Лакуны в спектре тонких волноводов с периодически расположенными локальными деформациями стенок

Abstract

Исследуется строение спектров квантового и акустического волноводов, полученных из тонкого цилиндра присоединением периодического семейства мелких узлов. Получены асимптотические разложения собственных значений модельной задачи на ячейке периодичности, на основе которых выведены асимптотические формулы для положения и размеров лакун в спектрах соответствующих задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Найдены геометрические и интегральные характеристики волновода, обеспечивающие раскрытие нескольких спектральных лакун. Библ. 36. Фиг. 3.

Full Text

1. Постановка задач и содержание работы

Пусть $\Xi$ — область (фиг. 1a) в евклидовом пространстве ${ℝ}^d$, $d⩾2$, совпадающая со связным цилиндром $\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}\omega \times ℝ$ вне слоя ${\Lambda }_R\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\xi }^{\prime }\in {ℝ}^{d-1}\mathrm{,<mo>|</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}R\mathrm{<mo>\}</mo>}$ при некотором $R\mathrm{<mo>></mo>0}$, однако $\Xi \cancel{=}\Omega$, т.е. стенки волновода $\Xi$ обязательно локально деформированы. Сечение w имеет компактное замыкание $\overline{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}\omega \cup \partial \omega ,$ а граница $\partial \Xi$ липшицева. Кроме того, ${\Pi }^h$ — периодический, квантовый или акустический (см. [1] и [2] соответственно) волновод, образованный сдвигами ${\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>:</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{x}_d-p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\varpi }^h\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ячейки периодичности

 $\begin{array}{c}{\varpi }^h\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{x}_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^d\mathrm{<mo>:</mo>}\xi \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{h}^{-1}x\in \Xi \mathrm{,<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>1<mo>/</mo>2<mo>\}</mo>,}\end{array}$ (1)

т.е.

 $\begin{array}{c}\overline{{\Pi }^h}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{p\in \mathbb{Z}}{\cup }}\overline{{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\mathbb{Z}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>0,}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>.}\end{array}$ (2)

Фиг. 1. Волновод с резонатором (a) и тонкий цилиндр с периодическим семейством узлов (б).

Масштабированием период сведен к единице, а значит, сделаны безразмерными декартовы системы координат $x$ и $\xi$ в ${ℝ}^d$, а также все геометрические параметры, в частности малый $h\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{h}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, причем величина $h_0\mathrm{<mo>></mo>0}$ зафиксирована так, что $2hR\mathrm{<mo><</mo>1}$ и волновод ${\Pi }^h$ имеет изображенный на фиг. 1б вид. Подобные формы можно обнаружить у линий высоковольтных передач с шарами-маркерами на проводах (предупреждение пилотам) или у деревянных и медных духовых инструментов (при закрытых клапанах). Список объектов можно расширить, придав размеру $h$ порядок единицы и сделав период большим.

В тонком периодическом волноводе ${\Pi }^h$ с периодически деформированными стенками рассмотрим спектральную задачу Дирихле или задачу Неймана:

 $\begin{array}{c}-{\Delta }_{\xi }{u}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }^h{u}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in {\Pi }^h\mathrm{,}\end{array}$ (3)

 $\begin{array}{c}{u}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}\text{èëè}{\partial }_{\nu }{u}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}x\in \partial {\Pi }^h\mathrm{,}\end{array}$ (4)

и ее вариационную формулировку (см. [3, 4])

 $\begin{array}{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nabla }_x{u}^h\mathrm{,}{\nabla }_x{\psi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Pi }^h}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }^h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^h\mathrm{,}{\psi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Pi }^h}\forall {\psi }^h\in H_K^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (5)

Здесь ${\nabla }_x=\text{grad}$ и ${\Delta }_x\mathrm{<mo>=</mo>}{\nabla }_x\cdot {\nabla }_x$ — оператор Лапласа, ${\lambda }^h$ — спектральный параметр, ${\partial }_{\nu }$ — производная вдоль внешней нормали, определенная почти всюду на липшицевой поверхности $\partial {\Pi }^h$, ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\Pi }^h}$ — натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $H_D^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{H}_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $H_N^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{H}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — пространства Соболева, но в случае $K\mathrm{<mo>=</mo>}D$ для функций $u^h$ и ${\psi }^h$ выполнено (устойчивое) условие Дирихле (4) ${}_D$. Условие Неймана (4) ${}_N$ является естественным (терминология [4]) и не включено в пространство $H_K^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $K\mathrm{<mo>=</mo>}N$.

Билинейная форма из левой части интегрального тождества (5) симметрична, положительна и замкнута в $H_K^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и, следовательно, согласно [5, гл. 10] задача (5) (или (3), (4) в дифференциальной постановке) соотносится с положительным неограниченным самосопряженным оператором ${\mathcal{A}}_K^h$ в гильбертовом пространстве $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Ввиду отсутствия компактности у множества (2) спектр ${\mathcal{S}}_K^h$ оператора ${\mathcal{A}}_K^h$ существенный. Известно (см. [6, 7, 8, 9] и др.), что

 $\begin{array}{c}{\mathcal{S}}_K^h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{j\in \mathbb{N}}{\cup }}{\mathcal{B}}_{Kj}^h\mathrm{,}\end{array}$ (6)

а спектральные сегменты

 $\begin{array}{c}{\mathcal{B}}_{Kj}^h\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\Lambda }_{Kj}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}\end{array}$ (7)

определены по собственным значениям

 $\begin{array}{c}{\Lambda }_{K1}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽{\Lambda }_{K2}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽{\Lambda }_{K3}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽\dots ⩽{\Lambda }_{Kp}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽\dots \to +\infty \end{array}$ (8)

вспомогательной задачи на ячейке периодичности (1), полученной из задачи (3), (4) посредством преобразования Гельфанда [10] и зависящей от его двойственной переменной — параметра Флоке $\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$:

 $\begin{array}{c}-{\Delta }_x{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Lambda }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in {\varpi }^h\mathrm{,}\end{array}$ (9)

 $\begin{array}{c}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\theta }{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial U^h}{\partial x_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\theta }\frac{\partial U^h}{\partial x_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}^{\prime }\in {\omega }^h\mathrm{,}\end{array}$ (10)

 $\begin{array}{c}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}èëè{\partial }_{\nu }{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}x\in \partial {\varpi }^h\backslash {\displaystyle \underset{\pm }{\cup }}\overline{{\omega }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm \frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}\end{array}$ (11)

При этом $i$ — мнимая единица, ${\omega }^h\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}^{\text{'}}\in {ℝ}^{d-1}\mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }^{\text{'}}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{-1}{x}^{\text{'}}\in \omega \mathrm{<mo>\}</mo>}$ — сечение тонкого конечного цилиндра ${\Omega }_{\#}^h\mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }^h\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo>/</mo>2,1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\Omega }^h\mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }^h\times ℝ$, ${\omega }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm \mathrm{1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\omega }^h\times \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm \mathrm{1<mo>/</mo>2<mo>\}</mo>}$ — торцы ячейки, а вариационная постановка задачи (9)$–$(11) при $K\mathrm{<mo>=</mo>}D\mathrm{,}N$

 $\begin{array}{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nabla }_x{U}^h\mathrm{,}{\nabla }_x{\Psi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\varpi }^h}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Lambda }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{U}^h\mathrm{,}{\Psi }^h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\varpi }^h}\forall {\Psi }^h\in H_K^{\mathrm{1,}\theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (12)

осуществляется на пространстве $H_K^{\mathrm{1,}\theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функций $U^h\in H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, подчиненных условию Дирихле (11) ${}_D$ в случае $K\mathrm{<mo>=</mo>}D$ и первому условию квазипериодичности (10) при $K\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{,}D$. По-прежнему задаче (12) ставится в соответствие положительный самосопряженный оператор $A_K^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, однако по причине компактности вложения $H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (область ${\varpi }^h$ ограничена) теоремы 10.1.5 и 10.2.1 из [5] гарантируют, что спектр оператора $A_K^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оказывается дискретным и образует последовательность (8) нормальных собственных значений задачи (12) или (9)$–$(10). Более того, функции

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}∍\theta \mapsto {\Lambda }_{Kj}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\in \mathbb{N}\mathrm{,}$

непрерывны и 2p-периодичны (см. [10, 11]), а значит, в самом деле ${\mathcal{B}}_{Kj}^h$ — компактные связные множества на замкнутой положительной полуоси $\overline{{ℝ}_{+}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Наконец,

 $\begin{array}{c}{\Lambda }_{D1}^h\theta {\Lambda }_{D1}^h\text{è}{\Lambda }_{N1}^h\theta {\Lambda }_{N1}^h\text{\hspace{0.33em}при\hspace{0.05em}}\theta \in -\pi \mathrm{,}\pi \theta \cancel{=}0.\end{array}$ (13)

Собственные функции подчиним условиям ортогональности и нормировки

 $\begin{array}{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{U}_{Kp}^h\mathrm{,}{U}_{Kq}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{{\varpi }^h}\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{p\mathrm{,}q}\mathrm{,}p\mathrm{,}q\in \mathbb{N}\mathrm{,}\end{array}$ (14)

где ${\delta }_{p\mathrm{,}q}$ — символ Кронекера.

Посредством асимптотического анализа собственных пар $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\Lambda }_{Kp}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{U}_{Kp}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ задачи (9),(10) ${}_K$ в тонкой сингулярной области (см. [12, гл. 15, 16; 13; 14 и др.]) найдены геометрические характеристики (положение и размеры) спектральных сегментов (7) и условия раскрытия лакун между соседними сегментами ${\mathcal{B}}_{Kj}^h$ и ${\mathcal{B}}_{Kj+1}^h$, т.е. непустоты интервала

 $\begin{array}{c}{\mathcal{G}}_{Kj}^h\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\underset{\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\displaystyle \max }}{\Lambda }_{Kj}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\underset{\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\displaystyle \min }}{\Lambda }_{Kj+1}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}$.  (15)

Асимптотическое строение спектров задач Дирихле и Неймана разнится существенно. Так, в силу формул (13) спектр ${\mathcal{S}}_N^h$ примыкает к началу координат, но, как станет понятно далее, спектр ${\mathcal{S}}_D^h$ удален на большое расстояние $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ от точки $\Lambda \mathrm{<mo>=</mo>0}$. В спектре задачи (3), (4) ${}_N$ спектральные сегменты имеют длину $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и между ними могут быть раскрыты лакуны шириной $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (теорема 1). Спектральные сегменты ${\mathcal{B}}_{Dj}^h$, наоборот, обладают бесконечно малыми при $h\to +0$ длинами: порядка $e^{-{\delta }_j\mathrm{<mo>/</mo>}h}$ в среднечастотном диапазоне и порядка $h$ в высокочастотном. Соответственно ширина лакун (15) в спектре задачи Дирихле (3), (11) ${}_D$ составляет $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (теорема 2). Впрочем, в обоих случаях бывают исключения — некоторые лакуны закрываются или приобретают меньшие по порядку размеры.

