Влияние кривизны контактирующих тел на их упругое сближение при линейном контакте

全文:

Силовой контакт упругих тел начальным линейным касанием распространен в инженерных приложениях и имеет важное прикладное значение. На его основе рассчитываются жесткость и нагруженность зубчатых зацеплений, роликовых подшипников, кулачковых механизмов, мостовых катков и т. д. [1–12]. Анализ методов расчета контактной жесткости упругих тел на линейном контакте показывает, что необходимо более точно учитывать влияние кривизны контактирующих тел на параметры нагруженности, нежели принято в традиционных методиках [1, 2, 4], поэтому в настоящей статье рассматривается проблема влияния кривизны контактирующих поверхностей на жесткость контакта.

Сначала определим приведенный радиус кривизны R_пр контактирующих тел в зависимости от формы их поверхностей, а также полуширину полоски контакта b_H как функцию кривизны.

Рассматриваются три характерных случая сопряжений:

– контакт цилиндра радиуса R₁ с плоскостью R₂ = ∞; в этом случае приведенный радиус кривизны определяется $R_{пр}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}=R_1$, а полуширина b_H будет определяться [13] $b_H=2\sqrt{2q\theta R_{пр}}$, где $\theta =\frac{1-v^2}{\pi E}$; здесь Е, ν – модуль упругости и коэффициент Пуассона материалов соответственно; q – погонная нагрузка; тогда при ν = 0.3 величина полуширины будет $b_H=1.52\sqrt{\frac{q{R}_1}{E}}$;

– контакт двух цилиндров радиусов R₁ = R₂; здесь приведенный радиус кривизны определяется $R_{пр}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}=R_1/2$, а полуширина b_H будет определяться формулой $b_H=2\sqrt{q{R}_1\frac{1-v^2}{\pi E}}$ или при ν = 0.3 получаем $b_H=1.08\sqrt{\frac{q{R}_1}{E}}$;

– контакт двух цилиндров радиусов R₁ ≠ R₂; приведенный радиус кривизны определяется $R_{пр}=\frac{R_1{R}_2}{\left(R_1+R_2\right)}$, а полуширина, соответственно, при ν = 0.3 будет $b_H=1.52\sqrt{q{R}_{пр}/E}$.

Определим сближение центров цилиндров с радиусами R₁, R₂ (рис. 1) при сжатии погонной нагрузкой q. Сближение α будет складываться из составляющих: α₁ – половина контактной деформации первого цилиндра радиуса R₁; α₂ – половина контактной деформации второго цилиндра радиуса R₂, т. е. α = α₁ + α₂, где α₁ и α₂ определяются [14]:

Рис. 1. Контакт двух полуцилиндров

${\alpha }_1=\frac{1}{2}4\theta q\left[\ln \frac{4R_1}{b_H}-0.5\right]$, ${\alpha }_2=\frac{1}{2}4\theta q\left[\ln \frac{4R_2}{b_H}-0.5\right]$, при этом полуширина полоски контакта определяется (6) $b_H=1.52\sqrt{\frac{q{R}_{пр}}{E}}$; следовательно, полное сближение α будет определяться формулой: $\alpha =\frac{1}{2}4\theta q\left[\ln \frac{4R_1}{b_H}-0.5\right]+\frac{1}{2}4\theta q\left[\ln \frac{4R_2}{b_H}-0.5\right]$.

Отсюда с учетом приведенных выше зависимостей легко получить зависимость для полного сближения

$\alpha =1.16\frac{q}{E}\left(\ln 1.59\sqrt{\frac{E\left(R_1+R_2\right)}{q}}\right)$.

Получен любопытный результат: если сумма радиусов R_сум = R₁ + R₂ – константа, т. е. расстояние между цилиндрами (между центрами радиусов кривизны сопряжений) не меняется, при этом могут меняться радиусы кривизны самих цилиндров, то сближение (т. е., по сути, жесткость системы), остается постоянным.

Рассмотрим влияние радиуса кривизны на сближение в зубчатых передачах на примере из ГОСТ [15] и рассмотрим расчет в характерных точках – в полюсе зацепления и в точке входа зубьев в зацепление, а также оценим влияние изменения радиуса кривизны на жесткость зацепления. Параметры кинематической пары такой зубчатой передачи: делительный диаметр и количество зубьев шестерни d₁ = 166.7 мм и Ζ₁ = 32 соответственно; передаточное число передачи u = 2; модуль зацепления m = 5 мм; ширина зубчатого венца b_w = 60 мм; окружная сила в зацеплении P_t = 25635 Н; радиусы кривизны профиля зуба шестерни и колеса в полюсе зацепления R₁ = 29.5 мм, R₂ = 59.1 мм соответственно; радиусы кривизны профиля зуба шестерни и колеса в точке входа зуба в зацепление ρ₁ = 16.6 мм, ρ₂ = 72.0 мм соответственно. По этим данным получаем, что приведенный радиус кривизны в полюсе зацепления зубьев R_пр = R₁R₂/(R₁ + R₂) = 20.0 мм, а в точке входа зубьев в зацепление ρ_пр = ρ₁ρ₂/(ρ₁ + ρ₂) = 13.5 мм, т. е. в полюсе зацепления приведенный радиус кривизны больше на 48%, чем приведенный радиус кривизны профиля зуба в точке входа зубьев в зацепление. Однако в силу того, что сумма радиусов кривизны в рассматриваемых точках одинакова – R_сум = a_w sinα_w = ρ_сум = 88.6 мм, где a_w = (d₁ + d₂)/2 = d₁ (1 + u)/2 – межосевое расстояние, жесткость зацепления в этих точках не меняется.

