Fracture Criteria for Matrix and Fibers in Unidirectional Polymeric Composites at Static Loadings

Full Text

1. Введение. Необходимым условием достижения современных прочностно-весовых и эксплуатационных характеристик несущих конструкций является максимальное применение в них непрерывно-волоконных слоистых полимерных композиционных материалов (ПКМ). Полное чисто экспериментальное обоснование прочности новых изделий из ПКМ является чрезвычайно многоуровневым и слишком ресурсозатратным. Расчетные исследования конструктивных решений и сопровождение всех уровней испытаний на основе более надежных теорий позволяет существенно сократить объем необходимых испытаний и повысить эффективность отработки прочности изделия.

Расчеты на прочность конструкций из ПКМ во многом основываются на критериях прочности составляющих его слоев (монослоев) – однонаправленно армированных композитов. К настоящему времени предложено довольно много критериев прочности монослоев. Однако проблема повышения надежности и устойчивости условий прочности остается до сих пор актуальной. Различные критерии дают значительный разброс в оценках прочности. Большое число параметров критерия обуславливает не единственность их набора. Сильная нелинейность критериев приводит к их неустойчивости по входным данным и не позволяет определить их параметры в составе конструкции. Коэффициент запаса прочности на данные ограничения все еще назначается очень большим.

Нарушение прочности композита вообще может иметь разный характер и происходить по различным механизмам разрушения и неустойчивости. Механически обоснованные условия прочности учитывают характер и механизмы разрушения и соответствуют наименьшей разрушающей нагрузке. Потеря прочности однонаправленного композита происходит частично из-за разрушения волокон, частично из-за разрушения матрицы.

Широкая экспериментальная проверка многих предложенных критериев разрушения матрицы (и/или ее границы с волокном) показывает, что в настоящее время перспективными выглядят критерии, определяемые условием достижения на некоторой площадке вдоль волокон критической величины заданной комбинации касательных и нормальных напряжений [1–10]. Если на этой площадке критериальная комбинация напряжений достигает наибольшей величины, то критерий определяет разрушение при наименьшей нагрузке. Таким, например, является известный критерий [5–7]. В пространстве касательных и нормальных напряжений, действующих на площадке, данный критерий описывает предельную поверхность, которая является строго выпуклой. Она состоит из смежных поверхностей эллипсоида и эллиптического параболоида. Хотя вид предельной поверхности выбирается с учетом опыта, но, очевидно, что в первом приближении всегда можно выпуклую поверхность аппроксимировать невогнутой, например, конической поверхностью второго порядка. Нестрогая выпуклость, очевидно, пойдет в запас прочности, не изменяя при этом характера и механизма разрушения. С другой стороны, такое упрощение критерия способствует повышению его надежности и устойчивости. Подобная аппроксимация также рассматривалась в [5]. Однако на тот момент для конической предельной поверхности не было решения, позволяющего аналитически определить площадку с наибольшей величиной критериальной комбинации напряжений. Для плоского напряженного состояния это решение дано в [11]. Оно имеет вид простой конечной формулы.

Однако для случаев объемного напряженного состояния аналитического определения такой критической площадки критерия [5–7] к настоящему времени не получено, ее находят численными методами [12–13]. Но именно аналитическое решение после его подстановки в выражение критерия позволяет записать последний в виде соотношения лишь между компонентами тензора напряжений. Благодаря этому отпадает необходимость отдельно решать задачу на экстремум для определения площадки с наибольшей величиной критериальной комбинации напряжений.

В критерии [5–7] в качестве характеристических констант входят некоторые геометрические параметры предельной поверхности, величины которых даются авторами. Однако постоянные материала обычно должны определяться независимо из стандартизованных и общепринятых испытаний.

При наличии нормального растяжения на критической площадке обычно предполагается, что она всегда перпендикулярна плоскости волокон, является фиксированной и не меняется с изменением напряженного состояния. Однако при этом предположении остается открытым вопрос, достигает ли критериальное соотношение наибольшей величины именно и всегда на этой площадке. Относительно применения критериев при наличии нормального растяжения на критической площадке могут быть высказаны такие же, как и высказываемые для условия Мора, определенные сомнения. Однако хорошо известно, что чистый отрыв, по-видимому, не наблюдается, отрыв сопровождается деформациями сдвига. Поэтому нельзя исключать того, что, например, при чистом растяжении поперек волокон максимум критерия реализуется на площадке, не ортогональной к направлению растяжения.

Что касается критерия прочности однонаправленного композита по условию разрушения волокон, то в качестве такового часто принимается равенство компоненты тензора напряжений вдоль волокон пределу продольной прочности [1, 4, 7]. Однако такой критерий может приводить к результату, который противоречит опыту. Например, согласно этому критерию, прочность в направлении одноосной нагрузки под углом к оси волокон возрастает с увеличением этого угла [10].

Целью настоящей работы является:

− формулировка на основе конических предельных поверхностей критерия прочности однонаправленных композитов по условию разрушения матрицы, надежно определяющего наименьшую разрушающую нагрузку;

− формулировка критерия прочности по условию разрушения волокон, непротиворечащего опыту при внеосевом нагружении;

− вывод уравнения и получение его аналитических решений, определяющих площадки с наибольшей величиной критериальной комбинации напряжений при объемном напряженном состоянии;

− определение системы уравнений и нахождение ее решений, определяющих смену механизмов потери прочности композита от разрушения волокон к разрушению матрицы, и наоборот;

− получение соотношений для определения характеристических параметров критериев прочности из стандартизованных и общепринятых установочных испытаний;

− экспериментальная проверка предложенных критериев и их сравнение с известными критериями прочности при объемном, плоском и одномерном нагружениях.

Некоторые основные результаты этой работы были анонсированы в [14].

