Nonlinear spherical Foucault’s pendulum

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The movement of a nonlinear spherical pendulum in the noninertial Earth’s system of reference is considered. The article consists of three parts. The first part is devoted to the classical problem of the movement of the nonlinear spherical pendulum in inertial system of reference. We get some new results concerning the estimates of the apsidal angle. We give the critical analysis of previous publications (books and articles) on this problem. The second one is devoted to the classical problem of the Foucault pendulum. We study the problem in nonlinear case and get some new results concerning the precession of the trajectory of the nonlinear pendulum with initial conditions that were used in Foucault pendulum’s experiment. The third one (Application) is devoted to discussing and comparing this article’s results with previous results and explanations of the Foucault pendulum’ effects.

About the authors

G. M. Rozenblat

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS; Moscow State Automobile and Road Technical University (MADI)

Author for correspondence.
Email: gr51@mail.ru
Moscow, Russia; Moscow, Russia

References

  1. Krylov A.N.Two notes on mechanics // in: Sobr. Trudov. Tom 5. Moscow: Izd. AN SSSR, 1937. pp. 437–452. (in Russian)
  2. Leimanis E.The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point. Berlin;Heidelberg;N.Y.: Springer, 1965. 337 p.
  3. Diaz J.B., Metcalf F.T.Upper and lower bounds for the apsidal angle in the theory of the heavy symmetrical top // Arch. Rational Mech. Anal., 1964, vol. 16, pp. 214–229.
  4. Lagrange J.L.Mechanique Analitique. Paris: Veuve Desaint 1788, 2 parts or Oeuvres, vols. 11, 12. Paris: Gauthier-Villars, 1889.
  5. Routh E.J.A Treatise on Dynamics of a Particle with Numerous Examples. Cambridge: Univ. Press, 1898. 417 p.
  6. Appell P.Traite de Mecanique Rationnelle.Tome premiere. Statique. Dynamique du point. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1893. 549 p.
  7. Synge J.L., Griffith B.A.Principles of Mechanics. N.Y.;Toronto;London: McGraw-Hill Book Co. Inc., 1949. 530p.
  8. Zhuravlev V.Ph.A controlled Foucault pendulum as a model of a class of free gyros // Mech. of Solids, vol. 32, 1997, no. 6, pp. 21–28.
  9. Zhuravlev V.F., Petrov A.G.The Lagrange top and the Foucault pendulum in observed variables // Dokl. Phys., 2014, vol. 59, no. 1, pp. 35–39.
  10. Zhuravlev V.F., Petrov A.G., Shunderuk M.M.Selected Problems of Hamiltonian Mechanics. Moscow: Lenand, 2015. 304p.
  11. Foucault L.Demonstration physique du movement de la Terre au moyen du pendule // C.R. Acad. Sci. Paris, 1851, vol. 32, pp. 135–138.
  12. Weinstein A.The spherical pendulum and complex integration // Amer. Math. Monthly, 1942, vol. 49, pp. 521–523.
  13. Krylov A.N.Lectures on Approximate Calculations. Moscow: GITTL, 1954. 400 p. (in Russian)
  14. Puiseux V.Note sur le movement dʹun point pesant sur une sphere // J. Math. Pures Appl., 1842, vol. 7, pp. 517–520.
  15. Halphen G.Traite des fonctions elliptiques. T. 2, Paris: Gauthier-Villars, 1888. 128 p.
  16. Kohn W.Contour integration in the theory of spherical pendulum and the heavy symmetrical top // Trans. Amer. Math. Soc., 1946, vol. 59, pp. 107–131.
  17. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.Table of Integrals, Series, and Products. Seventh Edition. Academic Press (AP), Elsevier Inc., 2007. 1171 p.