То же самое нельзя сказать в случае контакта кулачок–тарелка в кулачковых механизмах, где меняется именно сумма радиусов кривизны сопряжений (рис. 2), т. е. в таких механизмах жесткость по мере вращения кулачка непостоянна.

Рис. 2. Силовой контакт в кулачковом механизме

Отметим, что во многих работах, например [12, 16], показано, что сближение за счет деформации в контактной области упругих тел на линейном контакте определяется формулой ${\alpha }_K=\frac{K_{\alpha }q}{E}$, где коэффициент К_α со ссылкой на работы [12, 16] равен 1.245 и 1.08, откуда следует, что жесткость контакта не зависит от радиуса кривизны сопряжений в контактной области. Однако, как показано выше, полная контактная жесткость сопряжений не зависит от суммы радиусов кривизны сопряженных поверхностей.

Рассмотрим в качестве примера еще одну задачу о влиянии кривизны сопряжений на линейном контакте – сжатие цилиндрических тел, поперечные сечения которых имеют произвольную форму (рис. 3), при воздействии на них нагрузкой с интенсивностью распределения по длине цилиндра, равной q.

Рис. 3. Контактное взаимодействие упругих тел при начальном касании по линии: (а) – R₁ < R₂; (б) – R₁ = R₂ = R

При такой схеме нагружения сближение точек приложения нагрузки для цилиндра (рис. 3а) будет определяться как сумма сближений: α_ц1 – полуцилиндра радиуса R₁; α_l – призматического тела размерами l × b_w × R и α_ц2 – полуцилиндра радиуса R₂, где b_w – длина цилиндра. Получаем:

$\alpha ={\alpha }_{ц1}+{\alpha }_l+{\alpha }_{ц2}$, (1)

где с учетом полученных выше соотношений ${\alpha }_{ц1}=\frac{1}{2}4\theta q\left[\ln \frac{4R_1}{b_{H1}}-0.5\right]$,

${\alpha }_1=\frac{q}{E}\left(\frac{l}{4R_1}+\frac{l}{4R_2}\right)$, ${\alpha }_{ц2}=\frac{1}{2}4\theta q\left[\ln \frac{4R_2}{b_{H2}}-0.5\right]$, $b_{H1}=2\sqrt{2\theta q{R}_{пр}}=1.08\sqrt{q{R}_1/E}$, $b_{H2}=1.08\sqrt{q{R}_2/E}$, следовательно, из (1) и последних зависимостей получим:

$\alpha =0.58\frac{q}{E}\left[\ln 10.1\frac{E\sqrt{R_1{R}_2}}{q}\right]+\frac{ql\left(R_1+R_2\right)}{4E{R}_1{R}_2}$. (2)

Для второго цилиндра (рис. 3б) сближение точек приложения нагрузки можно определить из формулы (2) как частный случай, подставив туда R₁ = R = R₂. Получим

$\alpha =0.58\frac{q}{E}\left[\ln 10.1\frac{ER}{q}\right]+\frac{ql}{2ER}$. (3)

Анализ полученных формул (2)–(3) показывает, что для таких цилиндрических тел (рис. 3), в отличие от круговых цилиндров, изменение радиуса кривизны влияет на их сближение, т. е. на жесткость сопряжений.

Вывод. Таким образом, в работе показано, что: 1) если расстояние между центрами двух круговых цилиндров – константа, то жесткость силового контакта не меняется при изменении радиусов кривизны цилиндров; 2) несмотря на то что приведенный радиус кривизны зубьев в полюсе зацепления больше, чем приведенный радиус кривизны профилей зубьев в точке входа их в зацепление, жесткость зацепления в этих точках не меняется, так как сумма радиусов кривизны в этих точках одинакова; 3) полученные формулы позволяют определить сближение цилиндрических тел произвольной формы при начальном касании по линии в зависимости от радиуса кривизны.

Финансирование. Данная работа финансировалась за счет средств бюджета Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН. Никаких дополнительных грантов на проведение или руководство данным конкретным исследованием получено не было.

Конфликт интересов. Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

作者简介

Ф. Нахатакян

编辑信件的主要联系方式.
Email: filnahat7@mail.ru
俄罗斯联邦, Москва

Д. Нахатакян

Email: filnahat7@mail.ru
俄罗斯联邦, Москва

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. Contact of two half cylinders

下载 (51KB)

索引源数据

3. Fig. 2. Force contact in the cam mechanism

下载 (20KB)

索引源数据

4. Fig. 3. Contact interaction of elastic bodies at initial touching along the line: (a) - R1 < R2; (b) - R1 = R2 = R

下载 (81KB)

索引源数据