Waves in heavy stratified gas: splitting into acoustic and gravity waves subproblems

1. Введение

 Исследование гидродинамических уравнений, описывающих распространение волн в стратифицированной среде, является важным направлением как современной математики, так и геофизики. Понятие стратифицированнной среды подразумевает, что коэффициенты уравнений зависят только от одной из координат, при этом коэффициенты могут варьироваться в широких пределах. Волновые возмущения всегда присутствуют в океане и атмосфере. В данной работе обсуждаются уравнения гидродинамики, описывающие атмосферные процессы. Модельные и аналитические исследования вертикального распространение таких волн в различных средах, например как в работах [1, 2], необходимы для развития новых представлений и углубленного понимания физических процессов.

Частный случай стратификации, когда плотность ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ атмосферного газа убывает с высотой $z$ строго экспонециально, ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\frac{z}{H}}$, $H\mathrm{<mo>=</mo>}const$, называется изотермической атмосферой. В то время как все остальные стратификации объединяют общим термином “неизотермическая атмосфера”. Реальная атмосфера Земли существенно неизотермическая, плотность зависит от высоты $z$ по закону ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{-{\displaystyle {\int }_0^z}\frac{dz}{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}$ и функция $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ изменяется с высотой на порядок. Стратификация плотности газа в атмосфере изменчива и зависит от широты, гелиогеофизических условий, сезона.

В случае изотермической атмосферы коэффициенты уравнений имеют простой вид, и уравнения решаются аналитически. Это позволяет получить из уравнений дисперсионное соотношение [3, 4], которое показывает, что cуществуют две волновые ветви решений. Частные решения линеаризованных гидродинамических уравнений, соответствующие одной ветви дисперсионного соотношения, называются акустическими волнами (АВ), для частот ${\omega }_A$ волн этой ветви справедливо соотношение

${\Omega }_A\le \mathrm{<mo>|</mo>}{\omega }_A\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}\infty \mathrm{,}$ (1)

где предельная граничная частота ${\Omega }_A$ называется частотой акустической отсечки. Частные решения, соответствующие другой ветви дисперсионного соотношения, называются внутренними гравитационными волнами (ВГВ), для частот ${\omega }_G$ волн этой ветви справедливо соотношение

 $\mathrm{0<mo><</mo><mo>|</mo>}{\omega }_G\mathrm{<mo>|</mo>}\le {\Omega }_B\mathrm{,}$ (2)

где ${\Omega }_B$ называется частотой Вяйсяля-Брендта. Справедливо ${\Omega }_B\mathrm{<mo><</mo>}{\Omega }_A$, т.е. между граничными частотами имеется окно. Значения ${\Omega }_B$, ${\Omega }_A$ определяются значением $H$, также адиабатической постоянной газа и ускорением свободного падения.

Описанные выше понятия АВ и ВГВ применяют в геофизической литературе и к волнам в неизотермической атмосфере, но на физическом уровне строгости, ибо в общем случае написать дисерсионное уравнение не удается. Обычно это делается следующим образом. В окрестности высоты $z$ неизотермическая стратификация локально аппроксимируется изотермической, и по значению $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вычисляются локальные значения ${\Omega }_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\Omega }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Далее применяются неравенства (1), (2), в которых, однако, используются локальные значения ${\Omega }_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\Omega }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В случае изотермической стратификации за полосами частот (1), (2) стоят частные решения линеаризованнных гидродинамических уравнений, учитывающие физические особенности волн каждого типа. Недостаток локального применения неравеств (1), (2) в случае неизотермической стратификации атмосферы состоит в том, что одно и то же частное решение гидродинамических уравнений может попасть в класс АВ на одних высотах и в класс ВГВ на других высотах.

В [6] изучен спектр эволюционного оператора задачи о распространении волн в атмосфере с неизотермической стратификацией, в которой функция $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ достигает максимума на бесконечности. Показано, что спектр частот волн $\omega$ непрерывный, вещественный. Как и в случае изотермической стратификации, спектр частот волн состоит из двух неперекрывающихся полос ${\Omega }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge \left|{\omega }_1\right|\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ и $\mathrm{0<mo><</mo>}\left|{\omega }_2\right|\le {\Omega }_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; и ${\Omega }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}{\Omega }_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Численные значения ${\Omega }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\Omega }_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются значением $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которое зависит от того, как определена функция $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для больших высот $z$, и не имеет физического смысла. Поэтому, хотя структура спектра частот волн для неизотермической стратификации аналогична структуре спектра частот для изотермической стратификации, интерпретировать две указанные полосы частот как полосы частот АВ и ВГВ вряд ли физически разумно.