2. Критерий прочности по условию разрушения матрицы. Пусть ${\sigma }_{ij}$ – компоненты тензора напряжений в декартовой прямоугольной системе координат $\left(x_1,x_2,x_3\right)$, оси $x_1,x_2$ которой лежат в плоскости волокон и направлены соответственно вдоль и поперек волокон, $i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$. Составляющие вектора напряжения, действующего на площадке с нормалью $n=\left(\mathrm{0,}\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$ [4], даются формулами

${\sigma }_{nn}\left(\alpha \right)={\sigma }_{ij}{n}_j{n}_i,$ ${\sigma }_{nt}\left(\alpha \right)={\sigma }_{ij}{n}_j{t}_i,$ ${\sigma }_{nl}\left(\alpha \right)={\sigma }_{ij}{n}_j{l}_i,$ (2.1)

где ${\sigma }_{nn}$ – нормальное напряжение, ${\sigma }_{nt}$ – касательное напряжение поперек волокон в направлении вектора $t=\left(\mathrm{0,}-\sin \alpha ,\cos \alpha \right)$, ${\sigma }_{nl}$ – касательное напряжение вдоль волокон в направлении вектора $l=\left(\mathrm{1,0,0}\right)$.

Критерий прочности однонаправленного композита по условию адгезионного разрушения интерфейса волокно–матрица или/и когезионного разрушения матрицы между волокнами записывается в виде [11]

$F_{\ast }^{\pm }\equiv {\sigma }_{nn}\left({\alpha }_{\ast }^{\pm }\right)+\sqrt{{\left[m_t^{\pm }{\sigma }_{nt}\left({\alpha }_{\ast }^{\pm }\right)\right]}^2+{\left[m_l^{\pm }{\sigma }_{nl}\left({\alpha }_{\ast }^{\pm }\right)\right]}^2}=Y^{\pm },$ (2.2)

где угол ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }$ соответствует критической площадке, на которой функция критерия $F^{\pm }\left[{\sigma }_{ns}\left({\alpha }^{\pm }\right)\right]$, $\left(s=n,t,l\right)$, при данном напряженном состоянии $\left({\sigma }_{ij}\right)$ достигает своей наибольшей величины,

$F_{\ast }^{\pm }\equiv F_{\ast }^{\pm }\left[{\sigma }_{ns}\left({\alpha }_{\ast }^{\pm }\right)\right]={\sup }_{{\alpha }^{\pm }}{F}^{\pm }\left[{\sigma }_{ns}\left({\alpha }^{\pm }\right)\right]$ (2.3)

В (2.2), (2.3) индекс «+» отвечает случаю ${\sigma }_{nn}\ge 0$, индекс «–» – ${\sigma }_{nn}\le 0$. В обеих частях равенств эти индексы берутся одинаковыми. В частном случае ${\sigma }_{nt}=0$ и ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }=0$ критерий (2.2) совпадает с [2, 3]. Функция $F^{\pm }$ является неаналитической первой степени однородности относительно компонент тензора напряжений. Очевидно, что (2.2) также можно представить квадратичным критерием [11].

Для фиксированной критической площадки ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }={\mathrm{const}}^{\pm }$ уравнение (2.2) в пространстве напряжений $\left({\sigma }_{nt},{\sigma }_{nl},{\sigma }_{nn}\right)$ при ${\sigma }_{nn}\le 0$ описывает усеченную плоскостью ${\sigma }_{nn}=0$ эллиптическую коническую поверхность второго порядка $F_{\ast }^{-}=0$, при ${\sigma }_{nn}\ge 0$ – отделенную той же плоскостью вершинную часть эллиптической конической поверхности $F_{\ast }^{+}=0$. Ось ${\sigma }_{nn}$ является общей осью симметрии для обеих поверхностей. В сечении плоскостью ${\sigma }_{nl}=0$ углы полураствора этих конусов равны

$\mathrm{arctg}\left(-1/m_t^{\pm }\right)$, а в сечении ${\sigma }_{nt}=0$ – $\mathrm{arctg}\left(-1/m_l^{\pm }\right)$

Из (2.2) при ${\sigma }_{nl}=0$ можно получить, что $1/m_t^{\pm }=-\left(d{\sigma }_{nt}/d{\sigma }_{nn}\right)$, а при ${\sigma }_{nt}=0$ получаем $1/m_l^{\pm }=-\left(d{\sigma }_{nl}/d{\sigma }_{nn}\right)$. Величина вектора касательного напряжения на площадке n есть ${\sigma }_{n\psi }=\sqrt{{\sigma }_{nt}^2+{\sigma }_{nl}^2}$. Этот вектор направлен под углом $\psi =\mathrm{arctg}\left({\sigma }_{nl}/{\sigma }_{nt}\right)$ к направлению его составляющей ${\sigma }_{nt}$. Обозначим ${\overline{S}}_{\psi }={\sigma }_{n\psi }$ при ${\sigma }_{nn}=\mathrm{const}$, тогда ${\sigma }_{nt}={\overline{S}}_{\psi }\cos \psi$, ${\sigma }_{nl}={\overline{S}}_{\psi }\sin \psi$ и (2.2) записывается в виде

${\sigma }_{nn}+{\overline{S}}_{\psi }\sqrt{{m_t^{\pm }}^{{}^2}{\cos }^2\psi +{m_l^{\pm }}^{{}^2}{\sin }^2\psi }=Y^{\pm }$ (2.4)

Пусть далее $S_{\psi }={\sigma }_{n\psi }$ при ${\sigma }_{nn}=0$, тогда из (2.4) имеем

$S_{\psi }=Y^{\pm }/\sqrt{{m_t^{\pm }}^{{}^2}{\cos }^2\psi +{m_l^{\pm }}^{{}^2}{\sin }^2\psi }$, поэтому (2.4) можно переписать в виде

