“Быстрое” решение трехмерной обратной задачи квазистатической эластографии с помощью метода малого параметра

Рассматриваются прямая и обратная задачи трехмерной квазистатической эластографии – метода онкологической диагностики. Они основаны на модели исследуемой биологической ткани, подвергаемой поверхностному сжатию, деформации в которой подчиняются законам линейной теории упругости. Возникающие трехмерные смещения ткани описываются краевой задачей для уравнений в частных производных с коэффициентами, которые определяются переменным модулем Юнга и постоянным коэффициентом Пуассона. Краевая задача содержит малый параметр, что позволяет решить ее с помощью теории регулярных возмущений уравнений в частных производных. Это составляет прямую задачу. Обратная задача состоит в нахождении распределения модуля Юнга по известным смещениям ткани. Значительное превышение величины модуля Юнга в некоторой области ткани является признаком возможной онкологии. В статье при некоторых предположениях выписываются простые формулы для решения как прямой, так и обратной задачи трехмерной квазистатической эластографии. Представлены результаты численных экспериментов по приближенному решению трехмерных обратных модельных задач с помощью предлагаемых формул. Полученные приближенные решения достаточно хорошо воспроизводят точные модельные решения. Расчеты по формулам требуют лишь несколько десятков миллисекунд на персональном компьютере средней производительности для достаточно мелких сеток, и поэтому предлагаемый подход с использованием малого параметра может быть применен при онкологической диагностике в реальном времени. Библ. 19. Фиг. 9. Табл. 1.