Email this article 
THE CAHN–HILLARD–OONO CONVECTIVE EQUATION
- Authors: Kulikov A.N1, Kulikov D.A1
-
Affiliations:
- P.G. Demidov Yaroslavl State University
- Issue: Vol 64, No 10 (2024)
- Pages: 1977-1993
- Section: Mathematical physics
- URL: https://journal-vniispk.ru/0044-4669/article/view/277065
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466924100151
- EDN: https://elibrary.ru/JYUFVE
- ID: 277065
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
A nonlinear partial differential evolutionary equation is considered, which is obtained as a natural generalization of the well-known Cahn–Hilliard–Oono equation from a physical point of view. The terms responsible for accounting for convection and dissipation have been added to the generalized version. A new version of the equation is considered together with homogeneous Neumann boundary conditions. For such a boundary value problem, local bifurcations of codimension 1 and 2 are studied. In both cases, questions about the existence, stability, and asymptotic representation of spatially inhomogeneous equilibrium states, as well as invariant manifolds formed by such solutions to the boundary value problem, are analyzed. To substantiate the results, the methods of the modern theory of infinite-dimensional dynamical systems, including the method of integral manifolds, the apparatus of the theory of Poincare normal forms, are used. The differences between the results of the analysis of bifurcations in the Neumann boundary value problem are indicated with conclusions in the analysis of the periodic boundary value problem studied by the authors of the article in previous publications.
About the authors
A. N Kulikov
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Email: anat_kulikov@mail.ru
Yaroslavl
D. A Kulikov
P.G. Demidov Yaroslavl State UniversityYaroslavl
References
- Cahn J.W., Hilliard J. E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. 1959. V. 28. № 2. P. 258–267.
- Miranville A. The Cahn–Hilliard equation and some of its variants // AIMS Math. 2017. V.2. № 3. P. 479–544.
- Golovin A.A., Davis S. H., Nepomnyashchy A.A. A convective Cahn-Hilliard model for the formation of facets and corners in crystal growth // Physica D. 1998. V. 118. P. 202–230.
- Podolny A., Nepomnyashchy A.A., Zaks M.A., Rubinstein B.Y., Golovin A.A. Dynamics of domain walls governed by the convective Cahn-Hilliard model // Physica D. 2005. V. 201. P. 291–305.
- Watson S.J., Otto F., Rubinstein B.Y. Coarsening dynamics for the convective Cahn-Hilliard equation // Liepzig. Preprint. 2002. № 35. 21 p.
- Novick-Cohen A., Shishkov A. Upper bounds for coarsening for the degenerate Cahn-Hilliard equation // Discrete Contin. Dyn. Syst. B. 2009. V. 25. P. 251-272.
- Chao S.M., Chung S.K., Kim K.I. Conservative nonlinear difference scheme for the Cahn-Hilliard equation - II // Computers and Mathematics with applications. 2000. V. 39. P. 229–243.
- Frolovskaya O.A., Admaev O.V., Pukhnachev V.V. Special case of the Cahn-Hilliard equation // Siberian electronic mathematical reports. 2013. V. 10. P. 324-334.
- Теодорович Э.В. Точное автомодельное решение некоторого уравнения нелинейной диффузии с диссипацией // ПММ. 2014. Т. 78. В. 4. С. 493–500.
- Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. Berlin: Springer, 1984.
- Sivashinsky G.I. Weak turbulence in periodic flow // Physica D. 1985. V. 28. № 3. P. 234–255.
- Kulikov A. N., Kulikov D. A. Local bifurcations in the generalized Cahn–Hilliard equation // Springer Proc. Math.Stat. 2020. V. 333. P. 167–179.
- Kulikov A.N., Kulikov D.A. Local Bifurcations of Invariant Manifolds of the Cahn–Hilliard–Oono Equation // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. V. 44. № 3. P. 996–1010.
- Куликов А.Н., Куликов Д.А. Локальные бифуркации в уравнениях Кана–Хилларда, Курамото–Сивашинского и их обобщениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 4. С. 670–683.
- Temam R. Infinite–dimensional dynamical systems in mechanics and physics. New–York: Springer, 1997.
- Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.
- Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Тр. ММО. 1961. Т. 10. С. 297–350.
- Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1950.
- Куликов А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве // В сб. “Исследования по устойчивости и теории колебаний”. Ярославль. 1976. С. 114–129.
- Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
- Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Физматлит, 1969.
- Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
- Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. New–York: Springer, 1983.
- Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
- Куликов А.Н. Инерциальные инвариантные многообразия нелинейной полугруппы операторов в гильбертовом пространстве // Итоги науки и техники. Серия “Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры”. 2020. Т. 186. С. 57–66.
Supplementary files
