHciITcqGHhis0paWaaSba aSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiaadAeaa8aabaWdbiabgk Gi2kaadQhaaaaacaGLOaGaayzkaaGaeqOVdGNaey4kaSYaaqGaa8aa baWdbmaabmaabaGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMhaa8 aabeaak8qacaWGgbGaey4bIe9damaaBaaaleaapeGaamiEaiaadMha a8aabeaakiabfI6azbWdbiaawIcacaGLPaaaaiaawIa7a8aadaWgaa WcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaak8qacqGHRaWkdaab caWdaeaapeWaaeWaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcaWGgb aapaqaa8qacqGHciITcaWG6baaamaalaaapaqaa8qacqGHciITcqqH Ooqwa8aabaWdbiabgkGi2kaadQhaaaaacaGLOaGaayzkaaaacaGLiW oapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGaeyypa0Jaeq4TdGgapaqabaGcpeGa ey4kaSYaaqGaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcaWGgbaapa qaa8qacqGHciITcaWG6baaamaalaaapaqaa8qacqGHciITpaWaaWba aSqabeaapeGaaGOmaaaakiaadAeaa8aabaWdbiabgkGi2kaadQhapa WaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaaaakiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWd biaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaak8qacqaH+oaEcqGH9aqpca aIWaaaaa@944F@

Аналогично, расписав второе уравнение системы (2.1) через F MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGgbaaaa@3883@ , Ψ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHOoqwaaa@3947@ , ξ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEaaa@397B@ , η MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH3oaAaaa@3964@ , получим уравнение:

ξ t + 2 F z 2 z=h ξ+ Ψ z z=η xy F xy ξ xy Ψ xy η =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada WcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeqOVdGhapaqaa8qacqGHciITcaWG0baa aiabgUcaRmaaeiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIy7damaaCa aaleqabaWdbiaaikdaaaGccaWGgbaapaqaa8qacqGHciITcaWG6bWd amaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaaGccaGLiWoapaWaaSbaaSqaa8 qacaWG6bGaeyypa0JaamiAaaWdaeqaaOWdbiabe67a4jabgUcaRmaa eiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuiQdKfapaqaa8qacq GHciITcaWG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2da 9iabeE7aObWdaeqaaOWdbiabgkHiTmaabmaapaqaa8qacqGHhis0pa WaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiaadAeacqGHhis0 paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabe67a4bGaay jkaiaawMcaaiabgkHiTmaabmaapaqaa8qacqGHhis0paWaaSbaaSqa a8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabfI6azjabgEGir=aadaWgaa WcbaWdbiaadIhacaWG5baapaqabaGcpeGaeq4TdGgacaGLOaGaayzk aaGaeyypa0JaaGimaaaa@7541@

Тогда система (2.1) переходит в систему:

ΔΨ=0 Ψ t z=η +gξ+ xy F xy F z ξ+ xy F xy Ψ z=η + F z Ψ z z=η + F z 2 F z 2 z=η ξ=0 ξ t + 2 F z 2 z=h ξ+ Ψ z z=η xy F xy ξ xy Ψ xy η =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa Wdbiabfs5aejabfI6azjabg2da9iaaicdaaeaadaabcaWdaeaapeWa aSaaa8aabaWdbiabgkGi2kabfI6azbWdaeaapeGaeyOaIyRaamiDaa aaaiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aa beaak8qacqGHRaWkcaWGNbGaeqOVdGNaey4kaSYaaeWaa8aabaWdbi abgEGir=aadaWgaaWcbaWdbiaadIhacaWG5baapaqabaGcpeGaamOr amaalaaapaqaa8qacqGHciITcqGHhis0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4b GaamyEaaWdaeqaaOWdbiaadAeaa8aabaWdbiabgkGi2kaadQhaaaaa caGLOaGaayzkaaGaeqOVdGNaey4kaSYaaqGaa8aabaWdbmaabmaapa qaa8qacqGHhis0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWd biaadAeacqGHhis0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaO WdbiabfI6azbGaayjkaiaawMcaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGa amOEaiabg2da9iabeE7aObWdaeqaaOWdbiabgUcaRmaaeiaapaqaa8 qadaqadaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kaadAeaa8aabaWd biabgkGi2kaadQhaaaWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kabfI6azbWdae aapeGaeyOaIyRaamOEaaaaaiaawIcacaGLPaaaaiaawIa7a8aadaWg aaWcbaWdbiaadQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaak8qacqGHRaWkda abcaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2kaadAeaa8aabaWdbiab gkGi2kaadQhaaaWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2+aadaahaaWcbeqaa8 qacaaIYaaaaOGaamOraaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOEa8aadaahaaWc beqaa8qacaaIYaaaaaaaaOGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEai abg2da9iabeE7aObWdaeqaaOWdbiabe67a4jabg2da9iaaicdaaeaa daWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeqOVdGhapaqaa8qacqGHciITcaWG0b aaaiabgUcaRmaaeiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIy7damaa CaaaleqabaWdbiaaikdaaaGccaWGgbaapaqaa8qacqGHciITcaWG6b WdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaaGccaGLiWoapaWaaSbaaSqa a8qacaWG6bGaeyypa0JaamiAaaWdaeqaaOWdbiabe67a4jabgUcaRm aaeiaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaeuiQdKfapaqaa8qa cqGHciITcaWG6baaaaGaayjcSdWdamaaBaaaleaapeGaamOEaiabg2 da9iabeE7aObWdaeqaaOWdbiabgkHiTmaabmaapaqaa8qacqGHhis0 paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiaadAeacqGHhi s0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabe67a4bGa ayjkaiaawMcaaiabgkHiTmaabmaapaqaa8qacqGHhis0paWaaSbaaS qaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiabfI6azjabgEGir=aadaWg aaWcbaWdbiaadIhacaWG5baapaqabaGcpeGaeq4TdGgacaGLOaGaay zkaaGaeyypa0JaaGimaaaaaa@D6B4@ (2.2)

Теперь предположим, что наклон поверхности жидкости мал, т.е. xy η 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada abdaqaaiabgEGir=aadaWgaaWcbaWdbiaadIhacaWG5baapaqabaGc peGaeq4TdGgacaGLhWUaayjcSdGaeSOAI0JaaGymaaaa@4290@  и, обозначив xy F MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq GHhis0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaOWdbiaadAea aaa@3C78@  через U MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGvbaaaa@3892@ , запишем систему (2.2) в виде:

ΔΨ=0 t + U, xy Ψ z=η +gξ=0 t + U, xy ξ Ψ z z=h =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa Wdbiabfs5aejabfI6azjabg2da9iaaicdaaeaadaqadaWdaeaapeWa aSaaa8aabaWdbiabgkGi2cWdaeaapeGaeyOaIyRaamiDaaaacqGHRa WkdaqadaWdaeaapeGaamyvaiaacYcacqGHhis0paWaaSbaaSqaa8qa caWG4bGaamyEaaWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaaaGaayjkaiaawM caamaaeiaapaqaa8qacqqHOoqwaiaawIa7a8aadaWgaaWcbaWdbiaa dQhacqGH9aqpcqaH3oaAa8aabeaak8qacqGHRaWkcaWGNbGaeqOVdG Naeyypa0JaaGimaaqaamaabmaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaeyOa Iylapaqaa8qacqGHciITcaWG0baaaiabgUcaRmaabmaapaqaa8qaca WGvbGaaiilaiabgEGir=aadaWgaaWcbaWdbiaadIhacaWG5baapaqa baaak8qacaGLOaGaayzkaaaacaGLOaGaayzkaaGaeqOVdGNaeyOeI0 YaaqGaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcqqHOoqwa8aabaWd biabgkGi2kaadQhaaaaacaGLiWoapaWaaSbaaSqaa8qacaWG6bGaey ypa0JaamiAaaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaaicdaaaaa@73EA@  (2.3)