Первостепенное значение в проведенном спектральном анализе приобретает явление пограничного слоя, описываемое задачами Неймана и Дирихле в бесконечной области $\Xi$ на фиг. 1a (см. разд. 2 и разд. 4). В случае краевого условия Неймана дискретный спектр пуст, непрерывный — замкнутая положительная полуось и реализуется правильный пороговый резонанс кратности 1, однако в случае условий Дирихле известны примеры волноводов с непустым дискретным спектром и пороговыми резонансами разных качеств. Далее вскрыты три механизма раскрытия лакун, представленных в разд. 3 и разд. 5 с различной степенью детализации.

Механизм, наиболее сложный как в части формальных асимптотических конструкций, использующих разномасштабные разложения, так и в части их оправдания, требующего рассмотрения нескольких зон изменения переменной Флоке, представлен в разд. 3 на примере задачи Неймана (см. также п. 5, 3°, по поводу задачи Дирихле). Он позволяет изучить образование узких лакун вследствие распадения узлов ферм дисперсионных кривых, т.е., в частности, анализирует иррегулярные возмущения спектральных сегментов. Второй и третий механизмы целиком относятся к задаче Дирихле (см.п. 5, 1° и п. 5, 2°) и имеют дело с обратным, но регуляризованным процессом “схлопывания” спектрального сегмента в точку при $h\to +0$. Подобные эффекты возникают при наличии дискретного спектра или отсутствии правильного порогового резонанса в спектральной задаче Дирихле для оператора Лапласа в бесконечном волноводе $\Xi$, причем исчезающе малые сегменты чередуются с широкими лакунами. Следует признаться, что последствия возникновения пороговых резонансов (см. разд. 4 и п. 5, 3°) не исследованы досконально потому, что, с одной стороны, гипотетически их проявления весьма разнообразны, но с другой стороны, во многих случаях до сих пор неизвестны конкретные формы, для которых те или иные возможности реализуются в геометрически просто устроенных квантовых волноводах. Вместе с тем автор вполне уверен, что акустическим и квантовым волноводам присущи именно описанные три механизма раскрытия спектральных лакун при сингулярных периодических возмущениях их изначально цилиндрической формы.

2. Пограничный слой в задаче Неймана

Разрешимость и свойства решений задачи в волноводе $\Xi$ (фиг. 1a)

 $\begin{array}{c}-\Delta w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\xi \in \Xi \mathrm{,}{\partial }_{\nu }w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\xi \in \partial \Xi \mathrm{,}\end{array}$ (16)

изучены целиком (см. [9, гл. 5; 15; 2] по поводу общих формально самосопряженных эллиптических краевых задач и переложение результатов для оператора Лапласа, например, в [16]). Поэтому ограничимся перечислением специальных решений при $f\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $f\mathrm{<mo>=</mo>1}$, востребованных в следующем разделе при построении асимптотик.

Пространство решений однородной ( $f\mathrm{<mo>=</mo>0}$ ) задачи (16) с полиномиальным ростом на бесконечности имеет размерность 2 (по числу выходов области $\Xi$ на бесконечность) и натянуто на функции $w_0$ и $w_1$: постоянную $w_0\mathrm{<mo>=</mo>1}$ и заданную своим разложением на бесконечности

 $\begin{array}{c}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{w}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{\pm }}{\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\xi }_d}{\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>}}\pm m_{\Xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (17)

Здесь ${\tilde{w}}_1\in H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — остаток, затухающий при ${\xi }_d\to \pm \infty$ с экспоненциальной скоростью, через $\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>}$ обозначена ( $d-1$ )-мерная площадь сечения ω цилиндра Ω, ${\chi }_R^{\pm }\in C_c^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — срезающая функция,

 $\begin{array}{c}{\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}ïðè\pm {\xi }_d\mathrm{<mo>></mo>2}R\mathrm{,}{\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}ïðè\pm {\xi }_d\mathrm{<mo><</mo>}R\mathrm{,}0⩽{\chi }_R^{\pm }⩽\mathrm{1,}\end{array}$ (18)

а $m_{\Xi }$ — некоторая величина, зависящая от формы области $\Xi$ в целом и являющаяся аналогом таких классических интегральных характеристик множеств в гармоническом анализе, как емкость и тензоры виртуальной массы и поляризации (см., например, [17]).

Решение задачи (16) при $f\mathrm{<mo>=</mo>1}$ обладает квадратичным ростом на бесконечности и представимо в виде

 $\begin{array}{c}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{W}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2}{\xi }_d^2+{\displaystyle \sum _{\pm }}{\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm M_{\Xi }\frac{{\xi }_d}{\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>}}\pm m_{\Xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (19)

где $\tilde{W}\in H^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — затухающий остаток, $M_{\Xi }$ — еще одна характеристика области $\Xi$, уже чисто геометрическая (см. предложение 1), а постоянная $m_{\Xi }$ далее востребована не будет.

Поясним строение неубывающих членов в формулах (17) и (19). Во-первых, одинаковые множители $\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}$ при мономе ${\xi }_d$ нужны для обращения в нуль потока гармонической функции $w_1$ на бесконечность (сумма интегралов по сечениям w от производных $\pm \partial w_1\mathrm{<mo>/</mo>}\partial {\xi }_d$ при $\pm {\xi }_d\mathrm{<mo>></mo>}R$ ). Во-вторых, метод Фурье предопределяет при $\pm {\xi }_d\mathrm{<mo>></mo>}R$ у решения $w_1$ линейные составляющие $\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}{\xi }_d-m_{\pm }$ с какими-то $m_{\pm },$ однако добавление к нему постоянной $w_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_{+}+m_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}$ позволяет добиться представления (17) с общим коэффициентом $m_0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_{-}-m_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}$. Наконец, в разложении какого-либо решения задачи (16) с правой частью $f\mathrm{<mo>=</mo>1}$ появляются квадратные трехчлены $-\frac{1}{2}{\xi }_d^2+a_{\pm }^1{\xi }_d+a_{\pm }^0$ с некоторыми множителями $a_{\pm }^q,$ но присоединение к ним линейной комбинации $c_0{w}_0+c_1{w}_1$ с подходящими коэффициентами $c_q$ придает функции $W$ вид (19). Подчеркнем, что предложенный выбор поведения при ${\xi }_d\to \pm \infty$ фиксирует единственным образом решения $w_1$ и W, а значит, и характеристики $m_{\Xi }$ и $M_{\Xi }$ волновода X, которые играют особую роль в асимптотическом анализе спектра задачи (3), (4). Обсудим свойства этих характеристик.

Следующие две формулы проверены в [16] для волноводов более общего строения, однако ввиду их важности и для удобства читателя приведем сжатые доказательства. Обозначим через $\pm R_{\pm }$ минимальные величины, при которых (ср. фиг. 2)

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{<mo>\{</mo>}\xi \in \Xi \mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_d\cancel{\in }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-R_{-}\mathrm{,}{R}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo><mo>=</mo>}\\ =\mathrm{<mo>\{</mo>}\xi \in \Omega \mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_d\cancel{\in }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-R_{-}\mathrm{,}{R}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo><mo>=</mo>}\\ =\omega \times \left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,}-R_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_{+}\mathrm{,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}\end{array}\end{array}$ (20

Фиг. 2. Цилиндры с утончением (a) и утолщением (б). Возмущение полосы при сохранении площади резонатора, отсеченного штрихпунктирными линиями (в).

Множество $\Theta \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \in \Xi \mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_d\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-R_{-}\mathrm{,}{R}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ называем резонатором волновода $\Xi$; $\mathrm{<mo>|</mo>}\Theta \mathrm{<mo>|</mo>}$ — его $d$ -мерный объем. Остальная часть (20) — два полубесконечных цилиндрических рукава ${\Omega }^{\pm }\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \in \Omega \mathrm{<mo>:</mo>}\pm {\xi }_d\mathrm{<mo>></mo>}\pm R_{\pm }\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Соответственно мелкий узел ${\Theta }^h$ тонкой области ${\varpi }^h$ получается сжатием множества $\Theta$ в $h^{-1}$ раз.

Предложение 1. Верны соотношения

 $\begin{array}{c}2m_{\Xi }\mathrm{<mo>></mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_{+}+R_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}\mathrm{,}\end{array}$ (21)

 $\begin{array}{c}2M_{\Xi }\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}\Theta \mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_{+}+R_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>.}\end{array}$ (22)

Доказательство. Применим формулу интегрирования по частям в длинном ( $T\to +\infty$ ) усеченном волноводе ${\Xi }_T\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \in \Xi \mathrm{<mo>:</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}T\mathrm{<mo>\}</mo>}$:

$\mathrm{<mo>|</mo>}\Theta \mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}T-R_{+}-R_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{\Xi }_T\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}-{\displaystyle \underset{{\Xi }_T}{\int }}{\Delta }_{\xi }W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\pm }}\pm {\displaystyle \underset{\omega }{\int }}\frac{\partial W}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>}+M_{\Xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Отсюда вытекает соотношение (22). Теперь введем непрерывную функцию $w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}$, совпадающую с $w_1$ на Q, но равную $w_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mp R_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ${\Omega }^{\pm }$. Она сохраняет гармоничность внутри Q и ${\Omega }^{\pm }$, а также обладает конечным интегралом Дирихле на этих множествах, поскольку стабилизируется при ${\xi }_d\to \pm \infty$ к постоянным $\pm \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_{\Xi }+\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}{R}_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Вместе с тем у ее производной появились скачки

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{\partial w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{:=}\frac{\partial w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm R_{\pm }\pm \mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\partial w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm R_{\pm }\mp \mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>}}$

на сечениях $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm R_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Таким образом, формулы Грина показывают, что

$\begin{array}{c}\mathrm{0<mo><</mo>}\parallel {\nabla }_{\xi }{w}_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\pm }}\mp {\displaystyle \underset{\omega }{\int }}{w}_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm R_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left[\frac{\partial w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}}{\partial {\xi }_d}\right]}_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\xi }^{\prime }=\\ ={\displaystyle \sum _{\pm }}\mp {\displaystyle \underset{\omega }{\int }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm R_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{\partial w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm R_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{w}_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm R_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial w_1}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm R_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\xi }^{\prime }=\\ =\underset{T+\infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{\pm }}\mp {\displaystyle \underset{\omega }{\int }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-w_{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial w_1}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{,}\pm T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>2}{m}_{\Xi }+\frac{R_{+}+R_{-}}{\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{.}\end{array}$

Неравенство (21) также доказано.

Формула (22) позволяет легко вычислить величину $M_{\Xi }$, но формула (21) дает мало информации о величине $m_{\Xi }$. Обсудим специфические волноводы, изображенные на фиг. 2a и б.

