Description of the emission of cumulative secondary particles in collisions of heavy ions of intermediate energies based on the non-equilibrium hydrodynamic approach

详细

We have analyzed the double-differential cross sections for the emission of cumulative protons, pions, kaons, and antiprotons in collisions of carbon nuclei on a fixed target at an energy of 19.6 GeV/nucleon obtained in the IHEP experiment at the U-70 accelerator. When describing these spectra, the nonequilibrium approach was taken into account as a result of the joint solution of the kinetic equation with the equations of hydrodynamics. Comparisons with other approaches are made.

全文:

1. ВВЕДЕНИЕ

Инициированный А.М. Балдиным около 50 лет назад поиск объяснения механизма ядерных кумулятивных процессов [1, 2], кинематически запрещенных во взаимодействиях свободных нуклонов, до сих пор является нерешенной проблемой. Было предложено большое количество теоретических подходов, варьирующихся от образования многокварковых кластеров в ядерной материи [3–6] до эффектов многократного рассеяния при прохождении частиц через ядро [7, 8]. В работе [9] анализируется модель образования движущегося резонансного источника кумулятивных вторичных протонов, близкая по смыслу к предлагаемому нами здесь подходу. В этих работах исследовались реакции, инициированные в основном протонами.

Исследование этого явления в случае столкновения тяжелых ионов представляет интерес в целях выяснения коллективного многочастичного механизма кумулятивных процессов и проверки различных моделей ядро-ядерного взаимодействия при промежуточных и высоких энергиях. В обзоре Г.А. Лексина [10] было указано на возможность проявления в этих процессах свойств кварк-глюонной плазмы.

В 2023 г. исполняется 70 лет применения Л.Д. Ландау гидродинамики к столкновениям элементарных частиц высокой энергии для описания множественного рождения вторичных частиц [11]. В [12] впервые использовано равновесное уравнение состояния, предполагающее установление в системе локального термодинамического равновесия для описания столкновений тяжелых ионов. В [13–15] для энергий строящегося в ОИЯИ (Дубна) ускорительного комплекса ‟NICA” предложено использовать гибридную модель, которая включает в себя быструю неравновесную кинетическую стадию на основе кода HSD и PHSD (струнная динамика) и последующее описание динамики ядро-ядерного столкновения на основе релятивистской гидродинамики. Это дополняет описание процесса столкновения тяжелых ионов, проведенное в рамках гидродинамических моделей [16–18], поскольку существенную роль в процессе столкновения ядер играет его неравновесный характер.

В [19–26] нами было показано, что локальное термодинамическое равновесие в процессе столкновений тяжелых ионов устанавливается не сразу, поскольку на стадии сжатия важна неравновесная компонента функции распределения, приводящая к формированию бесстолкновительной ударной волны [27] c изменяющимся фронтом [28]. Для учета неравновесной компоненты было предложено совместно с уравнениями гидродинамики решать кинетическое уравнение. Исследование кумулятивных процессов обнаруживает сходство также с исследованием подпороговых процессов с испусканием вторичных тяжелых мезонов и антипротонов в столкновениях тяжелых ионов промежуточных энергий [29].

В процессе развития гидродинамического подхода с неравновесным уравнением состояния [19–23] нами рассмотрены столкновения ядер ¹²С + ¹²С на фиксированной мишени при энергиях налетающих ядер углерода 19.6 ГэВ/нуклон, экспериментально исследованные на ускорителе У-70 (ИФВЭ), с испусканием протонов, пионов, каонов и антипротонов [30].

Далее изложение построено следующим образом. В разд. 2 описана схема расчета. В разд. 3 приведено сравнение с экспериментальными данными и другими моделями. В Заключении, в разд. 4, приведены основные результаты работы.

2. ОПИСАНИЕ СХЕМЫ РАСЧЕТА

Для описания системы нуклонов воспользуемся одночастичной функцией распределения f (r, p, t) (r(x₁, x₂, x₃)— пространственная координата, p(p₁, p₂, p₃) — импульс, t — время), для которой при промежуточных энергиях сталкивающихся тяжелых ионов мы используем кинетическое уравнение [19–23]:

$\frac{df}{dt}=\frac{f_0-f}{\tau },$ (1)

где f₀ (r, p, t) — локально равновесная функция распределения, τ — время релаксации.

Уравнение (1) должно решаться совместно с уравнениями гидродинамики, следующими из (1), взятием моментов с весом 1, p, p² в импульсном пространстве для нахождения функции распределения. Входящий в члены взаимодействия самосогласованный потенциал W(ρ) задается так же, как это делается в случае зависящих от плотности ρ эффективных сил типа сил Скирма.