В данной работе рассматриваются двумерные линеаризованные гидродинамические уравнения, описывающие распространение волн в тяжелом газе, в котором масштаб стратификации $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ изменяется с высотой (общий случай неизотермической стратификации атмосферы). В динамике атмосферы большое значение имеют такие волны, у которых $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{l_z}{l_x}\ll 1$, где $l_z$ и $l_x$ - характерные вертикальный и горизонтальный масштабы волн, соответственно. Важной задачей является построение асимптотики решений гидродинамических уравнений при $\beta \to 0$.

Будет показано, что, по зависимости решений от параметра $\beta$, частные решения гидродинамических уравнений делятся на два непересекающихся класса. В случае изотермической стратификации один из выделенных классов решений совпадает с АВ, которые обсуждались выше, а другой с ВГВ. Следовательно, выделенные классы решений можно отождествлять с АВ и ВГВ и в случае неизотермической стратификации.

Для АВ и ВГВ выписаны приближенные уравнения, справедливые при ${\beta }^2\ll 1$, и показано, как по начальным данным исходной задачи вычислить начальные условия для подзадач для АВ и ВГВ.

В Разделе 2 рассмотрена задача о распространении волн в стратифицированной, неизотермической атмосфере. Система линеаризованных гидродинамических уравнений записана как одно операторное уравнение, в котором эволюционный оператор - матрично-дифференциальный, действующий во введенном гильбертовом пространстве $h$. В таким образом переформулированной задаче эволюционный оператор является самосопряженным и операторное уравнение является уравнением типа Шредингера. Для уравнений типа Шредингера существование решений известно. Таким образом, попутно доказано существование решения волновой задачи для случая стратификации общего вида. Решение гидродинамических уравнений можно рассматривать как кривую в $h$, параметризованную временем $t$.

В Разделе 3 производится анализ зависимости решений от параметра $\beta$. Строится асимптотика при $\beta \to 0$. Предложены две различные упрощенные системы уравнений, описывающие асимтотические при $\beta \to 0$ решения. Доказано существование решений этих двух предложенных различных асимптотических систем уравнений и существование у общей системы уравнений решений, которые при $\beta \to 0$ переходят в асимтотические. Таким образом, выделено два класса решений полной системы уравнений, которые характеризуются различной зависимостью от параметра $\beta$. В частном случае изотермической стратификации атмосферы один класс решений совпадает с внутренними гравитационными волнами, а другой с акустическими. Поэтому разумно считать что и в общем случае неизотермической стратификации выделенные два класса решений соответсвуют акустическим и гравитационным волнам.

Раздел 4 посвящен расщеплению при $\beta \to 0$ общей задачи о распространении двумерных волн в бесконечной атмосфере на подзадачи о распространении внутренних гравитационных и акустических волн. Ставится задача о выделении в начальном условии общей гидродинамической задачи вкладов, ответственных за генерацию акустических и гравитационных волн, по отдельности. Идея выделения вкладов волн различных типов основана на том, что у волны каждого типа гидродинамические переменные связаны парой стационарных соотношений, зависящих от типа волны. Доказано существование решения поставленной задачи о разделении вкладов акустических и гравитационных волн. Для некоторых типов начальных условий получены явные формулы для начальных условий для акустической и гравитационной подзадач, также выведены формулы для распределения волновой энергии начального возмущения между волнами различных типов. Показано, что в ряде случаев распределение энергии начального возмущения между волнами различных типов не зависит от формы начального возмущения.В Разделе 5.1 обсуждается расщепление двумерной гидродинамической задачи о распространении волн малой амплитуды в тяжелом стратифицированном газе над плоской Землей на подзадачи о распространении акустической и гравитационной волн. Изучается влияние отражающей поверхности на свойства волн.

Все доказательства основных утверждений вынесены в приложения.

