Theoretical and experimental study of diffraction by a thin cone

Рассматривается стационарная задача рассеяния звуковой волны, излученной монопольным точечным источником, на круговом конусе (зависимость от времени представляется в виде e^-iωt, далее в работе она опускается). Геометрия задачи представлена на рис. 1.

Рис. 1. Геометрия задачи

Вне поверхности конуса для звукового давления $\tilde{u}$ выполняется уравнение Гельмгольца:

 $\Delta \tilde{u}+k^2\tilde{u}=\delta (r-r_s),$

где r — координатный вектор точки наблюдения, r_s — координатный вектор источника, ∆ — оператор Лапласа.

Предполагается, что конус является узким (т.е. угол раствора конуса 2arctg(α) ≪ 1), а длина волны, излученной источником, много меньше расстояния от вершины конуса до источника. Предполагается также, что источник находится под малым углом к оси конуса. Эти условия позволяют использовать метод параболического уравнения. Введем цилиндрические координаты (x, r, φ) с началом координат в вершине конуса и координатой x, направленной вдоль оси конуса. Поле $\tilde{u}$ представляется в виде $\tilde{u}(x,r,\phi )=\exp (ikx)u(x,r,\phi )$ (далее экспоненциальный множитель опускается). После подстановки данного выражения в уравнение Гельмгольца и выделения главных членов, получаем параболическое уравнение теории дифракции (ПУТД) в цилиндрических координатах:

$\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{1}{2ik}{\Delta }_{\perp }\right)u=\frac{1}{2\pi r}\delta (r-r_s)\delta (\phi )\delta (x-x_s)$,

где ${\Delta }_{\perp }=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$. Предполагается, что jφ_s = 0.

Представим полное поле u в виде суммы падающего и рассеянного поля:

u = uⁱⁿ + u^sc.

Поскольку рассматривается задача с точечным источником, падающее поле uⁱⁿ совпадает с функцией Грина параболического уравнения:

$u^{\text{in}}(x,r,\phi )=\frac{k}{2\pi i(x-x_s)}\exp \left(\frac{ik}{2}\frac{r^2+r_s^2-2r{r}_s\cos \phi }{x-x_s}\right)$.

В задаче рассматривается акустически жесткий конус, т.е. на поверхности конуса выполняется граничное условие Неймана в параболическом приближении (переход от нормальной производной к данному приближению подробно обсуждается в [9]):

$N[u](x,\alpha x,\phi )=0$, $N\equiv \frac{\partial }{\partial r}-ik\alpha .$

Введем обозначения для падающего и рассеянного поля на поверхности конуса $U^{\text{in}}(x,\phi )\equiv u^{\text{in}}(x,\alpha x,\phi )$, $U^{\text{sc}}(x,\phi )\equiv u^{\text{sc}}(x,\alpha x,\phi )$. Применяя теорему Грина для параболического уравнения [9], получаем граничное интегральное уравнение Вольтерры для полного поля U = U ⁱⁿ + U ^sc на поверхности конуса:

${\text{U(x}}_{*}\text{,}{\phi }_{*}\text{) =}{\displaystyle \underset{0}{\int }K\left(x_{*},{\phi }_{*},x,\phi \right)}U\left(x,\phi \right)dxd\phi +2U^{in}\left(x_{*},{\phi }_{*}\right)$                                                      (1) 

Явная форма ядра интегрального уравнения дается следующим выражением:

$K(x_{*},{\phi }_{*},x,\phi )=\frac{i{\alpha }^{2}kx{x}_{*}}{2\pi {(x_{*}-x)}^2}\left[1-\cos (\phi -{\phi }_{*})\right]\exp \left\{\frac{i{\alpha }^{2}k}{2}\frac{x_{*}^2+x^2-2x{x}_{*}\cos (\phi -{\phi }_{*})}{x_{*}-x}\right\}$×

× $K(x_{*},{\phi }_{*},x,\phi )=\frac{i{\alpha }^{2}kx{x}_{*}}{2\pi {(x_{*}-x)}^2}\left[1-\cos (\phi -{\phi }_{*})\right]\exp \left\{\frac{i{\alpha }^{2}k}{2}\frac{x_{*}^2+x^2-2x{x}_{*}\cos (\phi -{\phi }_{*})}{x_{*}-x}\right\}$.                   (2)

Представим падающее поле на поверхности конуса в виде ряда Фурье по угловой координате:

$U^{\text{in}}(x,\phi )={\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }{U}_n^{\text{in}}(x)e^{in\phi }}$, $U_n^{\text{in}}(x)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{U}^{\text{in}}(x,\phi )e^{-in\phi }d\phi }$.

