Accumulation of disordered perturbations of density, velocity and pressure in an unstable system

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1–3] предложено дополнить детерминистические уравнения многомоментной гидродинамики стохастическими членами. Статистические характеристики стохастических составляющих коррелируют с характеристиками неупорядоченных возмущений скорости, которые возникают в набегающем на неподвижную сферу потоке за счет внешнего воздействия. Исследование показало, что при определенных условиях неупорядоченные возмущения накапливаются в следе за сферой. Накопление неупорядоченных возмущений скорости создает хаотическую картину течения как в зоне закручивания в ближнем следе за сферой, так и на дорожке вихревых колец в дальнем следе [1–3].

Однако в потоке, набегающем на сферу, хаотическому искажению подвержена не только скорость, но и другие измеряемые гидродинамические величины. Настоящее исследование посвящено изучению искажения главных гидродинамических величин за счет неупорядоченных возмущений. Это искажение способно привести к значительному искажению энтропии системы, которая определяет направление ее эволюции после потери устойчивости.

В разд. 1 статьи представлены решения уравнений многомоментной гидродинамики, позволяющие воспроизвести течение в зоне закручивания и вихревое испускание в следе за сферой. Раздел 2 посвящен выводу уравнений для стохастических отклонений от регулярных гидродинамических величин. В разд. 3 проводится расчет коэффициентов, ответственных за накопления неупорядоченных возмущений плотности, скорости и давления.

1. НЕУСТОЙЧИВЫЕ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МНОГОМОМЕНТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Уравнения многомоментной гидродинамики [4, 5] используются для решения задачи обтекания покоящейся твердой сферы. Задача решается в декартовой системе координат XYZ, жестко связанной со сферой радиуса a. Ось Z системы координат совпадает по направлению со скоростью набегающего потока U₀; x,y,z – декартовы координаты точки пространства x; r, $\theta$, $\phi$ – ее сферические координаты. Спектральный метод решения уравнений многомоментной гидродинамики приводит к замкнутой нелинейной системе, состоящей из n дифференциальных уравнений первого порядка для безразмерных коэффициентов ^C_i(t), которые зависят от времени t [6]:

$\frac{\partial {\widehat{С}}_i}{\partial t}=F_i\left({\overbrace{С}}_1\mathrm{,...,}{\overbrace{С}}_n\right),i=\mathrm{1,...,}n.$ (1.1)

Решение нелинейной системы, состоящей из 20 уравнений, представляется в виде ^C_i⁽⁰⁾(t) = = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0)(t), i = 1, ...,20, здесь ^^—C_i⁽⁰⁾ есть стационарная составляющая этого решения, d ^C_i^r(0)(t)есть регулярная флуктуация стационарного решения ^^—C_i⁽⁰⁾. Решение ^C_i⁽⁰⁾(t), i = 1, ...,20, позволяет получить аналитические распределения всех гидродинамических величин. Коэффициенты ^C₁⁽⁰⁾, ^C₂⁽⁰⁾, ^C₃⁽⁰⁾, ^C₄⁽⁰⁾ ответственны за распределение плотности числа частиц. Коэффициенты ^C₅⁽⁰⁾, ^C₆⁽⁰⁾, ^C₇⁽⁰⁾, ^C₈⁽⁰⁾, ^C₉⁽⁰⁾, ^C₁₈⁽⁰⁾, ^C₁₉⁽⁰⁾ задают распределение давления и тензора напряжений, являющихся главными гидродинамическими величинами. Коэффициенты ^C₁₀⁽⁰⁾, ^C₁₁⁽⁰⁾, ^C₁₂⁽⁰⁾, ^C₁₃⁽⁰⁾, ^C₁₅⁽⁰⁾, ^C₁₆⁽⁰⁾, ^C₁₇⁽⁰⁾ ответственны за распределения тепловых потоков, являющихся главными гидродинамическими величинами. Коэффициенты ^C₁₄⁽⁰⁾ и ^C₂₀⁽⁰⁾ задают распределение скорости течения [6].

Численное интегрирование системы (1.1) показало, что стационарное решение ^^—C_i⁽⁰⁾, i = 1, ...,20, остается устойчивым вплоть до некоторого критического значения числа Рейнольдса Re₀^* (Re₀^* = 129.1) [6]. Достижение Re₀^* сопровождается потерей устойчивости. Начиная с некоторого момента времени t = 0, малое отклонение d ^C_i^r(0)(t) от стационарного решения ^^—C_i⁽⁰⁾ начинает экспоненциально нарастать. Нарастание регулярной флуктуации d ^C_i^r(0)(t) происходит вплоть до момента времени t = t_* > 0. В момент t_* решение ^C_i⁽⁰⁾(t) = = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0)(t) обрывается. Однако в окрестности точки обрыва существует решение d ^C_i^{* r(0)}(t ^*) системы так называемых обратных уравнений многомоментной гидродинамики [7, гл. 7], которое экспоненциально затухает. Системы прямых и обратных уравнений идентичны, однако время t ^* отсчитывается в прогрессирующем направлении на временной оси, направленной из будущего в прошлое. К моменту t ^* = 2t_* решение ^C_i^*(0)(t^*) = = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^*r(0)(t) достигает окрестности неустойчивого стационарного решения ^^—C_i⁽⁰⁾. Процесс последовательного нарастания и затухания отклонения повторяется с периодом, равным 2t_* [6].

Анализ поведения коэффициентов ^C₅⁽⁰⁾ и ^C₁₉⁽⁰⁾ позволил выяснить причину обрыва решения ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^^—C_i⁽⁰⁾+ d ^C_i^r(0)(t), i = 1, ...,20, в момент времени t_*. Коэффициенты ^C₅⁽⁰⁾ и ^C₁₉⁽⁰⁾ подчиняются уравнению сохранения энергии:

$\frac{\partial {\overbrace{С}}_5^{\left(0\right)}}{\partial t}+{\overbrace{С}}_{19}^{\left(0\right)}=0$ (1.2)

После потери устойчивости в момент времени t = 0 коэффициент ^C₁₉⁽⁰⁾ постоянно растет, достигая к моменту t = t_* максимального значения (^C₁₉⁽⁰⁾ > 0). В диапазоне 0 < t < t_* ∂ ^C₅⁽⁰⁾/∂t < 0,, т.е. производная коэффициента ^C₅⁽⁰⁾ постоянно падает. В момент времени t = t_* падение производной коэффициента ^C₅⁽⁰⁾ прекращается. Однако в силу того, что ^C₁₉⁽⁰⁾ > 0 положительное значение ∂ ^C₅⁽⁰⁾/∂t > 0 несовместимо с уравнением (1.2). Решение ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0)(t) обрывается [6].

