Об одном фундаментальном свойстве контакта (удара) жестких упругих тел
- Авторлар: Шевченко В.Я.1, Орыщенко А.С.1, Перевислов С.Н.1
-
Мекемелер:
- НИЦ «Курчатовский институт» – ЦНИИ КМ «Прометей»
- Шығарылым: Том 50, № 4 (2024)
- Беттер: 380-388
- Бөлім: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0132-6651/article/view/279890
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0132665124040028
- EDN: https://elibrary.ru/QCLKWZ
- ID: 279890
Дәйексөз келтіру
Толық мәтін
Аннотация
Если мы предположим, что два тела касаются и изменяется только давление между ними, то деформация материала изменяется пропорционально кубическому корню из этого нашего давления (Генрих Герц, 18841).
Сближение упругих тел пропорционально давлению в степени 2/3, а не давлению в первой степени (М.С. Лейбензон, 19472).
Укажем, что зависимость вида h = const F2/3 или F = const h3/2 имеет место не только для шаров, но и при соприкосновении других конечных тел (Л.Д. Ландау и Е.М. Лившиц, 19543).
1 Hertz H. Ueber die Berührung fester elastischer Körper // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1882. V. 92. P. 156–171.
2 Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. – Москва, 1947. 173 с.
3 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. – Гостехиздат, 1953. 676 с.
Толық мәтін
Прочность характеризует способность твердых тел сохранять целостность под действием внешних механических нагрузок. Однако нередко термин «прочность» звучит и при определении деформации тела под нагрузкой. Очевидно, что эти два процесса взаимосвязаны. Учение о прочности развивалось первоначально на основе теории упругости и пластичности в рамках механики сплошных сред. Известно много различных теорий и представлений за последние 300–400 лет (более ранние свидетельства не сохранились). Многообразие практических задач привело к построению большого количества математических моделей, отражающих ту или иную сторону процесса деформации и разрушения при различных начальных условиях. Перечислить главные из них не представляется возможным. Базовые принципы этих представлений изложены в известном труде Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Механика сплошных сред».
Важным этапом развития представлений о прочности является переход к анализу атомно-молекулярных взаимодействий и расчеты энергий атомного взаимодействия.
Общее определение динамической фрагментации охватывает любой процесс, который разделяют массу материала на дискретные области, например, фрагментация из-за хрупкого разрушения при ударной нагрузке. Предсказание размера фрагмента является необходимым условием для понимания процесса. Площадь поверхности или границы раздела, создаваемые в процессе фрагментации, определяются равновесным балансом энергии поверхности или границы раздела и локальной инерциальной или кинетической энергией. Размер фрагмента связан с площадью поверхности раздела. Концепция энергетического баланса ненова. Одним из первых исследователей проблемы контакта жестких упругих тел был Г. Герц [1]. Он установил, что если два данных тела соприкасаются и изменяется только давление между ними, то деформация материала изменяется пропорционально кубическому корню из этого полного давления.
Последующие затем многочисленные теоретические и экспериментальные работы (часть этих работ приведены в ссылках эпиграфа) позволили автору [2] построить теорию на мезоуровне. Для размера фрагмента d получено
(1)
где ε – скорость деформации, К1С – вязкость разрушения материала.
На атомном уровне это проблема для металлов была исследована в [3]. На основе теоретических расчетов было показано, что соотношение энергия связи – расстояние можно количественно описать в терминах простого двухпараметрического масштабирования универсальной функции уравнения состояния и универсального объема на атом.
Была определена характерная длина l, которая описывает район сильного атомного взаимодействия. Экспериментальные данные могут быть преобразованы в универсальную функцию F, которая связана с давлением P и объемом V как
(2)
и является универсальным соотношением (для металлов при сжатии). Масштаб длины l, характеризующий диапазон, в котором действуют сильные силы, входит в соотношение атомного размера ячейки rwse (ячейка Вагнера–Зейтца).
(3)
которая определяет меру ангармоничности кристалла и может служить оценкой порога разрушения. Практически одновременно, в том же 1984 г., вышла работа [4], в который исследована связь предельной упругой деформации с энергией диссоциации. Для решения общей задачи исследовали потенциал Морзе.
(4)
Dсв = Qср – энергия диссоциации, rm – равновесная длина связи, .