(i) Сужение участка волновода: $\Xi \subset \Omega$ (фиг. 2a). Пусть $\Upsilon \mathrm{<mo>=</mo>}\Omega \backslash \overline{\Xi }\cancel{=}\varnothing$ и $\Sigma \mathrm{<mo>=</mo>}\partial \Upsilon \backslash \partial \Omega \subset \partial \Xi$. Заметим, что $M_{\Xi }\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo>|</mo>}\Upsilon \mathrm{<mo>|</mo>}$ в силу равенства (22). Введем функцию

 $\begin{array}{c}{\widehat{w}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}{\xi }_d\mathrm{.}\end{array}$ (23)

Имеем

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}I:=\frac{1}{\left|\omega \right|}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\int }}{w}_1(\xi ){\partial }_{\nu }{\xi }_{d}d{s}_{\xi }=\frac{1}{|\omega {|}^2}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\int }}{\xi }_d{\partial }_{\nu }{\xi }_{d}d{s}_{\xi }-\frac{1}{\left|\omega \right|}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\int }}{\widehat{w}}_1(\xi ){\partial }_{\nu }{\widehat{w}}_1(\xi )d{s}_{\xi }=\\ =-\frac{\left|\Upsilon \right|}{|\omega {|}^2}-\parallel {\nabla }_{\xi }{\widehat{w}}_1;L^2(\Xi ){\parallel }^2<0.\end{array}\end{array}$     (24)

Здесь применена формула интегрирования по частям в областях $\Upsilon$ и X, причем ${\nabla }_{\xi }{\widehat{w}}_1\in L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в силу определений (17) и (23), а ${\partial }_{\nu }$ — производная вдоль внутренней нормали для $\Upsilon .$ С другой стороны,

 $\begin{array}{c}I\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \underset{\Sigma }{\int }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_{\nu }{\widehat{w}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\widehat{w}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_{\nu }{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\\ =\underset{T\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{\pm }}\pm {\displaystyle \underset{\omega }{\int }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial {\widehat{w}}_1}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\widehat{w}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial w_1}{\partial {\xi }_d}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\times {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\xi }_d\mathrm{<mo>=</mo>}\pm T}d{\xi }^{\text{'}}\mathrm{<mo>=</mo>}-2m_{\Xi }\mathrm{.}\end{array}$ (25)

Сначала воспользовались тем, что ${\partial }_{\nu }{w}_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и ${\partial }_{\nu }{\widehat{w}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}-{\partial }_{\nu }{\xi }_d$ на S, а затем применили формулу Грина в усеченном волноводе ${\Xi }_T\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \in \Xi \mathrm{<mo>:</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}T\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и вычислили возникшие интегралы по удаленным ( $\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}T\to +\infty$ ) сечениям, подставив разложения функций $w_1$ и ${\widehat{w}}_1$.

Соотношения (25) и (24) показывают, что $m_{\Xi }\mathrm{<mo>></mo>0}$.

(ii) Расширение участка волновода: $\Omega \subset \Xi$ (фиг. 2б). Пусть $\Upsilon \mathrm{<mo>=</mo>}\Xi \backslash \overline{\Omega }\cancel{=}\varnothing$. При помощи равенства (22) находим $M_{\Xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo>|</mo>}\Upsilon \mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>0}$. Введем функцию ${\widehat{w}}_1,$ совпадающую с $w_1$ на $\Upsilon ,$ но заданную равенством (23) на цилиндре Ω. Эта функция приобретает скачок $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\xi }_d$ на поверхности $\Sigma \mathrm{<mo>=</mo>}\partial \Upsilon \backslash \partial \Xi \subset \partial \Omega$, но $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\partial }_{\nu }{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при $\xi \in \Sigma$ (скачки вычисляются в направлении обратном внешней нормали для тела X). Сразу же получаем соотношение

$I:={\displaystyle \underset{\Sigma }{\int }}[{\widehat{w}}_1](\xi ){\partial }_{\nu }{\widehat{w}}_1(\xi )d{s}_{\xi }=-\parallel {\nabla }_{\xi }{w}_1;L^2(\Upsilon ){\parallel }^2-\parallel {\nabla }_{\xi }{\widehat{w}}_1;L^2(\Omega ){\parallel }^2<0.$

Поскольку ${\partial }_{\nu }{\xi }_d\mathrm{<mo>=</mo>0}$ на $\Sigma$, аналогично выкладке (25) выводим цепочку равенств

$\begin{array}{c}I={\displaystyle \underset{\Sigma }{\int }}\left([{\widehat{w}}_1](\xi ){\partial }_{\nu }{w}_1(\xi )-w_1(\xi )[{\partial }_{\nu }{\widehat{w}}_1(\xi )]\right)d{s}_{\xi }=\\ =\underset{T\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{\pm }}\pm {\displaystyle \underset{\omega }{\int }}({\widehat{w}}_1(\xi )\frac{\partial w_1}{\partial {\xi }_d}(\xi )-w_1(\xi )\frac{\partial {\widehat{w}}_1}{\partial {\xi }_d}(\xi )){|}_{{\xi }_d=\pm T}d{\xi }^{\text{'}}=2m_{\Xi }.\end{array}$

В итоге обнаруживаем, что, как и в ситуации (i), характеристики $m_{\Xi }$ и $M_{\Xi }$ имеют разные знаки и не обращаются в нуль.

При построении асимптотик в разд. 3 важную роль играют величины

 $\begin{array}{c}{N}_{\Xi }^{\pm }\mathrm{<mo>=</mo>}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}\pm m_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>.}\end{array}$ 26)

Предложение 2. 1) В силу предложения 1 справедливо неравенство

$N_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>></mo>2<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo>|</mo>}\Theta \mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_{+}+R_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

т.е. $N_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>></mo>0}$ при фиксированной “ширине” $R_{+}+R_{-}$ и большом объеме $\mathrm{<mo>|</mo>}\Xi \mathrm{<mo>|</mo>}$ волновода X.

2) В ситуациях (i) и (ii) (фиг. 2a и б) величина $N_{\Xi }^{-}$ отрицательна и положительна соответственно, но существуют такие волноводы X, что $N_{\Xi }^{-}\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

К сожалению, для произвольной формы резонатора Q знаки величин $N_{\Xi }^{\pm }$ неизвестны. Они непрерывно изменяются при регулярной вариации поверхности [11, гл. 6, 5], и поэтому действительно $N_{\Xi }^{-}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ у волноводов $\Xi$ каких-то конкретных форм. Пример области X, для которой $N_{\Xi }^{+}⩽0$, не найден.

Замечание 1. Пусть $d\mathrm{<mo>=</mo>2}$ и $\Omega \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\xi }_1\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\xi }_2\in ℝ\mathrm{<mo>\}</mo>}$ — единичная полоса, т.е. w — отрезок единичной длины. Придадим ее стороне пологое локальное возмущение:

 $\begin{array}{c}{\Xi }^{\epsilon }\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_2\in ℝ\mathrm{,}-\mathrm{1<mo><</mo>}{\xi }_1\mathrm{<mo><</mo>}\epsilon H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>.}\end{array}$                             (27)

При этом $\epsilon$ — малый положительный параметр, а профильная функция $H\in C_c^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-R\mathrm{,}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обладает нулевым средним (см. фиг. 2в) и, значит,

$M_{{\Xi }^{\epsilon }}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\epsilon }{2}{\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\xi }_2\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Асимптотику при $\epsilon \to +0$ решения $w_1^{\epsilon }$ однородной задачи (16) в регулярно возмущенной полосе (27) (см. [11, гл. 6,5]) ищем в виде

 $\begin{array}{c}{w}_1^{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\xi }_2+\epsilon w_1^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\epsilon }^2{w}_1^{\text{'}\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots \mathrm{.}\end{array}$ (28)

Поскольку

${\partial }_{{\nu }^{\epsilon }}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\epsilon }^2\mathrm{<mo>|</mo>}\frac{dH}{d{\xi }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial {\xi }_1}-\frac{dH}{d{\xi }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial {\xi }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

на искривленной стенке волновода, для поправочного члена $w_1^{\text{'}}$ получаем задачу

  $\begin{array}{c}\begin{array}{c}-{\Delta }_{\xi }{w}_1^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\xi \in \Xi \mathrm{,}\\ \frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{dH}{d{\xi }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{\xi }_2\in ℝ\mathrm{.}\end{array}\end{array}$ (29)

Заметив, что $g^{\text{'}}\in C_c^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\displaystyle {\int }_{ℝ}}{g}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\xi }_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$, находим ограниченное решение задачи Неймана (29)

 $\begin{array}{c}{w}_1^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{w}}_1^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{\pm }}\pm {\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{m}^{\text{'}}\mathrm{,}\end{array}$ (30)

а коэффициент $m^{\text{'}}$ вычисляем следующим образом:

 $\begin{array}{c}2m^{\text{'}}=\underset{T\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{\pm }}\pm {\displaystyle \underset{-1}{\overset{0}{\int }}}{w}_1^{\text{'}}({\xi }_1,\pm T)d{\xi }_1=\underset{T\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{\pm }}\pm {\displaystyle \underset{-1}{\overset{0}{\int }}}(w_1^{\text{'}}(\xi )\frac{\partial {\xi }_2}{\partial {\xi }_2}-{\xi }_2\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_2}(\xi )){|}_{{\xi }_2=\pm T}d{\xi }_1=\\ ={\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}{\xi }_2\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1}(\mathrm{0,}{\xi }_2)d{\xi }_2={\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}{\xi }_2{g}^{\text{'}}({\xi }_2)d{\xi }_2={\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}{\xi }_2\frac{dH}{d{\xi }_2}({\xi }_2)d{\xi }_2=-{\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}H({\xi }_2)d{\xi }_2=0.\end{array}$ (31)

Найдем третий член анзаца (28). При учете формулы Тейлора

$\begin{array}{c}\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\epsilon H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2{w}_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\epsilon }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\\ =g^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\epsilon H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2{w}_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_2^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\epsilon }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}$

обнаруживаем, что правая часть условия Неймана в задаче

$-{\Delta }_{\xi }{w}_1^{\text{'}\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\xi \in \Xi \mathrm{,}\frac{\partial w_1^{\text{'}\text{'}}}{\partial {\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}^{\text{'}\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial w_1^{\text{'}\text{'}}}{\partial {\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{\xi }_2\in ℝ\mathrm{,}$

принимает вид

$g^{\text{'}\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{dH}{d{\xi }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2{w}_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_2^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{d}{d{\xi }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Функция $g^{\text{'}\text{'}}\in C_c^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обладает нулевым средним, а коэффициент $m^{\text{'}\text{'}}$ в аналогичном (30) разложении ограниченного решения $w^{\text{'}\text{'}}$ вычисляется по формуле (ср. выкладку (31))

$\begin{array}{c}2m^{\text{'}\text{'}}={\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}{\xi }_2{g}^{\text{'}\text{'}}({\xi }_2)d{\xi }_2=-{\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}H({\xi }_2)\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_2}(\mathrm{0,}{\xi }_2)d{\xi }_2={\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}{g}^{\text{'}}({\xi }_2)w_1^{\text{'}}(\mathrm{0,}{\xi }_2)d{\xi }_2=\\ ={\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}{w}_1^{\text{'}}(\mathrm{0,}{\xi }_2)\frac{\partial w_1^{\text{'}}}{\partial {\xi }_1}(\mathrm{0,}{\xi }_2)d{\xi }_2=\parallel {\nabla }_{\xi }{w}_1^{\text{'}};L^2(\Omega ){\parallel }^2>0.\end{array}$