С помощью преобразования Фурье по x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG4baaaa@38B5@  и y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG5baaaa@38B6@  решим первое уравнение системы (2.3) с учетом краевого условия, в качестве которого выступает третье уравнение. Избавляясь от Ψ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHOoqwaaa@3947@ , подставим решение во второе уравнение и получим уравнение для поверхностного смещения ξ(x,y,t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEcaGGOaGaamiEaiaacYcacaWG5bGaaiilaiaadshacaGGPaaa aa@3F28@ :

t + U, xy A t + U, xy ξ+gξ=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada qadaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbiabgkGi2cWdaeaapeGaeyOaIyRa amiDaaaacqGHRaWkdaqadaWdaeaapeGaamyvaiaacYcacqGHhis0pa WaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaaWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMca aaGaayjkaiaawMcaaiaadgeadaqadaWdaeaapeWaaSaaa8aabaWdbi abgkGi2cWdaeaapeGaeyOaIyRaamiDaaaacqGHRaWkdaqadaWdaeaa peGaamyvaiaacYcacqGHhis0paWaaSbaaSqaa8qacaWG4bGaamyEaa WdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaaaGaayjkaiaawMcaaiabe67a4jab gUcaRiaadEgacqaH+oaEcqGH9aqpcaaIWaaaaa@5B1A@ , (2.4)

где A= Δ xy 1/2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGbbGaeyypa0ZaaeWaa8aabaWdbiabgkHiTiabfs5ae9aadaWgaaWc baWdbiaadIhacaWG5baapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaWdamaaCa aaleqabaWdbiabgkHiTiaaigdacaGGVaGaaGOmaaaaaaa@4351@ , t>0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamiDaiabg6da+i aaicdaaaa@3A52@ , x ,+ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamiEaiabgIGiop aabmaabaGaeyOeI0IaeyOhIuQaaiilaiabgUcaRiabg6HiLcGaayjk aiaawMcaaaaa@4103@ , y ,+ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamyEaiabgIGiop aabmaabaGaeyOeI0IaeyOhIuQaaiilaiabgUcaRiabg6HiLcGaayjk aiaawMcaaaaa@4104@ . Степень оператора Лапласа определяется по формуле:

Δ xy 1/2 f(x,y)= 1 4 π 2 exp i k 1 x exp i k 2 y f ^ k 1 , k 2 k d k 1 d k 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada qadaWdaeaapeGaeyOeI0IaeuiLdq0damaaBaaaleaapeGaamiEaiaa dMhaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaey OeI0IaaGymaiaac+cacaaIYaaaaOGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiil aiaadMhacaGGPaGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaigdaa8aabaWdbi aaisdacqaHapaCpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaaaaGcpaWaaubi aeqaleqabaGaaGzaVdqdbaWdbiabgUIiYdaakiGacwgacaGG4bGaai iCamaabmaapaqaa8qacaWGPbGaam4Aa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigda a8aabeaak8qacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaciyzaiaacIhacaGGWb WaaeWaa8aabaWdbiaadMgacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWd aeqaaOWdbiaadMhaaiaawIcacaGLPaaadaWcaaWdaeaapeGabmOzay aajaWaaeWaa8aabaWdbiaadUgapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqa baGcpeGaaiilaiaadUgapaWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaaak8 qacaGLOaGaayzkaaaapaqaa8qacaWGRbaaaiaadsgacaWGRbWdamaa BaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadsgacaWGRbWdamaaBaaale aapeGaaGOmaaWdaeqaaaaa@6FD0@ ,

где

f ^ k 1 , k 2 = exp i k 1 x exp i k 2 y f x,y dxdy MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qace WGMbGbaKaadaqadaqaaiaadUgadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGG SaGaam4AamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiabg2 da98aadaqfGaqabSqabeaacaaMb8oaneaapeGaey4kIipaaOGaciyz aiaacIhacaGGWbWaaeWaa8aabaWdbiabgkHiTiaadMgacaWGRbWdam aaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadIhaaiaawIcacaGLPaaa ciGGLbGaaiiEaiaacchadaqadaWdaeaapeGaeyOeI0IaamyAaiaadU gapaWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaamyEaaGaayjkaiaa wMcaaiaadAgadaqadaWdaeaapeGaamiEaiaacYcacaWG5baacaGLOa GaayzkaaGaamizaiaadIhacaWGKbGaamyEaaaa@5F8A@ , k= k 1 2 + k 2 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGRbGaeyypa0ZaaOaaa8aabaWdbiaadUgapaWaa0baaSqaa8qacaaI Xaaapaqaa8qacaaIYaaaaOGaey4kaSIaam4Aa8aadaqhaaWcbaWdbi aaikdaa8aabaWdbiaaikdaaaaabeaaaaa@406E@

3. Асимптотический анализ решений уравнения динамики морской поверхности

Пусть вышедшее на поверхность течение имеет вид

U =ε u x,y,t + U 0 e 1 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qace WGvbGbaSaacqGH9aqpcqaH1oqzceWG1bWdayaalaWdbmaabmaapaqa a8qacaWG4bGaaiilaiaadMhacaGGSaGaamiDaaGaayjkaiaawMcaai abgUcaRiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGabmyz ayaalaWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaaaa@47FF@

где U 0 e 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamyvamaaBaaale aacaaIWaaabeaakiqadwgagaWcamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaaa@3B44@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  вектор скорости основного потока, u x,y,t = u 1 x,t , u 2 y,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGabmyDayaalaWaae WaaeaacaWG4bGaaiilaiaadMhacaGGSaGaamiDaaGaayjkaiaawMca aiabg2da9maabmaabaGaamyDamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakmaabm aabaGaamiEaiaacYcacaWG0baacaGLOaGaayzkaaGaaiilaiaadwha daWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGcdaqadaqaaiaadMhacaGGSaGaamiDaa GaayjkaiaawMcaaaGaayjkaiaawMcaaaaa@4DF5@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  вектор скорости возмущения основного потока, соразмерный по модулю со скоростью основного потока, ε MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH1oqzaaa@395F@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  малый параметр. Будем считать, что при t<0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG0bGaeyipaWJaaGimaaaa@3A6F@  возмущение u MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG1baaaa@38B2@  основного потока отсутствует, далее при t>0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG0bGaeyOpa4JaaGimaaaa@3A73@  оно возникает, развиваясь от нуля до некоторого стационарного состояния u * x,y = u 1 x , u 2 y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WG1bWdamaaCaaaleqabaWdbiaacQcaaaGcdaqadaWdaeaapeGaamiE aiaacYcacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaeWaa8aabaWdbi aadwhapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWd biaadIhaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaGaamyDa8aadaWgaaWcbaWdbi aaikdaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaamyEaaGaayjkaiaawMca aaGaayjkaiaawMcaaaaa@4B05@ .