2. Основные уравнения и постановка задачи

Рассмотрим систему линеаризованных гидродинамических уравнений для газа в поле тяжести:

$\begin{array}{l}\frac{\partial {\rho }_0\psi }{\partial t}+\frac{\partial {\rho }_{0}u}{\partial x}+\frac{\partial {\rho }_{0}w}{\partial z}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ \frac{\partial {\rho }_{0}u}{\partial t}+\frac{\partial {\rho }_{0}gH\left(\psi +\varphi \right)}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\end{array}$        (3)

$\frac{\partial {\rho }_{0}w}{\partial t}+\frac{\partial {\rho }_{0}gH\left(\psi +\varphi \right)}{\partial z}+{\rho }_{0}g\psi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$\frac{\partial {\rho }_0\varphi }{\partial t}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\frac{\partial {\rho }_{0}u}{\partial x}+\frac{\partial {\rho }_{0}w}{\partial z}\right)+\frac{\alpha }{H}{\rho }_{0}w\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Здесь $t$ - время; $x$ и $z$ - горизонтальная и вертикальная координаты, соответственно. $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{c_P}{c_V}$ - постоянная адиабаты; $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma -1+\gamma \frac{\partial H}{\partial z}$; $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{R{T}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{g\mu }$ - масштаб стратификации, называемый шкалой высот; $g$ - ускорение свободного падения, $T_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - распределение температуры невозмущенной атмосферы с высотой, которое считается произвольным, но $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$. Плотность газа ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выражается через $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ формулой ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^z}\frac{dz}{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)$, $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\text{const}$. Плотность может изменяться скачком, но так, чтобы выполнялось условие статической устойчивости $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$. Требование $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ приводит, в частности, к тому, что плотность ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ падает с высотой.

Функции $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выражаются через температуру $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и плотность $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ возмущенного газа формулами

$\begin{array}{l}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{T}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(1+\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}\\ \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(1+\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}\end{array}$  (4)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - локальные массовые скорости атмосферного газа вдоль горизонтальной оси $x$ и вертикальной оси $z$, соответственно.

Пусть $X\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\psi \\ u\\ w\\ \varphi \end{array}\right)$. Квадратичный функционал [8]

$\begin{array}{l}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[\frac{u^2+w^2}{2}+\frac{gH}{2\gamma }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi +\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+\right.\\ \left.+\frac{gH}{2\gamma \alpha }{\left(\varphi -\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \right)}^2\right]d\Omega \mathrm{,}d\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}dxdz\mathrm{,}\end{array}$         (5)

является интегралом волновой энергии для уравнений (3). Конструкция $\sqrt{2E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ удовлетворяет аксиомам нормы: $\parallel X\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{2E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ Согласно теореме о поляризации [17], по этой норме можно построить скалярное произведение

$\begin{array}{c}\mathrm{<mo>\{</mo>}{X}_1\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo>\}</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[u_1^{\ast }{u}_2+w_1^{\ast }{w}_2+\frac{gH}{\gamma }{\left({\varphi }_1+{\psi }_1\right)}^{\ast }\right.\times \\ \times \left({\varphi }_2+{\psi }_2\right)\left.+\frac{gH}{\alpha \gamma }{\left({\varphi }_1-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_1\right)}^{\ast }\left({\varphi }_2-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_2\right)\right]d\Omega \mathrm{.}\end{array}$ (6)

Дополним уравнения (3) начальными условиями:

$\begin{array}{l}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ ‖X_0‖\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{2E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}\end{array}$             (7)

Граничные условия для задачи о распространении волн в безграничной атмосфере не требуются. Будем искать решение задачи (3), (7) как параметризованный временем $t$ элемент гильбертова пространства $h$, скалярное произведение в котором определяется формулой (6). Условие принадлежности решения гильбертову пространству $h$ играет роль граничных условий; оно эквивалентно требованию конечности волновой энергии.

Существование решения сформулированной задачи (3), (7) показано в Приложении А. В этом же приложении дан краткий обзор математического исследования задачи о распространении волн, описываемых системой уравнений (3).