Коэффициент ^C₅⁽⁰⁾ в уравнении (1.2) отвечает за внутреннюю энергию среды, а коэффициент ^C₁₉⁽⁰⁾ – за поток внутренней энергии. В соответствии с уравнением (1.2) изменение во времени внутренней энергии сбалансировано ее потоком. Однако в момент t = t _* поток внутренней энергии не может сбалансировать ее изменение.

В состоянии статистического равновесия сфера покоится в неподвижной среде. Удаление от состояния статистического равновесия достигается за счет внешнего воздействия, вынуждающего сферу устойчиво двигаться с некоторой скоростью U₁. Более сильное внешнее воздействие вынуждает твердую сферу двигаться с более высокой скоростью U₂ > U₁. Устойчивое движение сферы со скоростью U₂ > U₁ соответствует более значительному удалению от состояния статистического равновесия [8]. После потери устойчивости происходит дальнейшее самопроизвольное удаление состояния среды от состояния статистического равновесия. То есть движение в направлении удаления от состояния статистического равновесия происходит без всякого дополнительного внешнего воздействия. Однако уравнение сохранения энергии (1.2) не позволяет системе самопроизвольно удаляться от состояния статистического равновесия бесконечно долго в связи с обрывом решения.

Стационарное решение ^^—C_i⁽⁰⁾ воспроизводит осесимметричную зону закручивания в следе за сферой. Неустойчивые решения ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + + d ^C_i^r(0), 0 < t < t_*, и ^C_i⁽⁰⁾(t^*) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^*r(0)(t^*), t_* < t ^* < 2t_*, воспроизводят осесимметричные пульсации зоны закручивания. Пульсирующая периферия зоны закручивания не проявляет ни малейших признаков отрыва от ядра зоны закручивания. Как следствие, в дальнем следе за сферой вихревая дорожка отсутствует. В дальнейшем решение ^C_i⁽⁰⁾(t), ^C_i^*(0)(t^*), i = 1, ...,20, будем обозначать как Sol₀.

В работе [9] при поиске решений, моделирующих вихревое испускание, предложено внести изменение в распределение скорости, воспроизводящее зону закручивания. Представленное выражение для распределения скорости, помимо коэффициента ^C₂₀, содержит два дополнительных коэффициента: ^C₂₁ и ^C₂₂. Коэффициент ^C₂₁ характеризует величину удаления вихревого кольца от поверхности сферы, коэффициент ^C₂₂ ответствен за величину отклонения центра вихревого кольца от оси Z. Подстановка полученных распределений гидродинамических величин в уравнения многомоментной гидродинамики [7, гл. 5] приводит к замкнутой нелинейной системе (1.1), состоящей из 22 дифференциальных уравнений первого порядка для безразмерных коэффициентов ^C_i, i = 1, ..., 22 [9].

Численное интегрирование системы 22-го порядка показало, что в исследуемом диапазоне значений числа Рейнольдса Re существует множество решений, моделирующих перемещение вихревого кольца вниз по течению. Таким образом, при решении уравнений многомоментной гидродинамики появляется несколько вариантов эволюции системы. В соответствии с представлениями из работы [9] энтропия системы, а точнее ее производная по времени, указывает на единственное направление, в котором развивается система, потерявшая устойчивость. Из множества решений системы 22-го порядка лишь два решения обладают таким значением энтропии, которое позволяет этим решениям конкурировать с решением Sol₀. В работе [9] эти решения обозначены как Sol₁ и Sol₂.

После потери системой устойчивости (Re ≥ Re₀^*) регулярные флуктуации d ^C_i^r(0)(t) разрастаются, достигая величины решения ^^—C_i⁽⁰⁾. При Re ≥ Re₀^* в результате роста d ^C_i^r(0)(t) коэффициенты ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0) приобретают зависимость от времени. Выполнение законов сохранения обеспечивается, если

$\frac{\partial {\widehat{C}}_i^{\left(0\right)}}{\partial t}=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{4,}\mathrm{6,}\mathrm{7,}\mathrm{14,}\mathrm{19,}20.$ (1.3)

Уравнение непрерывности приводит к уравнениям (1.3) с i = 1, 2, 3, 4; уравнение сохранения импульса дает уравнения (1.3) с i = 14, 20; уравнение сохранения энергии приводит к уравнениям (1.3) с i = 6, 7, 19 [6]. Однако, функция ^C_i⁽⁰⁾(t) = = ^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0), i = 1, ..., 20, является решением замкнутой системы (1.1). Таким образом, решение ^C_i⁽⁰⁾(t), вообще говоря, не в состоянии удовлетворить уравнениям (1.3). То есть, учет лишь регулярной составляющей d^C_i^r(0)(t) нестационарного решения ^C_i⁽⁰⁾(t) не обеспечивает выполнение законов сохранения.