Силовая постоянная К характеризует растяжение связи [5]. Опуская детали расчетов из [4] и принимая во внимание, что сила взаимодействия необходимая для разрушения связи Fmax, равна:
, (5)
а модуль Юнга
, (где r = rmax ), (6)
получаем
(7)
(8)
(9)
где εр – предельная деформация до разрушения, m – средняя масса атомов, Ul – продольная скорость звука в веществе.
Из приведенной модели следует:
(10)
(11)
(12)
где σp – прочность на разрушение, ρ – плотность вещества, а М = 1 г/моль вещества.
Замечательно, что результаты расчетов, полученных по макромодели (механика твердого тела) и микромодели (из энергии межатомного взаимодействия) качественно коррелируют и приводят к одним и тем же аналитическим зависимостям сближения (линии разрушения) от давления на границе соприкосновения. Этот вывод справедлив для хрупких тел и соответствует базовому принципу теории Гриффитса, согласно которому трещина станет лавинообразно расширяться, если скорость освобождения упругой деформации превышает прирост поверхностной энергии трещины [6]. Формула Гриффитса для прочности упругого тела с трещиной длины l позволяет оценить теоретическую прочность smax, если рассматривать длину трещины до размеров среднего межатомного расстояния ao.
Тогда
(13)
где λ – коэффициент формы, а g – поверхностное натяжение.
Важно, что согласно методу Гриффитса прочность хрупкого тела на одностороннее и всестороннее растяжение одинакова. Используем это соотношение в виде:
(14)
(15)
В таком виде это соотношение хорошо соблюдается для хрупких и квазихрупких материалов и называется коэффициентом интенсивности напряжений К1С и имеет размерность силы, деленный на длину в степени трех вторых [7]. Понятно, что в реальных условиях коэффициент интенсивности напряжений будет зависеть от формы тела, внешних нагрузок, распределения и размера трещин и их состава (химического). Очевидна эквивалентность двух подходов, что указывает на прямую зависимость между теорией Гриффитса и современными представлениями теории разрушения. Подробное изучение процессов, благодаря которым материалы оказывают сопротивление растрескиванию, приводит к разработке новых сверхпрочных материалов.
Существует множество подходов, в которых уделяется внимание тому или иному явлению, или отдельно деталям процесса разрушения (в действительности имеются тысячи практических задач и, соответственно, граничных условий), которые могут быть главными в процессе разрушения. Поэтому в сочетании с подходами базовой механики разрушения, и как дополнение к ней, указанные подходы представляют большую ценность [8]. Рассмотрим основные среди них [9].
Критерий Стиглица включает несколько параметров:
(16)
где G – модуль сдвига, Е – модуль упругости, Hk – твердость по Кнуппу, ρ – плотность керамической преграды.
Известен также критерий Суи-Кил Чанга, по которому оценивают баллистическое качество брони как отношение прочности к коэффициенту трещиностойкости К1С. Из этих представлений следует, что минимальный размер фрагмента разрушения равен:
(17)
где μ – коэффициент Пуассона, sпр2 – предел прочности при одноосном сжатии, Ψ – коэффициент порядка единицы. Эмпирический критерий Нешпора, способности керамического материала к поглощению и рассеянию энергии ударника:
(18)
где Hv – твердость по Виккерсу, Сl – скорость распространения звуковой волны, Е – модуль Юнга.
Существенным недостатком вышеперечисленных критериев является использование для расчетов измеряемых величин не физических моделей, а экспериментальных корреляций, что позволяет делать только качественные оценки. Кроме того результаты измерений твердости связаны с условиями измерения (величина нагрузки, тип пирамиды, состояние поверхности и т.п.) и могут сильно различаться. Важно также и то, что различные керамические вещества довольно заметно отличаются по упруго пластическим свойствам. В зависимости от диаграммы состояния Р–Т–х переход от хрупкого разрушения к пластическому может происходить при разных давлениях и температурах. Для пластических тел сопротивление прониканию, согласно теории Алексеевского–Тейта [10]:
(19)
где ρ – плотность преграды, Vу – скорость ударника, R – прочностное сопротивление преграды, соответствующее динамической прочности HД.
Более детально с учетом упруго-пластических свойств керамики проблема разрушения рассмотрена в [11]. Для области упруго-трещинообразующей, что и соответствует большинству керамик (В4 С, ВN, AlB12, «Идеал» и т.п.) зависимость размеров каверны в относительных единицах равняется:
(20)
или
(21)
где Е – модуль Юнга, s – прочность на растяжение, μ – коэффициент Пуассона, Т – температура, R – прочностное сопротивление преграды.