3. Длинные вдоль горизонтали волны

В динамике атмосферы большую роль играют длинные вдоль горизонтали волны, для которых $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{l_z}{l_x}\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \ll 1$, где $l_x$ и $l_z$ характерные горизонтальные и вертикальные масштабы волны соответственно. Вследствие стратификации среды вертикальный масштаб $l_z$ волн не может превосходить масштаб стратификации $H$, $l_z\lesssim H$, и в частном случае, когда $l_z\sim H$, условие выглядит так: $\frac{H}{l_x}\ll 1$

Частный случай стратификации плотности газа, когда плотность убывает с высотой $z$ строго экспонециально, ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\frac{z}{H}}$, $H\mathrm{<mo>=</mo>}\text{const}$, называется изотермической атмосферой. Система уравнений (3) в случае изотермической атмосферы решается аналитически, и хорошо изучена [8, 5, 3, 4]. Общее решение уравнений (3) в этом случае является суммой внутренних гравитационных волн и акустических волн.

Удобно записать систему уравнений (3) в безразмерных переменных. Поскольку параметры изучаемых волн могут существенно различаться, используем различные безразмерные переменные. Для волн одного типа будут использованы безразмерные переменные:

$\begin{array}{c}{u}_G\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{g{H}_0}{u^{\prime }}_G\mathrm{,}{w}_G\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \sqrt{g{H}_0}{w^{\prime }}_G\mathrm{,}\\ {\psi }_G\mathrm{<mo>=</mo>}{{\psi }^{\prime }}_G{\varphi }_G\mathrm{<mo>=</mo>}{{\varphi }^{\prime }}_G\mathrm{,}\\ t^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \sqrt{\frac{g}{H_0}}t\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x}{H_0}\beta \mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{z}{H_0}\mathrm{,}\end{array}$                          (8)

где $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{H}_0\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $H_0\mathrm{<mo>=</mo>}$ max $\mathrm{<mo>\{</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ и штрихи помечают вводимые новые безразмерные переменные. Для волн другого типа новые, безразмерные переменные вводятся иначе  

$\begin{array}{c}{u}_A\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \sqrt{g{H}_0}{u^{″}}_A\mathrm{,}{w}_A\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{g{H}_0}{w^{″}}_A\mathrm{,}\\ {\psi }_A\mathrm{<mo>=</mo>}{{\psi }^{″}}_A\mathrm{,}{\varphi }_A\mathrm{<mo>=</mo>}{{\varphi }^{″}}_A\mathrm{,}\\ t^{″}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\frac{g}{H_0}}t\mathrm{,}{x}^{″}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x}{H_0}\beta \mathrm{,}{z}^{″}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{z}{H_0}\mathrm{.}\end{array}$                       (9)

Здесь новые вводимые безразмерные переменные помечены двумя штрихами.

Понятия акустической и внутренней гравитационной волн для неизотермической стратификации строго не определены; эти термины используются в физической литературе применительно к неизотермической стратификации на физическом уровне строгости. Мы будем использовать безразмерные переменные (8), (9) при анализе системы уравнений (3).

Для введенных безразмерных функций (8), (9) можно записать две эквивалентные системы уравнений:

$\begin{array}{l}\frac{\partial {\rho }_0{{\psi }^{\prime }}_G}{\partial t^{\prime }}+\frac{\partial {\rho }_0{u^{\prime }}_G}{\partial x^{\prime }}+\frac{\partial {\rho }_0{w^{\prime }}_G}{\partial z^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ \frac{\partial {\rho }_0{u^{\prime }}_G}{\partial t^{\prime }}+\frac{\partial \left({\rho }_0\eta \left({{\psi }^{\prime }}_G+{{\varphi }^{\prime }}_G\right)\right)}{\partial x^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\end{array}$

 ${\beta }^2\frac{\partial {\rho }_0{w^{\prime }}_G}{\partial t^{\prime }}+\frac{\partial \left({\rho }_0\eta \left({{\psi }^{\prime }}_G+{{\varphi }^{\prime }}_G\right)\right)}{\partial z^{\prime }}+{\rho }_0{{\psi }^{\prime }}_G\mathrm{<mo>=</mo>0,}$        (10)

$\frac{\partial {\rho }_0{{\varphi }^{\prime }}_G}{\partial t^{\prime }}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[\frac{\partial {\rho }_0{u^{\prime }}_G}{\partial x^{\prime }}+\frac{\partial {\rho }_0{w^{\prime }}_G}{\partial z^{\prime }}\right]+\frac{\alpha }{\eta }{\rho }_0{w^{\prime }}_G\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}$