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОТКЛОНЕНИЙ

Следуя изложенному в работах [1, 2, 10], дополним уравнения для регулярных коэффициентов ^C_i⁽⁰⁾(t) членами, ответственными за эволюцию малых стохастических отклонений гидродинамических величин. К стохастическим отклонениям следует отнести неупорядоченные возмущения и спонтанные флуктуации. Неупорядоченные возмущения возникают в среде за счет внешнего воздействия. Спонтанные флуктуации присутствуют в среде постоянно, независимо от внешнего воздействия. Будем искать малые отклонения d ^C_{i, j}^rd,s(0)(t, x) от регулярных коэффициентов ^^—C_i⁽⁰⁾, i = 14, 20, задающих распределение скорости течения [6], в виде линейной комбинации независимых составляющих:

${\overbrace{С}}_{i,j}^{rd,s\left(0\right)}\left(t,\right)={\widehat{\overline{C}}}_i^{\left(0\right)}+\delta {\overbrace{С}}_{i.j}^{rd,s\left(0\right)}\left(t,\right),$ (2.1)

$\delta {\widehat{С}}_{i,j}^{rd,s\left(0\right)}\text{}(t,)=\delta {\widehat{С}}_i^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)+\delta {\widehat{С}}_{i,j}^{d\left(0\right)}\text{}(t,)+\delta {\widehat{С}}_{i,j}^{s\left(0\right)}\text{}(t,).$

В выражениях (2.1) d-составляющая ответственна за неупорядоченные возмущения, s-cоставляющая – за спонтанные флуктуации, отвечающие j-компоненте скорости течения, j = r,q. Подставим выражения (2.1) в распределение скорости течения (3.9) [6]. Полученное аналитическое распределение учитывает регулярные флуктуации, неупорядоченные возмущения и спонтанные флуктуации:

$\begin{array}{c}{U}_j=U_j^{St}+U_0\text{Re}{f}_j^{\left(20\right)}\left(r,\theta \right)\left({\widehat{\overline{C}}}_{20}^{\left(0\right)}+\right.\\ +\left.\delta {\widehat{С}}_{20}^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)+\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{20,}j}^{d\left(0\right)}\left(t,\right)+\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{20,}j}^{s\left(0\right)}\left(t,\right)\right)+\end{array}$ (2.2)

$\begin{array}{c}+U_0{\text{Ma}}^2{f}_j^{\left(14\right)}\left(r,\theta \right)\left({\widehat{\overline{C}}}_{14}^{\left(0\right)}+\right.\\ +\left.\delta {\widehat{С}}_{14}^{r\left(0\right)}\left(t\right)+\delta {\widehat{С}}_{\mathrm{14,}j}^{d\left(0\right)}\left(t,\right)+\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{14,}j}^{s\left(0\right)}\left(t,\right)\right).\end{array}$

Здесь U_j^St – стоксовская составляющая, Re = mn₀U₀2a/h₀, Ma² = mU₀²/kT₀, n₀ и T₀ – плотность и температура невозмущенной среды, h₀ = h(T₀) – коэффициент динамической вязкости, m- масса частицы газа, k – постоянная Больцмана. Пространственная структура функций f_j⁽¹⁴⁾ и f_j⁽²⁰⁾ определяется произведениями (a/r)^lcos^mq sinⁿq [6]. Хаотические составляющие также могут быть дополнены аналогичными произведениями:

$\delta {\widehat{С}}_{i,j}^{k\left(0\right)}\text{}\left(t,\right)=\delta {\widehat{\tilde{C}}}_{i,j}^{k\left(0\right)}\text{}\left(t,\right){(a/r)}^p{\text{cos}}^q\theta {\text{sin}}^w\theta ,$ (2.3)

здесь i = 14, 20; j = r, q; k = d, s.

Коэффициенты ^C₁⁽⁰⁾, ^C₂⁽⁰⁾, ^C₃⁽⁰⁾ и ^C₄⁽⁰⁾ ответственны за распределение плотности числа частиц, а коэффициенты ^C₅⁽⁰⁾, ^C₆⁽⁰⁾, ^C₇⁽⁰⁾ и ^C₉⁽⁰⁾ — за распределение давления, создаваемого в результате движения центров масс пар частиц. По аналогии с (2.1) стохастические отклонения регулярных коэффициентов ^^—C_i⁽⁰⁾, i = 1, ..., 4, 5, ..., 7, 19, представляются в виде

${\overbrace{С}}_i^{rd,s\left(0\right)}\left(t,\right)={\widehat{\overline{C}}}_i^{\left(0\right)}+\delta {\widehat{С}}_i^{rd,s\left(0\right)}\left(t,\right)$ (2.4)

$\delta {\overbrace{С}}_i^{rd,s\left(0\right)}\text{}(t,)=\delta {\overbrace{С}}_i^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)+\delta {\overbrace{С}}_i^{d\left(0\right)}\text{}(t,)+\delta {\overbrace{С}}_i^{s\left(0\right)}\text{}(t,).$

По аналогии с (2.2) хаотические составляющие d ^C_i^d(0)(t,x) и d ^C_i^s(0)(t,x), i = 1, ..., 4, 5, ..., 7, 19, могут быть дополнены регулярной пространственной структурой. Подставим выражения (2.4) в распределения соответствующих главных гидродинамических величин [6]:

$\begin{array}{c}n=n_0+n_0{\text{Ma}}^2\sum _i{f}^{\left(i\right)}\left(r,\theta \right)\left[{\widehat{\overline{C}}}_i^{\left(0\right)}+\delta {\widehat{С}}_i^{r\left(0\right)}\left(t\right)+\right.\\ +\left.\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\left(t,\right)+\delta {\widehat{С}}_i^{s\left(0\right)}\left(t,\right)\right],i=\mathrm{1,}\mathrm{...,4,}\end{array}$ (2.5)

$\begin{array}{c}{p}^G=p_0+p_0{\text{Ma}}^2\sum _i{f}^{\left(i\right)}\text{}\left(r,\theta \right)\left[{\widehat{\overline{C}}}_i^{\left(0\right)}+\delta {\widehat{С}}_i^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)+\right.\\ +\left.\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\left(t,\right)+\delta {\overbrace{С}}_i^{s\left(0\right)}\left(t,\right)\right],\end{array}$

i = 5, ..., 7, 19.

В выражении (2.5) p₀ = n₀kT₀. Пространственная структура функций f ⁽ⁱ⁾ определяется произведениями (a/r)^l cos^mq. Стохастические отклонения всех оставшихся гидродинамических величин, главных и неглавных, могут быть получены по аналогии со стохастическими отклонениями гидродинамических величин n, U, p^G [2].