Следовательно, при пологом возмущении полосы, не изменяющем объем волновода, для величин (26) выполнены соотношения $\pm N_{{\Xi }^{\epsilon }}^{\pm }⩾c_H{\epsilon }^2,c_H\mathrm{<mo>></mo>0.}$

Подчеркнем, что приемы, разработанные в [18, 19], позволяют построить нетривиальный профиль $H^{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ деформированной стенки волновода (27), при котором $N_{{\Xi }^{\epsilon }}^{-}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

3. Спектр акустического волновода

Алгоритм построения асимптотики собственных пар $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\Lambda }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ задачи Неймана (9)–(11) ${}_N$ разработан в полной мере (см. [12, гл. 15, 16; 20; 14; 21; 22] и др.). В частности, известно, что главные члены асимптотических анзацев

 $\begin{array}{c}{\Lambda }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Lambda }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h{\Lambda }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots \mathrm{,}\end{array}$  (32)

 $\begin{array}{c}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h{v}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^{\text{'}\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\text{'}}\mathrm{,}{x}_d\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{,}\end{array}$    (33)

в которых многие ингредиенты далее востребованы не будут, а многоточие замещает младшие члены, “не замечают” малое локальное возмущение тонкой области ${\varpi }^h$ и удовлетворяют следующей задаче для обыкновенного дифференциального по переменной $z\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_d$ уравнения на оси цилиндра ${\Omega }_{\#}^h$:

 $\begin{array}{c}-{\partial }_z^2{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Lambda }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{,}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ v^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\theta }{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{d{v}^0}{dz}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\theta }\frac{d{v}^0}{dz}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$    (34)

Следовательно,

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\Lambda }_{p\pm }^0\left(\theta \right)=(\theta \pm \pi (2p+{(1\mp 1))}^2,\\ v_{p\pm }^0(z;\theta )=e^{iz(\theta \pm \pi (2p+(1\mp 1)\left)\right)},\\ p\in {\mathbb{N}}_0:=\mathbb{N}\cup \left\{0\right\}.\end{array}\end{array}$ (35)

Соответствующие дисперсионные кривые, составляющие бесконечную ферму шириной 2p, изображены на фиг. 3a.

Фиг. 3. Фермы дисперсионных кривых (a) и (в) предельной задачи при разных определениях параметра Флоке. Узлы помечены значками o и g, но масштаб в вертикальном направлении не соблюден. Ферма дисперсионных кривых исходной задачи (б), а лакуны — проекции тонированных прямоугольников на ось ординат. Вспомогательные штрихпунктирные линии (a).

При нахождении поправочного члена анзаца (32) приходится учитывать малые возмущения формы ячейки ${\varpi }^h$, для чего применим метод сращиваемых асимптотических разложений (см. [23; 24; 12, гл. 2] и др.), и в качестве внутреннего, приемлемого в непосредственной близости от узла ${\Theta }^h\subset {\varpi }^h$, разложения возьмем линейную комбинацию с неизвестными коэффициентами

 $\begin{array}{c}{U}_{p\pm }^h(x;\theta )=v_{p\pm }^0(0;\theta )+h({\partial }_z{v}_{p\pm }^0(0;\theta )|\omega |w_1(\xi )+b_{p\pm }^{\text{'}}(\theta ))+\\ +h^2(b_{p\pm }^{\text{'}\text{'}}(\theta )+a_{p\pm }^{\text{'}\text{'}}(\theta )|\omega |w_1(\xi )+{\Lambda }_{p\pm }^0(\theta )W(\xi ))+\dots .\end{array}$ (36)

Анзац (33) интерпретируем как внутренние разложения (их два — на отрезках $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo>/</mo>2,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}),$ к которым следует применить формулу Тейлора

 $\begin{array}{c}{v}_{p\pm }^0(z;\theta )=1+iz(\theta \pm \pi (2p+(1\mp 1)))-{\Lambda }_{p\pm }^0(\theta )\frac{z^2}{2}+O(|z{|}^3).\end{array}$ (37)

В формуле (37) были приняты во внимание явные выражения (35), но в сумме (36) — только в последнем слагаемом.

Произведем сращивание принятых разложений в промежуточных зонах $\pm z\sim \sqrt{h}$ и обнаружим, что в силу представления (17) решения $w_1$ задачи (16) слагаемые порядка единицы уже согласованы, а согласование слагаемых порядка $h$ приводит к соотношениям

$\begin{array}{c}{b}_{p\pm }^{\text{'}}(\theta )+{\partial }_z{v}_{p\pm }^0(\mathrm{0,}\theta )\left|\omega \right|m_{\Xi }=v_{p\pm }^{\text{'}}(+0;\vartheta ),\\ b_{p\pm }^{\text{'}}(\theta )-{\partial }_z{v}_{p\pm }^0(\mathrm{0,}\theta )\left|\omega \right|m_{\Xi }=v_{p\pm }^{\text{'}}(-0;\vartheta ),\end{array}$

которые превращаем в условие скачка решения

 $\begin{array}{c}[v_{p\pm }^{\text{'}}(\theta )]:=v_{p\pm }^{\text{'}}(+0;\theta )-v_{p\pm }^{\text{'}}(-0;\theta )=2m_{\Xi }\left|\omega \right|{\partial }_z{v}_{p\pm }^0(0;\theta ).\end{array}$ (38)

При сращивании разложений на уровне $h^2$ нужно учесть формулы (37) и (36), (19). Слагаемые порядка $z^2\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^2{\xi }_d^2$ оказываются согласованными автоматически, а согласование слагаемых порядка $hz\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^2{\xi }_d$ порождает соотношения

$\begin{array}{c}{\partial }_z{v}_{p\pm }^{\text{'}}(+0;\theta )=a_{p\pm }^{\text{'}\text{'}}+M_{\Xi }|\omega {|}^{-1}{\Lambda }_{p\pm }^0(\theta )v_{p\pm }^0(0;\theta ),\\ {\partial }_z{v}_{p\pm }^{\text{'}}(-0;\theta )=a_{p\pm }^{\text{'}\text{'}}-M_{\Xi }|\omega {|}^{-1}{\Lambda }_{p\pm }^0(\theta )v_{p\pm }^0(0;\theta ).\end{array}$

В итоге выводим условие скачка производной решения

 $\begin{array}{c}[{\partial }_z{v}_{p\pm }^{\text{'}}(\theta )]:={\partial }_z{v}_{p\pm }^{\text{'}}(+0;\theta )-{\partial }_z{v}_{p\pm }^{\text{'}}(-0;\theta )=2M_{\Xi }|\omega {|}^{-1}{\Lambda }_{p\pm }^0(\theta )v_{p\pm }^0(0;\theta ),\end{array}$ (39)

замыкающее задачу для поправочных членов анзацев (32) и (33):

 $\begin{array}{c}-{\partial }_z^2{v}_{p\pm }^{\text{'}}(z;\theta )-{\Lambda }_{p\pm }^0(\theta )v_{p\pm }^{\text{'}}(z;\theta )={\Lambda }_{p\pm }^{\text{'}}(\theta )v_{p\pm }^0(z;\theta ),z\in (-\frac{1}{2}\mathrm{,0})\cup (\mathrm{0,}\frac{1}{2}),\\ v_{p\pm }^{\text{'}}(\frac{1}{2};\theta )=e^{i\theta }{v}_{p\pm }^{\text{'}}(-\frac{1}{2};\theta ),\frac{d{v}_{p\pm }^{\text{'}}}{dz}(\frac{1}{2};\theta )=e^{i\theta }\frac{d{v}_{p\pm }^{\text{'}}}{dz}(-\frac{1}{2};\theta ).\end{array}$   (40)

 Если ${\Lambda }_{p\pm }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — простое собственное значение, то выполнение (единственного) условия разрешимости задачи (38)–(40)

$\begin{array}{c}{{\Lambda }^{\prime }}_{p\pm }^{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{{\Lambda }^{\prime }}_{p\pm }^{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{-\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\overset{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}{v}_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}dz\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \underset{-\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\overset{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\int }}}\overline{v_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_z^2{v^{\prime }}_{p\pm }^{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\Lambda }_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v^{\prime }}_{p\pm }^{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dz\mathrm{<mo>=</mo>}\\ ={\displaystyle \sum _{\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\pm }}\alpha \left(\overline{v_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial }_z{v^{\prime }}_{p\pm }^{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\right.\left.\overline{{\partial }_z{v}_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{v^{\prime }}_{p\pm }^{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)=\\ =M_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}{\Lambda }_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{v}_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}\theta {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2-2m_{\Xi }\left|\omega \right|{\left|{\partial }_z{v}_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^2\end{array}$

влечет за собой формулу для поправочного слагаемого анзаца (32)

 $\begin{array}{c}{\Lambda }_{p\pm }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{N}_{\Xi }^{-}{\Lambda }_{p\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (41)

Соотношение (41) показывает, что в зависимости от знака величины $N_{\Xi }^{-}$ (см. определение (26), а также предложение 2 и замечание 1) участки дисперсионных кривых между точками их пересечений и изломов, помеченных значками o и половинками значков g на фиг. 3a, сдвигаются вверх или вниз на фиг. 3б. Нижняя дисперсионная дуга также деформируется, но точка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{,}\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ остается неподвижной по причине последнего сомножителя в правой части (41). Вместе с тем поведение кривых около самих узлов

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{P}_{\circ }^q=\left(\mathrm{0,4}{\pi }^2{q}^2\right)иP_{•}^q=(\pm \pi ,{\pi }^2{(2q-1)}^2),\\ q\in \mathbb{N}\end{array}\end{array}$ (42)

(напоминаем, что 2p-периодичность отождествляет точки ±p), требует более тщательного анализа хотя бы потому, что собственные значения

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\Lambda }_{p+}^0\left(0\right)={\Lambda }_{(p-1)-}^0\left(0\right) \mathrm{и} {\Lambda }_{p+}^0\left(\pi \right)={\Lambda }_{(p-1)-}^0(-\pi ),\\ p\in \mathbb{N},\end{array}\end{array}$  (43)

двукратные. Подчеркнем, что узлы (42), заданные разными выражениями, по сути не отличаются один от другого — это нетрудно усмотреть на фиг. 3в, где новая ферма, полученная допустимой заменой параметра Флоке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}∍\theta \mapsto O_{-}\mathrm{<mo>=</mo>}\theta -\pi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ содержит целые значки $•$, но рассеченные значки $\circ .$

Следуя [25] (см. также [26, 27, 19] и др.), согласованно с формулой (42) введем “быструю” переменную Флоке

$t_{\circ }\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{-1}\theta \text{èëè}{t}_{•}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mp \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Рассмотрим узлы $P_{\circ }^q$ на оси ординат — узлы $P_{•}^q$ обрабатываются по той же схеме (см. замечание 2 и ср. [25], где была использована именно “ферма” на фиг. 3в). Индекс $\circ$ по возможности не пишем.