Будем искать решение задачи (2.4) в виде

ξ= ξ 0 +ε ξ 1 +... MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEcqGH9aqpcqaH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGc peGaey4kaSIaeqyTduMaeqOVdG3damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdae qaaOWdbiabgUcaRiaac6cacaGGUaGaaiOlaaaa@45E5@

Подставим ξ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEaaa@397B@  в исходное уравнение (2.4) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ε MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH1oqzaaa@395F@ , получим уравнения для ξ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaaaaa@3A8F@  и ξ 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaaaaa@3A90@ , нулевого и первого приближений соответственно.

Нулевое приближение

Имеем

2 ξ 0 t 2 +2 U 0 2 ξ 0 tx + U 0 2 2 ξ 0 x 2 =g A 1 ξ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada WcaaWdaeaapeGaeyOaIy7damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaGccqaH +oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaaakeaapeGaeyOaIyRaam iDa8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIYaaaaaaakiabgUcaRiaaikdacaWG vbWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaOWdbmaalaaapaqaa8qacq GHciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabe67a49aadaWgaaWc baWdbiaaicdaa8aabeaaaOqaa8qacqGHciITcaWG0bGaeyOaIyRaam iEaaaacqGHRaWkcaWGvbWdamaaDaaaleaapeGaaGimaaWdaeaapeGa aGOmaaaakmaalaaapaqaa8qacqGHciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaG Omaaaakiabe67a49aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaOqaa8qa cqGHciITcaWG4bWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaOGaeyypa0 JaeyOeI0Iaam4zaiaadgeapaWaaWbaaSqabeaapeGaeyOeI0IaaGym aaaakiabe67a49aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaaa@63EF@ ,     (3.1)

где A 1 ξ(x,y,t)= Δ ξ(x,y,t)= 1 4 π 2 exp i k 1 x exp i k 2 y ξ ^ k 1 , k 2 ,t kd k 1 d k 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGbbWdamaaCaaaleqabaWdbiabgkHiTiaaigdaaaGccqaH+oaEcaGG OaGaamiEaiaacYcacaWG5bGaaiilaiaadshacaGGPaGaeyypa0ZaaO aaa8aabaWdbiabgkHiTiabfs5aebWcbeaakiabe67a4jaacIcacaWG 4bGaaiilaiaadMhacaGGSaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpdaWcaaWdae aapeGaaGymaaWdaeaapeGaaGinaiabec8aW9aadaahaaWcbeqaa8qa caaIYaaaaaaakiGacwgacaGG4bGaaiiCa8aadaqfGaqabSqabeaaca aMb8oaneaapeGaey4kIipaaOWaaeWaa8aabaWdbiaadMgacaWGRbWd amaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadIhaaiaawIcacaGLPa aaciGGLbGaaiiEaiaacchadaqadaWdaeaapeGaamyAaiaadUgapaWa aSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaamyEaaGaayjkaiaawMcaai qbe67a4zaajaWaaeWaa8aabaWdbiaadUgapaWaaSbaaSqaa8qacaaI XaaapaqabaGcpeGaaiilaiaadUgapaWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapa qabaGcpeGaaiilaiaadshaaiaawIcacaGLPaaacaWGRbGaaGPaVlaa dsgacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadsgaca WGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaaaa@7A0A@ .

Пусть решение уравнения (3.1) имеет вид

ξ 0 = e iΩx e i γ 1 x e i γ 2 y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq aH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaeyypa0Jaamyz a8aadaahaaWcbeqaa8qacaWGPbGaeuyQdCLaamiEaaaak8aacaWGLb WaaWbaaSqabeaapeGaamyAaiabeo7aN9aadaWgaaadbaWdbiaaigda a8aabeaal8qacaWG4baaaOWdaiaadwgadaahaaWcbeqaa8qacaWGPb Gaeq4SdC2damaaBaaameaapeGaaGOmaaWdaeqaaSWdbiaadMhaaaaa aa@4C66@  (3.2)

Подставим (3.2) в (3.1) и получим, что решение в виде (3.2) существует при Ω= U 0 γ 1 ± g 2 γ 1 2 + γ 2 2 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacq qHPoWvcqGH9aqpcqGHsislcaWGvbWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWd aeqaaOWdbiabeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacq GHXcqSdaGcbaqaaiaadEgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGcdaqadaqa aiabeo7aN9aadaqhaaWcbaWdbiaaigdaa8aabaWdbiaaikdaaaGccq GHRaWkcqaHZoWzpaWaa0baaSqaa8qacaaIYaaapaqaa8qacaaIYaaa aaGccaGLOaGaayzkaaaaleaacaaI0aaaaaaa@4E4F@ .

Первое приближение

Для первого приближения получаем уравнение

2 ξ 1 t 2 +2 U 0 2 ξ 1 tx + U 0 2 2 ξ 1 x 2 =g A 1 ξ 1 +F x,y,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada WcaaWdaeaapeGaeyOaIy7damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaGccqaH +oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaaakeaapeGaeyOaIyRaam iDa8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIYaaaaaaakiabgUcaRiaaikdacaWG vbWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaOWdbmaalaaapaqaa8qacq GHciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabe67a49aadaWgaaWc baWdbiaaigdaa8aabeaaaOqaa8qacqGHciITcaWG0bGaeyOaIyRaam iEaaaacqGHRaWkcaWGvbWdamaaDaaaleaapeGaaGimaaWdaeaapeGa aGOmaaaakmaalaaapaqaa8qacqGHciITpaWaaWbaaSqabeaapeGaaG Omaaaakiabe67a49aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaaaOqaa8qa cqGHciITcaWG4bWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaOGaeyypa0 JaeyOeI0Iaam4zaiaadgeapaWaaWbaaSqabeaapeGaeyOeI0IaaGym aaaakiabe67a49aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacqGHRa WkcaWGgbWaaeWaa8aabaWdbiaadIhacaGGSaGaamyEaiaacYcacaWG 0baacaGLOaGaayzkaaaaaa@6BB6@ , (3.3)