Подставим выражение (2.2), (2.5) и аналогичные выражения для других гидродинамических величин в уравнения сохранения плотности числа частиц, импульса и энергии [7, гл. 5]. Следуя общей идеологии решения уравнений многомоментной гидродинамики, приравняем нулю выражения при каждом произведении (a/r)^j cos^mq sinⁿq отдельно. В результате получаем:

$\begin{array}{c}\frac{\partial \delta C_i^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)}{\partial t}+\frac{\partial \delta C_{i,j}^{d\left(0\right)}\text{}\left(t,\right)}{\partial t}+\frac{\partial \delta C_{i,j}^{s\left(0\right)}\text{}\left(t,\right)}{\partial t}=\mathrm{0,}\\ i=\mathrm{14,}\mathrm{20,}\end{array}$ (2.6)

где

$\begin{array}{c}\delta {\widehat{С}}_{14}^{r\left(0\right)}\left(t\right)=U_0{\text{Ma}}^2\delta {\widehat{С}}_{14}^{r\left(0\right)}\left(t\right),\\ \delta {\widehat{С}}_{20}^{r\left(0\right)}\left(t\right)=U_0\text{Re\hspace{0.17em}}\delta {\overbrace{С}}_{20}^{r\left(0\right)}\left(t\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{14,}j}^{d\left(0\right)}\left(t,\right)=U_0\text{M}{a}^2\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{14,}j}^{d\left(0\right)}\left(t,\right),\\ \delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{20,}i}^{d\left(0\right)}\left(t,\right)=U_0\text{Re\hspace{0.17em}}\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{20,}j}^{d\left(0\right)}\left(t,\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{14,}j}^{s\left(0\right)}\left(t,\right)=U_0{\text{Ma}}^2\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{14,}j}^{s\left(0\right)}\left(t,\right),\\ \delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{20,}i}^{s\left(0\right)}\left(t,\right)=U_0\text{Re\hspace{0.17em}}\delta {\overbrace{С}}_{\mathrm{20,}j}^{s\left(0\right)}\left(t,\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{\partial \delta {\overbrace{С}}_i^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)}{\partial t}+\frac{\partial \delta {\overbrace{С}}_i^{d\left(0\right)}\left(t,\right)}{\partial t}+\frac{\partial \delta {\overbrace{С}}_i^{s\left(0\right)}\left(t,\right)}{\partial t}=\mathrm{0,}\\ i=\mathrm{1,}\mathrm{...,}\mathrm{4,}\mathrm{6,}\mathrm{7,}19;\end{array}$ (2.7)

здесь

$\delta {\overbrace{С}}_i^{r\left(0\right)}\left(t\right)=n_0{\text{Ma}}^2\delta {\overbrace{С}}_i^{r\left(0\right)}\left(t\right),$

$\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\text{}\left(t,\right)=n_0{\text{Ma}}^2\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\text{}\left(t,\right), \delta C_i^{s\left(0\right)}\left(t,\right)=n_0\text{M}{a}^2\delta {\overbrace{С}}_i^{s\left(0\right)}\text{}\left(t,\right)$ при i = 1, ..., 4,

$\delta {\overbrace{С}}_i^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right)=p_0{\text{Ma}}^2\delta {\overbrace{С}}_i^{r\left(0\right)}\text{}\left(t\right),$

$\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\text{}\left(t,\right)=p_0{\text{Ma}}^2\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\text{}\left(t,\right),$

$\delta {\widehat{С}}_i^{s\left(0\right)}\left(t,\right)=p_0{\text{Ma}}^2\delta {\overbrace{С}}_i^{s\left(0\right)}\left(t,\right)$ при i = 6, 7, 19.

Уравнения (2.6) получены для случая отсутствия регулярной пространственной структуры у хаотических составляющих d ^C_{i, j}^d(0)(t, x) и d ^C_{i, j}^s(0)(t, x), i = 14, 20; j = r, q (p = 0, q = 0, w = 0 в правой части (4)). Уравнения (6) также получены для случая отсутствия регулярной пространственной структуры у хаотических составляющих d ^C_i^d(0)(t, x) и d ^C_i^s(0)(t, x), i = 1, ..., 4, 6, 7, 19. При появлении такой структуры у хаотических составляющих в (5) и (6) появится функция, являющаяся линейной комбинацией неупорядоченных возмущений и спонтанных флуктуаций [1, 2].

Уравнения многомоментной гидродинамики (1.1) задают характерный временной масштаб изменения гидродинамических величин в следе за сферой t_h = Re a/2U₀, т.е., временной интервал t_h является характерным масштабом изменения регулярной флуктуации d ^C_i^r(0), i = 1, ..., 4, 6, 7, 14, 19, 20 [6]. Крупномасштабные неупорядоченные возмущения коэффициентов (d ^C_i^d(0) ~ d ^C_i^r(0) (t = t_*)) изменяются по порядку своей величины на интервалах времени, пропорциональных t_h. Мелкомасштабные неупорядоченные возмущения скорости течения (d ^C_i^d(0) << d ^C_i^r(0) (t = t_*)) и спонтанные флуктуации изменяются по порядку своей величины на интервалах времени, намного меньших t_h. Мелкомасштабные неупорядоченные возмущения и спонтанные флуктуации вносят пренебрежимо малый вклад в распределения гидродинамических величин, однако, вообще говоря, их производные по времени имеют основной порядок величины. Таким образом, учет неупорядоченных возмущений (крупномасштабных и мелкомасштабных) и спонтанных флуктуаций позволяет, в принципе, обеспечить выполнение законов сохранения (5), (6).

3. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ОТВЕТСТВЕННЫХ ЗА НАКОПЛЕНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Неупорядоченные возмущения появляются в среде за счет внешнего воздействия. Само оборудование промышленных и экспериментальных установок может вносить неупорядоченные возмущения. Последние могут быть внесены искусственно по воле экспериментатора. Неупорядоченные возмущения искажают как распределение скорости течения, так и распределения плотности, давления, напряжений и тепловых потоков.