Общее решение задачи (34) с параметром ${\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo>=</mo>4}{\pi }^2{q}^2$ (новое обозначение) принимает вид

 $\begin{array}{c}{v}^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{a}_{+}^q{e}^{+i2\pi qz}+a_{-}^q{e}^{-i2\pi qz}\end{array}.$ (44)

В окрестности каждого из узлов у задачи (9)–(11)N имеется пара собственных значений, для которых примем асимптотические анзацы

 $\begin{array}{c}{\Lambda }_{\alpha }^{qh}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Lambda }^{q0}+h{\Lambda }_{\alpha }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\tilde{\Lambda }}_{\alpha }^{qh}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\pm \mathrm{.}\end{array}$ (45)

Внешние разложения для соответствующих собственных функций $U_{\pm }^{hq}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ищем в виде

 $\begin{array}{c}{U}_{\alpha }^{qh}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}_{\alpha }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h{v}_{\alpha }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\pm \mathrm{,}\end{array}$ (46)

где $v_{\alpha }^{q0}$ — линейная комбинация (44) с неизвестным столбцом коэффициентов $a^{q\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{+}^{q\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{a}_{-}^{q\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Выражение (36) с понятными изменениями по-прежнему выберем как внутреннее разложение около мелкого узла G^h. В результате для поправочных членов анзацев (45) и (46) выводим уравнение

 $\begin{array}{c}-{\partial }_z^2{v}_{\alpha }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Lambda }^{q0}{v}_{\alpha }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Lambda }_{\alpha }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_{\alpha }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (47)

с полученными прежним способом условиями скачков

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{v}_{\alpha }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>2}{m}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo>}{\partial }_z{v}_{\alpha }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\partial }_z{v}_{\pm }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>2}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}{\Lambda }^{q0}{v}_{\alpha }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}\end{array}$ (48)

При $\theta \mathrm{<mo>=</mo>0}$ условия квазипериодичности (10) становятся обычными условиями периодичности, однако ввиду малого возмущения параметра Флоке $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}ht$ и формулы $e^{iht}\mathrm{<mo>=</mo>1}+iht+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ они теперь оказываются неоднородными:

 $\begin{array}{c}{v}_{\alpha }^{q\text{'}}(\frac{1}{2};t)-v_{\alpha }^{q\text{'}}(-\frac{1}{2};t)=-it{v}_{\alpha }^{q0}(-\frac{1}{2};t),\frac{d{v}_{\alpha }^{q\text{'}}}{dz}(\frac{1}{2};t)-\frac{d{v}_{\alpha }^{q\text{'}}}{dz}(-\frac{1}{2};t)=-it\frac{d{v}_{\alpha }^{q0}}{dz}(-\frac{1}{2};t).\end{array}$ (49)

Поскольку собственное значение ${\Lambda }^{q0}$ двукратное, у задачи (47)–(49) появляются два условия разрешимости, которые при помощи формулы Грина, а также неоднородных точечных условий превращаем в систему двух ( $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\pm$ ) алгебраических уравнений для столбца $a^{q\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$\begin{array}{c}{\Lambda }_{\alpha }^{q\text{'}}(t)a_{\pm }^{q\alpha }(t)={\Lambda }_{\alpha }^{q\text{'}}(t){\displaystyle \underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int }}}\overline{e^{\pm i2\pi qz}}{v}_{\alpha }^{q0}(z;t)dz=-{\displaystyle \underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int }}}\overline{e^{\pm i2\pi qz}}\left({\partial }_z^2{v}_{\alpha }^{q\text{'}}(z;t)+{\Lambda }^{q0}{v}_{\alpha }^{q\text{'}}(z;t)\right)dz=\\ =\left(v_{\alpha }^{q\text{'}}(z;t)\overline{{\partial }_z{e}^{\pm i2\pi qz}}-{\partial }_z{v}_{\alpha }^{q\text{'}}(z;t)\overline{e^{\pm i2\pi qz}}\right){|}_{z=-1/2}^{1/2}-\left(v_{\alpha }^{q\text{'}}(z;t)\overline{{\partial }_z{e}^{\pm i2\pi qz}}\right.\left.-{\partial }_z{v}_{\alpha }^{q\text{'}}(z;t)\overline{e^{\pm i2\pi qz}}\right){|}_{z=-0}^{+0}=\\ =\mp 2\pi qt(a_{+}^{q\alpha }+a_{-}^{q\alpha })-2\pi qt(a_{+}^{q\alpha }-a_{-}^{q\alpha })\mp 2{\Lambda }^{q0}{m}_{\Xi }\left|\omega \right|(a_{+}^{q\alpha }-a_{-}^{q\alpha })+2{\Lambda }^{q0}{M}_{\Xi }|\omega {|}^{-1}(a_{+}^{q\alpha }+a_{-}^{q\alpha }).\end{array}$

с матрицей

${\mathcal{M}}^q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}-4\pi qt+2{\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}-m_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}& 2{\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}+m_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 2{\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}+m_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}& 4\pi qt+2{\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}-m_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{,}$

собственные значения которой имеют вид

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\Lambda }_{\alpha }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}-m_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\alpha {\Lambda }^{q0}\sqrt{t^2+\mathrm{4<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}+m_{\Xi }\mathrm{<mo>|</mo>}\omega {\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}\\ \alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\pm \mathrm{.}\end{array}\end{array}$ (50)

Эта формула содержит обе величины (26), причем предположение $N_{\Xi }^{+}\cancel{=}0$ показывает, что

$\underset{t\in ℝ}{{\displaystyle \min }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Lambda }^{q0}+h{\Lambda }_{+}^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+2h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{\Xi }^{-}+\mathrm{<mo>|</mo>}{N}_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}{\Lambda }^{q0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+2h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{\Xi }^{-}-\mathrm{<mo>|</mo>}{N}_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{t\in ℝ}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Lambda }^{q0}+h{\Lambda }_{-}^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В итоге видим, что вблизи узла $P_{\circ }^q$ две пересекающиеся предельные дисперсионные кривые (см. формулу (42) и фиг. 3a) распадаются и согласно определению (15) раскрывают лакуну ${\mathcal{G}}_{2q}^h$ при малом $h\mathrm{<mo>></mo>0}$ так, как указано на фиг. 3б для случая $q\mathrm{<mo>=</mo>1}$. При $N_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ такой вывод сделать нельзя, поскольку согласно (50) графики функций $t\mapsto {\Lambda }^{q0}+h{\Lambda }_{\pm }^{q\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ остаются пересекающимися прямыми, а их общая точка пересечения сдвигается вдоль оси ординат по закону (41).

Замечание 2. Узлу $P_{•}^q$ и соответствующему собственному значению

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\Lambda }_{•}^{q0}={\Lambda }_{q-1+}^0\left(\pi \right)={\Lambda }_{q-2-}^0(-\pi )={\pi }^2{(2q-1)}^2,\\ q\in \mathbb{N},\end{array}\end{array}$ (51)

из списка (43) отвечают следующие две собственные функции предельной задачи (34):

$\begin{array}{l}{v}_{•+}^q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{v}_{q-1+}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{+i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}q-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}z}\mathrm{,}\\ v_{•-}^q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{v}_{q-2-}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{+i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}q-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}z}\mathrm{.}\end{array}$

Повторение вычислений показывает, что выражение (50) для поправочного члена анзаца (45) сохраняется, но содержит новый множитель (51).

Сформулируем результат проведенного асимптотического анализа, а затем прокомментируем процедуру обоснования асимптотических формул.

Теорема 1. Пусть $N_{\Xi }^{+}\cancel{=}0$ (см. формулы (26), (17), (19) и предложение 2). Для каждого $k\in \mathbb{N}$ найдутся такие положительные $h_k$ и $C_k$, что при $h\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{h}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ в спектре (6) оператора задачи (3), (4) ${}_N$ раскрыта лакуна

${\mathcal{G}}_{Nk}^h\supset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\pi }^2{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+2h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{\Xi }^{-}-\mathrm{<mo>|</mo>}{N}_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>})+C_k{h}^2\mathrm{,}{\pi }^2{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+2h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{\Xi }^{-}+\mathrm{<mo>|</mo>}{N}_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>|</mo>})\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-C_k{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

шириной $4{\pi }^2{k}^2\mathrm{<mo>|</mo>}{N}_{\Xi }^{+}\mathrm{<mo>|</mo>}h+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. При $h\to +0$ количество раскрытых лакун (15) неограниченно возрастает, а соседние ${\mathcal{G}}_{Nk}^h$ и ${\mathcal{G}}_{Nk+2}^h$ отделены одна от другой спектральным сегментом ${\mathcal{B}}_{Nk+1}^h$ с длиной $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Обоснование индивидуальных асимптотик собственных пар $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\Lambda }_{Np}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{U}_{Np}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ задачи (9)–(11) ${}_N$, т.е. вывод оценок асимптотических остатков в представлении (32) собственного значения и в подходящим образом “склеенных” разложениях (33) и (36) собственной функции (см. [24; 12, гл. 2] и др.) проводится по стандартной, неоднократно опубликованной и подробно прокомментированной схеме, включающей применение леммы о “почти собственных” значениях и векторах (см. [28]), а также проверке утверждения о сходимости

${\Lambda }_{Nk}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to {\Lambda }_k^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{ïðè}h\to +0.$

Реализация этих элементов схемы для рассмотренной задачи Неймана не встречает сколь-нибудь заметных затруднений (ср. [14, 16]). Осложнения возникают при асимптотическом анализе спектральных сегментов и лакун: для оправдания асимптотики концевых точек интервалов (15) нужны равномерные относительно параметра $\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ оценки. В [18] и [19] предложено несколько подходов к преодолению препятствий. Каждый из них вполне доступен в рассматриваемой задаче (например, достаточно проверить простой факт: для пар , взятых со штрихпунктирных линий на фиг. 3в и удаленных от предельных дисперсионных кривых, задача (9)–(11)  однозначно разрешима). Вместе с тем их исполнение достаточно громоздко, но в значительной степени повторяет уже публиковавшиеся рассуждения и выкладки. Избегая крупных заимствований, воспроизведем в п. 5,  лишь наиболее краткий из способов вывода равномерных по параметру Флоке оценок асимптотических остатков в представлениях собственных значений.

4. Пограничный слой в задаче Дирихле

Спектр $\wp$ квантового волновода X (фиг. 1a), описываемого задачей Дирихле

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}-\Delta w\left(\xi \right)=\mu w\left(\xi \right),\xi \in \Xi ,\\ w\left(\xi \right)=\mathrm{0,}\xi \in \partial \Xi ,\end{array}\end{array}$(52)

исследован полностью (см., например, обширный список литературы в [1]). Сообщим сведения, используемые в следующем разделе.