Большинство предложенных расчетов связаны с неопределенностью формулировок некоторых «констант» механики, таких параметров как твердость, прочность на разрыв и т.п., а также существенным влиянием на результаты измерений условий измерений. Для многих критериев очевиден эмпирический характер, мало связанный с физической моделью разрушения конкретного материала.
Практическая ценность развития физических представлений определяется возможностью получить оценку поведения различных материалов при динамическом нагружении, исходя из представлений [4]. В самом деле, для длинного, тонкого, недеформированного стержня (длина lc), энергия которого расходуются на диссоциацию (разрыв межатомных связей) вещества найдены:
(22)
где а = (ln2)3/2, другие обозначения из [12].
Полученное выражение позволяет построить ряд материалов по их способности противостоять нагружению. Приведенное выше выражение вызвало сомнение у ряда исследователей, например в [13]. Следует отметить, что скептический комментарий авторов связан с неверно прочитанной формулой, т.к. на самом деле она отражает отношение глубины пробития к длине стержня, а не с давлением в зоне контакта.
Много усилий было потрачено на развитие физических представлений о процессе удара во всем диапазоне скоростей нагружения и упруго-пластических свойств преграды. Частичный обзор этих работ приведен в [13].
К настоящему времени сложилось сложная многостадийная картина проникания ударника в преграду в широком диапазоне скоростей нагружения и механизмов диссипации энергии на каждой стадии. Большую роль в сопротивлении удару играет скорость звука, т.к. многие процессы диссипации связаны с ней, и определяются через комбинацию упругого разгруженния волны Рэлея, скорость распространения трещины, диссоциацию. Впервые эти идеи были развиты в [3, 4] и в последующем активно развивались в [14]. Эти работы в основном опирались на представления, развитые в [10, 11] для высоких скоростей нагружения металлических (пластических) материалов. Однако ряд материалов (прежде всего керамики) существенно отличается по свойствам от металлов и других веществ, высокой прочностью, модулем Юнга, модулем сдвига и способностью к хрупкому разрушению без этапа пластического течения. Собственно общепринятые определения хрупкости и означают нарушение целостности объекта без пластических сдвигов [7].
Поверхностную энергию g можно вычислить из энергии связи между атомами. Согласно [7]:
, (23)
где mo – масса одного атома; So – общее число связей в твердом теле объема V1; n – число ближайших соседей (координационное число). Эта оценка позволяет определить верхний предел возможностей прочности твердых тел.
Формула Гриффитса для прочности упругого тела с трещиной длиной l позволяет оценить теоретическую прочность, если экстраполировать формулу (15) на трещины с размером порядка среднего межатомного расстояния l-ao. Тогда
. (24)
При определенной внешней нагрузке в бесконечно малой окрестности некоторой точки О контура трещины произошло местное разрушение, в результате которого контур трещины переместился в новое положение. Напряжение, деформация и смещение вблизи точки О описываются уравнениями, в которые входят в качестве параметров коэффициенты интенсивности напряжений КI, КII, КIII, описывающие различные разрушения, сдвиг, смещение, разрыв. Начало разрушения определяется только этими параметрами, т.е. существует замкнутая поверхность
(25)
такая, что как только конец вектора (КI, КII, КIII) попадает на эту поверхность, в точке О происходит локальное разрушение [7]. Для трещин основных типов критерий локального разрушения принимает вид
.
Для трещин нормального разрыва зависимость разрушающей нагрузки р от длины l будет [7]:
. (26)
Росту трещин отвечает увеличение силы p, что свидетельствует об устойчивом квазистатическом увеличении трещин.
Большинство важнейших конструкционных материалов относится к композиционным материалам, состоящих из нескольких компонентов. В этом плане можно выделить сплавы металлов, стеклопластики, ситаллы, металлы и керамику, вещества, содержащие в себе графит, фуллерены, углеродные нити и т.п. Принято [7] для описания разрушения таких веществ – композитов вводить понятие структурной ячейки, т.е. элемента объема характерного по свойствам и периодически повторяющийся во всем объеме тела. Свойства материала естественно, будут определяться одинаково во всем объеме числом таких структурных элементов, тогда:
(27)
где sо – средняя прочность на разрыв структурной ячейки с характерным размером do, l – множитель порядка единицы.