Коэффициент турбулентности K^—_d^U характеризует интенсивность неупорядоченных возмущений скорости набегающего потока. Этот коэффициент K^—_d^U является отношением характерной, средней во времени и в пространстве, величины модуля неупорядоченного возмущения скорости набегающего потока DU^—₀^(d) к самой характерной скорости течения перед сферой U₀, K^—_d^U = = DU^—₀^(d)/U₀ << 1. Коэффициент пульсаций давления K^—_d^p, характеризует интенсивность неупорядоченных возмущений давления набегающего потока. Коэффициент K^—_d^p является отношением характерной, средней во времени и в пространстве, величины модуля неупорядоченного возмущения давления (пульсации давления) набегающего потока Dp₀^(d) к скоростному напору mn₀U₀²/2,  [11]. По аналогии с K^—_d^U и K^—_d^p зададим коэффициент пульсаций плотности K^—_dⁿ, характеризующий интенсивность неупорядоченных возмущений плотности набегающего потока. Коэффициент K^—_dⁿ является отношением характерной, средней во времени и в пространстве, величины модуля неупорядоченного возмущения плотности (пульсации плотности) набегающего потока Dn₀^(d) к скоростному напору mn₀U₀²/2; ${\overline{K}}_d^n=2\Delta {\overline{n}}_0^{\left(d\right)}/m{n}_0{U}_0^2\ll 1.$

Наряду с K^—_d^U, K^—_d^p и K^—_dⁿ определим локальные величины K_d^U = |DU₀^(d)|/U₀ << 1, K_d^p = |Dp₀^(d)|/mn₀U₀² << 1 и K_dⁿ = |Dn₀^(d)|/mn₀U₀² << 1. Пусть L_h есть характерный пространственный масштаб, на котором скорость набегающего потока изменяется в порядке своей величины (в частности, L_h может быть радиусом трубы, в которой проводится экспериментальное изучение обтекания сферы). Тогда L_h/U₀ является характерным временнымм масштабом изменения скорости набегающего потока.

Положим тогда, что эволюция неупорядоченных возмущений DU₀^(d), Dp₀^(d) и Dn₀^(d) протекает соответственно на интервалах времени t_d1^U = = K_d^UL_h/U₀, t_d1^p = K_d^pL_h/U₀ и t_d1ⁿ = K_d^pL_h/U₀. Отдельное неупорядоченное возмущение возникает и распадается на отрезке времени t^U_d1, t^p_d1 и tⁿ_d1. То есть, отдельное неупорядоченное возмущение существует в течение времени t^U_d1, t^p_d1 и tⁿ_d1. По истечении этого времени в среде появляется следующее неупорядоченное возмущение. Жидкая частица, двигаясь вдоль материальной линии, несет в себе энергию возмущения, необходимую для возникновения очередного неупорядоченного возмущения.

Движущаяся жидкая частица доставляет возникающие перед сферой неупорядоченные возмущения DU₀^(d), Dp₀^(d) и Dn₀^(d) в зону закручивания в следе за сферой. В следе за сферой пропорциональная ^C₂₀⁽⁰⁾ составляющая, наряду со стоксовской составляющей, вносит доминирующий вклад в распределение скорости в случае Ma² << 1 [6]. Поэтому неупорядоченное возмущение скорости течения DU₀^(d) следует интерпретировать в терминах неупорядоченного возмущения коэффициента d ^C₂₀^d(0) (здесь нижний индекс, отвечающий j-компоненте скорости течения, опущен). Используя уравнения (2.1), (2.2), находим, что DU₀^(d) = = U₀Re d ^C₂₀^d(0). Тогда K_d^U = Re |d ^C₂₀^d(0)| и K^—_d^U = Re |d ^C₂₀^d(0)|. Аналогично неупорядоченное возмущение давления Dp₀^(d) следует интерпретировать в терминах неупорядоченного возмущения любого из коэффициентов d ^C_i^d(0), i = 6, 7, 19. Используя (2.4), (2.5), находим, что Dp₀^(d) = p₀Ma²d ^C_i^d(0). Тогда K_d^p = 2|d ^C_i^d(0)| и K^—_d^p = 2d ^—^C_i^d(0). Неупорядоченное возмущение плотности Dn₀^(d) следует интерпретировать в терминах неупорядоченного возмущения любого из коэффициентов d ^C_i^d(0), i = 1, ..., 4. Используя (2.4) и (2.5), находим, что Dn₀^(d) = n₀Ma²d ^C_i^d(0). Тогда K_dⁿ = = 2|d ^C_i^d(0)|, K^—_dⁿ = 2d ^—^C_i^d(0). В приведенных соотношениях ^—^C_i^d(0), i = 1, ..., 4, 6, 7, 19, 20 является модулем коэффициента, осредненного во времени и в пространстве.

Характерный гидродинамический масштаб времени t_h (t_h = Re a/2U₀) является масштабом, на котором решение ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0), i = 1, ..., 20, системы уравнений (1.1) изменяется по порядку своей величины. Эволюция неупорядоченных возмущений DU₀^(d), Dp₀^(d) и Dn₀^(d) в набегающем потоке протекает соответственно на временнымх интервалах t^U_d1 = K_d^UL_h /U₀, t^p_d1 = K_d^pL_h /U₀ и tⁿ_d1 = = K_dⁿL_h /U₀. В зоне закручивания, куда попадают неупорядоченные возмущения DU₀^(d), Dp₀^(d) и Dn₀^(d), гидродинамические величины изменяются на масштабе времени t_h. Приведем характерные времена t^U_d1, t^p_d1 и tⁿ_d1 к безразмерному виду на масштабе характерного времени t_h:

${\tau }_{d1}^{\text{U}}={\widehat{\tau }}_{\text{d}1}^{\text{U}}{\tau }_h{\tau }_{d1}^{\text{U}}=\left|\delta {\overbrace{С}}_{20}^{d\left(0\right)}\right|\frac{2L_h}{a},$

${\tau }_{d1}^{p,i}={\widehat{\tau }}_{\text{d}1}^{\text{p},\text{i}}{\tau }_h{\tau }_{d1}^{\text{p},i}=\left|\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\right|\frac{4L_h}{\text{Re}a},i=\mathrm{6,}\mathrm{7,}\mathrm{19,}$ (3.1)

${\tau }_{d1}^{n,i}={\widehat{\tau }}_{\text{d}1}^{\text{n},\text{i}}{\tau }_h{\tau }_{d1}^{\text{n},i}=\left|\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}\right|\frac{4L_h}{\text{Re}a},i=\mathrm{1,}\mathrm{...,4.}$

В выражении (3.1) t_d^p₁^,i рассчитывается в терминах коэффициента d ^C_i^d(0), i = 6, 7, 19; t_dⁿ₁^,i – коэффициента d ^C_i^d(0), i = 1, ..., 4.