Время релаксации здесь выбрано в традиционной форме $\tau =\lambda /{\upsilon }_T$ [19–23], где длина свободного пробега нуклонов $\mathrm{\lambda }=1/\mathrm{\sigma \rho },$ σ ≈ 40 мбн — элементарное полное нуклон-нуклонное сечение, ρ — нуклонная плотность, ${\upsilon }_T$ — средняя скорость теплового движения нуклонов. При низких энергиях для выбранной формы τ его численное значение близко к значению, полученному для ферми-жидкости. При высоких энергиях нужно вместо сечения σ, вообще говоря, подставлять транспортное сечение σ_T, что увеличивает величину τ. При больших временах релаксации можно использовать уравнения неравновесной длиннопробежной гидродинамики в приближении локальной плотности [23].

Решение уравнения (1) ищется в виде

$f(\mathbf{r}\mathbf{,}\mathbf{p},t)=f_{1}q+f_0(1-q),$ (2)

где функция f₁ (r, p, t) соответствует состоянию с деформированной ферми-поверхностью; $q(\mathbf{r},t)(0\le q\le 1)$ — релаксационный фактор, находящийся из кинетического уравнения с помощью взятия момента с весом $p_{\left|\right|}^2-p_{\perp }^2$, определяющего степень анизотропии функции распределения в импульсном пространстве [19–23] ($p_{\left|\right|}^{}$ и $p_{\perp }^{}$ — продольная и поперечная составляющие импульса соответственно). При q = 0 получаем уравнения равновесной, а при q = 1 — неравновесной длиннопробежной гидродинамики.

В результате имеем замкнутую систему уравнений для нахождения плотности ρ(r, t), поля скоростей $\upsilon$(r, t) поля температур T(r, t) и релаксационного фактора q(r, t), позволяющую найти функцию распределения f (r, p, t).

После выделения области локального нагрева hot spot — области перекрытия сталкивающихся ядер — мы проанализировали стадии сжатия, расширения и разлета вещества в процессе столкновений тяжелых ионов. На стадии сжатия формируются бесстолкновительные ударные волны с изменяющимся фронтом [23, 24].

На стадии расширения [19–23] по достижении ударной волной границ hot spot происходит расширение первоначально сжатой системы, которое описывается с учетом ядерной вязкости, найденной нами в релаксационном τ-приближении. В рассматриваемом диапазоне энергий на этой стадии коэффициент вязкости η достаточно велик (число Рейнольдса $Re=\frac{m\rho \upsilon l}{\eta }\le 1).$ Это уменьшает скорость разлета hot spot и увеличивает его температуру. По достижении расширяющейся ядерной системой критической плотности (плотности замораживания) ρ*, определяемой из условия $\frac{dW}{d\rho }=0$, происходит формирование вторичных частиц (нуклонов, фрагментов, пионов) и их разлет.

Инвариантное двойное дифференциальное сечение испускания протонов в реакции A + B → p + X имеет вид (b — параметр удара)

$\begin{array}{c}E\frac{d^2\sigma }{p^{2}dpd\Omega }=\\ =\frac{2\pi }{{\left(2\pi \hslash \right)}^3}\int G\left(b\right)\times bdb\int dr\gamma \times (E-p)f(r,p,t),\end{array}$ (3)

где $G\left(b\right)={\sigma }_t/{\sigma }_g$ — фактор, учитывающий, что сечение образования hot spot $〈{\sigma }_t=\pi <R_b{>}^2〉$ всегда больше геометрического σ_g сечения перекрывающихся частей; $E=\sqrt{p^2+m^2}$, $\gamma =1/\sqrt{1-{\upsilon }^2}$ и p — соответственно полная энергия, Лоренц-фактор и импульс протонов; Ω — телесный угол, υ(r, t) — поле скоростей; f (r, p, t) — функция распределения испускаемых протонов в пренебрежении неравновновесной компонентой на стадии замораживания

$f(r,p,t)=g{\left[\exp \left(\frac{\gamma (E-p-\mu )+T\delta }{T}\right)\pm 1\right]}^{-1}.$ (4)

В (4) спиновый фактор g = 2, µ($\mathrm{\mu }={\mathrm{\mu }}_T+m$) — химический потенциал, который находится из условия сохранения в среднем числа частиц для большого канонического ансамбля; Т — температура; δ — поправка на микроканоническое распределение [19]. Знак ‟±” означает соответственно ‟+” для фермионов и ‟–” для бозонов.

Для описания испускания пионов можно использовать выражения (3) и (4), где в качестве функции распределения пионов использовать функцию (4), положив везде массу пионов равной m_π, а химический потенциал µ равным нулю, поскольку число пионов не задано, g = 1. Для бозонов в (4) выбираем знак ‟–” перед 1.

Кроме вклада (3) в сечение от испускания протонов из hot spot, нами учитывался также вклад от слияния неперекрывающихся частей сталкивающихся ядер — ‟спектаторов”, как в модели ‟корона-кор” при высоких энергиях [31]. Временная эволюция hot spot, cжатие и последующее его разрежение напоминают флуктуации в ядерной системе, подобные флуктону Д.И. Блохинцева [32], введенному для объяснения кумулятивного эффекта.

3. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

Наш подход [19, 24, 25] применим и к испусканию кумулятивных протонов и пионов, полученных в реакции ¹²С +⁹Be → p(π^-) + Х на ускорителе ИТЭФ при энергиях ядер ¹²С 0.3–3.2 ГэВ/нуклон [33, 34]. Поэтому можно распространить этот подход и на другие реакции с тяжелыми ионами.

На рис. 1 приведены импульсные спектры протонов и отрицательных пионов, испускаемых в реакции ¹²С + ¹²С → p(π) + X под углом 0º при энергии ионов ¹²С, равной 19.6 ГэВ/нуклон. Экспериментальные данные, полученные в эксперименте на ускорителе У-70 (ИФВЭ) [30], показаны точками. Сплошными кривыми представлены результаты наших расчетов в рамках гидродинамического подхода, при этом параметры расчета — средняя температура hot spot $<T_h>$ средний химический потенциал средний радиус hot spot$<R_h>$ — зависят от энергии, штриховые кривые — феноменологическая параметризация А.А. Балдина, штрихпунктирные кривые — результаты расчетов по модели FTFP (фритиоф) [30].

Рис. 1. Распределения протонов и π^–-мезонов по лабораторному импульсу в реакции ¹²C + ¹²С → p + X, испускаемых под углом 0º при энергии ¹²С 19.6 ГэВ/нуклон. Сплошные кривые — наш расчет с значениями $\mathbf{<}{\mathit{T}}_{\mathit{h}}\mathbf{>}\mathbf{\approx }$ 150 МэВ, $\mathbf{<}{\mathit{R}}_{\mathit{h}}\mathbf{>}\mathbf{\approx }$2.5 Фм; штриховые кривые — параметризация А.А. Балдина; точки — экспериментальные данные из [30] (кружки — протоны, квадраты — пионы). Штрихпунктирные кривые — результаты расчетов по модели FTFP [30].

На рис. 2 приведены импульсные спектры каонов и антипротонов, испускаемых в реакции ¹²С + ¹²С → K^–($\overline{p.}$) + Х под углом 0º при той же энергии ионов ¹²С 19.6 ГэВ/нуклон. Экспериментальные данные [30] — точки, сплошные кривые — наш расчет, штриховые кривые — феноменологическая параметризация А.А. Балдина, штрихпунктирные кривые — расчеты по модели FTFP [30].

Рис. 2. То же, что на рис. 2, но для распределения каонов и антипротонов в реакции ¹²C + ¹²С → K($\overline{\mathbf{p}}$) + X при энергии ионов ¹²С 19.6 ГэВ/нуклон, точки — экспериментальные данные из [30] (треугольники — каоны, ромбы — антипротоны).

Как видно из рис. 1, 2 в кумулятивной области спектров при импульсе p > 20 ГэВ/с, наш расчет согласуется с экспериментальными данными [30]. Из рис. 1 и рис. 2 видно, что наш расчет оказывается лучше модели фритиоф и феноменологической параметризации при описании данных [30]. Причем некоторые каскадные расчеты заметно недооценивают экспериментальные спектры в высокоимпульсной области [19, 24, 25], а модель фритиоф на рис. 1, 2 дает завышенные сечения выхода кумулятивных частиц. В области малых импульсов наш расчет также воспроизводит экспериментальные спектры пионов в эксперименте ИТЭФ. Однако в эксперименте ИФВЭ нам пока не удалось воспроизвести мягкую часть спектра вторичных частиц.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе в рамках модифицированной гидродинамической модели с фиксированными параметрами уравнения состояния описаны экспериментальные высокоимпульсные спектры протонов, пионов, каонов и антипротонов, испускаемых в столкновениях ядер углерода при энергии 19.6 ГэВ/нуклон эксперимента ИФВЭ, что дополнило наши предыдущие результаты для спектра кумулятивных протонов и пионов в экспериментах ИТЭФ при энергиях 0.3–3.2 ГэВ/нуклон для налетающих ядер углерода с бериллиевой мишенью [33, 34].

Проведенные расчеты воспроизводят экспериментальные данные по выходам протонов и пионов как для средних, так и для тяжелых ядер в области промежуточных и высоких энергий сталкивающихся ядер и могут быть применены к области энергий строящегося в Дубне ускорительного комплекса “NICA”. Правомерность использования макроскопических параметров для легких систем можно объяснить. В нашем случае среднее число частиц в hot spot N ~10 и дисперсия $~\text{\hspace{0.05em}}1/\sqrt{N}<<1$ не столь велика. Поправка на микроканоническое распределение улучшает описание эксперимента.

Автор благодарен В.В. Вечернину, М.Б. Жалову, В.Т. Киму, И.А. Митропольскому и О.Л. Федину за полезные обсуждения.