STATISTICS OF THE DISTRIBUTION OF FAMILIES OF PERIODIC SOLUTIONS TO HILL’S PROBLEM

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

All generating solutions of families of periodic orbits of the planar circular Hill problem of the second type can be described in terms of limiting arc solutions of the integrable Henon problem. Each generating solution is a finite sequence composed, according to certain rules, of a countable set of arcs of two types connected at the origin by a hyperbolic conic. Each generating solution determines the symmetry type, the global orbit multiplicity, and other characteristics of the corresponding periodic solutions to the generated family. The symbolic dynamics on a finite subset of arc solutions, which is used to calculate the statistics of the distribution of generated families by symmetry types is studied. For this purpose, a class hierarchy is implemented using the Python ecosystem, and simulation for three sets of arcs is carried out performed.

About the authors

A. B. Batkhin

Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences; Sharof Rashidov Samarkand State University

Email: batkhin@gmail.com
Moscow, Russia; Samarkand, Uzbekistan

References

  1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. 3-е изд., испр. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 472 с.
  2. Arnol’d V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics (Moscow: Nauka, 1989; New York: Springer, 1989).
  3. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / Пер. с англ. А. Коненко при участии С. Ферлегера. М.: Факториал, 1999. 768 с.
  4. Katok A., Hasselblat B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (Cambridge Univ. Press, 1995).
  5. H´ enon M. Generating Families in the Restricted Three-Body Problem. Berlin, Heidelber, New York: Springer, 1997. 278 с. (Lecture Note in Physics. Monographs; 52).
  6. H´ enon M. New families of periodic orbits in Hill’s problem of three bodies // Celest. Mech. Dyn. Astr. 2003. Vol. 85. P. 223–246. doi: 10.1023/A:1022518422926.
  7. Батхин А.Б., Батхина Н.В. Задача Хилла. Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2009. ISBN 978-5-98461-574-7.
  8. Batkhin A.B., Batkhina N.V. Hill’s Problem, Volgograd: Volgogradskoe nauchnoe Izdatel’stvo, 2009 [in Russian].
  9. Tsirogiannis G.A., Perdios E.A., Markellos V.V. Improved grid search method: an efficient tool for global computation of periodic orbits. Application to Hill’s problem // Celest. Mech. Dyn. Astr. 2009. No. 103. P. 49–78. doi: 10.1007/s10569-008-9165-2.
  10. Батхин А.Б. Cимметричные периодические решения задачи Хилла // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. М., 2012. № 52. ISSN 2071-2898. http://www.keldysh.ru/papers/2012/prep2012_52.pdf
  11. Batkhin A.B. Symmetric periodic solutions to Hill’s problem: Preprint of the Keldysh Inst. of Applied Mathematics, Russ. Acad. Sci., Moscow, 2012, no. 52. http://www.keldysh.ru/papers/2012/prep2012_52.pdf
  12. Батхин А.Б. Симметричные периодические решения задачи Хилла. I // Космические исследования. 2013. Т. 51.№4. С. 308—322. doi: 10.7868/S0023420613040031.
  13. Batkhin A.B. Symmetric periodic solutions of the Hill’s problem. I, Cosmic Res., 2013, vol. 51, no. 4, pp. 275–288. https://doi.org/10.7868/S0023420613040031
  14. Батхин А.Б. Симметричные периодические решения задачи Хилла. II // Космические исследования. 2013. Т. 51.№6. С. 497—510. doi: 10.7868/S0023420613050014.
  15. Batkhin A.B. Symmetric periodic solutions of the Hill’s problem. II, Cosmic Res., 2013, vol. 51, no. 6, pp. 452–464.
  16. H´ enon M. Families of asymmetric periodic orbits in Hill’s problem of three bodies // Celest. Mech. Dyn. Astr. 2005. Vol. 93. P. 87–100. doi: 10.1007/s10569-005-3641-8.
  17. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1982. 656 с.
  18. Szebehely V. Theory of Orbits, the Restricted Problem of Three Bodies, New York: Academic, 1967.