${\sigma }_{nn}+\frac{{\overline{S}}_{\psi }}{S_{\psi }}{Y}^{\pm }=Y^{\pm },$ (2.5)

откуда, обозначив $1/m_{\psi }^{\pm }=-{\left(d{\overline{S}}_{\psi }/d{\sigma }_{nn}\right)}_{{\sigma }_{nn}=0}$, получаем, что

$m_{\psi }^{\pm }=\sqrt{{m_t^{\pm }}^{{}^2}{\cos }^2\psi +{m_l^{\pm }}^{{}^2}{\sin }^2\psi },$ (2.6)

и критерий (2.2) можно записать в виде

$F_{\ast }^{\pm }\equiv {\sigma }_{nn}\left({\alpha }_{\ast }^{\pm }\right)+m_{\psi }^{\pm }\left(\psi \right)\times \sqrt{{\left[{\sigma }_{nt}\left({\alpha }_{\ast }^{\pm }\right)\right]}^2+{\left[{\sigma }_{nl}\left({\alpha }_{\ast }^{\pm }\right)\right]}^2}=Y^{\pm }$ (2.7)

С другой стороны, зависимость (2.6) следует из эквивалентности (2.2) и (2.7) с учетом выражения для угла $\psi =\mathrm{arctg}\left({\sigma }_{nl}/{\sigma }_{nt}\right)$.

Вследствие (2.3) предельная поверхность (2.2) является огибающей для ${\alpha }^{\pm }$ – семейств конических поверхностей $F^{\pm }\left[{\sigma }_{ns}\left({\alpha }^{\pm }\right)\right]$, что обуславливает ограниченность (2.2) [11].

3. Материальные параметры критерия (2.2). Постоянные $m_t^{\pm }$, $m_l^{\pm }$ и $Y^{\pm }$ могут быть найдены по результатам стандартизованных и общепринятых испытаний образцов на разрушение. В испытаниях при одноосном растяжении-сжатии перпендикулярно волокнам при разрушении ${\sigma }_{22}=S_{22}^{\pm }$, ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }={\alpha }_{\ast \perp }^{\pm }$. В испытаниях при сдвиге вдоль волокон при разрушении ${\sigma }_{21}=S_{21}$ и ${\alpha }_{\ast }={\alpha }_0$. По данным этих испытаний из (2.2) (2.3) и формул (2.1) следуют соотношения для определения параметров критерия по характеристическим константам материала:

$m_t^{\pm }=\left(\mathrm{sgn}{\sigma }_{nn}\right)tg2{\alpha }_{\ast \perp }^{\pm },$ $Y^{\pm }=\frac{1}{2}{S}_{22}^{\pm }\left(1+1/\cos 2{\alpha }_{\ast \perp }^{\pm }\right),$ ${\alpha }_0=\mathrm{0,}$ $m_l^{\pm }=\frac{Y^{\pm }}{S_{21}}$ (3.1)

В сечении ${\sigma }_{nn}=0$ критерий (2.2) непрерывен и является эллипсом с полуосями:

$\frac{Y^{+}}{m_t^{+}}=\frac{Y^{-}}{m_t^{-}},$ $\frac{Y^{+}}{m_l^{+}}=\frac{Y^{-}}{m_l^{-}}$  (3.2)

Согласно (3.1), второе равенство (3.2) выполняется тождественно, первое же равносильно соотношению

${\alpha }_{\ast \perp }^{+}=\mathrm{arctg}\left(-\frac{S_{22}^{+}}{S_{22}^{-}}\mathrm{tg}{\alpha }_{\ast \perp }^{-}\right)$ (3.3)

Благодаря этой формуле из опыта достаточно определить один из углов, например, ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}$, тогда ${\alpha }_{\ast \perp }^{+}$ находится по (3.3).

К настоящему времени отсутствует общепринятый стандарт на испытания по определению углов ${\alpha }_{\ast \perp }^{\pm }$. В опытах получали узкий диапазон значений угла ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}$ для стекло- и углепластиков, ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}=53°\pm 3°$ [5, 15, 16]. В расчетной практике обычно используют ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}$ из этого диапазона [17]. Тогда по (3.3) соответствующий диапазон ${\alpha }_{\ast \perp }^{+}=15°\pm 1.5°$, если принять, например, что $S_{22}^{+}/\left|S_{22}^{-}\right|=0.2$, как в углепластике T700S/2592.

В случае равенства параметров $m_t^{\pm }=m_l^{\pm }$ вообще нет необходимости определять и ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}$ из опыта. В этом случае поверхность $F_{\ast }^{\pm }=0$ в сечении ${\sigma }_{nn}=0$ является окружностью и угол ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}$ можно определить по характеристическим прочностям $S_{22}^{-}$ и $S_{21}$ согласно формуле [11]:

${\alpha }_{\ast \perp }^{-}=-\frac{1}{2}\arccos \left(\frac{4S_{12}^2/{S_{22}^{-}}^{{}^2}-1}{4S_{12}^2/{S_{22}^{-}}^{{}^2}+1}\right)$ (3.4)

Если известны разрушающие напряжения при поперечном растяжении-сжатии $S_{22}^{\pm }$ и при продольном сдвиге $S_{21}$, а также параметр ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}$, то можно построить предельную поверхность критерия (2.2), которая позволяет с достаточной надежностью и минимальным риском судить о прочности в и других случаях напряженного состояния. Это обусловлено с одной стороны тем, что предельная поверхность является лишь невогнутой, а не строго выпуклой, а с другой – она определяет наименьшую разрушающую нагрузку. Небольшое число параметров критерия (2.2) также способствует их надежному определению.