Непрерывный спектр ${\wp }_c$ оператора задачи (52) — луч $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\mu }_{†}\mathrm{,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ точка отсечки которого ${\mu }_{†}\mathrm{<mo>></mo>0}$ — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа $-{\Delta }_{{\xi }^{\text{'}}}$ на сечении w цилиндра W; соответствующую собственную функцию $V$ нормируем в пространстве Лебега $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В ситуации (i) (фиг. 2a) дискретный спектр ${\wp }_d\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\mu }_{†}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пустой (следствие неравенства Фридрихса: первое собственное значение смешанной краевой задачи для оператора Лапласа $-{\Delta }_{\xi }$ на резонаторе $\Theta ⊊\omega \times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-R_{-}\mathrm{,}{R}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ превосходит ${\mu }_{†}),$ но в ситуации (ii) (фиг. 2б) в ${\wp }_d$ есть хотя бы одна точка. Более того, размерность $\mathrm{<mo>\#</mo>}{\wp }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дискретного спектра волновода $\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Omega \cup \Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с увеличивающимся резонатором $\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^{-1}\xi \in \Theta \mathrm{<mo>\}</mo>}$ неограниченно возрастает при $R\to +\infty$ (см. [29]). Ввиду устойчивости собственных значений внутри дискретного спектра его насыщение может происходить исключительно вследствие отцепления собственных значений от точки отсечки ${\mu }_{†}$ непрерывного спектра, которое обязательно сопровождается возникновением порогового резонанса (см. [30, 14, 31] и др.). Сам пороговый резонанс случается тогда, когда у задачи (52) с параметром $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{†}$ имеется ограниченное решение

 $\begin{array}{c}{W}_{†0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{W}}_{†0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{\pm }}{\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{\pm }V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (53)

где помимо привлечения собственной функции $V\in H_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и коэффициентов $K_{\pm }\in ℝ$ обозначения вполне аналогичны использованным в формуле (17), в частности, ${\chi }_R^{\pm }$ — срезки (18). Если $K_{\pm }\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и функция (53) затухает на бесконечности, то $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mu }_{†}\mathrm{<mo>;</mo>}{w}_{†}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in ℝ\times H_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — истинная собственная пара задачи (52). Если же $\mathrm{<mo>|</mo>}{K}_{+}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{K}_{-}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>></mo>0}$ и функция (53) только стабилизируется при ${\xi }_d\to \pm \infty$, то пороговый резонанс называется правильным (терминология из [31]). Как неоднократно отмечалось в предшествующих публикациях (см., например, [13; 14; 12, гл. 16]) и станет понятно в разд. 5, отсутствие или наличие порогового резонанса, а также его качество существенно влияют на асимптотическое строение спектра задачи (9), (10).

Пороговый резонанс заведомо отсутствует для волновода на фиг. 2a, т.е. в ситуации (i) (см. достаточное условие из [32] или первый критерий в [33]). Пример волновода $\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с раздувающимся резонатором показывает, что существует такая положительная неограниченная монотонно возрастающая последовательность ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{R}_j\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{j\in \mathbb{N}},$ что в волноводах $\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ реализуются пороговые резонансы. Другой способ образования резонанса состоит в возмущении прямого цилиндра ${\Xi }^0\mathrm{<mo>=</mo>}\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}\omega \times ℝ$, для которого наличие простого правильного порогового резонанса очевидно: нужное решение (53) имеет вид $w_{†}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $K_{\pm }\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Именно, в [31] разработана процедура поиска такой профильной функции $H\in C_c^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (ср. замечание 1), что при малом $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ деформация стенки $\partial {\Xi }^0\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \omega \times ℝ$ вдоль нормали на величину $\epsilon H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порождает правильный пороговый резонанс или делает точку отсечки ${\mu }_{†}$ собственным значением задачи (52) в ${\Xi }^{\epsilon }$. Вместе с тем следует подчеркнуть, что пороговый резонанс в задаче Дирихле — явление редкое и неустойчивое, т.е. ситуация общего положения — его отсутствие.

При зеркальной симметрии цилиндра Ω и резонатора G относительно гиперплоскости $\mathrm{<mo>\{</mo>}\xi \mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_1\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$ можно превратить порог ${\mu }_{†}$ в собственное значение задачи (52) в $\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при раздутии резонатора путем постановки искусственных условий Дирихле на рассекающей поверхности $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \in \Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\xi }_1\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$ (см. [34]), которые сдвигают вверх точку отсечки ${\mu }_{†}^{+}\mathrm{<mo>></mo>}{\mu }_{†},$ а увеличение размера $R$ резонатора $\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ отцепляет от точки ${\mu }_{†}^{+}$ собственные значения задачи Дирихле в верхней половине волновода ${\Xi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \in \Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\xi }_1\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$ и спускает их вниз до нуля при $R\to +\infty$. Таким образом, они многократно пересекают исходную точку отсечки ${\mu }_{†},$ а нечетное продолжение соответствующих собственных функций $V^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Xi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ через $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порождает собственные пары $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mu }_{†}\mathrm{<mo>;</mo>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ в исходном волноводе $\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Разумеется, при богатой геометрической симметрии сечения w точку отсечки ${\mu }_{†}$ можно сделать кратным собственным значением, т.е. придать пороговому резонансу любую заданную наперед кратность.

Кратность правильного порогового резонанса не может превосходить двух, т.к. в разложении незатухающего решения (53) фигурирует лишь пара коэффициентов $K_{+}$ и $K_{-}.$ К сожалению, до сих пор не опубликован пример квантового волновода с двумя цилиндрическими выходами на бесконечность, у которого реализуется правильный пороговый резонанс с кратностью 2, т.е. у задачи (52) есть решения (53) с векторами коэффициентов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{+}\mathrm{,}{K}_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{+}\mathrm{,}{K}_{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Отметим, что у задачи Неймана пороговый резонанс в точке ${\mu }_{†}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ всегда имеет кратность 1 и является правильным, что и породило возникшие в разд. 3 асимптотические анзацы. В [35] приведен акустический волновод довольно причудливой формы, у которого на втором простом пороге внутри непрерывного спектра возникает двукратный правильный пороговый резонанс, однако соответствующие конструкции непригодны для условий Дирихле.

Если правильный пороговый резонанс отсутствует, то у задачи (52) появляются два ( $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\pm$ ) решения с линейным ростом в рукавах ${\Omega }^{+}$ и ${\Omega }^{-}$, а именно

 $\begin{array}{c}{W}_{†\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{W}}_{†\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_R^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha {\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{\pm }}{\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{\alpha \pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (54)

Матрица K, составленная из (вещественных) коэффициентов $K_{\alpha \pm }$ разложений (54) и имеющая размер $2\times 2$, симметричная (см. [36]). Если же правильный пороговый простой (его кратность равна 1), то в дополнение к ограниченному решению (53) у задачи (52) есть решение с таким поведением на бесконечности:

 $\begin{array}{c}{W}_{†1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{W}}_{†1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{\pm }}{\chi }_R^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\pm K_{\pm }^1{\xi }_d+K_{\pm }^0\right)V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (55)

Коэффициенты разложений (55) и (53) подчинены связям

 $\begin{array}{c}\begin{array}{l}{K}_{+}{K}_{+}^1+K_{-}{K}_{-}^1\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ K_{+}{K}_{+}^0+K_{-}{K}_{-}^0\mathrm{<mo>=</mo>0,}\end{array}\end{array}$ (56)

причем первая возникает по необходимости (проверяется применением формулы Грина в усеченном волноводе ${\Xi }_T$ и предельным переходом $T\to +\infty ;$ ср. разд. 2), а последняя достигается прибавлением слагаемого $C{W}_{†0}$ с подходящим множителем C и фиксирует функцию $W_{†1}$.

Подчеркнем, что размерность пространства решений с полиномиальным ростом на бесконечности у однородной задача (52) на пороге $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{†}$ равна двум (количество выходов на бесконечность у X), т.е. во всех рассмотренных ситуациях указан базис в этом пространстве. К сожалению, из-за того, что ${\mu }_{†}\mathrm{<mo>></mo>0}$ в уравнении Гельмгольца из задачи Дирихле (52), для коэффициентов представлений указанных специальных решений недоступны сколь-нибудь полезные интегральные формулы, похожие на полученные в разд. 2 для задачи Неймана (16), в которой ${\mu }_{†}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в уравнении Лапласа. Таким образом, асимптотические конструкции в разд. 5 носят условный характер.

5. Спектр периодического квантового волновода

Как упоминалось, асимптотическое строение спектра задачи Дирихле (9)–(11)  существенно зависит от того, есть ли дискретный спектр у задачи (52) в бесконечном квантовом волноводе X и возникает ли у нее пороговый резонанс. Разберем несколько ситуаций, упомянутых в разд. 4.

5.1. Точки дискретного спектра

Как упоминалось, асимптотическое строение спектра задачи Дирихле (9)–(11) ${}_D$ существенно зависит от того, есть ли дискретный спектр у задачи (52) в бесконечном квантовом волноводе X и возникает ли у нее пороговый резонанс. Разберем несколько ситуаций, упомянутых в разд. 4.

5.1. Точки дискретного спектра

Пусть дискретный спектр задачи (52) состоит из точек

 $\begin{array}{c}{\mu }_1\mathrm{<mo><</mo>}{\mu }_2⩽{\mu }_3⩽\dots ⩽{\mu }_J\end{array}$ (57)

на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\mu }_{†}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Согласно [14] (см. также [13] и [12, гл. 16]), в этом случае формальная асимптотика собственных пар задачи (9)–(11) ${}_D$ выглядит просто:

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\Lambda }_p^h(\theta )=h^{-2}{\mu }_p+{\tilde{\Lambda }}_p^h(\theta ),\\ U_p^h(x;\theta )=h^{-d/2}\chi (x_d)w_p(\xi )+{\tilde{U}}_p^h(x;\theta ),\\ p=\mathrm{1,}\dots ,J.\end{array}\end{array}$ (58)

Здесь $w_p\in H_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — собственная функция задачи (52), отвечающая ее собственному значению ${\mu }_p,$ а $\chi \in C_c^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo>/</mo>2,1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ равная единице при $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo>}⩽\mathrm{1<mo>/</mo>4.}$ Благодаря экспоненциальному затуханию функций $w_p$ при ${\xi }_d\to \pm \infty$ результаты из [14; 12, гл. 16], а также упоминавшаяся в конце разд. 3 лемма о “почти собственных” значениях и векторах (см. [28]) позволяет при фиксированном параметре Флоке установить оценки для асимптотических остатков в представлениях (58)

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{\Lambda }}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}⩽c_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-{\delta }_p\mathrm{<mo>/</mo>}h}\mathrm{,}\\ \parallel {\tilde{U}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel ⩽c_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-{\delta }_p\mathrm{<mo>/</mo>}h}\mathrm{,}\\ p\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}J\mathrm{,}\end{array}\end{array}$ (59)

где ${\delta }_p$ — некоторые положительные показатели. Выбрать общий для всех $\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ множитель $C_p$ в оценках (59) позволяет следующее утверждение.