  19. Morales-Ruiz J., Simo C., Simon S. Algebraic proof of the non-integrability of Hill’s Problem // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2005. Vol. 25. No. 4. P. 1237–1256. doi: 10.1017/S0143385704001038.
  20. H´ enon M. Numerical exploration of the restricted problem. V. Hill’s case: periodic prbits and their stability // Astron. & Astrophys. 1969. Vol. 1. P. 223–238.
  21. Брюно А.Д. Нулькратные и обратные периодические решения ограниченной задачи трех тел. ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1996. 32 с. (препринт№93).
  22. Bruno A.D. Zero-multiple and retrograde periodic solutions to the restricted three-body problem, Preprint of the Keldysh Inst. of Applied Mathematics, Russ. Acad. Sci., Moscow, 1996, no. 93, p. 32.
  23. Clohessy W.H., Wiltshire R.S. Terminal guidance for satellite rendezvous // J. Aerospace Sciences. 1960. Sept. Vol. 27. P. 653–658, 674. doi: 10.2514/8.8704.
  24. Батхин А.Б. Сеть семейств периодических орбит обобщенной задачи Хилла // ДАН. 2014. Т. 458. №2. С. 131—137. doi: 10.7868/S086956521426003X.
  25. Batkhin A.B. Web of families of periodic orbits of the generalized Hill problem, Dokl. Math., 2014, vol. 90, no. 2, pp. 539–544. https://doi.org/10.7868/S086956521426003X
  26. Bruno A.D., Batkhin A.B. Survey of eight modern methods of Hamiltonian mechanics // Axioms. 2021. Vol. 10. No. 4. https://doi.org/10.339/axioms10040293 https://www.mdpi.com/2075-1680/10/4/293
  27. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998. 288 с.
  28. Bruno A.D. Power Geometry in Algebraic and Differential Equations, Moscow: Nauka, 1998; Amsterdam: Elsevier, 2000).
  29. Simo C., Stuchi T.J. Central stable/unstable manifolds and the destruction of KAM tori in the planar Hill problem // Physica D. 2000. Vol. 140. P. 1–32. doi: 10.1016/S0167-2789(99)00211-0.
  30. Батхин А.Б. Поиск периодических решений с особой симметрией в задаче Хилла // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2019. Т. 22.№3. С. 5—25. doi: 10.15688/mpcm.jvolsu.2019.3.1.
  31. Batkhin A.B. Search for periodic solutions with singular symmetry in the Hill problem, Mat. Fiz. Komput. Modelir., 2019, vol. 22, no. 3, pp. 5–25. https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.3.1
  32. Батхин А.Б. Бифуркации периодических решений системы Гамильтона с дискретной группой симметрий // Программирование. 2020. Т. 46. №2. С. 14—29. doi: 10.31857/S0132347420020041.
  33. Batkhin A.B. Bifurcations of periodic solutions of a Hamiltonian system with a discrete symmetry group, Program. Comput. Software, 2020, vol. 46, no. 2, pp. 84–97. https://doi.org/10.31857/S0132347420020041
  34. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 296 с.
  35. Bruno A.D. The Restricted 3-Body Problem: Plane Periodic Orbits, Moscow: Nauka, 1990; New York: de Gruyter, 1994.
  36. Perko L. Families of symmetric periodic solutions of Hill’s problem I: First species periodic solutions for C ≪ 1 // Amer. J. Math. 1981. Vol. 104. No. 2. P. 321–352. doi: 10.2307/2374162.
  37. Perko L. Families of symmetric periodic solutions of Hill’s problem II: Second species periodic solutions for C ≪ 1 // Amer. J. Math. 1981. Vol. 104. No. 2. P. 353–397. doi: 10.2307/2374163.
  38. Harris C.R., Millman K.J., Walt S.J. van der, Gommers R. et al. Array programming with NumPy // Nature. 2020. Vol. 585. No. 7825. P. 357–362. doi: 10.1038/s41586-020-2649-2.
  39. McKinney W. Data Structures for Statistical Computing in Python // Proceedings of the 9th Python in Science Conference / ed. by S. van der Walt, J. Millman. 2010. P. 56–61. doi: 10.25080/Majora-92bf1922-00a.
  40. Блинков Ю.А., Щетинин Е.Ю. Применение в GINV динамического перераспределения памяти // Программирование. 2023. Т. 49. № 4. С. 21—26. ISSN 0132-3474. doi: 10.31857/S0132347423020061.
  41. Blinkov Yu.A., Shchetinin E.Yu. Using dynamic memory reallocation in GInv, Program. Comput. Software, 2023, vol. 49, no. 4, pp. 355–359. https://doi.org/10.31857/S0132347423020061

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».