В докритическом диапазоне Re < Re₀^*, стационарное решение ^^—C_i⁽⁰⁾, i = 1, ..., 20, системы (1.1) устойчиво. Малые отклонения от стационарного решения ^^—C_i⁽⁰⁾ (регулярные и хаотические), которые возникают в некоторый начальный момент t = 0, затухают. В результате малые отклонения дают пренебрежимо малый вклад в распределения гидродинамических величин, необходимости в расчете отклонений не возникает.

Качественно иная картина имеет место в закритическом диапазоне: Re ≥ Re₀^*. Пересечение критического значения числа Рейнольдса Re₀^* сопровождается ростом малых отклонений. Растущая регулярная флуктуация d ^C_i^d(0) достигает порядка величины стационарного решения ^^—C_i⁽⁰⁾. Однако регулярное решение ^C_i⁽⁰⁾(t) = ^—C_i⁽⁰⁾ + d ^C_i^r(0), i = 1, ..., 6, 7, 19, 20, не может обеспечить выполнение законов сохранения в зоне закручивания в следе за сферой. В соответствии с представлениями из работ [2, 10] уравнения для регулярных коэффициентов ^C_i⁽⁰⁾(t) дополняются членами, ответственными за эволюцию малых стохастических отклонений гидродинамических величин: неупорядоченных возмущений и спонтанных флуктуаций. Таким образом, уравнения для стохастических отклонений решаются совместно с уравнениями для регулярных коэффициентов. Для выполнения законов сохранения поведение стохастических отклонений во времени и в пространстве «вынуждено» подстроиться под поведение во времени и в пространстве гидродинамических величин. То есть, уравнения сохранения (2.6) и (2.7) «вынуждают» стохастические отклонения вести себя во времени и в пространстве вполне определенным образом в зоне закручивания.

В соответствии с моделью, представленной в работах [1, 2] неупорядоченное возмущение d ^C_i^d(0), i = 1, ...4, 6, 7, 19, 20, мгновенно появляется в каждой элементарной ячейке среды в следе за сферой в некоторый начальный момент времени t = 0. Дальнейшая эволюция неупорядоченного возмущения d ^C_i^d(0) протекает на отрезке времени t_d^U₂ = t_d^U₂(t), t_d^p,₂ⁱ = t_d^p,₂ⁱ(t), i = 6, 7, 19, 20 и t_d^n,₂ⁱ = t_d^n,₂ⁱ(t), i = 1, ...4, в соответствии с законами сохранения (2.6) и (2.7), в которых ответственные за спонтанные флуктуации члены следует опустить:

$\frac{1}{{\tau }_{d2}^U}=\left|\frac{\partial \delta {\widehat{С}}_{20}^{r\left(0\right)}}{\partial t}\frac{1}{\delta {\widehat{С}}_{20}^{d\left(0\right)}}\right|,$

$\frac{1}{{\tau }_{d2}^{p,i}}=\left|\frac{\partial \delta {\widehat{С}}_i^{r\left(0\right)}}{\partial t}\frac{1}{\delta {\overbrace{С}}_i^{d\left(0\right)}}\right|i=\mathrm{6,}\mathrm{7,}\mathrm{19,}$ (3.2)

$\frac{1}{{\tau }_{d2}^{n,i}}=\left|\frac{\partial \delta {\widehat{С}}_i^{r\left(0\right)}}{\partial t}\frac{1}{\delta {\widehat{С}}_i^{d\left(0\right)}}\right|,i=\mathrm{1,}\mathrm{...,4.}$

В выражении (3.2) t_d^p,₂ⁱ рассчитывается в терминах коэффициента d ^C_i^d(0), i = 6, 7, 19; t_d^n,₂ⁱ – коэффициента d ^C_i^d(0), i = 1, ..., 4. В соответствии с моделью следующее неупорядоченное возмущение d ^C_i^d(0), i = 1, ..., 4, 6, 7, 19, 20, доставляемое жидкой частицей, появляется в ячейке также мгновенно в моменты времени t^U = t^U_d1, t ^p,i = t_d^p,₁ⁱ, i = 6, 7, 19, и t ^n,i = t_d^n,₁ⁱ, i = 1, ..., 4. Эволюция следующего неупорядоченного возмущения также протекает в соответствии с уравнениями сохранения (2.6) и (2.7). Уравнения (2.6) и (2.7) решаются на каждом из отрезков времени t^U_d1, t_d^p,₁ⁱ и t_d^n,₁ⁱ независимо от результата решения этого уравнения в предшествующий отрезок времени. Таким образом, при моделировании эволюции неупорядоченных возмущений плотности, скорости и давления необходимо принимать во внимание два характерных интервала времени – t_d1 и t_d2. Характерный интервал t_d1 задает промежуток времени между поочередным появлением двух неупорядоченных возмущений в каждой ячейке зоны закручивания в следе за сферой. Изменение неупорядоченных возмущений в зоне закручивания протекает в соответствии с уравнениями (2.6) и (2.7), диктующими характерный временной интервал t_d2.

Рисунки 1–3 дают представление об эволюции регулярных флуктуаций и неупорядоченных возмущений. Кривые на этих рисунках построены по результатам численного интегрирования уравнений (2.6) и (2.7). Регулярная кривая 1 на рис. 1 описывает поведение во времени коэффициента d ^C_i^r(0)(t), доминирующего в распределении скорости течения. Хаотические кривые 2 и 3 на рис. 1 описывают поведение во времени суммарного вклада регулярной флуктуации и неупорядоченного возмущения d ^C₂₀^rd(0)(t, x). Эти кривые соответствуют разным ячейкам следа за сферой, т.е. разным x. Неупорядоченные возмущения d ^C₂₀^rd(0)(t, x) разыгрываются случайным образом около своего среднего значения ±d ^C₂₀^d(0)(t,x) с разбросом равным d ^C₂₀^d(0). Расчет выполнен при Re = 400, L_h = 50a, d ^C^—₂₀^d(0) = 0.00001. Подробности расчета приведены в работах [1, 3]. Коэффициенту d ^C^—₂₀^d(0) = 0.00001 соответствует высокое значение коэффициента турбулентности  [12]. В момент ^t_in = 5.5 модуль регулярной флуктуация d ^C₂₀^r(0)(t) достигает величины коэффициента d ^C^—₂₀^d(0).