и

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\rho }_0{{\psi }^{″}}_A}{\partial t^{″}}+{\beta }^2\frac{\partial {\rho }_0{u^{″}}_A}{\partial x^{″}}+\frac{\partial {\rho }_0{w^{″}}_A}{\partial z^{″}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ \frac{\partial {\rho }_0{u^{″}}_A}{\partial t^{″}}+\frac{\partial {\rho }_0\eta \left({{\psi }^{″}}_A+{{\varphi }^{″}}_A\right)}{\partial x^{″}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\end{array}$

 $\frac{\partial {\rho }_0{w^{″}}_A}{\partial t^{″}}+\frac{\partial {\rho }_0\eta \left({{\psi }^{″}}_A+{{\varphi }^{″}}_A\right)}{\partial z^{″}}+{\rho }_0{{\psi }^{″}}_A\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (11)

$\frac{\partial {\rho }_0{{\varphi }^{″}}_A}{\partial t^{″}}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[{\beta }^2\frac{\partial {\rho }_0{u^{″}}_A}{\partial x^{″}}+\frac{\partial {\rho }_0{w^{″}}_A}{\partial z^{″}}\right]+\frac{\alpha }{\eta }{\rho }_0{w^{″}}_A\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

различающиеся только используемыми переменными.

Уравнения (10), (11) содержат члены с малыми параметрами. После пренебрежения слагаемыми пропорциональными ${\beta }^2$ в (10), (11), приходим к упрощенным уравнениям динамики волн. Будем называть упрощенные уравнения усеченными.

3.1. Усеченные уравнения для волн первого типа

Приближенные уравнения получим из (10), отбрасывая слагаемые пропорциональные ${\beta }^2$. В третьем уравнении системы (10) отбросим член вертикального ускорения ${\beta }^2\frac{\partial {\rho }_0{w^{\prime }}_G}{\partial t^{\prime }}$. Дифференцируя по $t^{\prime }$ полученное приближенное уравнение и исключая ${{\varphi }^{\prime }}_G$ и ${{\psi }^{\prime }}_G$ через первое и четвертое уравнения системы (10), можно получить еще одно упрощенное уравнение.

Приближение, в котором членом вертикального ускорения ${\beta }^2\frac{\partial {\rho }_0{w^{\prime }}_G}{\partial t^{\prime }}$ в третьем уравнении системы (10) пренебрегают, называют в геофизической литературе квазистатическим [15].

Полученных два приближенных уравнения, второе и первое (или четвертое) уравнения системы (10) образуют вместе замкнутую систему уравнений. Используя размерные переменные, упрощенную замкнутую систему уравнений, следующую из (10), можно записать в удобном виде:

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\overline{P}}_G}{\partial t}+\gamma gH\left[\frac{\partial {\rho }_0{\overline{u}}_G}{\partial x}+\frac{\partial {\rho }_0{\overline{w}}_G}{\partial z}\right]+\\ +\alpha g{\rho }_0{\overline{w}}_G\mathrm{<mo>=</mo>0,}\end{array}$                                (12)

${\rho }_0\frac{\partial {\overline{u}}_G}{\partial t}+\frac{\partial {\overline{P}}_G}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\frac{\partial {\overline{P}}_G}{\partial z}+{\rho }_{0}g{\overline{\psi }}_G\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial z}\left[\gamma H\frac{\partial {\rho }_0{\overline{u}}_G}{\partial x}+\gamma H\frac{\partial {\rho }_0{\overline{w}}_G}{\partial z}+\alpha {\rho }_0{\overline{w}}_G\right]+\\ +\frac{\partial {\rho }_0{\overline{u}}_G}{\partial x}+\frac{\partial {\rho }_0{\overline{w}}_G}{\partial z}\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}$

Здесь ${\overline{P}}_G\mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }_{0}gH\left({\overline{\psi }}_G+{\overline{\varphi }}_G\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_0\left({\overline{\psi }}_G+{\overline{\varphi }}_G\right)$ - волновая добавка к фоновому давлению $P_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}gH\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $P_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}gH\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Черточки над символами, обозначающими физические величины, помещены чтобы напоминать о различии между точными решениями уравнений (3) и приближенными решениями, получаемыми из (12).