где

F=Ω γ 1 A u 1 ξ 0 +Ω γ 2 A u 2 ξ 0 +Ω γ 1 u 1 A ξ 0 + +Ω γ 2 u 2 A ξ 0 + U 0 γ 1 2 u 1 A ξ 0 + U 0 γ 1 γ 2 u 2 A ξ 0 i U 0 γ 1 A u 1 x ξ 0 + u 1 ξ 0 x i U 0 γ 2 A u 2 x ξ 0 + u 2 ξ 0 x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa WdbiaadAeacqGH9aqpcqqHPoWvcqaHZoWzpaWaaSbaaSqaa8qacaaI XaaapaqabaGcpeGaamyqamaabmaapaqaa8qacaWG1bWdamaaBaaale aapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabe67a49aadaWgaaWcbaWdbiaaicda a8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkcqqHPoWvcqaHZoWzpa WaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaamyqamaabmaapaqaa8qa caWG1bWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiabe67a49aada WgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaacqGHRaWk cqqHPoWvcqaHZoWzpaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaam yDa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaWGbbGaeqOVdG3d amaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaOWdbiabgUcaRaqaaiabgUcaRi abfM6axjabeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacaWG 1bWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiaadgeacqaH+oaEpa WaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaey4kaSIaamyva8aadaWg aaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaak8qacqaHZoWzpaWaa0baaSqaa8qaca aIXaaapaqaa8qacaaIYaaaaOGaamyDa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigda a8aabeaak8qacaWGbbGaeqOVdG3damaaBaaaleaapeGaaGimaaWdae qaaOWdbiabgUcaRiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGc peGaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabeo7aN9 aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacaWG1bWdamaaBaaaleaa peGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiaadgeacqaH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qaca aIWaaapaqabaGcpeGaeyOeI0cabaGaeyOeI0IaamyAaiaadwfapaWa aSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaeq4SdC2damaaBaaaleaaca aIXaaabeaak8qacaWGbbWaaeWaa8aabaWdbmaalaaapaqaa8qacqGH ciITcaWG1bWdamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOqaa8qacqGHciITca WG4baaaiabe67a49aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaak8qacqGH RaWkcaWG1bWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbmaalaaapa qaa8qacqGHciITcqaH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaaa keaapeGaeyOaIyRaamiEaaaaaiaawIcacaGLPaaacqGHsislcaWGPb Gaamyva8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaak8qacqaHZoWzpaWa aSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaamyqamaabmaapaqaa8qada WcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaamyDa8aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aa beaaaOqaa8qacqGHciITcaWG4baaaiabe67a49aadaWgaaWcbaWdbi aaicdaa8aabeaak8qacqGHRaWkcaWG1bWdamaaBaaaleaapeGaaGOm aaWdaeqaaOWdbmaalaaapaqaa8qacqGHciITcqaH+oaEpaWaaSbaaS qaa8qacaaIWaaapaqabaaakeaapeGaeyOaIyRaamiEaaaaaiaawIca caGLPaaaaaaa@BD5E@

Пусть нам известно Фурье преобразование компонент вектора скорости, u ^ 1 = v 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGabmyDayaajaWaaS baaSqaaabaaaaaaaaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaadAha paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaaaaa@3CE8@  и u ^ 2 = v 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGabmyDayaajaWaaS baaSqaaabaaaaaaaaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaadAha paWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaaaaa@3CEA@ . Сделаем Фурье-преобразование от правой и левой частей уравнения (3.3) и будем искать его решение в виде ξ ^ 1 = η ^ ( k 1 , k 2 ) e iΩt MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacu aH+oaEgaqca8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacqGH9aqp cuaH3oaAgaqcaiaacIcacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdae qaaOWdbiaacYcacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWd biaacMcacaWGLbWdamaaCaaaleqabaWdbiaadMgacqqHPoWvcaWG0b aaaaaa@486F@ .

Итак,

F ^ = Ω γ 1 u 1 ξ 0 +Ω γ 2 u 2 ξ 0 k + 1 γ Ω γ 1 v 1 *δ k 1 γ 1 , k 2 γ 2 + +Ω γ 2 v 2 *δ k 1 γ 1 , k 2 γ 2 e iΩt + 1 γ U 0 γ 1 2 v 1 *δ k 1 γ 1 , k 2 γ 2 + + U 0 γ 1 γ 2 v 2 *δ k 1 γ 1 , k 2 γ 2 e iΩt i U 0 γ 1 i k 1 v 1 * ξ ^ 0 +i γ 1 v 1 * ξ ^ 0 4 π 2 k U 0 γ 2 i k 1 v 2 * ξ ^ 0 +i γ 1 v 2 * ξ ^ 0 4 π 2 k , MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa WdbiqadAeagaqcaiabg2da9maalaaapaqaa8qacqqHPoWvcqaHZoWz paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadw hapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaeqOVdG3damaaBaaa leaapeGaaGimaaWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbe qaa8qacqGHNis2aaGccqGHRaWkcqqHPoWvcqaHZoWzpaWaaSbaaSqa a8qacaaIYaaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadwhapaWaaSbaaS qaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaeqOVdG3damaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qacqGHNi s2aaaak8aabaGaam4AaaaapeGaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiaaigda a8aabaWdbiabeo7aNbaadaqabaWdaeaapeGaeuyQdCLaeq4SdC2dam aaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadAhapaWaaSbaaSqaa8qa caaIXaaapaqabaGcpeGaaiOkaiabes7aKnaabmaapaqaa8qacaWGRb WdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgkHiTiabeo7aN9aa daWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaGGSaGaam4Aa8aadaWgaa WcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacqGHsislcqaHZoWzpaWaaSbaaSqa a8qacaaIYaaapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaGaey4kaScacaGLOa aaaeaadaqacaqaaiabgUcaRiabfM6axjabeo7aN9aadaWgaaWcbaWd biaaikdaa8aabeaak8qacaWG2bWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdae qaaOWdbiaacQcacqaH0oazdaqadaWdaeaapeGaam4Aa8aadaWgaaWc baWdbiaaigdaa8aabeaak8qacqGHsislcqaHZoWzpaWaaSbaaSqaa8 qacaaIXaaapaqabaGcpeGaaiilaiaadUgapaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaeyOeI0Iaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGOmaa WdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaaaGaayzkaaGaamyza8aadaahaaWc beqaa8qacaWGPbGaeuyQdCLaamiDaaaakiabgUcaRmaalaaapaqaa8 qacaaIXaaapaqaa8qacqaHZoWzaaWaaeqaa8aabaWdbiaadwfapaWa aSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaeq4SdC2damaaDaaaleaape GaaGymaaWdaeaapeGaaGOmaaaakiaadAhapaWaaSbaaSqaa8qacaaI XaaapaqabaGcpeGaaiOkaiabes7aKnaabmaapaqaa8qacaWGRbWdam aaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgkHiTiabeo7aN9aadaWg aaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaGGSaGaam4Aa8aadaWgaaWcba Wdbiaaikdaa8aabeaak8qacqGHsislcqaHZoWzpaWaaSbaaSqaa8qa caaIYaaapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaGaey4kaScacaGLOaaaae aadaqacaqaaiabgUcaRiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqa baGcpeGaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabeo 7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacaWG2bWdamaaBaaa leaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiaacQcacqaH0oazdaqadaWdaeaape Gaam4Aa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacqGHsislcqaH ZoWzpaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaaiilaiaadUgapa WaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaeyOeI0Iaeq4SdC2damaa BaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaaaGaayzkaa Gaamyza8aadaahaaWcbeqaa8qacaWGPbGaeuyQdCLaamiDaaaakiab gkHiTiaadMgacaWGvbWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaOWdbi abeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qadaWcaaWdaeaa peGaamyAaiaadUgapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaam ODa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaGGQaGafqOVdGNb aKaapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaey4kaSIaamyAai abeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaWG2bWdamaa BaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaacQcacuaH+oaEgaqca8aada WgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaOqaa8qacaaI0aGaeqiWda3damaa CaaaleqabaWdbiaaikdaaaGcpaGaam4AaaaapeGaeyOeI0cabaGaey OeI0Iaamyva8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaak8qacqaHZoWz paWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeWaaSaaa8aabaWdbiaadM gacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadAhapaWa aSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaaiOkaiqbe67a4zaajaWdam aaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaOWdbiabgUcaRiaadMgacqaHZoWz paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaamODa8aadaWgaaWcba Wdbiaaikdaa8aabeaak8qacaGGQaGafqOVdGNbaKaapaWaaSbaaSqa a8qacaaIWaaapaqabaaakeaapeGaaGinaiabec8aW9aadaahaaWcbe qaa8qacaaIYaaaaOWdaiaadUgaaaWdbiaacYcaaaaa@0C92@

где символом * MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaaiOkaaaa@3846@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  обозначен оператор свертки двух функций.