Для большинства хрупких тел наблюдается эффект «самоподдерживающего разрушения». Если некий объем хрупкого тела подвергнуть всестороннему сжатию (начальных сдвиговых напряжений не наблюдается), а затем освободить поверхность образца от нагрузки, то вглубь материала начнет распространяться волна разгрузки. Если запасенная телом потенциальная энергия упругого сжатия достаточно велика, то сдвиговые микротрещины, находящиеся в фронте разгрузки, становится неустойчивыми и их динамическое развитие приводит к разрушению тела. Необходимый запас упругой энергии может быть создан технологически – остаточные напряжения при отжиге, росте кристаллов, обработки поверхности и т.п. Разрушенный материал представляет собой множество отдельных частиц, движущихся со скоростью относительно поверхности покоящегося неразрушенного тела. Самоподдерживающееся разрушение сопровождается сильным звуком и разбрасыванием разрушенного вещества. При самоподдерживающемся разрушении хрупкого тела в поверхностную энергию переходит лишь некоторая часть упругой энергии тела, а остальная часть переходит в кинетическую энергию осколков и энергию образования этих осколков.
Эффективная поверхностная энергия (поверхностное натяжение шаровидной частицы радиуса r) будет равна 4pg r2, а распределение частиц по размерам радиуса ro, определяемого как [7]
(28)
будет
. (29)
Волна разрушения возникает в том случае, когда удельная энергия образца превзойдет величину D, т.е.
. (30)
Здесь 𝜕 U изменение упругой энергии тела на всем изменении объема 𝜕 V. Условие (30) является естественным обобщением условия Гриффитса на объемное разрушение.
В 1881 г. Генрих Герц решил проблему квазистатического соударения двух различных упругих эллипсоидов. Позднее А. Динник в 1909 г. [14] проверил экспериментально это решение [7] и показал, что для хрупких материалов решение Герца перестает быть справедливым, как только на плоскости контакта появляется первые крупные трещины. В.Я. Шевченко в 2020 г. [12] показал, что при определенных граничных условиях наблюдается «обратный» конус Герца. В соответствии с экспериментальными наблюдениями процесс разрушения можно представить так. В начале контактная площадка увеличивается с ростом силы N и вес величины можно найти из решения Герца. Первые определенные трещины появляются вдоль контура площадки диаметром dо, как только напряжение s достигнет значений прочности материала на разрыв. Следовательно, требуется некоторый запас упругой энергии, чтобы могла возникнуть достаточно глубокая коническая трещина. Края области контакта разрушаются, и вся энергия начинает действовать на объем с характерным радиусом ао, где и формируется главная коническая область. Таким образом, создается запас упругой энергии для возникновения самоподдерживающегося разрушения. Тогда диаметр конической трещины будет зависеть от а, N, K1C и коэффициента Пуассона n, следовательно [7]:
, (31)
где j1 – произвольная функция своих аргументов.
Экспериментально наблюдаются для хрупких тел и звездистые магистральные трещины. По аналогии с [15] приведем результат:
, (32)
при n 3 10, , где n – число магистральных трещин, l – длина трещины, s – напряжение на разрыв.
Влиянием масштабного эффекта можно пренебречь только в том случае, когда его размер существенно меньше размера пластической области вблизи конца большой (макроскопической трещины, находящийся в предельном состоянии). Существует оптимальная толщина пластины nо при которой вязкость разрушения, а, следовательно, и прочность, будет максимальной при прочих равных условиях. Поэтому, если монолитный образец толщиной n заменить многослойным образцом той же толщины (слои склеенный каким-либо связующим), то для заданной толщины будет достигнута максимально возможная прочность. Таким образом, создание многослойных конструкций является одним из путей повышения удельной прочности и надежности.
В керамических материалах под воздействием девиаторных напряжений происходит разрушение практически без пластической деформации. Деформация хрупких материалов сопровождается также увеличением объема в результате растрескивания. В нормальных условиях растрескивание начинается при напряжениях сжатия порядка 1/3–2/3 предела упругости [16]. При дальнейшем увеличении сдвиговых напряжений происходит распространение трещин, материал разрушается. В области разрушенных состояний материал ведет себя подобно песку. При этом сопротивление сдвигу контролируется трением и возрастает пропорционально действующему давлению.
Таким образом, совокупность экспериментальных и расчетных данных указывает на возможность образования волн разрушения при ударном сжатии гомогенных хрупких материалов. Скорость этой волны является около звуковой и убывает по мере распространения.