Обозначим ${\overline{\lambda }}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\overline{P}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\overline{u}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)$. Интеграл энергии для (12) имеет вид

 $\begin{array}{c}{E}_G\left({\lambda }_G\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[{\overline{u}}_G^2+\frac{{\overline{P}}_G^2}{\gamma gH{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\right.\\ \left.+\frac{{\left({\overline{P}}_G+\gamma H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\partial {\overline{P}}_G\mathrm{<mo>/</mo>}\partial z\right)}^2}{\gamma \alpha {\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}gH}\right]d\Omega \mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}\end{array}$ (13)

Необходимо дополнить уравнения (12) начальными условиями, которые должны соответствовать протяженному вдоль оси Ox начальному возмущению. Пусть функции ${\overline{P}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ описывают некоторое начальное возмущение, имеющее конечную энергию: $E_G\left({\lambda }_{G\mathrm{,0}}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, где ${\lambda }_{G\mathrm{,0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\overline{P}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)$. При этом, пусть функции ${\overline{P}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ таковы, что их типичные пространственные масштабы $l_{0x}\mathrm{,}{l}_{0z}$ (где $l_{0z}\lesssim H$ ) вдоль осей Ox и Oz совпадают: $\frac{l_{0z}}{l_{0x}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Тогда начальные условия, соответствующие требованию $\beta \ll 1$, можно выразить через функции ${\overline{P}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ следующим образом:

 $\begin{array}{l}{\overline{P}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\beta }{\overline{P}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\overline{u}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\beta }{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$  (14)

В (14) коэффициент $\beta$, предшествующий $x$, производит растяжение функций $P_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вдоль оси $x$. Таким образом, для характерных масштабов функций ${\overline{P}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\overline{u}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вдоль $x$ и $z$ осей справедлива оценка $\frac{l_z}{l_x}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{l_{0z}}{{\beta }^{-1}{l}_{0x}}\mathrm{<mo>=</mo>}\beta O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Множитель $\sqrt{\beta }$ введен в (14) для удобства, чтобы энергия $E$ начального возмущения не зависела от $\beta$. Вследствие линейности уравнений, этот множитель не влияет на результат.

Дополним уравнения (12) начальными условиями (14), требованием конечности интеграла волновой энергии и дополнительными условиями

 ${\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\rho }_0{\overline{w}}_G^{2}d\Omega \mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\rho }_0{\left(\frac{\partial {\overline{w}}_G}{\partial z}\right)}^{2}d\Omega \mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$        (15)

Теорема 1. Искомое решение задачи (12), (14), (15) обозначим ${\overline{X}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\overline{\psi }}_G\\ {\overline{u}}_G\\ {\overline{w}}_G\\ {\overline{\varphi }}_G\end{array}\right)$. Пусть $X_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - решение уравнений (3) для начальных условий $X_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\overline{X}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Пусть начальные условия (14) квазистатической задачи (12), (15) удовлетворяют условию $E_G\left({\overline{\lambda }}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ и соотношениям

 $\begin{array}{l}{E}_G\left(\frac{\partial {\overline{\lambda }}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}\\ E_G\left(\frac{{\partial }^2{\overline{\lambda }}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}\end{array}$        (16)

Тогда решения обеих задач (полной и усеченной) существуют, и для любого $t\le t_0\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ асимптотически при $\beta \to 0$ совпадают, т. e.

 $\underset{\beta \to 0}{{\displaystyle \lim }}‖{\overline{X}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-X_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}‖\mathrm{<mo>=</mo>0.}$   (17)

Первое из условий (16) Теоремы 1 важно для существования решения усеченных уравнений. Второе важно для существования предельного перехода от решений полной задачи к решениям усеченных уравнений.

Теорема 1 показывает, что система уравнений (3) обладает классом частных решений, удовлетворяющих свойству (17), и этот признак можно использовать для определения внутренних гравитационных волн как в случае изотермической, так и неизотермической стратификации атмосферы.

Внутренние гравитационные волны с $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{H}{l_x}\ll 1$ называют длинными.