Из натурных изделий, обладающих существенной кривизной, бывает невозможно вырезать композитные образцы эталонной формы. В этом случае для определения разрушающих напряжений можно использовать криволинейные образцы [18].

При достаточном числе имеющихся экспериментальных точек параметры критерия могут также определяться методом наименьших квадратов с учетом связей (3.1).

4. Объемное напряженное состояние. Угол ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }$, который фигурирует в критерии (2.2) или (2.7), является, согласно (2.3), решением следующего уравнения:

$\begin{array}{c}\left[{m_t^{\pm }}^{{}^2}+1\right]\left\{\left[\frac{1}{4}{\left({\sigma }_{22}-{\sigma }_{33}\right)}^2-{\sigma }_{23}^2\right]\right.\sin 4{\alpha }_{\ast }^{\pm }+\left.{\sigma }_{23}\left({\sigma }_{33}-{\sigma }_{22}\right)\cos 4{\alpha }_{\ast }^{\pm }\right\}+\\ +\frac{1}{2}{m_l^{\pm }}^{{}^2}\left[\left({\sigma }_{31}^2-{\sigma }_{21}^2\right)\sin 2{\alpha }_{\ast }^{\pm }+2{\sigma }_{21}{\sigma }_{31}\cos 2{\alpha }_{\ast }^{\pm }\right]+\\ +\left[Y^{\pm }-\frac{1}{2}\left({\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}\right)\right]\left[\begin{array}{c}\left({\sigma }_{33}-{\sigma }_{22}\right)\sin 2{\alpha }_{\ast }^{\pm }+\\ +2{\sigma }_{23}\cos 2{\alpha }_{\ast }^{\pm }\end{array}\right]=0\end{array}$ (4.1)

При лишь ${\sigma }_{21}\ne 0$ (а все остальные компоненты тензора напряжений равны нулю), решение (4.1) есть угол ${\alpha }_{\ast }^{\pm }={\alpha }_0=0$. Это решение совпадает с соотношением из (3.1), полученным ранее другим путем непосредственно из (2.1), (2.2). Аналогично, при лишь ${\sigma }_{31}\ne 0$ из (4.1) имеем ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }=\pi /2$, которое также является механически очевидным. При лишь ${\sigma }_{22}\ne 0$, ${\sigma }_{22}=S_{22}^{\pm }$ с использованием соотношения для в (3.1) из (4.1) получаем углы ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }={\alpha }_{\ast \perp }^{\pm }$, которые соответствуют данному установочному нагружению.

Для некоторых видов сложного объемного напряженного состояния также можно получить аналитические решения уравнения (4.1). В случае когда $\psi =\pi /2$, имеем напряженное состояние в плоскости ${\sigma }_{nt}=0$, которое, например, имеет место при ${\sigma }_{22}={\sigma }_{33}$ и ${\sigma }_{23}=0$. Тогда из (4.1) с использованием (2.1) и (2.3) найдем, что

${\alpha }_{\ast }^{\pm }=\mathrm{arctg}\frac{{\sigma }_{31}}{{\sigma }_{21}}$ (4.2)

Подставив (4.2) в (2.2), можем записать этот критерий прочности в виде соотношения, определяемого лишь компонентами тензора напряжений,

$\frac{{\sigma }_{22}{\sigma }_{21}^2+{\sigma }_{33}{\sigma }_{31}^2+4{\sigma }_{21}{\sigma }_{31}{\sigma }_{23}}{{\sigma }_{21}^2+{\sigma }_{31}^2}+m_l^{\pm }\sqrt{{\sigma }_{21}^2+{\sigma }_{31}^2}=Y^{\pm }$ (4.3)

При ${\sigma }_{31}=0$ или ${\sigma }_{21}=0$ этот критерий является линейным.

Аналогично, в случае, когда $\psi =0$, имеем напряженное состояние в плоскости ${\sigma }_{nl}=0$, которое, например, реализуется при ${\sigma }_{21}={\sigma }_{31}=0$ и при котором решение (4.1)

${\alpha }_{\ast }^{\pm }=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{2{\sigma }_{23}-m_t^{\pm }\left({\sigma }_{22}-{\sigma }_{33}\right)}{{\sigma }_{22}-{\sigma }_{33}+2m_t^{\pm }{\sigma }_{23}},$ (4.4)

и критерий (2.2) записывается в следующем виде:

${\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}+\sqrt{\left[{m_t^{\pm }}^{{}^2}+1\right]\left[{\left({\sigma }_{22}-{\sigma }_{33}\right)}^2+4{\sigma }_{23}^2\right]}=2Y^{\pm }$ (4.5)

Этот критерий является линейным при условии равенства ${\sigma }_{22}={\sigma }_{33}$.

В общем случае объемного напряженного состояния решения уравнения (4.1) для определения углов ${\alpha }_{\ast }^{\pm }$ легко достигаются элементарными численными методами.

Отметим, что преимущество критериев (4.3) и (4.5) обусловлено учетом в них зависимости прочности от направления площадки разрушения – угла ${\alpha }_{\ast }^{+}$ при наличии поперечного растяжения. Например, для критерия (4.3) это может проявиться в экспериментах при ${\sigma }_{22}={\sigma }_{33}$, ${\sigma }_{23}=0$ и ${\sigma }_{31}\gg {\sigma }_{21}$. Аналогично, для критерия (4.5) – при $2{\sigma }_{23}-m_t^{+}({\sigma }_{22}-{\sigma }_{33})\gg$ ${\sigma }_{22}-{\sigma }_{33}+2m_t^{+}{\sigma }_{23}$. Опыт с данными объемными напряженными состояниями трудно реализовать в лаборатории, но они нередко встречаются на практике, причем в весьма ответственных местах конструкций из полимерных композитов. Таковыми, например, являются области сопряжения ребер жесткости с плоскостью обшивки крыла.