Обозначим v ˜ 1,2 = v 1,2 ( k 1 γ 1 , k 2 γ 2 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qace WG2bGbaGaapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaGaaiilaiaaikdaa8aabeaa k8qacqGH9aqpcaWG2bWdamaaBaaaleaapeGaaGymaiaacYcacaaIYa aapaqabaGcpeGaaiikaiaadUgapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqa baGcpeGaeyOeI0Iaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaO WdbiaacYcacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiab gkHiTiabeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacaGGPa aaaa@4DC8@ . Следовательно,

e iΩt A 1 F = e i Ω ^ t F ^ | k |=Ω γ 1 v ˜ 1 +Ω γ 2 v ˜ 2 + + k γ (Ω γ 1 v ˜ 1 +Ω γ 2 v ˜ 2 + U 0 γ 1 2 v ˜ 1 + U 0 γ 1 γ 2 v ˜ 2 )+ U 0 γ 1 k 1 γ 1 v ˜ 1 + U 0 γ 1 2 v ˜ 1 + + U 0 γ 2 k 1 γ 1 v ˜ 2 + U 0 γ 1 γ 2 v ˜ 2 = = Ω γ 1 1+ k γ + U 0 γ 1 k 1 + γ 1 v ˜ 1 + Ω γ 2 1+ k γ + U 0 γ 2 k 1 + γ 1 v ˜ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGceaqabeaaqaaaaaaaaa WdbiaadwgapaWaaWbaaSqabeaapeGaeyOeI0IaamyAaiabfM6axjaa dshaaaGcdaqadaWdaeaapeGaamyqa8aadaahaaWcbeqaa8qacqGHsi slcaaIXaaaaOGaamOraaGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qa cqGHNis2aaGccqGH9aqpcaWGLbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaWGPb GafuyQdCLbaKaacaWG0baaaOGaeyyXICTabmOrayaajaGaeyyXICTa aiiFaiqadUgapaGbaSaapeGaaiiFaiabg2da9iabfM6axjabeo7aN9 aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qaceWG2bGbaGaapaWaaSba aSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaey4kaSIaeuyQdCLaeq4SdC2dam aaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiqadAhagaaca8aadaWgaaWc baWdbiaaikdaa8aabeaak8qacqGHRaWkaeaacqGHRaWkdaWcaaWdae aapeGaam4AaaWdaeaapeGaeq4SdCgaaiaacIcacqqHPoWvcqaHZoWz paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGabmODayaaiaWdamaaBa aaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgUcaRiabfM6axjabeo7aN9aa daWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qaceWG2bGbaGaapaWaaSbaaS qaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaey4kaSIaamyva8aadaWgaaWcbaWd biaaicdaa8aabeaak8qacqaHZoWzpaWaa0baaSqaa8qacaaIXaaapa qaa8qacaaIYaaaaOGabmODayaaiaWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWd aeqaaOWdbiabgUcaRiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqaba GcpeGaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabeo7a N9aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qaceWG2bGbaGaapaWaaS baaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaaiykaiabgUcaRiaadwfapaWa aSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaeq4SdC2damaaBaaaleaape GaaGymaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWGRbWdamaaBaaaleaa peGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgkHiTiabeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbi aaigdaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaaceWG2bGbaGaapaWaaSba aSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaey4kaSIaamyva8aadaWgaaWcba Wdbiaaicdaa8aabeaak8qacqaHZoWzpaWaa0baaSqaa8qacaaIXaaa paqaa8qacaaIYaaaaOGabmODayaaiaWdamaaBaaaleaapeGaaGymaa WdaeqaaOWdbiabgUcaRaqaaiabgUcaRiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qa caaIWaaapaqabaGcpeGaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdae qaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWd aeqaaOWdbiabgkHiTiabeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabe aaaOWdbiaawIcacaGLPaaaceWG2bGbaGaapaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaey4kaSIaamyva8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8 aabeaak8qacqaHZoWzpaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGa eq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiqadAhagaaca8 aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacqGH9aqpaeaacqGH9aqp daqadaWdaeaapeGaeuyQdCLaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGymaa WdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaaIXaGaey4kaSYaaSaaa8aabaWd biaadUgaa8aabaWdbiabeo7aNbaaaiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkca WGvbWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaOWdbiabeo7aN9aadaWg aaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaam4Aa8aada WgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacqGHRaWkcqaHZoWzpaWaaSba aSqaa8qacaaIXaaapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaaacaGLOaGaay zkaaGabmODayaaiaWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiab gUcaRmaabmaapaqaa8qacqqHPoWvcqaHZoWzpaWaaSbaaSqaa8qaca aIYaaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaaigdacqGHRaWkdaWcaaWd aeaapeGaam4AaaWdaeaapeGaeq4SdCgaaaGaayjkaiaawMcaaiabgU caRiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaeq4SdC2d amaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWGRb WdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgUcaRiabeo7aN9aa daWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaaaiaawI cacaGLPaaaceWG2bGbaGaapaWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaaa aaa@F835@

Таким образом, получаем Фурье-преобразование уравнения (3.3):

2 ξ 1 ^ t 2 +2 U 0 + U 0 2 2 ξ 1 ^ x 2 =gk ξ ^ 1 + A 1 F MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qada WcaaqaamaaHaaabaGaeyOaIy7damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaGc cqaH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaaak8qacaGLcmaaae aacqGHciITcaWG0bWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaOGaey4k aSIaaGOmaiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaey 4kaSIaamyva8aadaqhaaWcbaWdbiaaicdaa8aabaWdbiaaikdaaaGc daWcaaqaamaaHaaabaGaeyOaIy7damaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaa GccqaH+oaEpaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaaak8qacaGLcmaa aeaacqGHciITcaWG4bWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaOGaey ypa0JaeyOeI0Iaam4za8aacaWGRbWdbiqbe67a4zaajaWdamaaBaaa leaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgUcaRmaabmaapaqaa8qacaWGbb WdamaaCaaaleqabaWdbiabgkHiTiaaigdaaaGccaWGgbaacaGLOaGa ayzkaaWdamaaCaaaleqabaWdbiabgEIizdaaaaa@6166@ (3.4)

Далее, подставляем ξ ^ 1 = η ^ ( k 1 , k 2 ) e iΩt MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacu aH+oaEgaqca8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacqGH9aqp cuaH3oaAgaqcaiaacIcacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdae qaaOWdbiaacYcacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWd biaacMcacaWGLbWdamaaCaaaleqabaWdbiaadMgacqqHPoWvcaWG0b aaaaaa@486F@  в уравнение (3.4) и находим