Интегралы легко вычисляются:

$U_n^{\text{in}}(x)={(-i)}^n\frac{k}{2\pi i(x-x_s)}\exp \left(\frac{i{\alpha }^{2}k{x}^2}{2(x-x_s)}\right)\exp \left(\frac{ik{r}_s^2}{2(x-x_s)}\right)J_n\left(\frac{\alpha kx{r}_s}{x-x_s}\right)$.

Полное поле на поверхности конуса также представляется в виде ряда Фурье по угловой координате:

$U(x,\phi )={\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }{U}_n(x)e^{in\phi }}$, $U_n(x)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}U(x,\phi )e^{-in\phi }d\phi }$.

Коэффициенты U_n(x) являются решением следующих интегральных уравнений [9], которые получаются как Фурье-преобразование уравнения (1):

 $U_n(x_{*})={\displaystyle \underset{0}{\overset{x_{*}}{\int }}{K}_n(x_{*},x)U_n(x)dx}+2U_n^{\text{in}}(x_{*})$.                                                                                 (3)

Из (2) получим явное выражение для ядра $K_n(x_{*},x)$:

$\begin{array}{l}{K}_n(x_{*},x)=-\frac{{(-i)}^{n+1}{\alpha }^{2}kx{x}_{*}}{{(x_{*}-x)}^2}\exp \left\{\frac{i{\alpha }^{2}k}{2}\frac{x_{*}^2+x^2}{x_{*}-x}\right\}\times \\ \times \left[J_n\left(\frac{{\alpha }^{2}kx{x}_{*}}{x_{*}-x}\right)-\frac{i}{2}\left(J_{n-1}\left(\frac{{\alpha }^{2}kx{x}_{*}}{x_{*}-x}\right)-J_{n+1}\left(\frac{{\alpha }^{2}kx{x}_{*}}{x_{*}-x}\right)\right)\right].\end{array}$

Уравнение (3) можно преобразовать в интегральное уравнение типа Вольтерры с разностным ядром. Для этого введем новую переменную ξx= 1/x, а также новую неизвестную функцию:

$V_n(\xi )=\frac{k}{\xi }\exp \left\{-\frac{i{\alpha }^{2}k}{2\xi }\right\}{U}_n\left(\frac{1}{\xi }\right).$

Ядро уравнения (3) $K_n(x_{*},x)$ можно представить в следующем виде:

$K_n(x_{*},x)={\xi }^2\exp \left\{-\frac{i{\alpha }^{2}k}{2\xi }+\frac{i{\alpha }^{2}k}{2{\xi }_{*}}\right\}{G}_n(\xi -{\xi }_{*}),$ ${\xi }_{*}=1/x,$ 

$G_n(\xi )=-\frac{{(-i)}^{n+1}{\alpha }^{2}k}{{\xi }^2}\exp \left\{\frac{i{\alpha }^{2}k}{\xi }\right\}\left[J_n\left(\frac{{\alpha }^{2}k}{\xi }\right)-\frac{i}{2}\left(J_{n-1}\left(\frac{{\alpha }^{2}k}{\xi }\right)-J_{n+1}\left(\frac{{\alpha }^{2}k}{\xi }\right)\right)\right].$×

× $G_n(\xi )=-\frac{{(-i)}^{n+1}{\alpha }^{2}k}{{\xi }^2}\exp \left\{\frac{i{\alpha }^{2}k}{\xi }\right\}\left[J_n\left(\frac{{\alpha }^{2}k}{\xi }\right)-\frac{i}{2}\left(J_{n-1}\left(\frac{{\alpha }^{2}k}{\xi }\right)-J_{n+1}\left(\frac{{\alpha }^{2}k}{\xi }\right)\right)\right].$

Уравнение (3) приводится к следующему интегральному уравнению для V_n(ξ):

$V_n({\xi }_{*})={\displaystyle \underset{{\tau }_{*}}{\overset{\infty }{\int }}{G}_n(\xi -{\xi }_{*})V_n(\xi )d\xi +2{\zeta }_n({\xi }_{*})},$                                                                                    (4)