Одновременно в области растягивающих нормальных напряжений критерии (4.3) и (4.5) позволяют описать разрушения, которые имеют направления, отличные от направления армирования.

5. Плоское напряженное состояние. Рассмотрим тонкостенные тела, например пластины или оболочки из однонаправленных ПКМ, нагруженных силами, лежащими в их срединной плоскости, когда средние напряжения ${\sigma }_{33}={\sigma }_{32}={\sigma }_{31}=0$. Тогда уравнение (4.1) также позволяет получить решение в виде формулы

${\alpha }_{\ast }^{\pm }=\frac{1}{2}\arccos \left(\frac{m_l^{{\pm }^2}{\sigma }_{21}^2-{\sigma }_{22}^2+2Y{\sigma }_{22}}{\left[m_t^{{\pm }^2}+1\right]{\sigma }_{22}^2}\right),$ (5.1)

которая после преобразований с учетом (2.2) приобретает вид

${\alpha }_{\ast }^{\pm }=\left\{\begin{array}{c}0\frac{1}{\sqrt{1+m_t^{{\pm }^2}}}\frac{Y^{\pm }}{\left|{\sigma }_{22}\right|}\ge 1\\ \arccos {\left(\frac{Y^{{\pm }^2}}{{\sigma }_{22}^2\left(1+m_t^{{\pm }^2}\right)}\right)}^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{1+m_t^{{\pm }^2}}}\frac{Y^{\pm }}{\left|{\sigma }_{22}\right|}\le 1\end{array}\right.$ (5.2)

Формула (5.2) для случая ${\sigma }_{nn}\le 0$ совпадает с формулой, которая была получена ранее другим путем [11].

Подставив (5.2) в (2.2), с учетом (2.1) и (3.1) окончательно получим критерий прочности в виде следующих двух критериальных равенств:

$\frac{{\sigma }_{21}}{S_{21}}+\frac{{\sigma }_{22}}{S_{22}^{\pm }}\left(1-{\mathrm{tg}}^2{\alpha }_{\ast \perp }^{\pm }\right)=1$, при $0\le {\sigma }_{22}\le S_{22}^{+}{\cos }^2{\alpha }_{\ast \perp }^{+}$, $S_{22}^{-}{\cos }^2{\alpha }_{\ast \perp }^{-}\le {\sigma }_{22}\le 0$ (5.3)

$\frac{{\sigma }_{22}}{S_{22}^{\pm }}+\frac{{\sigma }_{21}^2}{{\sigma }_{22}}\frac{S_{22}^{\pm }}{S_{21}^2}\frac{1}{4{\mathrm{tg}}^2{\alpha }_{\ast \perp }^{\pm }}=1$, при $S_{22}^{+}{\cos }^2{\alpha }_{\ast \perp }^{+}\le {\sigma }_{22}\le S_{22}^{+}$, $S_{22}^{-}\le {\sigma }_{22}\le S_{22}^{-}{\cos }^2{\alpha }_{\ast \perp }^{-}$ (5.4)

Указанные в (5.3) отрезки поперечного напряжения ${\sigma }_{22}$ соответствуют верхней строке решения (5.2) для ${\alpha }_{\ast }^{\pm }$, а отрезки в (5.4) – нижней строке этого решения. Первому решению ${\alpha }_{\ast }^{\pm }=\mathrm{const}=0$ отвечает линейный критерий (5.3), второму решению ${\alpha }_{\ast }^{\pm }={\alpha }_{\ast }^{\pm }\left({\sigma }_{22}\right)$ – квадратичный критерий (5.4). Используя (2.2), (2.1) и (3.1), можно также получить отрезки для напряжения ${\sigma }_{21}$, соответствующие данным отрезкам для ${\sigma }_{22}$.

На координатной плоскости $\left({\sigma }_{22},{\sigma }_{21}\right)$ критерий (5.3) описывает ломаную с вершиной в точке $\left(\mathrm{0,}{S}_{21}\right)$ и звеньями, расположенными в двух смежных вертикальных полосах, граница которых есть ось ${\sigma }_{21}$ и ширины равны соответствующим отрезкам (5.3). Критерий (5.4) описывает части кривой эллипсов, расположенных также в двух вертикальных полосах, которые разделены предыдущими полосами и имеющие ширины, равные соответствующим отрезкам (5.4). Одни концы этих кривых примыкают к соответствующему краям ломаной (5.3), а другие – лежат на оси ${\sigma }_{22}$ в соответствующих точках $\left(S_{22}^{\pm }\mathrm{,0}\right)$.

6. Критерий прочности по условию разрушения волокон, смена механизмов разрушения. Если в качестве критерия прочности по условию разрушения (неустойчивости) волокон принять часто используемое равенство компоненты ${\sigma }_{11}$ тензора напряжений вдоль волокон пределу $S_{11}^{\pm }$ продольной прочности

${\sigma }_{11}=S_{11}^{\pm },$ (6.1)

то, например, при одноосном растяжении-сжатии под углом $\beta$ к оси волокон прочность ${\sigma }_{\beta }$ в направлении приложенной нагрузки растет с ростом $\beta$ согласно зависимости

${\sigma }_{\beta }=\frac{S_{11}^{\pm }}{{\cos }^2\beta }$ (6.2)

Это очевидно противоречит опыту, в действительности ${\sigma }_{\beta }$ снижается с возрастанием $\beta$ [10].

