Анализ формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова при наличии пограничного слоя

Рассматривается вопрос численного дифференцирования функций с большими градиентами в области экспоненциального пограничного слоя. Тема исследования актуальна, так как применение к таким функциям классических полиномиальных разностных формул для производных в случае равномерной сетки приводит к неприемлемым погрешностям, если возмущающий параметр \(\varepsilon \) соизмерим с шагом сетки. Формула численного дифференцирования с заданным числом узлов в сеточном шаблоне строится на подынтервалах, покрывающих исходный интервал. Проведен анализ точности формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова, широко применяемой при построении разностных схем для сингулярно возмущенных задач. Для исходной функции одной переменной использовано представление в виде суммы регулярной и погранслойной составляющих на основе декомпозиции Шишкина для решения сингулярно возмущенной задачи. Ранее такая декомпозиция применялась для обоснования сходимости разностных схем. Получена оценка погрешности классических полиномиальных формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова. Оценка погрешности на сетке Бахвалова получена в общем случае, когда вычисляется производная произвольно заданного порядка, и сеточный шаблон для этой производной содержит задаваемое число узлов. Оценка погрешности зависит от порядка вычисляемой производной, числа узлов в сеточном шаблоне для производной и учитывает равномерность по параметру \(\varepsilon \). Приведены результаты численных экспериментов, согласующиеся с полученными оценками погрешностей. Библ. 16. Табл. 4.