$\begin{array}{l}{\zeta }_n\left(\xi \right)\equiv \frac{k}{\xi }\exp \left\{-\frac{i{\alpha }^{2}k}{2\xi }\right\} U_n^{\text{in}}\left(\frac{1}{\xi }\right)={\left(-i\right)}^n\frac{i{k}^2{\xi }_s}{2\pi (\xi -{\xi }_s)}\text{exp }\left\{-\frac{ik{r}_s^2{\xi }_s}{2}\right\}\times \\ \times \exp \left\{-\frac{i{\alpha }^{2}k}{2(\xi -{\xi }_s)}\right\} \exp \left\{-\frac{ik{r}_s^2{\xi }_s^2}{2(\xi -{\xi }_s)}\right\} J_n \left(\frac{\alpha k{r}_s{\xi }_s}{\xi -{\xi }_s}\right),\end{array}$

где ξ_s = 1 / x_s.

Так как уравнение (4) является интегральным уравнением Вольтерры с разностным ядром, его можно решить методом преобразования Фурье. Введем прямое и обратное преобразование Фурье произвольной функции p(ξ) по переменной ξ:

$\tilde{p}(\lambda )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}p(\xi )}\exp (-i\lambda \xi )d\xi ,$ $p(\xi )=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\tilde{p}(\lambda )\exp (i\lambda \xi )d\lambda }.$

Уравнение (3) в пространстве Фурье выглядит следующим образом:

${\tilde{V}}_n(\lambda )={\tilde{G}}_n(\lambda ){\tilde{V}}_n(\lambda )+2{\tilde{\zeta }}_n(\lambda ),$                                                                                                                 (5)

где

${\tilde{G}}_n(\lambda )={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{G}_n(\xi )\exp (i\lambda \xi )d\xi },$

а V_n(λ) и ζ_n(λ) − соответственно Фурье-образы функций V_n(ξ) и ζ_n(ξ).

Найдем функцию ${\tilde{\zeta }}_n(\lambda )$:

$\begin{array}{l}{\tilde{\zeta }}_n\left(\lambda \right)={\left(-i\right)}^n i{k}^2{\xi }_s\exp \left\{-\frac{ik{r}_s^2{\xi }_s}{2}-i\lambda {\xi }_s\right\}\times \\ \times \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1}{2\pi \xi }\exp \left\{-\frac{i{\alpha }^{2}k}{2\xi }-\frac{ik{r}_s^2{\xi }_s^2}{2\xi }-i\lambda \xi \right\}{J}_n\left(\frac{\alpha k{r}_s{\xi }_s}{\xi }\right)d\xi .\end{array}$

Пользуясь соотношением [23]

$J_n\left(\frac{ab}{2c}\right)\exp \left\{-\frac{i(a^2+b^2)}{4c}\right\}=2i^{n-1}c{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{J}_n(a\nu )J_n(b\nu )}\exp (ic{\nu }^2)\nu d\nu$

можно получить:

${\tilde{\zeta }}_n(\lambda )=\left\{\begin{array}{c}{k}^2{\xi }_s\exp \left\{-\frac{ik{r}_s^2{\xi }_s}{2}-i\lambda {\xi }_s\right\}{J}_n\left(\sqrt{2k{\alpha }^2\lambda }\right)J_n\left(\sqrt{2k{r}_s^2{\xi }_s^2\lambda }\right),\lambda >0\\ \mathrm{0,}\lambda <0\end{array}\right.$

Теперь вычислим функцию ${\tilde{G}}_n(\lambda )$. Для этого вернемся от переменной ξ к переменной x и введем параметр β = kα²:

 ${\tilde{G}}_n(\lambda )=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{(-i)}^{n+1}\beta \exp \left(i\beta x+\frac{i\lambda }{x}\right)}\left[J_n(\beta x)-\frac{i}{2}\left(J_{n-1}(\beta x)-J_{n+1}(\beta x)\right)\right]dx$.

Представим интеграл в следующем виде:

${\tilde{G}}_n(\lambda )={(-i)}^n\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{x}\exp \left(i\beta x+\frac{i\lambda }{x}\right)J_n(\beta x)dx}\right)$.