η ^ = 1 k Ω+ k 1 U 0 2 Ω γ 1 1+ k γ + U 0 γ 1 k 1 + γ 1 v ˜ 1 + Ω γ 2 1+ k γ + U 0 γ 2 k 1 + γ 1 v ˜ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacu aH3oaAgaqcaiabg2da9maalaaapaqaa8qacaaIXaaapaqaa8qacaWG RbGaeyOeI0YaaeWaa8aabaWdbiabfM6axjabgUcaRiaadUgapaWaaS baaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaamyva8aadaWgaaWcbaWdbiaa icdaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaaG OmaaaaaaGcdaqacaWdaeaapeWaaeWaa8aabaWdbiabfM6axjabeo7a N9aadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaaigdacq GHRaWkdaWcaaWdaeaapeGaam4AaaWdaeaapeGaeq4SdCgaaaGaayjk aiaawMcaaiabgUcaRiaadwfapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqaba GcpeGaeq4SdC2damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbmaabmaa paqaa8qacaWGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgU caRiabeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaaaOWdbiaawIca caGLPaaaaiaawIcacaGLPaaaceWG2bGbaGaapaWaaSbaaSqaa8qaca aIXaaapaqabaaak8qacaGLPaaacqGHRaWkdaqacaWdaeaapeWaaeWa a8aabaWdbiabfM6axjabeo7aN9aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabe aak8qadaqadaWdaeaapeGaaGymaiabgUcaRmaalaaapaqaa8qacaWG Rbaapaqaa8qacqaHZoWzaaaacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSIaamyva8 aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaak8qacqaHZoWzpaWaaSbaaSqa a8qacaaIYaaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadUgapaWaaSbaaS qaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaey4kaSIaeq4SdC2damaaBaaaleaa peGaaGymaaWdaeqaaaGcpeGaayjkaiaawMcaaaGaayjkaiaawMcaai qadAhagaaca8aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaaaOWdbiaawMca aaaa@80A1@ (3.5)

4. Явное выражение решения задачи о трансформации спектра взволнованной поверхности под действием течений

Общее решение задачи о трансформации спектра принимает вид:

ξ ^ = ξ ^ 0 +ε ξ ^ 1 =4 π 2 δ k 1 γ 1 , k 2 γ 2 e iΩt +ε η ˆ e iΩt MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacu aH+oaEgaqcaiabg2da9iqbe67a4zaajaWdamaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaOWdbiabgUcaRiabew7aLjqbe67a4zaajaWdamaaBaaale aapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaaisdacqaHapaCpaWaaWba aSqabeaapeGaaGOmaaaakiabes7aKnaabmaapaqaa8qacaWGRbWdam aaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgkHiTiabeo7aN9aadaWg aaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaGGSaGaam4Aa8aadaWgaaWcba Wdbiaaikdaa8aabeaak8qacqGHsislcqaHZoWzpaWaaSbaaSqaa8qa caaIYaaapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaGaamyza8aadaahaaWcbe qaa8qacaWGPbGaeuyQdCLaamiDaaaakiabgUcaRiabew7aL9aadaWf Gaqaa8qacqaH3oaAaSWdaeqabaWdbiaacASaaaGccaWGLbWdamaaCa aaleqabaWdbiaadMgacqqHPoWvcaWG0baaaaaa@66E5@  (4.1)

Формула (4.1) позволяет просто вычислить спектр возмущенной течением поверхностной ветровой волны, если известно двумерное преобразование Фурье проекции на горизонтальную плоскость поля скорости течения, вышедшего из глубины. Возмущение поверхности в спектральном представлении может быть получено из спектрального представления для плоской компоненты поля течений путем сдвига и умножения на некоторую “передаточную функцию”.

При этом знаменатель в формуле (3.5) обращается в ноль на некоторой линии в плоскости k 1 , k 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaacYcacaWGRbWd amaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaaaa@3C8D@ . Для этих значений формула (3.5) теряет смысл. Связано это с тем, что в принятой линейной модели данные значения k 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaaaa@39BD@  и k 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaaeaaaaaaaaa8qaca WGRbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaaaa@39BE@  являются резонансными значениями, при которых амплитуда соответствующей компоненты спектра возмущенной волны неограниченно возрастает при стремлении времени к бесконечности. Но при больших амплитудах не будет выполнено предположение о малости градиентов поверхности, которое лежит в основе вывода уравнений рассматриваемой модели. Поэтому деформации спектров будут достоверными только в некоторой окрестности кривой, на которой знаменатель в формуле (3.5) не обращается в нуль.

Для исследования возможности наблюдения деформации поверхности моря с помощью неконтактных измерительных приборов удобно именно представление деформированной поверхности в спектральной форме, так как для моделирования флуктуаций сигналов, полученных от радиометров и радиолокаторов удобно именно такое представление. Формулы для расчетов возмущений сигналов от радиометров и радиолокаторов приведены, например, в [2]. Имеется, как уже было отмечено выше, большой экспериментальный материал, подтверждающий связь возмущений океанских течений за счет неоднородности дна с радиолокационными и радиометрическими изображениями поверхности. Очевидно, между двумя изображениями на рис. 1 существует связь, но ведь электромагнитные волны в соленую воду не проникают! Это явление давно вызывало большой интерес и, несомненно, требовало теоретического объяснения. В данной работе рассматривается связь вышедших на поверхность течений и деформаций поверхностного волнового поля в спектральных и координатных представлениях. При этом локализованное в некоторой области поверхности течение порождает также локализованную в некоторой другой области флуктуацию поверхностного волнения, что вытекает из свойств преобразования Фурье и наблюдается также в экспериментах, о которых упоминалось выше.

Кроме того, спектр возмущения поверхности может содержать более широкий набор частот, чем спектр вышедшего на поверхность поля скоростей течения, поскольку в формуле (3.5) присутствует сдвиг спектра поля скорости возмущающего течения. Подобный эффект также наблюдается в эксперименте, когда крупномасштабное течение, которое в спектре не содержит коротких по длине волны компонент, вызывает изменение по всему спектру деформаций поверхности. Так, конвекционные течения, возникающие в океане в результате перегрева верхних слоев океана, влияют на коротковолновую (миллиметры- сантиметры) составляющую спектра поверхности океана. Изменения в этой части спектра можно зафиксировать в инфракрасном диапазоне собственного радиоизлучения поверхности океана даже с помощью радиометров космического базирования. Такого рода измерения используются, в частности, для предсказания возникновения тайфунов в зоне перегрева океанской поверхности.

5. Переход от спектрального представления возмущенного профиля поверхности моря к координатному

Естественный вопрос MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  как получить форму возмущенной поверхности в исходных координатах x,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaWaaeWaaeaacaWG4b GaaiilaiaadshaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3BC7@ . Спектральное представление содержит в знаменателе множитель, который обращается в ноль на целой линии, поэтому непосредственное применение формулы обращения двумерного преобразования Фурье затруднено. Ниже предлагается способ решения уравнения вида (3.3) в явном виде с помощью формулы, эффективно реализуемой при численных расчетах.