В конструкционных пластиках смена механизмов потери прочности от разрушения волокон к разрушению матрицы, и обратно, вообще происходит лишь при весьма малых углах $\beta ={\beta }_{\ast }^{\pm }$, $\left({\beta }_{\ast }^{\pm }\le 5°\right)$ [10, 19]. Простейший критерий прочности по условию разрушения волокон можно записать в виде

${\sigma }_{mm}^{\pm }=S_{11}^{\pm }$ при $\left|{\beta }^{\pm }\right|\le \left|{\beta }_{\ast }^{\pm }\right|$, (6.3)

где $m=\left(m_1,m_2,m_3\right)$, $m_1=\cos \beta$, $m_2^2+m_3^2={\sin }^2\beta$.

При $\beta =0$ (6.3) совпадает с равенством (6.1). При одноосном нагружении (6.3) совпадает с критерием [10].

Угол $\beta$ в (6.3) определяется этим равенством. При плоском напряженном состоянии, с учетом малости $\beta$ и пренебрегая его квадратом, получим, что

$\left|{\beta }^{\pm }\right|=\left|\frac{S_{11}^{\pm }-{\sigma }_{11}}{2{\sigma }_{21}}\right|$ (6.4)

Угол ${\beta }_{\ast }^{\pm }$ смены механизмов потери прочности в принципе можно определить по данным испытаний на разрушение, например, при растяжении-сжатии под различными углами $\beta$. Однако из-за узкого диапазона ${\beta }_{\ast }^{\pm }$ и разброса измеряемых данных такое определение ${\beta }_{\ast }^{\pm }$ вряд ли надежно. С другой стороны,  ${\beta }_{\ast }^{\pm }$ является решением системы двух уравнений, (6.3) и (2.2). При плоском напряженном состоянии эта система сводится, согласно (5.3) и (6.3), к одному уравнению

$\frac{S_{11}^{\pm }}{2S_{21}}\sin 2{\beta }_{\ast }^{\pm }+\frac{S_{11}^{\pm }}{S_{22}^{\pm }}\left(1-{\mathrm{tg}}^2{\alpha }_{\ast \perp }^{\pm }\right){\sin }^2{\beta }_{\ast }^{\pm }=1$ (6.5)

С учетом малости угла ${\beta }_{\ast }^{\pm }$ приблизительно $\sin 2{\beta }_{\ast }^{\pm }=2{\beta }_{\ast }^{\pm }$, ${\sin }^2{\beta }_{\ast }^{\pm }={{\beta }_{\ast }^{\pm }}^{{}^2}$. Тогда, пренебрегая квадратом ${\beta }_{\ast }^{\pm }$, уравнение (6.5) дает простую формулу

$\left|{\beta }_{\ast }^{\pm }\right|=\frac{S_{21}}{\left|S_{11}^{\pm }\right|}$ (6.6)

Из (6.6) и (6.4) следует, что нарушение прочности от разрушения волокон не произойдет в том случае, когда

$\left|{\sigma }_{11}{S}_{11}^{\pm }-{S_{11}^{\pm }}^{{}^2}\right|>2\left|{\sigma }_{21}\right|S_{21}$ (6.7)

Для углепластика T700S/2592 $S_{11}^{+}=1887.1$ МПа, $S_{11}^{-}=-806.5$ МПа и $S_{21}=56.1$ МПа [20], и согласно (6.6) при ${\sigma }_{mm}^{+}>0$, ${\beta }_{\ast }^{+}\approx 1.7°$, а при ${\sigma }_{mm}^{-}<0$ –${\beta }_{\ast }^{+}\approx 4°$.

Также из (6.6) следует, что диапазон ${\beta }_{\ast }^{\pm }$ работы волокон в композите возрастает вместе с сопротивлением матрицы сдвигу вдоль волокон. С другой стороны, прочность волокна не должна быть слишком велика.

7. Экспериментальная проверка критериев прочности, сравнение с известными условиями разрушения

7.1. Объемное напряженное состояние. На рис. 1 представлены экспериментальные данные по разрушению однонаправленного углепластика T300/PR319 в двух случаях объемного напряженного состояния, которые реализуются в толстостенных трубчатых слоистых образцах приложением к ним давления p и торцевого крутящего момента [21, 22]. Эти состояния отвечают действию комбинации нормальных сжимающих напряжений ${\sigma }_{11}={\sigma }_{22}={\sigma }_{33}=p$ и одного из касательных напряжений: либо ${\sigma }_{21}$ (90°-трубка, монослои (волокна) уложены в окружном направлении, (кружки)), либо ${\sigma }_{31}$ (0°-трубка, монослои (волокна) уложены в осевом направлении, (квадратики)) [21, 22]. В обоих случаях исходный материал слоев (препрег) и геометрия образцов были идентичны, однако технологии их изготовления были различны. Поэтому авторы предупредили о том, что соответствующие измеренные механические величины этих образцов нельзя сопоставлять. Для сравнения с теорией мы будем использовать данные по разрушению 90°-трубки.

Рис. 1

Данные нагружения соответствуют случаю объемного напряженного состояния с $\psi =\pi /2$, ${\sigma }_{nt}=0$, для которого получен критерий (4.3). Используем эти опытные данные для проверки критерия (4.3).

Прочностные константы материала $S_{21}=S_{31}=97$ МПа, $S_{22}^{-}=-125$ МПа [23]. Величина $m_l^{-}\cong 8.55$ была найдена при обработке экспериментальных данных ${\sigma }_{21}\text{ - p}$ в диапазоне умеренных давлений $p\le 300$ МПа методом наименьших квадратов с учетом связей (3.1). Тогда также из (3.1) был определен характеристический угол материала ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}\cong 47°$, который оказался близок к значению 50°, принятому для этого же материала в [24].