Далее, пользуясь табличным интегралом [23]

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{x}\exp \left(-\beta x-\frac{\alpha }{x}\right)J_n\left(\gamma x\right)dx=\pi i^{n+1}{J}_n\left(\sqrt{2\alpha }{\left[\sqrt{{\beta }^2+{\gamma }^2}-\beta \right]}^{1/2}\right)H_n^{\left(1\right)}\left(i\sqrt{2\alpha }{\left[\sqrt{{\beta }^2+{\gamma }^2}+\beta \right]}^{1/2}\right)$

и выражением для вронскиана уравнения Бесселя

 $J_n(x){\dot{H}}_n^{(1)}(x)-{\dot{J}}_n(x)H_n^{(1)}(x)=\frac{2i}{\pi x},$                                                                                                    (6)

получим выражение для ${\tilde{G}}_n(\lambda )$:

${\tilde{G}}_n(\lambda )=1+J_n\left(\sqrt{2k{\alpha }^2\lambda }\right){\dot{H}}_n^{(1)}\left(\sqrt{2k{\alpha }^2\lambda }\right)i\pi \sqrt{2k{\alpha }^2\lambda }.$

Наконец, выражая ${\tilde{V}}_n(\lambda )$ из формулы (5)

 ${\tilde{V}}_n(\lambda )=\left\{\begin{array}{c}-\frac{k^2{\xi }_s\exp \left(-\frac{ik{r}_s^2{\xi }_s}{2}-i\lambda {\xi }_s\right)J_n\left(\sqrt{2k{r}_s^2{\xi }_s^2\lambda }\right)}{i\pi \sqrt{2k{\alpha }^2\lambda }{\dot{H}}_n^{(1)}\left(\sqrt{2k{\alpha }^2\lambda }\right)},\lambda >0\\ \mathrm{0,}\lambda <0\end{array}\right.$ 

и снова пользуясь соотношением (6), вычисляем обратное преобразование Фурье и получаем выражение для функции U(ξ). Введем безразмерный параметр y = α²kx, характеризующий зависимость поля от аксиальной координаты точки наблюдения x, и будем далее его называть аксиальным параметром. Введем также безразмерные параметры y_s = α²kx_s и z_s = αkr_s, характеризующие положение источника относительно конуса. Тогда получаем следующие выражения для n-й моды падающего и рассеянного поля на поверхности конуса:

$U_n^{\text{in}}\left(y\right)={(-i)}^n\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi i(y-y_s)}\exp \left(\frac{i(y^2+z_s^2)}{2(y-y_s)}\right)J_n\left(\frac{y{z}_s}{y-y_s}\right)$,                                                                                  (7)

$\begin{array}{l}{U}_n^{\text{sc}}\left(y\right)=-\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi y{y}_s}\exp \left(-\frac{i{z}_s^2}{2y_s}\right)\exp \left(\frac{iy}{2}\right)\times \\ \times {\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{\dot{J}}_n\left(\kappa \right)}{{\dot{H}}_n^{(1)}\left(\kappa \right)}{H}_n^{(1)}\left(\kappa \right)}{J}_n\left(\kappa \frac{z_s}{y_s}\right)\exp \left(\frac{i{\kappa }^2}{2y}\right)\exp \left(-\frac{i{\kappa }^2}{2y_s}\right)\kappa d\kappa .\end{array}$                                                                 (8)

Рассмотрим частный случай, когда источник расположен на оси конуса (r_s = 0). Тогда будет возбуждаться только нулевая мода U₀(y), и выражения для падающего и рассеянного поля на поверхности конуса существенно упрощаются:

 $\begin{array}{cc}{U}_0^{\text{in}}\left(y\right)=\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi i(y-y_s)}\exp \left(\frac{i{y}^2}{2(y-y_s)}\right),& \begin{array}{cc}{U}_n^{in}(y)=\mathrm{0,}& n=\mathrm{1,2,...}\end{array}\end{array}$                                                         (9)

 $\begin{array}{c}{U}_0^{\text{sc}}\left(y\right)=-\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi y{y}_s}\exp \left(\frac{iy}{2}\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{\dot{J}}_0\left(\kappa \right)}{{\dot{H}}_0^{(1)}\left(\kappa \right)}{H}_0^{(1)}\left(\kappa \right)}\exp \left(\frac{i{\kappa }^2}{2y}\right)\exp \left(-\frac{i{\kappa }^2}{2y_s}\right)\kappa d\kappa ,\\ \begin{array}{cc}{U}_n^{\text{sc}}(y)=\mathrm{0,}& n=\mathrm{1,2,....}\end{array}\end{array}$                                      (10)

Аналогичным образом вблизи поверхности конуса падающее и полное поле можно представить в виде ряда Фурье по угловой координате:

$u(x,r,\phi )={\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }{u}_n(x,r)e^{in\phi }}$, $u_n(x,r)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}u(x,r,\phi )e^{-in\phi }d\phi }$.