Рассмотрим уравнение

ξ ¨ +2 ξ ˙ x ^ + ξ x ^ x ^ + Δ x ^ y ^ ξ=f x ^ , y ^ , t ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGafqOVdGNbamaacq GHRaWkcaaIYaGafqOVdGNbaiGbauaadaWgaaWcbaGabmiEayaajaaa beaakiabgUcaRiqbe67a4zaagaWaaSbaaSqaaiqadIhagaqcaiqadI hagaqcaaqabaGccqGHRaWkdaGcaaqaaiabgkHiTiabfs5aenaaBaaa leaaceWG4bGbaKaaceWG5bGbaKaaaeqaaaqabaGccaaMc8UaeqOVdG Naeyypa0JaamOzamaabmaabaGabmiEayaajaGaaiilaiqadMhagaqc aiaacYcaceWG0bGbaKaaaiaawIcacaGLPaaaaaa@5401@

Будем считать, что при t< t 0 <0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamiDaiabgYda8i aadshadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccqGH8aapcaaIWaaaaa@3D3C@   f0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamOzaiabggMi6k aaicdaaaa@3B06@  и ξ0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeqOVdGNaeyyyIO RaaGimaaaa@3BDE@ . Используя замену переменных x ^ =x+t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGabmiEayaajaGaey ypa0JaamiEaiabgUcaRiaadshaaaa@3C83@ , y ^ =y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGabmyEayaajaGaey ypa0JaamyEaaaa@3AAA@ , t ^ =t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGabmiDayaajaGaey ypa0JaamiDaaaa@3AA0@ , получаем уравнение в переменных x,y,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaWaaeWaaeaacaWG4b GaaiilaiaadMhacaGGSaGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3D75@

ξ ¨ + Δ xy ξ=f x,y,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGafqOVdGNbamaacq GHRaWkdaGcaaqaaiabgkHiTiabfs5aenaaBaaaleaacaWG4bGaamyE aaqabaaabeaakiaaykW7cqaH+oaEcqGH9aqpcaWGMbWaaeWaaeaaca WG4bGaaiilaiaadMhacaGGSaGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaaaa@49F7@

Положив f=δ x δ y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamOzaiabg2da9i abes7aKnaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabes7aKnaabmaa baGaamyEaaGaayjkaiaawMcaaaaa@41E0@  и используя преобразование Фурье по переменным x,y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaWaaeWaaeaacaWG4b GaaiilaiaadMhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3BCC@ , найдем фундаментальное решение этого уравнения, через решение обыкновенного дифференциального уравнения

ξ ^ ¨ + k 2 + l 2 ξ ^ =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGafqOVdGNbaKGbam aacqGHRaWkdaGcaaqaaiaadUgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH RaWkcaWGSbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaGccuaH+oaEgaqcai abg2da9iaaicdaaaa@42A1@

с начальными условиями

ξ ^ 0 =0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGafqOVdGNbaKaada qadaqaaiaaicdaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3D6E@ , ξ ^ ˙ 0 =1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGafqOVdGNbaKGbai aadaqadaqaaiaaicdaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIXaaaaa@3D77@

Получаем ξ ^ t,ρ =θ t sin ρ t / ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGafqOVdGNbaKaada qadaqaaiaadshacaGGSaGaeqyWdihacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0Ja eqiUde3aaeWaaeaacaWG0baacaGLOaGaayzkaaGaci4CaiaacMgaca GGUbWaaeWaaeaadaGcaaqaaiabeg8aYbWcbeaakiaadshaaiaawIca caGLPaaacaGGVaWaaOaaaeaacqaHbpGCaSqabaaaaa@4D68@ , где ρ= k 2 + l 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeqyWdiNaeyypa0 ZaaOaaaeaacaWGRbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamiB amaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaa@3F0D@ , а θ t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeqiUde3aaeWaae aacaWG0baacaGLOaGaayzkaaaaaa@3BD0@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  функция Хевисайда.

Обращая образы Фурье, получаем

ξ x,y,t = 1 4 π 2 0 t 2 2 e ikα+ilβ ρ sin ρ t dkdlf xα,yβ,tτ dαdβdτ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaeqOVdG3aaeWaae aacaWG4bGaaiilaiaadMhacaGGSaGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaiab g2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaisdacqaHapaCdaahaaWcbeqaai aaikdaaaaaaOWaa8qCaeaadaWdrbqaamaapefabaWaaSaaaeaacaWG LbWaaWbaaSqabeaacaWGPbGaam4Aaiabeg7aHjabgUcaRiaadMgaca WGSbGaeqOSdigaaaGcbaWaaOaaaeaacqaHbpGCaSqabaaaaOGaci4C aiaacMgacaGGUbWaaeWaaeaadaGcaaqaaiabeg8aYbWcbeaakiaads haaiaawIcacaGLPaaaaSqaaiabl2riHoaaCaaameqabaGaaGOmaaaa aSqab0Gaey4kIipakiaaykW7caWGKbGaam4AaiaadsgacaWGSbGaaG PaVlaadAgadaqadaqaaiaadIhacqGHsislcqaHXoqycaGGSaGaamyE aiabgkHiTiabek7aIjaacYcacaWG0bGaeyOeI0IaeqiXdqhacaGLOa GaayzkaaGaaGPaVlaadsgacqaHXoqycaWGKbGaeqOSdiMaaGPaVlaa dsgacqaHepaDaSqaaiabl2riHoaaCaaameqabaGaaGOmaaaaaSqab0 Gaey4kIipaaSqaaiaaicdaaeaacaWG0baaniabgUIiYdaaaa@8461@

Последний интеграл сходится, если функция f MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamOzaaaa@3883@  достаточно быстро убывает на бесконечности.

Численная реализация расчетов на основе последней формулы MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  отдельный вопрос, который требует специального рассмотрения. Для этого необходимо получить двумерное преобразование Фурье функции f MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamOzaaaa@3883@ , которая выражается через спектр возмущающего течения и через его сдвиги.

Далее приводится пример расчета поля скоростей, вызванного движущимся источником [14] в координатном и спектральном представлении (см. рис. 7, 8). С помощью него можно осуществить моделирование возмущения поверхности также в спектральном и координатном представлении. Для этого нужно воспользоваться формулой (4.1). Именно, нужно получить картину поверхностного поля скоростей в спектральном представлении, сдвинуть эту картину на постоянный волновой вектор возмущаемой ветровой волны и, далее, умножить на передаточную функцию (которая, заметим при этом, имеет особенности на целой линии). Затем осуществляется переход к исходным координатам x,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGqipy0df9vqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaWaaeWaaeaacaWG4b GaaiilaiaadshaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3BC7@ , описанным выше методом.