Предложение 3. Пусть ${\Lambda }_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽h^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_{†}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при некоторых $p\in \mathbb{N}$, $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ и $\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Тогда найдутся такие положительные и не зависящие от параметра $\theta$ числа ${\beta }_t$, $h_t$ и $c_t$, что при $h\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{h}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ для нормированной в пространстве $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Pi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ собственной функции $U_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_0^{\mathrm{1,}\theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (9)–(11) ${}_D$ верна весовая оценка

 $\begin{array}{c}{h}^2\parallel e^{{\beta }_t{x}_d}{\nabla }_x{U}_p^h(\cdot ;\theta );L^2({\Pi }^h){\parallel }^2+\parallel e^{{\beta }_t{x}_d}{U}_p^h(\cdot ;\theta );L^2({\Pi }^h)\parallel ⩽c_t.\end{array}$ (60)

Доказательство. Индексы $p$, $t$ и параметр $\theta$ не пишем. Введем кусочно-гладкую непрерывную весовую функцию ${\mathcal{R}}_{\beta }^h$, равную $e^{\beta \mathrm{<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo><mo>/</mo>}h}$ при $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}hR\mathrm{,1<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $e^{\beta \mathrm{<mo>/</mo>4}h}$ при $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo>}⩾\mathrm{1<mo>/</mo>4}$ и $e^{\beta R}$ на мелком узле ${\Theta }^h\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in {\varpi }^h\mathrm{<mo>:</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}hR\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Заметим, что

 $\begin{array}{c}{\nabla }_x{\mathcal{R}}_{\beta }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}ïðè\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo>}\cancel{\in }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}hR\mathrm{,1<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">]</mo>}è{\mathcal{R}}_{\beta }^h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo>|</mo>}{\nabla }_x{\mathcal{R}}_{\beta }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}⩽\beta h^{-1}\mathrm{.}\end{array}$    (61)

В интегральное тождество (12) подставим пробную функцию ${\Psi }^h\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{R}}_{\beta }^h{\mathcal{U}}_{\beta }^h$, где ${\mathcal{U}}_{\beta }^h\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{R}}_{\beta }^h{U}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Условия квазипериодичности сохраняются потому, что весовая функция ${\mathcal{R}}_{\beta }^h$ приобретает одинаковые постоянные значения около торцов ${\omega }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm \mathrm{1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ячейки ${\varpi }^h$. После неоднократного коммутирования оператор-градиента с весовой функцией приходим к равенству

$\parallel {\nabla }_x{\mathcal{U}}_{\beta }^h\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2-\parallel {\mathcal{U}}_{\beta }^h{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{R}}_{\beta }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}{\nabla }_x{\mathcal{R}}_{\beta }^h\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\Lambda }^h\parallel {\mathcal{U}}_{\beta }^h\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2\mathrm{.}$

Отсюда при учете условия нормировки (14), формул (61) и неравенства Фридрихса

$\parallel {\nabla }_{x^{\text{'}}}{\mathcal{U}}_{\beta }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{x}_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2⩾\mu h^{-2}\parallel {\mathcal{U}}_{\beta }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{x}_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2\mathrm{,}$

проинтегрированного по $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_d\mathrm{<mo>|</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}hR\mathrm{,1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, выводим оценку

 $\begin{array}{c}{\Lambda }^h{e}^{\beta R}⩾{\Lambda }^h{e}^{\beta R}\parallel U^h;L^2\left({\Theta }^h\right){\parallel }^2={\Lambda }^h\parallel {\mathcal{U}}_{\beta }^h;L^2\left({\Theta }^h\right){\parallel }^2=\\ =\parallel {\nabla }_x{\mathcal{U}}_{\beta }^h;L^2({\varpi }^h{\parallel }^2-\parallel {\mathcal{U}}_{\beta }^h{\left({\mathcal{R}}_{\beta }^h\right)}^{-1}{\nabla }_x{\mathcal{R}}_{\beta }^h;L^2({\varpi }^h\backslash {\Theta }^h){\parallel }^2-\\ -{\Lambda }^h\left(\theta \right)\parallel {\mathcal{U}}_{\beta }^h;L^2({\varpi }^h\backslash {\Theta }^h){\parallel }^2⩾\parallel {\partial }_{x_d}{\mathcal{U}}_{\beta }^h;L^2\left({\varpi }^h\right){\parallel }^2+\\ +\tau \parallel {\nabla }_{x^{\text{'}}}{\mathcal{U}}_{\beta }^h;L^2\left({\varpi }^h\right){\parallel }^2+h^{-2}\left\{\right(1-\tau ){\mu }_{†}-h^2{\Lambda }^h-\beta \}\parallel {\mathcal{U}}_{\beta }^h;L^2({\varpi }^h\backslash {\Theta }^h){\parallel }^2.\end{array}$   (62)

В силу условия, наложенного на собственное значение, видим, что левая часть соотношения (62) не превосходит $h^{-2}{\mu }_{†}{e}^{\beta R}$. Числа $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }_t\mathrm{<mo>></mo>0}$, $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_t\mathrm{<mo>></mo>0}$ и $h_t\mathrm{<mo>></mo>0}$ берем настолько малыми, чтобы множитель, выделенный фигурными скобками в последней строке формулы (62), был положителен при $h\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{h}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Для проверки неравенства (60) осталось сделать несложные преобразования, причем при оценивании нормы производной ${\partial }_{x_2}{U}^h$ еще раз применить формулы (61). Предложение доказано.

Убедимся в равномерной относительно параметра $\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ограниченности множителя $c_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из оценок (59). Благодаря установленному экспоненциальному затуханию собственных функций максиминимальный принцип (см., например, [5, теорема 10.2.2])

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\Lambda }_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \max }}\underset{{\Psi }^h\in {\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}}{{\displaystyle \inf }}\frac{\parallel {\nabla }_x{\Psi }^h\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2}{\parallel {\Psi }^h\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2}\mathrm{,}\\ p\in \mathbb{N}\mathrm{,}\end{array}\end{array}$ (63)

в котором ${\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — любое подпространство в $H_0^{\mathrm{1,}\theta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с коразмерностью p – 1, позволяет доказать неравенство с общей для всех ${\theta }_1\mathrm{,}{\theta }_2\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ мажорантой

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{<mo>|</mo>}{\Lambda }_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\Lambda }_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}⩽c_p{e}^{-{\delta }_p\mathrm{<mo>/</mo>}h}\mathrm{,}\\ {\delta }_p\mathrm{<mo>></mo>0.}\end{array}\end{array}$ (64)

В самом деле, согласно предложению 3 и условиям ортогональности и нормировки (14), произведения $\chi U_1^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}\chi U_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяют соотношениям

$\begin{array}{c}\left(\chi U_j^h\right(\cdot ;{\theta }_1),\chi U_k^h{(\cdot ;{\theta }_1))}_{{\varpi }^h}={\delta }_{j,k}+O(e^{-{\delta }_k/h}+e^{-{\delta }_k/h}),\\ j,k=\mathrm{1,}\dots ,p.\end{array}$

Следовательно, эти произведения остаются линейно независимыми. В итоге каждое подпространство ${\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (63) содержит нетривиальную линейную комбинацию

$\begin{array}{c}{\Psi }_{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\mathcal{C}}_{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}_k^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{C}}_{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1,}\end{array}$

которая попадает в пространство $H_0^{\mathrm{1,}{\theta }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при любом параметре q2, так как согласно определению срезающей функции c указанные произведения обращаются в нуль около торцов ${\omega }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm \mathrm{1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ячейки ${\varpi }^h$ и потому удовлетворяют условиям квазипериодичности (11) при любом q. Наконец, весовая оценка (60) позволяет обработать дробь Рэлея из формулы (63) и получить соотношение

${\Lambda }_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩽\underset{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \max }}\frac{\parallel {\nabla }_x{\Psi }_{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^h\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2}{\parallel {\Psi }_{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^h\mathrm{<mo>;</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varpi }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2}⩽\underset{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \max }}\frac{{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\Lambda }_j^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\mathcal{C}}_{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2+c_p^{+}{e}^{-{\delta }_p\mathrm{<mo>/</mo>}h}}{{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}\mathrm{<mo>|</mo>}{\mathcal{C}}_{{\mathcal{E}}_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2-c_p^{-}{e}^{-{\delta }_p\mathrm{<mo>/</mo>}h}}⩽{\Lambda }_p^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+C_p{e}^{-{\delta }_p\mathrm{<mo>/</mo>}h}\mathrm{.}$

Поменяв ролями параметры ${\theta }_2$ и q1, приходим к неравенству (64), которое вместе с первой оценкой (59) обеспечивает первую часть формулируемой ниже теоремы 2.

5.2. Пороговый резонанс отсутствует

В силу результата из [14] (см. также [13; 12, гл. 16] по поводу общих краевых задач) в указанном случае предельными краевыми условиями в точке $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ оказываются условия Дирихле. Поэтому примем следующие асимптотические анзацы для собственных пар задачи (9)–(11)D:

 $\begin{array}{c}{\Lambda }^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{h}^{-2}{\mu }_{†}+{\kappa }^0+h{\kappa }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\tilde{\Lambda }}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (65)

 $\begin{array}{c}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h{v}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots \mathrm{.}\end{array}$ (66)

Как упоминалось, функция $v$ удовлетворяет условиям

 $\begin{array}{c}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm \mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\end{array}$ (67)

но функции $v^{\prime }$ разрешено иметь скачок в точке $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$. При этом в качестве внутреннего разложения около узла ${\Theta }^h$ возьмем линейную комбинацию решений (54) задачи (52)

 $\begin{array}{c}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h{W}_{†+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}+\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h{W}_{†-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots \mathrm{.}\end{array}$ (68)

Подстановка анзацев (65) и (66) в равенства (9)–(11) ${}_D$ на ячейке ${\varpi }^h$ и ее границе вне ядра ${\Theta }^h$ дает соотношения

 $\begin{array}{c}-{\partial }_z^2{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\kappa }^0{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$      (69)

 $\begin{array}{c}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\theta }{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{d{v}^0}{dz}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\theta }\frac{d{v}^0}{dz}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$     (70)

а решениями задачи (69), (70), (67) служат такие пары $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\kappa }_q^0\mathrm{<mo>;</mo>}{v}_q^0\mathrm{<mo>\}</mo>}$ при $q\in \mathbb{N}$:

${\kappa }_q^0\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }^2{q}^2\mathrm{,}{v}_q^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi qz\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ïðèz\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_q^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^q{e}^{-i\theta }\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi qz\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ïðèz\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Зависимость собственных функций $v_q^0$ от переменной Флоке фиктивная — она устраняется естественным переходом к задаче Дирихле на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}∍z$.