Для рассматриваемых объемных напряженных состояний критерий (4.3) является линейным соотношением между ${\sigma }_{21}$ и p в 90°-трубке или ${\sigma }_{31}$ и p в 0°-трубке

$p+m_l^{-}{\sigma }_{21}=Y^{-},$ $p+m_l^{-}{\sigma }_{31}=Y^{-}$ (7.1)

Согласно (4.2), в обоих состояниях угол ${\alpha }_{\ast }^{-}$ является постоянным, а именно, в 90°-трубке ${\alpha }_{\ast }^{-}=0$, в 0°-трубке ${\alpha }_{\ast }^{-}=\pi /2$.

Уравнения (7.1) на плоскости $\left(p\text{,}{\sigma }_{21}\right)$ или $\left(p\text{,}{\sigma }_{31}\right)$ описывают одну и ту же прямую, отрезок которой в диапазоне умеренных давлений изображен на рис. 1 а и б сплошной, а при $p>300$ МПа – пунктирной линией. Судя по экспериментальным данным, при больших давлениях $p>300$ МПа существенную роль, по-видимому, играет величина пластической деформации [21, 22], которая в критерий не входит. Поэтому применимость критерия (4.3) здесь ограничена диапазоном давлений $p<300$ МПа. В этом диапазоне критерий (7.1) хорошо соответствует опытным данным по разрушению 90°-трубки и качественно соответствует данным для 0°-трубки.

Сравнение графиков прочности ${\sigma }_{21}\left(p\right)$, рассчитанных по (7.1) – прямая 4, и по критериям [25] – кривая 1, [24] – кривая 2, [26] – кривая 3, [27] – кривая 5, представлено на рис. 1 б. В отличие от критерия (4.3), который имеет всего два параметра, число характеристических постоянных материала в этих критериях достигает девяти и даже тридцати констант и материальных функций. При умеренных напряжениях в условиях объемного напряженного состояния линейный более простой критерий (7.1) оказался в лучшем соответствии с опытными данными.

7.2. Плоское напряженное состояние. На рис. 2 а и рис. 3 представлены экспериментальные данные (кружки) по разрушению однонаправленного стеклопластика Gevetex/LY556-HT907-DY063 при двухкомпонентном плоском напряженном состоянии, которое реализуется в намотанном послойно по окружности тонкостенном трубчатом образце приложением к нему торцевого крутящего момента и внутреннего или внешнего давления [28, 29]. Эти состояния отвечают действию нормальных сжимающих или растягивающих напряжений ${\sigma }_{22}$ и касательного напряжения ${\sigma }_{21}$.

Рис. 2

Рис. 3

Используем данные этого эксперимента для проверки критериев (5.3), (5.4). Прочностные константы материала $S_{21}=61.2$ МПа, $S_{22}^{+}=40$ МПа, $S_{22}^{-}=-137.8$ МПа, ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}=54°$.

Рассчитанный по (5.3), (5.4) предел прочности данного композита описывается на плоскости $\left({\sigma }_{21},{\sigma }_{22}\right)$ линией, хорошо согласующейся с массивом экспериментальных точек, имеющих определенный разброс (рис. 2, а). Рассчитанный по формуле (5.2) график изменения угла ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{-}$, ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{+}$ наклона критической площадки в зависимости от поперечного напряжения ${\sigma }_{22}$ приведен на рис. 2 б. На нем видно, что эта зависимость непрерывна, а также то, что на отрезке $-47\le {\sigma }_{22}\le 34$ МПа ($17.5\le {\sigma }_{21}\le 79.9$) критическая площадка перпендикулярна плоскости волокон – ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{\pm }=0$. На этом отрезке применялся критерий (5.3), вне его – критерий (5.4). Вне данного отрезка наклон площадки меняется от нуля до ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{-}={\alpha }_{{}^{\ast \perp }}^{-}=54°$ при увеличении поперечного сжатия, и также от нуля до ${\alpha }_{{}^{\ast }}^{+}={\alpha }_{{}^{\ast \perp }}^{+}\approx 22°$ при росте поперечного растяжения. Непрерывный переход от скола матрицы в плоскости ортогональной к плоскости волокон, который описывается линейным критерием (5.3), к сколу вдоль волокон в наклонной плоскости, который описывается квадратичным критерием (5.4), происходит при отношении касательных напряжений к сжимающим поперечным ${\sigma }_{21}/{\sigma }_{22}\approx -1.7$ и при ${\sigma }_{21}/{\sigma }_{22}\approx 0.5$ при растягивающих поперечных напряжениях.

Графики прочности ${\sigma }_{21}\left({\sigma }_{22}\right)$, рассчитанных по (5.3), (5.4) (сплошная линия) и по критериям [30, 31] – линия длинных пунктиров, [32] – точечная линия, [7] – линия коротких пунктиров, [33] – штрихпунктирная линия, представлены на рис. 3. На этом рисунке видно, что в области сжимающих напряжений ${\sigma }_{22}$ более простой критерий (5.3), (5.4) оказался в лучшем соответствии с опытными данными, чем критерии [30–33], и примерно в таком же соответствии, как и критерий [7]. При наличии растягивающих напряжений  критерии (5.3), (5.4) и [30, 31] также примерно одинаково соответствуют опыту. Критерий (5.3), (5.4), как и ожидалось, обеспечивая запас прочности, здесь дает более консервативную оценку прочности, чем критерии [7, 32, 33].

Кроме того, на примере этих опытов можно отметить преимущество критерия (5.4). В диапазоне $S_{22}^{+}{\cos }^2{\alpha }_{\ast \perp }^{+}\le {\sigma }_{22}\le S_{22}^{+}$ другие критерии не учитывают зависимость прочности от направления площадки разрушения, угол которого здесь возрастает от 0 до значения ${\alpha }_{\ast \perp }^{+}$, определяемого формулой (3.3). На рис. 3 видно, что учет этой зависимости позволяет внутри данного диапазона немного снизить коэффициент запаса. Согласно (3.3), это снижение может достигать существенных значений для материалов, в которых повышено отношение прочностей при растяжении и сжатии поперек волокон.