Более точные усеченные уравнения для линейных длинных внутренних гравитационных волн можно формально вывести с любой точностью с помощью итерационной процедуры по параметру $\beta$. Теорема 1 дает условия применимости квазистатического приближения при моделировании распространения длинных линейных внутренних гравитационных волн в атмосфере.

3.2. Усеченные уравнения для волн второго типа

Рассмотрим систему уравнений (11). Опустим в (11) слагаемые, пропорциональные ${\beta }^2$.

В отличие от ранее рассмотренного случая гравитационных волн, полученная таким образом упрощенная система уравнений, состоящая из второго и третьего уравнений системы (11) и из упрощенных первого и четвертого уравнений системы (11), является системой четвертого порядка по времени. Это означает, что эта система не только описывает интересующие нас волны второго типа, но и имеет какие-то другие решения, не представляющие интереса и которые нужно исключить.

Исключим ${\rho }_0{w^{″}}_A$ из упрощенных первого и четвертого уравнений системы (11) и проинтегрируем полученное уравнение по $t^{″}$ и придем к формуле

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial z^{″}}\left[{\rho }_0{{\varphi }^{″}}_A\frac{\eta }{\alpha }-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\eta }{\alpha }{\rho }_0{{\varphi }^{″}}_A\right]-\\ -{\rho }_0{{\psi }^{″}}_A\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{″}\mathrm{,}{z}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$              (18)

Здесь $F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{″}\mathrm{,}{z}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - некоторая функция, возникшая при интегрировании уравнения. Функцию $F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{″}\mathrm{,}{z}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно определить исходя из следующих соображений. Очевидно, волновые уравнения должны иметь нулевое решение, ибо можно рассматривать волну с нулевой амплитудой. Следовательно, можно положить $F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{″}\mathrm{,}{z}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$.

Из формулы (18) и из третьего уравнения системы (11) следует другая формула, которая связывает динамические переменные:

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial z^{″}}\left[\frac{\gamma \eta }{\alpha }\frac{\partial {\rho }_0{u^{″}}_A}{\partial z^{″}}-\frac{\gamma \eta }{\alpha }\frac{\partial {\rho }_0{w^{″}}_A}{\partial x^{″}}\right]+\\ +\frac{\partial }{\partial z^{″}}\left(\frac{\alpha +1}{\alpha }{\rho }_0{u^{″}}_A\right)-\frac{\partial {\rho }_0{w^{″}}_A}{\partial x^{″}}\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{″}\mathrm{,}{z}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$               (19)

По тем же причинам, что описаны выше, положим $F_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{″}\mathrm{,}{z}^{″}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

В размерных переменных замкнутая система уравнений для волн второго типа выглядит следующим образом:

 $\frac{\partial {\overline{f}}_A}{\partial t}+{\rho }_0{\overline{w}}_A\mathrm{<mo>=</mo>0,}\frac{\partial {\overline{f}}_A}{\partial z}-{\rho }_0{\overline{\psi }}_A\mathrm{<mo>=</mo>0,}$                    (20)

$\frac{\partial {\rho }_0{\overline{w}}_A}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial z}\left[g\alpha \left({\overline{f}}_A+\frac{\gamma H}{\alpha }\frac{\partial {\overline{f}}_A}{\partial z}\right)+g{\overline{f}}_A\right]\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial z}\left[\frac{\gamma H}{\alpha }\frac{\partial {\rho }_0{\overline{u}}_A}{\partial z}-\frac{\gamma H}{\alpha }\frac{\partial {\rho }_0{\overline{w}}_A}{\partial x}\right]+\\ +\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\alpha +1}{\alpha }{\rho }_0{\overline{u}}_A\right)-\frac{\partial {\rho }_0{\overline{w}}_A}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\end{array}$

где $\overline{f_A}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{H}{\alpha }{\rho }_0\left[{\overline{\varphi }}_A-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\overline{\psi }}_A\right]\mathrm{.}$ Черточки над буквами помещены для того, чтобы не путать точные решения уравнений (3) с приближенными, получаемыми из (20).