Таким же образом получаем итоговое выражение для n-й моды падающего и рассеянного поля во всем пространстве (помимо аксиального параметра y вводится безразмерный параметр z = αk(r $–$ αx), характеризующий зависимость поля от радиальной координаты точки наблюдения r; далее параметр z будем называть радиальным параметром):

$u_n^{\text{in}}\left(y,z\right)={(-i)}^n\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi i(y-y_s)}\exp \left(\frac{i({(y+z)}^2+z_s^2)}{2(y-y_s)}\right)J_n\left(\frac{(y+z)z_s}{y-y_s}\right)$,

$\begin{array}{l}{u}_n^{\text{sc}}\left(y,z\right)=-\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi y{y}_s}\exp \left(-\frac{i{z}_s^2}{2y_s}\right)\exp \left(\frac{iy}{2}{\left(1+\frac{z}{y}\right)}^2\right)\times \\ \times {\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{\dot{J}}_n\left(\kappa \right)}{{\dot{H}}_n^{(1)}\left(\kappa \right)}{H}_n^{(1)}\left(\kappa \left(1+\frac{z}{y}\right)\right)}{J}_n\left(\kappa \frac{z_s}{y_s}\right)\exp \left(\frac{i{\kappa }^2}{2y}\right)\exp \left(-\frac{i{\kappa }^2}{2y_s}\right)\kappa d\kappa .\end{array}$                                         (11)

Выражение (11) представляет собой решение задачи, и в настоящей работе строится впервые.

В случае, когда источник расположен на оси конуса (r_s = 0), выражения для падающего и рассеянного поля имеют вид:

 $\begin{array}{cc}{u}_0^{\text{in}}\left(y,z\right)=\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi i(y-y_s)}\exp \left(\frac{i{(y+z)}^2}{2(y-y_s)}\right),& \begin{array}{cc}{u}_n^{in}(y,z)=\mathrm{0,}& n=\mathrm{1,2,...}\end{array}\end{array}$                                      (12)   

$\begin{array}{c}{u}_0^{\text{sc}}(y,z)=-\frac{{\alpha }^2{k}^2}{2\pi y{y}_s}\exp \left(\frac{iy}{2}{\left(1+\frac{z}{y}\right)}^2\right)\times \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{\dot{J}}_0\left(\kappa \right)}{{\dot{H}}_0^{\left(1\right)}\left(\kappa \right)}{H}_0^{\left(1\right)}\left(\kappa \left(1+\frac{z}{y}\right)\right)\exp \left(\frac{i{\kappa }^2}{2y}\right)\exp \left(-\frac{i{\kappa }^2}{2y_s}\right)\kappa d\kappa ,\\ \begin{array}{cc}{u}_n^{sc}(y,z)=\mathrm{0,}& n=\mathrm{1,2,....}\end{array}\end{array}$        (13)

При устремлении x_s к бесконечности c соответствующим масштабированием амплитуды и фазы источника, (10) и (13) переходят в решения (47) и (48) из [9] для случая падающей плоской волны.

МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЯ

При экспериментальном исследовании дифракции ультразвуковых волн возникает ряд трудностей. При использовании протяженных сигналов необходимо, чтобы помещение, где проводится эксперимент, было достаточно большим по объему, чтобы отраженные сигналы не успевали приходить к приемнику, иначе в принимаемом сигнале будут присутствовать многочисленные переотражения. Использование же импульсных сигналов вносит ограничение в разрешающую способность системы, к тому же реализовать, например, дельта-импульс весьма проблематично. Эту проблему решают корреляционные методы, одним из которых является метод последовательности максимальной длины (M-последовательности), его подробное изложение дается, например, в [24]. Данный метод заключается в том, что в качестве зондирующего сигнала используется псевдослучайная последовательность M_k, представляющая собой последовательность из +1 и -1. Более подробно про генерацию M - последовательности можно посмотреть в [25]. Одним из важнейших свойств M - последовательности является то, что ее автокорреляционная функция близка к единичному дельта-импульсу. Из этого следует, что импульсный отклик системы может быть с хорошей точностью измерен путем вычисления взаимной корреляции сигнала, отправляемого на излучатель, с сигналом, измеряемым на приемнике.