Поправочные члены анзацев определяются из уравнения

$-{\partial }_z^2{v^{\prime }}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\kappa }_q^0{v^{\prime }}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{{\kappa }^{\prime }}_q{v}_q^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

с прежними условиями квазипериодичности (70) и неоднородными условиями Дирихле, проистекающими от согласования внешних разложений (66) с внутренним (68) при учете представлений (54) решений $W_{†\pm }$ задачи (52), а именно

 $\begin{array}{c}{v}_q^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm \mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\pm }}\alpha K_{\alpha \pm }{\partial }_z{v}_q^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (71)

Как обычно, условие разрешимости сформированной задачи, единственное в силу простоты собственного значения, вместе с соотношениями (70) и (71) обеспечивают формулу

 $\begin{array}{c}{\kappa }_q^{\text{'}}\left(\theta \right)={\kappa }_q^{\text{'}}\left(\theta \right)\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int }}\left|v_q^0\right(z;\theta ){|}^{2}dz=-\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int }}\overline{v_q^0(z;\theta )}\left({\partial }_z^2{v}_q^{\text{'}}(z;\theta )+{\kappa }_q{v}_q^{\text{'}}(z;\theta )\right)dz=\\ =\sum _{\pm }\mp v_q^{\text{'}}(\pm 0;\theta )\overline{{\partial }_z{v}_q^0(\pm 0;\theta )}=-{\pi }^2{q}^2(K_{++}^2-K_{--}^2+2{(-1)}^q{K}_{+-}\cos \theta )\end{array}$ (72)

для поправочного члена порядка $h$ в анзаце (65). Оценка $\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{\Lambda }}_q^h\mathrm{<mo>|</mo>}⩽c_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}^2$ асимптотического остатка в анзаце обеспечена, например, результатами из [14], а равномерная относительно $\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ограниченность множителя $c_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ проверяется при помощи подходов из [18] или [16].

Сформулируем утверждение, заканчивающее асимптотический анализ из этого и предыдущего пунктов.

Теорема 2. Пусть дискретный спектр задачи (52) состоит из точек (57) и у нее отсутствует пороговый резонанс.

1. При $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}J$ и $h\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{h}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ сегменты ${\mathcal{B}}_{Dj}^h$ в спектре задачи (9)–(11) ${}_D$ содержатся в отрезках $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{h}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_j-c_j{e}^{-{\delta }_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{h}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_j+c_j{e}^{-{\delta }_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Здесь hj, ${\delta }_j$ и $c_j$ — некоторые положительные числа. Если ${\mu }_j\mathrm{<mo><</mo>}{\mu }_{j+1}$ (например, j = 1), то между сегментами ${\mathcal{B}}_{Dj}^h$ и ${\mathcal{B}}_{Dj+1}^h$ раскрыта спектральная лакуна ${\mathcal{G}}_{Dj}^h$ шириной $h^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_{j+1}-{\mu }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{\min \mathrm{<mo>\{</mo>}{\delta }_j\mathrm{,}{\delta }_{j+1}\mathrm{<mo>\}</mo><mo>/</mo>}h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2. При $j\mathrm{<mo>=</mo>}J+q$ и $q\in \mathbb{N}$ найдутся такие положительные числа $h_q$ и cq, что при $h\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{h}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ справедливо включение ${\mathcal{B}}_{Dj}^h\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{h}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_{†}+{\pi }^2{q}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-2h{K}_{+-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-c_q{h}^2\mathrm{,}{h}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_{†}+{\pi }^2{q}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+2h{K}_{+-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c_q{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ где ${\mu }_{†}\mathrm{<mo>></mo>0}$ — точка отсечки непрерывного спектра задачи (52), а $K_{+-}\mathrm{<mo>=</mo>}{K}_{-+}$ — коэффициент в разложениях (54) ее решений $W_{†\pm }.$ Между соседними сегментами ${\mathcal{B}}_{Dj}^h$ и ${\mathcal{B}}_{Dj+1}^h$ раскрыта спектральная лакуна ${\mathcal{G}}_{Dj}^h$ шириной ${\pi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}q+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-4h{K}_{+-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3. Лакуна ${\mathcal{G}}_{DJ}^h$ раскрыта наверняка и имеет ширину $h^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_{†}-{\mu }_J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\pi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-2h{K}_{+-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Замечание 3. 1. Если ${\mu }_j\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{j+{\rho }_j-1}$ — собственное значение задачи (52) с кратностью ${\rho }_j\mathrm{<mo>></mo>1,}$ то осталось неизвестным, раскрыты или нет лакуны между спектральными сегментами ${\mathcal{B}}_{Dj}^h\mathrm{,}\dots {\mathcal{B}}_{Dj+{\rho }_j-1}^h.$ В случае симметрии волновода X относительно плоскостей $\mathrm{<mo>\{</mo>}\xi \mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_k\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>,}$ $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}d-\mathrm{1<mo>\}</mo>,}$ несколько сегментов совпадают и лакун между ними, разумеется, нет. В общей ситуации для ответа на вопрос о раскрытии лакун нужно построить младшие асимптотические члены собственных значений (8) задачи (9)–(11)D, которые (члены) привлекают характеристики волновода X, отличающиеся от введенных в разд. 4, и потому в данной статье не вычисляются, хотя соответствующие итерационные процессы известны (см., например, [12]).

2. Если ${\mu }_{J+1}\text{:}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{†}$ — собственное значение оператора задачи (52), вкрапленное в его непрерывный спектр ${\wp }_c,$ но правильный пороговый резонанс отсутствует, то в спектре (6) задачи (9)–(11)D появляется сегмент ${\mathcal{B}}_{DJ+1}^h\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{h}^{-2}{\mu }_{†}-c_{†}h{h}^{-2}{\mu }_{†}+c_{†}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ с некоторым числом $c_{†}\mathrm{<mo>></mo>0.}$ Первое утверждение теоремы 2 сохраняется полностью, во втором нужно сделать замену $j\mapsto j+\mathrm{1,}$ а вместо одной лакуны в третьем утверждении обнаруживаются две лакуны ${\mathcal{G}}_{DJ}^h$ и ${\mathcal{G}}_{DJ+1}^h,$ у которых ширина равна $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }_{†}-{\mu }_J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно.

3. Согласно формуле (72), диагональные элементы $K_{\pm \pm }$ матрицы $K$ коэффициентов представлений (54) определяют положение сегментов ${\mathcal{B}}_{DJ+q}^h,$ а антидиагональные элементы $K_{+-}\mathrm{<mo>=</mo>}{K}_{-+}$ — их размеры. В случае $K_{\pm \mp }\mathrm{<mo>=</mo>0}$ длина сегментов уменьшается по крайней мере до $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

5.3. Простой правильный пороговый резонанс

Пусть у задачи (52) с параметром $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_{†}$ имеются решения (54) и (55), но захваченных волн нет, т.е. точка отсечки не является собственным значением. Тогда асимптотические анзацы (65) и (66) для собственных пар задачи (9)–(11)D остаются прежними. Для главных асимптотических членов ${\kappa }^0$ и $v^0$ по-прежнему верны уравнения (69) и условия квазипериодичности (70), однако процедура сращивания обеспечивает новые условия скачков в точке $z\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ Именно, согласование внутреннего разложения

$\begin{array}{c}{U}^h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{c}_0{W}_{†0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_1{W}_{†1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{c^{\prime }}_0{W}_{†0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots \mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{c}_0{K}_{\pm }+h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm K_{\pm }^1{\xi }_d+K_{\pm }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{c^{\prime }}_0{K}_{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots ïðè\pm {\xi }_d\gg R\end{array}$

с внешними разложениями (66), к главным членам которых применена формула Тейлора

$\begin{array}{c}{v}^0(z;\theta )=v^0(\pm 0;\theta )+z{\partial }_z{v}^0(\pm 0;\theta )+\frac{z^2}{2}{\partial }_z^2{v}^0(\pm 0;\theta )+O(|z{|}^3)=\\ =v^0(\pm 0;\theta )+h{\xi }_d{\partial }_z{v}^0(\pm 0;\theta )+h^2\frac{{\xi }_d^2}{2}{\partial }_z^2{v}^0(\pm 0;\theta )+O(h^3|{\xi }_d{|}^3),\end{array}$

после исключения неизвестных коэффициентов $c_0$ и $c_1$ приводит к таким равенствам:

 $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{K}_{-}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}+\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{K}_{+}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ K_{-}^1{\partial }_z{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}+\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K_{+}^1{\partial }_z{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}\end{array}\end{array}$ (73)

Оба коэффициента $K_{\pm }$ не могут обратиться в нуль, так как по предположению решение (53) не попадает в пространство $H_0^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Если

$K_{+}{K}_{-}\cancel{=}0\text{\hspace{0.33em}или\hspace{1em}}{K}_{-}{K}_{+}\cancel{=}\mathrm{0,}$

то соответственно $K_{-}^1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $K_{+}^1\cancel{=}0$ или $K_{+}^1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $K_{-}^1\cancel{=}0$ в согласии с первой связью (56). Следовательно, условия сопряжения (73) распадаются и, превращаясь в краевые условия

$v^0(+0;\theta )=\mathrm{0,}{\partial }_z{v}^0(-0;\theta )=0 или v^0(-0;\theta )=\mathrm{0,}{\partial }_z{v}^0(+0;\theta )=\mathrm{0,}$

делают задачу (69), (70), (73) с вещественным параметром Флоке формально самосопряженной, а дисперсионные кривые в этой задаче — прямыми отрезками $\kappa \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$, $q\in \mathbb{N}$. В итоге, как и при отсутствии порогового резонанса, спектр (6) исходной задачи (9)–(11) ${}_D$ на тонкой ячейке периодичности ${\varpi }^h$ состоит из коротких сегментов (7), разделенных широкими лакунами (15). Вычисление размеров сегментов и лакун почти дословно повторяет выкладки из п. 3, 2°, — воспроизводить их не будем.

Обратимся теперь к ситуации

 $\begin{array}{c}{K}_{\pm }\cancel{=}0\Rightarrow k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{K_{+}}{K_{-}}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{K_{-}^1}{K_{+}^1}\end{array}$ (74)

и перепишем условия сопряжения (73) следующим образом:

 $\begin{array}{c}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}+\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}k{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}k{\partial }_z{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}+\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\partial }_z{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{0<mo>;</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (75)

Задача (69), (70), (75) с параметром Флоке $\theta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\pi \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ по-прежнему формально самосопряженная, а ее дисперсионные кривые $\kappa \mathrm{<mo>=</mo>}\kappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ находятся из трансцендентного уравнения:

 $\begin{array}{c}\cos \sqrt{\kappa }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2k}{1+k^2}\cos \theta \mathrm{.}\end{array}$ (76)

В случае $k\mathrm{<mo>=</mo>1}$ соотношения (75) превращаются в условия непрерывности, а решения уравнения (76) заданы первой формулой (35), т.е. ферма дисперсионных кривых принимает тот же вид, что и на фиг. 3a. При $k\cancel{=}1$ ферма искажается, а простые выражения (42) для ее узлов пропадают. Несмотря на то, что в целом изучение расцепления узлов искаженной фермы требует применения той же асимптотической процедуры, что и в разд. 3, отсутствие необходимой информации о кратных собственных значениях и специальных решениях (55), (54) (ср. выражения (41)–(43) и предложения 1, 2 в случае условий Неймана) делает доступные результаты условными, а финальные формулы — излишне громоздкими и потому бесполезными. Впрочем, имеется один случай $k\mathrm{<mo>=</mo>}-1$ в формуле (74), для которого выкладки и результаты мало отличаются от представленных в разд. 3. При этом требуемое соотношение $K_{+}\mathrm{<mo>=</mo>}-K_{-}$ реализуется, например, тогда, когда правильный пороговый резонанс возникает в задаче Дирихле на уполовиненном волноводе $\mathrm{<mo>\{</mo>}\xi \in \Xi \mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_d\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$.