Проведенное рассмотрение отдельных аспектов прочности хрупких тел (керамик) подтверждает универсальную зависимость деформации от давления, вытекающую из фундаментальных особенностей межатомного взаимодействия и переходящего в микро- и макроскопический масштаб. Полученные выводы весьма полезны и плодотворны для создания реальных конструкций с оптимальными свойствами.
Работа по анализу взаимосвязи между теорией Гриффитса и современными представлениями теории разрушения выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда «Новые физические и химические принципы технологии металлических, металлокерамических и керамических материалов с управляемой макро-, микро- и наноструктурой и уникальными служебными характеристиками» (№ 21-73-30019); работа по формированию волн разрушения при ударном сжатии гомогенных хрупких материалов проведена за счет финансовой поддержки гранта Российского научного фонда «Материалы для бронезащиты нового поколения на основе реакционно-диффузионных процессов Тьюринга для синтеза алмаз-карбидкремниевых композитов со структурой трижды периодических поверхностей минимальной энергии» (№ 20-13-00054-П).
Конфликт интересов
Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Авторлар туралы
В. Шевченко
НИЦ «Курчатовский институт» – ЦНИИ КМ «Прометей»
Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: shevchenko@isc.nw.ru
Ресей, 191015, Санкт-Петербург, Шпалерная ул., 49
А. Орыщенко
НИЦ «Курчатовский институт» – ЦНИИ КМ «Прометей»
Email: shevchenko@isc.nw.ru
Ресей, 191015, Санкт-Петербург, Шпалерная ул., 49
С. Перевислов
НИЦ «Курчатовский институт» – ЦНИИ КМ «Прометей»
Email: shevchenko@isc.nw.ru
Ресей, 191015, Санкт-Петербург, Шпалерная ул., 49
Әдебиет тізімі
- Hertz H. Ueber die Berührung fester elastischer Körper // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1882. V. 92. P. 156 – 171.
- Grady D.E. Local inertial effects in dynamic fragmentation // Journal of Applied Physics. 1982. V. 53. № 1. P. 322 – 325.
- Rose J.H., Smith J.R., Guinea F., Ferrante J. Universal features of the equation of state of metals // Physical Review B. 1984. V. 29. № 6. P. 2963–2969.
- Шевченко В.Я., Изотов А.Д., Лазарев В.Б., Жаворонков Н.М. Энергия диссоциации и предельная упругая деформация в модели двухчастичного взаимодействия // Неорганические материалы. 1984. Т. 20. № 6. С. 1047–1052.
- Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла // М.: Стройиздат. – 1974. 240 с.
- Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Philosophical transactions of the royal society of london. Series A, containing papers of a mathematical or physical character. 1921. V. 221. № 582–593. P. 163–198.
- Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. Наука, Москва. 1974. 640 с.
- Irwin G.R. Fracture. Encyclopaedia of Physics, Vol. VI // Springer-Verlag. 1958. V. 1. № 168. P. 9.
- Гаршин А.П., Гропянов В.М., Зайцев Г.П., Семенов С.С. Керамика для машиностроения // М.: Научтехлитиздат. 2003. 329 с.
- Tate A.A theory for the deceleration of long rods after impact // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1967. V. 15. № 6. P. 387 – 399.
- Forrestal M.J., Longcope D.B. Target strength of ceramic materials for high‐velocity penetration // Journal of Applied Physics. 1990. V. 67. № 8. P. 3669 – 3672.
- Shevchenko V.Y., Oryshchenko A.S., Perevislov S.N., Sil’nikov M.V. About the criteria for the choice of materials to protect against the mechanical dynamic loading // Glass Physics and Chemistry. 2021. V. 47. P. 281 – 288.
- Isbell W.M., Anderson C.E., Asay J.R., Bless S.J., Grady D.E. Penetration mechanics research in the former Soviet Union // Science Application International Corp, San Diego, CA, USA. 1992. 251 p.
- Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел, Киев: Типография С.В. Кульженко. 1909. VIII. 120 с.
- Партон В.З., Черепанов Г.П. Механика разрушения, в книге Механика в СССР за 50 лет, М.: Издательство «Наука». 1972. Т. 3. С. 362–464.
- Канель Г.И., Фортов В.Е., Разоренов С.В. Ударные волны в физике конденсированного состояния. // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. № 8. С. 809–830.
Қосымша файлдар