Данный метод хорошо работает, когда в качестве источника используется широкополосный излучатель. Однако, в рамках настоящей работы проводится исследование дифракции ультразвуковых волн. Как известно, в ультразвуковом диапазоне эффективные излучатели звука являются резонансными, т.е. имеющими узкую частотную полосу. В таком случае использование в качестве посылки широкополосного сигнала не является оптимальным решением, и возникает необходимость модифицировать метод M -последовательности, чтобы расширить его применимость на случай узкополосных излучателей. Опишем данную методику. Блок-схема метода приведена на рис. 2.

Рис. 2. Блок-схема эксперимента.

На генераторе сигналов помимо M -последовательности генерируется несущий синусоидальный сигнал s(t) = cos(ɷ₀t), ɷ₀ = 2πf₀, где частота f₀ соответствует резонансной частоте излучателя. Тактовая частота M -последовательности должна быть много меньше частоты несущего сигнала. Эти сигналы перемножаются, т.е. проводится фазовая манипуляция сигнала s(t) M -последовательностью. Фазоманипулированный сигнал cos(ɷ₀t + m(t)π), m(t) = 0, 1 подается на излучатель. На приемнике измеряется дифрагированное поле R(t). Сигнал с приемника усиливается, деманипулируется и коррелируется с исходной M -последовательностью. В результате восстанавливается произведение импульсного отклика в системе H(t) в исследуемой частотной полосе и фазового множителя exp(iɷ₀t). На импульсный отклик накладывается временное окно, соответствующее времени прихода полезных сигналов. Наконец, с помощью преобразования Фурье вычисляется компонента частотного отклика, соответствующая резонансной частоте излучателя. Данная компонента и является результатом измерений.

Покажем, что описанная выше процедура в действительности ведет к измерению импульсного отклика в заданной частотной полосе. Для простоты будем рассматривать непрерывные функции. В частности, предположим, что имеется непрерывный аналог M -последовательности M(t), c автокорреляционной функцией, близкой к дельта-функции:

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}M(\tau )M(\tau -t)}d\tau \approx \delta (t).$                                                                                                            (14)

Также для простоты будем рассматривать не действительные, а аналитические сигналы, в том числе заменим функцию s(t) = cos(ɷ₀t) на s(t) = exp(-iɷ₀t).

Как известно, сигнал на выходе линейной системы представляет собой свертку входного сигнала и импульсного отклика. Поэтому поле на приемнике R(t) можно записать в следующем виде:

$R(t)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}M(\tau )\exp (-i{\omega }_0\tau )H(t-\tau )d\tau }.$                                                                                        (15)

Домножим правую и левую часть (15) на exp(iɷ₀t), т.е. проведем деманипуляцию сигнала R(t):

$\exp (i{\omega }_{0}t)R(t)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}M(\tau )\exp (i{\omega }_0(t-\tau ))H(t-\tau )d\tau }.$

Вычислим корреляционную функцию правой и левой части с M(t). Учитывая (14), получим:

$C(t)\equiv {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\exp (i{\omega }_0\tau )R(\tau )M(\tau -t)}d\tau \approx \exp (i{\omega }_{0}t)H(t).$

Введем прямое и обратное преобразование Фурье во времени для произвольной функции f(t):

$\overline{f}(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(t)}\exp (i\omega t)dt,$ $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\overline{f}(\omega )\exp (-i\omega t)d\omega }.$

Тогда, переходя в Фурье-область и пользуясь теоремой о сдвиге по частоте, получим:

$\overline{C}(\omega )\approx \overline{H}(\omega +{\omega }_0).$

Таким образом, спектр взаимно-корреляционной функции деманипулированного сигнала приблизительно равен частотному отклику системы, сдвинутому на ${\omega }_0$. В частности, нулевая компонента спектра коррелированного сигнала соответствует частотному отклику на резонансной частоте излучателя.

