Аналитическое исследование кубатурных формул на сфере в системах компьютерной алгебры

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Задача об отыскании весов и узлов кубартурных формул заданного порядка на единичной сфере, инвариантных относительно групп вращения икосаэдра (задача А.С. Попова) исследуется аналитически в системах компьютерной алгебры. Алгоритм Попова сведения задачи к системе нелинейных уравнений реализован в известной системе компьютерной алгебры Sage. Показано, что в Sage трудности с исследованием полученной системы нелинейных алгебраических уравнений возникают, начиная с порядка аппроксимации, равного 23. Показано также, что задача Попова при таком порядке приводит к полиномиальному идеалу, базис Грёбнера для которого содержит многочлены с экстремально большими целыми коэффициентами, что делает ее весьма трудной для исследования стандартными инструментами, реализованными в Sage. Этот базис найден в нашей системе компьютерной алгебры – GInv, новая версия которой была передана в общественный доступ одним из авторов статьи в 2021 г. Это позволило далее полностью описать множество решений задачи Попова в Sage. Проведено сравнение найденных нами точных решений с решениями, найденными Поповым численно. Обсужден потенциал использования задачи Попова как тестовой задачи для систем, специализирующихся на вычислении базиса Грёбнера. Библ. 19.

Об авторах

Р. Э. Байрамов

РУДН

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Ю. А. Блинков

РУДН; Саратовский гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83

И. В. Левичев

РУДН

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

М. Д. Малых

РУДН; ОИЯИ

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; Россия, 141980, М.о., Дубна

В. С. Мележик

ОИЯИ

Автор, ответственный за переписку.
Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 141980, М.о., Дубна

Список литературы

  1. Popov A.S. The search for the sphere of the best cubature formulae invariant under octahedral group of rotations // Siberian J. of Numer. Math. / Sib. Branch of Russ. Acad. of Sci. 2002. V. 5. № 4. P. 367–0372.
  2. Popov A.S. The search for the best cubature formulae invariant under the octahedral group of rotations with inversion for a sphere // Siberian J. of Numer. Math. / Sib. Branch of Russ. Acad. of Sci. 2005. V. 8. № 2. P. 143–148.
  3. Popov A.S. Cubature formulas on a sphere invariant under the icosahedral rotation group // Numer. Analys. A-ppl. 2008. V. 1. P. 355–361.
  4. Popov A.S. Cubature Formulas Invariant under the Icosahedral Group of Rotations with Inversion on a Sphere // Numer. Analys. Appl. 2017. V. 10. P. 339–346.
  5. Popov A.S. Cubature formulas on a sphere invariant under the symmetry groups of regular polyhedrons // Siberian Electron. Math. Rep. 2017. V. 14. P. 190–198.
  6. Gräf M., Potts D. Sampling sets and quadrature formulae on the rotation group // Numer. Funct. Anal. and Optimizat. 2009. V. 30. № 7–8. P. 665–688.
  7. Gräf M., Kunis St., Potts D. On the computation of nonnegative quadrature weights on the sphere // Appl. and Comput. Harmonic Anal. 2009. V. 27. № 1. P. 124–132.
  8. Gräf M. Efficient Algorithms for the computation of Optimal Quadrature Points on Riemannian Manifolds : Ph. D. thesis / Manuel Gräf; Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz. Chemnitz, 2013. P. 2.
  9. Melezhik V.S. New method for solving multidimensional scattering problem // J. of Comput. Phys. 1991. V. 92. № 1. P. 67–81. Access mode: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002199919190292S.
  10. Shadmehri S., Saeidian Sh., Melezhik V.S. 2D nondirect product discrete variable representation for Schrödinger equation with nonseparable angular variables // J. of Phys. B: Atomic, Molecular and Optic. Phys. 2020. V. 53. № 8. P. 085001.
  11. Melezhik V.S. Improving efficiency of sympathetic cooling in atom- ion and atom-atom confined collisions // Phys. Rev. A. 2021. May. V. 103. P. 053109. Access mode: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.103.053109.
  12. Cox D., Little J., O’Shea D. Ideals, varieties, and algorithms. 3 ed. Springer, 2007.
  13. Zharkov A.Yu., Blinkov Yu.A. Involution approach to solving systems of algebraic equations // Proceed. of the 1993 Inter. IMACS Symp. on Symbolic Comput. Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Lille, France, 1993. P. 11–16.
  14. Zharkov A.Yu., Blinkov Yu.A. Solving zero-dimensional involutive systems // Progress in Math. Basel: Birkhauser, 1996. V. 143. P. 389–399.
  15. Blinkov Yu.A. Division and algorithms in the ideal membership problem [Deleniye i algoritmy v zadache o prinadlezhnosti k idealu] // Izvestija Saratovskogo universiteta. 2001. V. 1. № 2. P. 156–167. In Russ.
  16. Apel J. A Gröbner approach to involutive bases // J. of Symbolic Comput. 1995. V. 19. № 5. P. 441–458.
  17. McCarthy J. Recursive functions of symbolic expressions and their computation by machine, Part I // Communicat. of ACM. 1960. V. 3. № 4. P. 184–195.
  18. Jones R., Hosking A., Moss J., Eliot B. The garbage collection handbook: the a of automatic memory management. CRC Applied Algorithms and Data Structures Ser. Chapman and Hall / CRC Press / Taylor & Francis Ltd., 2011. ISBN: 978-1-4200-8279-1.
  19. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. M.: Наука, 1989.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Р.Э. Байрамов, Ю.А. Блинков, И.В. Левичев, М.Д. Малых, В.С. Мележик, 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».