7.3. Одноосное осевое и внеосевое растяжение-сжатие. Данные испытаний статической прочности ${\sigma }_{\beta }^{\pm }$ плоских образцов, вырезанных из слоистого однонаправленного углепластика T700S/2592 в шести направлениях под углами $\beta =\mathrm{0,}10°\mathrm{,15}°\mathrm{,30}°\mathrm{,45}°\mathrm{,90}°$ к оси волокон, представлены на рис. 4, а, б (кружки) [20].

Проверим критерии (5.3), (5.4), (6.3) и в этом эксперименте. Характеристические прочности $S_{11}^{+}=1887.1$ МПа, $S_{11}^{-}=-806.5$ МПа, $S_{22}^{+}=30.1$ МПа, $S_{22}^{-}=-154.0$ МПа, $S_{21}=56.1$ МПа, ${\alpha }_{\ast \perp }^{-}=54°$.

На рис. 4, а проведены теоретические кривые зависимости между пределом прочности ${\sigma }_{\beta }^{\pm }$ и углом $\beta$, рассчитанные по формулам (5.3), (5.4), (6.3). На рисунке видно хорошее соответствие теории и эксперимента как при растяжении, так и при сжатии.

Рис. 4

Графики зависимости ${\sigma }_{\beta }^{\pm }\left(\beta \right)$, рассчитанные по критерию (5.3), (5.4), (6.3) – сплошная линия, а также по критерию [1, 4] – точечная линия, [5–7] – линия коротких пунктиров, [30] – линия длинных пунктиров и [10] – штрихпунктирная линия, приведены на рис. 4, а.

На этом рисунке видно, что по данным критериям пределы прочности при растяжении различаются несущественно, а кривые по (5.3), (5.4), (6.3) и по [5–7] практически полностью совпадают. Смена механизма потери прочности композита от разрыва волокон к сколу матрицы происходит уже при ${\beta }^{+}={\beta }_{\ast }^{+}=1.70°$ согласно (6.6), для критерия [5–7] – при 1.69° и для [1, 4] – при 7.2°. Наибольшее различие видно с критерием [1, 4] – примерно 35% при ${\beta }^{+}={\beta }_{\ast }^{+}$.

При сжатии ${\beta }^{-}={\beta }_{\ast }^{-}=3.98°$, для [1, 4, 5–7] – $4.17°$ и $4.08°$, соответственно. Однако по этим критериям при возрастании угла ${\beta }^{-}$ от нуля до ${\beta }_{\ast }^{-}$ величина прочности композита парадоксально возрастает, хотя и незначительно с 806.7 до 810.4 МПа для [5–7] и с 806.7 до 808.5 МПа для [1, 4]. Визуально кривые по (5.3), (5.4), (6.3) и по [1, 4, 5–7] практически полностью совпадают. Наибольшее различие имеет место с критерием [30] – более 46%, в точке смены механизмов разрушения. Также существенное различие с критерием [10] видно в интервале $15°<{\beta }^{-}<80°$ с максимумом, равным 49% в окрестности ${\beta }^{-}=55°$.

Переход от скола матрицы по плоскости ортогональной к плоскости волокон, который описывается линейным критерием (5.3), к сколу вдоль волокон в наклонной плоскости, который описывается квадратичным критерием (5.4), происходит при ${\beta }^{+}\approx 75°$ при растягивающих поперечных напряжениях и уже при ${\beta }^{-}\approx 36°$ при сжимающих напряжениях.

При одноосных нагружениях под углом к направлению волокон критерии (5.3), (5.4), (6.3) оказались в лучшем или в таком же соответствии с опытными данными, как и критерии [1, 4–7, 10, 30].

Заключение. Сформулирован критерий прочности однонаправленных композитов по условию адгезионного разрушения интерфейса волокно–матрица или/и когезионного разрушения матрицы между волокнами, соответствующий наименьшей разрушающей нагрузке. Найдены соотношения для определения параметров данного критерия из стандартизованных и общепринятых установочных испытаний. При объемном напряженном состоянии получено уравнение для нахождения ориентации критической площадки и приведены аналитические решения. Для случаев отсутствия касательных напряжений поперек или вдоль волокон критерии прочности даны в окончательном виде, лишь через компоненты тензора напряжений. При плоском напряженном состоянии определены диапазоны напряжений, соответствующие критической площадке, ортогональной или наклонной к плоскости волокон. Показано, что для ортогональной ориентации критической площадки полученный критерий прочности является линейным, для наклонных площадок – квадратичным.

Приведен критерий прочности по условию разрушения волокон, не допускающего парадокса увеличения прочности в области перехода от разрушения волокон к разрушению матрицы. Получены соотношения, определяющие смену механизмов потери прочности композита от разрушения волокон к разрушению матрицы, и наоборот.

Проведена экспериментальная проверка предложенных критериев и их сравнение с известными критериями прочности при объемном, плоском и одномерном нагружениях. Показано их лучшее или такое же соответствие опытным данным, как и для многих более сложных критериев. Отмечены преимущества данных критериев, обусловленные учетом в них зависимости прочности от направления площадки разрушения при наличии поперечного растяжения. Небольшое число параметров данных критериев обуславливает их надежность и устойчивость и позволяет определить их действительные значения в составе конструкции из испытаний образцов-свидетелей.

About the authors

A. I. Oleynikov

Author for correspondence.
Email: alexander.oleinikov@tsagi.ru
Russian Federation, Zhukovsky; Dolgoprudny

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1

Download (92KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2

Download (83KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3

Download (93KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4

Download (97KB)

Indexing metadata