Рис. 1. Поведение во времени коэффициентов, характеризующих искажение распределения скорости течения при Re = 400, –KdU = 0.4%, t = (Re a/2U0)^t. Кривая 1 определяет зависимость от времени регулярного коэффициента d ^C20r (0). Кривые 2 и 3 определяют зависимость от времени коэффициента d ^C20rd(0) в двух произвольных точках зоны закручивания.

Регулярная кривая 1 на рис. 2 описывает поведение во времени коэффициента d ^C₇^r(0)(t), вносящего вклад в распределение давления. Хаотические кривые 2 и 3 на рис. 2 описывают поведение во времени суммарного вклада регулярной флуктуации и неупорядоченного возмущения d ^C₇^rd(0)(t, x). Эти кривые соответствуют разным ячейкам следа за сферой. Расчет выполнен при Re = 400, L_h = 50a, d ^C^—₂₀^d(0) = 0.001. Коэффициенту d ^C^—₂₀^d(0) = 0.001 соответствует высокое значение коэффициента пульсаций давления: K^—_d^p = = 0.002 = 0.2% [13].

Рис. 2. Поведение во времени коэффициентов, характеризующих искажение распределения давления при Re = 400, –Kdp = 0.2%, t = (Re a/2U0)^t. Кривая 1 определяет зависимость от времени регулярного коэффициента d ^C7r(0). 2 и 3 – зависимость от времени коэффициента d ^C7rd(0) в двух произвольных точках зоны закручивания.

Регулярная кривая 1 на рис. 3 описывает поведение во времени коэффициента d ^C₂^r(0)(t), вносящего вклад в распределение плотности числа частиц. Хаотические кривые 2 и 3 на рис. 3 описывают поведение во времени суммарного вклада регулярной флуктуации и неупорядоченного возмущения d ^C₂^rd(0)(t, x). Эти кривые соответствуют разным ячейкам следа за сферой. Расчет выполнен для Re = 400, L_h = 50a, d ^C^—₂^d(0) = 0.001. Коэффициенту d ^C^—₂^d(0) = 0.001 соответствует значение коэффициента пульсаций плотности K^—_dⁿ = 0.002 = 0.2%.

Рис. 3. Поведение во времени коэффициентов, характеризующих искажение распределения плотности числа частиц при Re = 400, –Kdn = 0.2%, t = (Re a/2U0)^t. Кривая 1 определяет зависимость от времени регулярного коэффициента d ^C2r(0) . Кривые 2 и 3 определяют зависимость от времени коэффициента d ^C2rd(0) в двух произвольных точках зоны закручивания.

Проведенные расчеты показали, что в соответствии с уравнением сохранения импульса (5) положительно определенные неупорядоченные возмущения d ^C₂^d(0)(t, x) > 0 нарастают, в то время как отрицательно определенные неупорядоченные возмущения d ^C₂^d(0)(t, x) < 0 затухают. На отрезке времени t_in ≤ t ≤ t_* характерное время изменения неупорядоченных возмущений t_d^U₂ сильно меняется. На большей части этого временного отрезка t_d^U₂ совпадает по порядку величины с t_h, t_d^U₂ ~ t_h. Тогда, попадая в некоторую ячейку зоны закручивания в следе за сферой, неупорядоченное возмущение d ^C^—₂₀^d(0)(t, x) (как положительно, так и отрицательно определенное) крайне слабо изменяется в течение времени t_d^U₁ << t_h. По истечении времени t_d^U₁ в ячейке появляется следующее неупорядоченное возмущение. В результате неупорядоченные возмущения накапливаются в зоне закручивания. В узкой области Dt_* (D^t_* ≈ 0,05) около точки обрыва t_* характерное время t_d^U₂ приблизительно равно характерному времени t_d^U₁, t_d^U₂ ≈ t_d^U₁. Тогда отрицательно определенные неупорядоченные возмущения d ^C₂₀^d(0)(t, x) < 0 успевают полностью затухнуть, в то время как положительно определенные неупорядоченные возмущения d ^C₂₀^d(0)(t, x) > 0 увеличиваются приблизительно в два раза.

Как положительно, так и отрицательно определенные коэффициенты d ^C₂₀^d(0)(t, x) появляются в каждой ячейке следа поочередно случайным образом. Однако неизбежная неравномерность возникновения неупорядоченных возмущений разного знака не позволяет им взаимно компенсировать друг друга. Появление положительно определенных неупорядоченных возмущений d ^C₂₀^d(0) > 0 значительно превалирует над появлением отрицательно определенных неупорядоченных возмущений d ^C₂₀^d(0) < 0 при розыгрыше, соответствующем кривой 2 на рис. 1. Наоборот, появление отрицательно определенных неупорядоченных возмущений d ^C₂₀^d(0) < 0 значительно превалирует над появлением положительно определенных неупорядоченных возмущений d ^C₂₀^d(0) > 0 при розыгрыше, соответствующем кривой 3 на рис. 1. Таким образом, расхождение кривых 2 и 3 между собой является прямым следствием неравномерности возникновения неупорядоченных возмущений разных знаков.