  18. Klein F., Sommerfeld A.Uber die Theorie des Kreisels.N.Y.: E.A. Johnson Repr. Corp., 1965. 966 p.
  19. Greenhill A.G.Applications of Elliptic Functions. London: 1892.357p.
  20. Golubev Yu.Ph.Fundamentals of Theoretical Mechanics. Moscow: MSU Pub., 2000. 719 p. (in Russian)
  21. de la Vallee Poussin Ch.-J.Lecons De Mecanique Analytique. Tome 1. 1932.
  22. Lidov M.L.Course of Lectures on Theoretical Mechanics. Moscow: Fizmatlit, 2001. 478 p. (in Russian)
  23. Chetaev N.G.Theoretical Mechanics. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1987. 368 p. (in Russian)
  24. Kilchevsky N.A.Course of Theoretical Mechanics. Vol. 1. Kinematics, Statics, Dynamics of a Point. Moscow: Nauka, 1972. 456 p. (in Russian)
  25. Arnold V.I.Mathematical Methods of Classical Mechanics. N.Y.: Springer, 1989.
  26. Geronimus Ya.L.Theoretical Mechanics (Essays on the Basic Principles).. Moscow: Nauka, 1973. 512 p. (in Russian)
  27. SommerfeldA. Mechanics. Lectures on Theoretical Physics, Vol. 1. N.Y.: Acad. Press, 1952. 289 p.
  28. Petkevich V.V.Theoretical Mechanics. Moscow: Nauka, 1981. 496 p. (in Russian)
  29. Landau L.D., Lifshitz E.M.Mechanics. Butterworth–Heinemann, 1976. 170 p.
  30. Bolotin S.V., Karapetyan A.V., Kugushev E.I., Treschev D.V.Theoretical Mechanics. Moscow: Akademia, 2010. (in Russian)
  31. Barbashova T.F., Kugushev E.I., Popova T.V.Kinematica. Kinematics. General Theorems of Dynamics. Moscow: MCNMO, 2015. 344 p.
  32. Lyapunov A.M.Lectures on Theoretical Mechanics. Kiev: Naukova Dumka, 1982. 632 p.
  33. Klimov D.M.On the motion of Foucault pendulum // Mech. of Solids, 2015, vol. 50, pp. 317.
  34. Arnold V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I.Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics. Springer, 2010. 266 p.
  35. Pars L.A.A Treatise on Analytical Dynamics. London: Heineman, 1965. 641 p.
  36. Zhukovsky N.E.Theoretical Mechanics. Moscow;Leningrad: GITTL, 1952. 811 p.
  37. Rozenblat G.M.Estimates of the average angular velocity of the precession of Lagrange’s top // Dokl. Phys., 2019, vol. 64, no. 3, pp. 114–119.
  38. Zhuravlev V.Ph.On the question of estimates of the Magnus effect// Dokl. AN SSSR, 1976, vol. 226, no 3, pp. 541–543. (in Russian)
  39. Zhuralev V.Ph., Rozenblat G.M.Paradoxes, Counterexamples and Mistakes in Mechanics. Moscow: Lenand, 2017. 240 p. (in Russian)
  40. Rozenblat G.M.On precession of Lagranges top // PMM, 2024; vol. 88, iss. 1, pp. 34–52.
  41. Markeev A.P.Theoretical Mechanics. Moscow;Izhevsk: NIC R&C Dyn., 712 p.
  42. Lojcjansky L.G., Lurje A.I.Course of Theoretical Mechanics: in 2 Vols. Vol. 2. Dynamics. Moscow: Nauka, 1983.
  43. Beryezkin E.N.The Theoretical Mechanics Course. Moscow: MSU Pub., 1974. 646 p. (in Russian)
  44. Bukhgolts N.N.Basic Course of Theoretical Mechanics. Vol. 1: Kinematics, Statics, Dynamics of a Material Point. Moscow: Nauka, 1965. 467 p.
  45. Markeev A.P.On nondegeneracy of the Hamiltonian function for a spherical pendulum // Dokl. Phys., 2010, vol. 55, pp. 33–38. https://doi.org/10.1134/S1028335810010076
  46. Smirnov A.S., Smolnikov B.A.Mechanics of a Spherical Pendulum. St Petersburg: Politech Press, 2019. 266p.
  47. Borisov A.V., Mamaev I.S.Rigid Body Dynamics. Studies in Mathematical Physics, Vol. 52. Higher Education Press, 2019. 520p.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».