На практике для корректной работы алгоритма сигналы необходимо преобразовать к аналитическому представлению с помощью преобразования Гильберта. Например, принятый действительный сигнал R(t) преобразуется в аналитический $\widehat{R}\left(t\right)=R\left(t\right)-i{R}_{\perp }\left(t\right)$, где

$R_{\perp }(t)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{R(\tau )}{t-\tau }d\tau }.$

Интеграл понимается в смысле главного значения.

В данном эксперименте в качестве источника звука использовался пьезоэлектрический излучатель с резонансной частотой 40 кГц, а в качестве приемника — 1/8-дюймовый микрофон Brüel & Kjær. В качестве АЦП и ЦАП использовался осциллограф.

ИЗМЕРЕНИЯ В СВОБОДНОМ ПОЛЕ

В свободном поле давление, создаваемое монопольным точечным источником на расстоянии r в момент времени t, описывается следующей формулой:

  $p(r,t)=\frac{{\rho }_0}{4\pi r}W\left(t-\frac{r}{c}\right),$                                                                                                    (16)

где W — производная объемной скорости источника по времени. Для проверки монопольности используемого пьезоэлектрического излучателя и нахождения величины W проводился эксперимент в свободном поле по вышеописанной методике на различных расстояниях. Измерения проводились на расстояниях от 10 до 80 см. Результаты представлены на рис. 3.

Рис. 3. Результаты эксперимента в свободном поле. Линия 1 – зависимость, выраженная формулой (16), 2 – измеренные значения поля.

ИЗМЕРЕНИЯ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

С помощью вышеописанной методики было измерено полное поле на поверхности тонкого жесткого конуса U₀(y) в случае аксиального расположения источника, вычисляемое с помощью формул (9)–(10). Для данного эксперимента был изготовлен конус из дюралюминия длиной 30 см и углом раствора 2arctg(α) = 26.2° (см. рис. 4).

Рис. 4. Фотография экспериментального стенда

Так как акустический импеданс дюралюминия много больше акустического импеданса воздуха, на поверхности конуса с хорошей точностью выполняются граничные условия Неймана, а длина конуса и его угол раствора были подобраны таким образом, чтобы была возможность измерить зависимость полного поля U₀(y) вплоть до y = α²kx ≈ 10, и чтобы при этом конус можно было считать тонким.

Перед основным экспериментом был измерен импульсный отклик в свободном поле на расстоянии 51.5 см. Измерения поля проводились в двух противоположно расположенных точках на нескольких различных сечениях r = αx.

Рис. 5. Сравнение результатов измерений поля на поверхности конуса с теоретической зависимостью полного поля от аксиального параметра y. 1 – расчет по формулам (9)–(10), 2 – результаты эксперимента.

На рис. 5 представлена зависимость . Различия между теоретическим и экспериментальным значениями составляют не более 10% (см. рис. 5).

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ НЕАКСИАЛЬНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ ИСТОЧНИКА НА ИЗМЕРЕНИЯ

Следует еще раз отметить, что при проведении эксперимента необходимо выставить источник на оси конуса. Однако, поскольку точность позиционирования источника по объективным причинам является ограниченной, у измерений может возникнуть ошибка, связанная с этим фактором. Оценим влияние неаксиальности положения источника на измерения поля на поверхности конуса. Точность позиционирования источника предполагается равной 2 см, что при расстоянии между вершиной конуса и источником 51.5 см соответствует его отклонению от оси конуса на угол 2.2°. Анализ зависимости формул (7)–(8) от параметра zs показывает, что в таком случае поле в пределах точности эксперимента может быть аппроксимировано следующей формулой:

U(y,φ) ≈ U₀(y) + 2U₁(y)cosφ + 2U₂(y)cos 2φ,

где U_n(y) даются формулами (7)–(8). Подберем такие значения z_s и φ, при которых квадратическая ошибка аппроксимации теоретической кривой экспериментальными значениями, представленными в предыдущем разделе, будет минимальной:

${\displaystyle \sum _{i=1}^N{\left(U_i^{\exp }-U(y_i,\phi )\right)}^2}\to \min$.

Рис. 6. Учет неаксиального положения источника (z_s = 2.9, φ₁ = 110° и φ₂ = 260°) при построении теоретической кривой (1 − экспериментальные результаты, 2 - теоретическая кривая без учета эффекта, 3 - теоретическая кривая с учетом эффекта); бралось усредненное значение для двух азимутов.