Проведенные расчеты продемонстрировали аналогичное поведение неупорядоченных возмущений коэффициентов C^—_i⁽⁰⁾, i = 1–4, 6, 7, 19. В случае увеличения регулярной флуктуации d ^C_i^r(0), i = 1, 2, 7, 19, после потери устойчивости положительно определенные неупорядоченные возмущения d ^C_i^d(0)(t, x) > 0 затухают, в то время как отрицательно определенные неупорядоченные возмущения d ^C_i⁽⁰⁾(t, x) < 0 нарастают. В случае уменьшения регулярной флуктуации d ^C_i^r(0), i = 3, 4, после потери устойчивости положительно определенные неупорядоченные возмущения d ^C_i^d(0)(t, x) > 0 нарастают, в то время как отрицательно определенные неупорядоченные возмущения d ^C_i^d(0)(t, x) < 0 затухают. На большей части отрезка времени t_in ≤ t ≤ t_* характерные времена изменения неупорядоченных возмущений t_d^p₂ и t_dⁿ₂ совпадают по порядку величины с t_h, t_d^p₂ ~ t_h и t_dⁿ₂ ~ t_h. Тогда в соответствии с уравнениями сохранения плотности и энергии (2.7) неупорядоченное возмущение d ^C_i^d(0)(t, x), i = 1–4, 6, 7, 19, крайне слабо изменяется в течение времени t_d^p₁ << t_h и t_dⁿ₁ << t_h. Неупорядоченные возмущения разных знаков появляются в зоне закручивания крайне неравномерно. Все это приводит к накоплению неупорядоченных возмущений (как положительно, так и отрицательно определенных) в зоне закручивания в следе за сферой (рис. 2).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Достижение критического значения числа Рейнольдса Re₀^* сопровождается качественным изменением поведения неупорядоченных возмущений, возникающих в набегающем на сферу потоке за счет внешнего воздействия. Поведение во времени и пространстве неупорядоченных возмущений “вынуждено” подстроиться под поведение во времени и в пространстве главных гидродинамических величин. После потери устойчивости в следе за сферой, наряду с затухающими неупорядоченными возмущениями, появляются нарастающие возмущения. Возникновение затухающих и нарастающих возмущений происходит хаотически и крайне неравномерно. Характерное время возникновения неупорядоченных возмущений в набегающем на сферу потоке, t_d1, значительно меньше характерного времени их изменения в следе за сферой: t_h, t_d1 << t_h. Поэтому в следе за сферой, как нарастающие, так и затухающие неупорядоченные возмущения не успевают значительно измениться за время t_d1, что приводит к накоплению возмущений.

Неупорядоченное возмущение плотности набегающего потока Dn₀^(d) интерпретируется в терминах неупорядоченного возмущения каждого из коэффициентов d ^C_i^d(0), i = 1, ..., 4,. В соответствии с уравнением непрерывности (2.7) неупорядоченные возмущения, задаваемые коэффициентами d ^C_i^d(0), i = 1, ..., 4, накапливаются в зоне закручивания (рис. 3 соответствует i = 2). Неупорядоченное возмущение давления набегающего потока Dp₀^(d) интерпретируются в терминах неупорядоченного возмущения каждого из коэффициентов d ^C_i^d(0), i = 5, 6, 7, 19. Однако в соответствии с уравнением энергии (2.7) только неупорядоченные возмущения, представленные коэффициентами d ^C_i^d(0), i = 6, 7, 19, подвержены накоплению в зоне закручивания (рис. 2 соответствует i = 7).

В случае Ma² << 1 пропорциональная коэффициенту ^C₁₄⁽⁰⁾ составляющая пренебрежимо мала по сравнению с составляющей, пропорциональной ^C₂₀⁽⁰⁾. Поэтому при интерпретации неупорядоченного возмущения скорости течения DU₀^(d) неупорядоченное возмущение коэффициента d ^C₁₄^d(0) учитывать не следует. Выполнение закона сохранения импульса (2.6) с i = 14 достигается за счет члена, пропорционального d ^C₁₄^s(0). В отличие от неупорядоченных возмущений спонтанные флуктуации существуют в каждой точке среды постоянно, независимо от внешнего воздействия. Однако они не накапливаются в следе за сферой по следующим причинам. Возникновение и затухание спонтанных флуктуаций регулируется единственным характерным временем – t_s2. Асимметрии возникновения нарастающих и затухающих спонтанных флуктуаций обеспечивает отсутствие нарастающих флуктуаций в следе за сферой [8].

Составляющая p^v полного давления выражается в терминах коэффициента ^C₂₀⁽⁰⁾(t) [6]. Таким образом, накопление неупорядоченных возмущений d ^C₂₀^d(0) искажает регулярное распределение давления p^v [2].

В главе 5 из работы [7] уравнения многомоментной гидродинамики строятся лишь на измеряемых главных гидродинамических величинах: плотности, скорости, температуре, тензоре напряжений и тепловом потоке. В этом приближении, в соответствии с уравнениями сохранения (1.3), накоплению подвержены только неупорядоченные возмущения d ^C_i^d(0), i = 1,..., 4, 6, 7, 19, 20. Неупорядоченные возмущения коэффициентов ^C_i⁽⁰⁾, i = 8, 9, 18, вносящих вклад в выражение для тензора напряжений, а также неупорядоченные возмущения коэффициентов ^C_i⁽⁰⁾, i = 10, ..., 13, 15, ..., 17, определяющих выражение для теплового потока [6], не накапливаются.

Автор благодарен ведущему научному сотруднику ФАУ ЦАГИ А. Ф. Киселёву за помощь, оказанную при численных расчетах.

About the authors

I. V. Lebed

Author for correspondence.
Email: lebed-ivl@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Time behavior of coefficients characterizing the distortion of the flow velocity distribution at Re = 400, –KdU = 0.4%, t = (Re a/2U0)^t. Curve 1 defines the time dependence of the regular coefficient d^C20r(0). Curves 2 and 3 define the time dependence of the coefficient d^C20rd(0) at two arbitrary points of the twisting zone.

Download (39KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Time behavior of coefficients characterizing the distortion of the pressure distribution at Re = 400, –Kdp = 0.2%, t = (Re a/2U0)^t. Curve 1 defines the time dependence of the regular coefficient d^C7r(0). 2 and 3 are the time dependence of the coefficient d^C7rd(0) at two arbitrary points of the twisting zone.

Download (47KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Time behavior of coefficients characterizing the distortion of the particle density distribution at Re = 400, –Kdn = 0.2%, t = (Re a/2U0)^t. Curve 1 defines the time dependence of the regular coefficient d^C2r(0) . Curves 2 and 3 determine the time dependence of the coefficient d^C2rd(0) at two arbitrary points of the twisting zone.

Download (39KB)

Indexing metadata