 

Рис. 7. Карты компонент v x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGak0dg9vrFfpeea0xh9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamODamaaBaaale aacaWG4baabeaaaaa@3C57@ , v y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGak0dg9vrFfpeea0xh9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaamODamaaBaaale aacaWG5baabeaaaaa@3C58@  поля скорости течений на поверхности жидкости в координатном представлении

 

Рис. 8. Вещественные составляющие Фурье-образов компонент скорости течения на поверхности жидкости:

компонента Re v ^ x MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGak0dg9vrFfpeea0xh9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaciOuaiaacwgace WG2bGbaKaadaWgaaWcbaGaamiEaaqabaaaaa@3E28@  а: в области [ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@ 2,2]×[ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@ 2,2] и б: MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@  в области [ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@ 0.25,0.25]×[ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfeqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39DA@ 0.25,0.25] вблизи начала координат (изометрическая проекция);

компонента Re v ^ y MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqeeuuDJXwAKbsr4rNC HbGeaGak0dg9vrFfpeea0xh9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaq pepm0xj9as0=LqLs=xirFfpeea0=as0Fb9pgea0lrP0xe9Fve9Fve9 qapdbaqaaeGacaGaamaabeqaaeqabiabaaGcbaGaciOuaiaacwgace WG2bGbaKaadaWgaaWcbaGaamyEaaqabaaaaa@3E29@  в: в области [ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@ 2,2]×[ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@ 2,2] и г: MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@  в области [ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39D9@ 0.25,0.25]×[ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfeqcLbqaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@39DA@ 0.25,0.25] вблизи начала координат (изометрическая проекция)

 

Поле скоростей на поверхности, изображенное на рис. 7, рассчитано с применением сеточного метода для уравнения Буссинеска с краевым условием свободной поверхности на верхней границе жидкости. Установлено хорошее соответствие между исходными полями скоростей и результатами применения прямого и обратного преобразования Фурье к ним (в спектральной области вблизи начала координат, см. рис. 8), что свидетельствует о достаточной точности численных методов при использовании преобразования Фурье.

Важный вопрос, который можно исследовать в рамках описанной модели MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@3A19@  влияние неоднородной стратификации жидкости на картину возмущений поля ветрового волнения.

Изложенные в настоящей работе методы позволяют осуществить «сквозное» моделирование:

  • стратифицированная водная среда,
  • поток, обтекающий неоднородности дна,
  • течение, вышедшее на поверхность океана, связанное с неоднородностью дна,
  • деформация ветрового волнения, вызванная течением,
  • флуктуации отраженных радиолокационных сигналов или собственного радиоизлучения поверхности океана.

Результаты расчетов, приведенные выше, были получены как на персональных компьютерах, так и с использованием вычислительных кластеров Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН (МСЦ РАН). Авторы выражают глубокую признательность руководству и сотрудникам МСЦ РАН, предоставившим возможность и техническую поддержку проведенных расчетов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, грант MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqef4uz3r3BUb acfaqcLbuaqaaaaaaaaaWdbiaa=zriaaa@3A1D@  24-61-00025 (https://rscf.ru/project/24-61-00025/).

×

Об авторах

Д. Ю. Князьков

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: knyaz@ipmnet.ru
Россия, Москва

А. С. Шамаев

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Email: sham@rambler.ru
Россия, Москва

Список литературы

  1. Нестеров С.В., Шамаев А.С., Шамаев С.И. Методы, процедуры и средства аэрокосмической компьютерной радиотомографии приповерхностных областей Земли. М.: Научный мир, 1996. 272 с.
  2. Gilman M.A., Sadov S.Yu., Shamaev A.S., Shamaev S.I. Computer simulation of the scattering of electromagnetic waves: some problems associated with remote radar sensing of the sea surface // J. of Comm. Technol. Electron. 2000. V. 45. № 2. P. 229–246.
  3. Bass F.G., Fuks I.M. Wave Scattering from Statistically Rough Surfaces Pergamon, 1979. 540 p.
  4. Кравцов Ю.А., Мировская Е.А., Попов А.Е., Троицкий И.А., Эткин В.С. Критические явления при тепловом излучении периодически неровной водной поверхности // Изв. АН СССР. ФАО. 1978. Т. 14. № 7. С. 733–739.
  5. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Случайные поля. М.: Мир, 1976. 428 с.
  6. Гершензон В.Е., Ирисов В.Г., Трохимовский Ю.Г., Эткин В.С. Критические явления в радиотепловом излучении неровной водной поверхности при произвольных углах наблюдения // Изв. вузов. Радиофизика. 1987. Т. 30. № 9. С. 1159–1183.
  7. Irisov V.G. Azimuthal variation of the microwave radiation from a slightly non Gaussian surface // Radio Sci. 2000. V. 35. № 1. P. 65–82.
  8. Лаврова О.Ю., Серебряный А.Н., Митягина М.И., Бочарова Т.Ю. Подспутниковые наблюдения мелкомасштабных гидродинамических процессов в северо-восточной части Черного моря // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. 2013. Т. 10. № 4. С. 308–322.
  9. Баханов В.В., Таланов В.И. Преобразование нелинейных поверхностных волн в поле неоднородных течений // в сб.: Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1999. Т. 2. С. 81–107.
  10. Монин А.С., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 375 с.
  11. Басович А.Я., Баханов В.В., Браво-Животовский Д.М. и др. О корреляции изменений спектральной плотности сантимеровых и дециметровых поверхностных волн в поле внутренней волны / Препринт № 153. Горький: ИПФ АН СССР, 1986. 9 с.
  12. Басович А.Я., Баханов В.В., Таланов В.И. Влияние интенсивных внутренних волн на ветровое волнение (кинематическая модель) // в сб.: Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. Горький: Изд-во ИПФ АН СССР, 1982. С. 8–30.
  13. Baydulov V.G., Knyazkov D., Shamaev A.S. Motion of mass source in stratified fluid // J. Phys.: Conf. Ser. V. 2224. 2021 2nd Int. Symp. on Automation, Information and Computing (ISAIC 2021) December 03 – 06 2021 Online. P. 012038–1–8. 2022. https://doi.org/10.1088/1742-6596/2224/1/012038
  14. Князьков Д.Ю., Байдулов В.Г., Савин А.С., Шамаев А.С. Прямые и обратные задачи динамики поверхностного волнения, вызванного обтеканием подводного препятствия // ПММ. 2023. Т. 87. Вып. 3. С. 442–453. https://doi.org/10.31857/S0032823523030074
  15. Knyazkov D., Shamaev A. Rectilinear motion of mass source in non-uniformly stratified fluid // AIP Conf. Proc. 2024. V. 3094(1). P. 500028-1-4. https://doi.org/10.1063/5.0210166
  16. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.
  17. Зарубин Н.А., Шамаев А.С. Исследование взаимодействия поверхностных ветровых волн с течением // Морские интеллект. технол. 2023. Т. 3. № 4. С. 93–99.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1. Радиолокационное изображение, полученное с помощью космического аппарата “Алмаз-1” в Северном море и батиметрическая схема участка съемки

Скачать (432KB)
3. Рис. 2. Явление резонансного рассеивания на периодической поверхности

Скачать (81KB)
4. Рис. 3. Обработка радиолокационного кадра с помощью процедуры усреднения.Сравнение различных масштабов задачи

Скачать (125KB)
5. Рис. 4. Схема обтекания подводного препятствия

Скачать (56KB)
6. Рис. 5. Трансформация ветровой ряби над обтекаемыми неоднородностями дна

Скачать (95KB)
7. Рис. 6. Поле скоростей на поверхности воды непосредственно над движущимся телом

Скачать (44KB)
8. Рис. 7. Карты компонент vx , vy поля скорости течений на поверхности жидкости в координатном представлении

Скачать (120KB)
9. Рис. 8. Вещественные составляющие Фурье-образов компонент скорости течения на поверхности жидкости: компонента  а: в области [2,2]×[2,2] и б:  в области [0.25,0.25]×[0.25,0.25] вблизи начала координат (изометрическая проекция); компонента  в: в области [2,2]×[2,2] и г:  в области [0.25,0.25]×[0.25,0.25] вблизи начала координат (изометрическая проекция)

Скачать (284KB)

© Российская академия наук, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».