Сформулируем начальные условия для (20). Обозначим ${\overline{\lambda }}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\overline{f}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\overline{w}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)$. Функционал энергии для (20) имеет вид

 $\begin{array}{l}{E}_A\left({\overline{\lambda }}_A\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}\left[{\rho }_0{\overline{w}}_A{}^2+\frac{{\overline{f}}_A{}^2}{{\rho }_0\gamma H}\alpha g+\right.\\ \left.+\frac{g{\alpha }^2}{{\rho }_0\gamma H}{\left({\overline{f}}_A+\frac{\gamma H}{\alpha }\frac{\partial {\overline{f}}_A}{\partial z}\right)}^2\right]d\Omega \mathrm{<mo><</mo>}\infty .\end{array}$     (21)

Пусть функции ${\overline{f}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\overline{w}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ описывают некоторое начальное возмущение с конечной энергией: $E\left({\overline{\lambda }}_{A\mathrm{,0}}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, где ${\overline{\lambda }}_{A\mathrm{,0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\overline{f}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\overline{w}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)$, и пусть $\frac{l_{0z}}{l_{0x}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ где $l_{0x}$, $l_{0z}$ - характерные пространственные масштабы вдоль осей $x$, $z$ для функций ${\overline{f}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\overline{w}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, соответственно. Начальные условия для (20), соответствующие требованию $\beta \ll 1$, можно записать через функции ${\overline{f}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ следующим образом:

 $\begin{array}{l}{\overline{f}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\beta }{\overline{f}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\overline{w}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\beta }{\overline{w}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$                                   (22)

Для единственности решения четвертого уравнения системы (20) добавим требования:

${\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\rho }_0{\overline{u}}_A{}^{2}d\Omega \mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\left(\frac{\partial }{\partial z}{\rho }_0{\overline{u}}_A\right)}^2\frac{1}{{\rho }_0}d\Omega \mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$ (23)

Теорема 2. Решение задачи (20), (23) для начальных условий (22) обозначим ${\overline{X}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\overline{\psi }}_A\\ {\overline{u}}_A\\ {\overline{w}}_A\\ {\overline{\varphi }}_A\end{array}\right)$, а $X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пусть решение уравнений (3) для начальных условий $X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\overline{X}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Пусть начальные условия (22) удовлетворяют условию $E_A\left({\overline{\lambda }}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}o\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, где ${\overline{\lambda }}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}o\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\overline{f}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\overline{w}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)$, и соотношениям

$E_A\left(\frac{\partial {\overline{\lambda }}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}\right)\infty \mathrm{,}{E}_A\left(\frac{{\partial }^2{\overline{\lambda }}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\right)\infty \mathrm{.}$        (24)

Тогда решения обеих, усеченной и общей задач, существуют, и на конечных временах асимптотически совпадают, т.е.

 $‖{\overline{X}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}‖\to 0$           (25)

при $\beta \to 0$, $0\le t\le t_0\mathrm{<mo><</mo>}\infty$.

Первое из ограничений Теоремы 2 накладывается для существования и единственности решения усеченной задачи. Второе условие важно для существования предельного перехода от решения полной задачи к решению усеченной.

Уравнения (20) описывают квазивертикальное распространение волн и, возможно, колебания волн в атмосферном резонаторе, если таковой существует. Мы говорим о квазивертикальном распространении волн потому, что $x-$ координата содержится в эволюционных уравнениях только как параметр.

В частном случае изотермической атмосферы, когда ${\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\frac{z}{H}}$, $H\mathrm{<mo>=</mo>}const$, система уравнений (3) решается аналитически, и в такой модели акустические волны выделяют по ветви дисперсионного соотношения для этих волн [3, 4]. Теорема 2 показывает, что система уравнений (3) обладает классом частных решений, удовлетворяющих свойству (25), и этот признак можно положить в основу определения акустических волн в неизотермической атмосфере.

Подобные уравнениям (20) усеченные уравнения для длинных акустических волн формально можно вывести с любой желаемой точностью с помошью итерационной процедуры по параметру $\beta$. Уравнения последующих приближений учитывают горизонтальное распространение акустических волн.

4. Расщепление на подзадачи о распространении внутренних гравитационных и акустических волн

В случае изотермической стратификации волновые решения системы уравнений (3) классифицированы. Они являются либо внутренними гравитационными, либо акустическими волнами. Волны этих двух типов различают по ветвям дисперсионного соотношения, которым волны соответствуют [3, 4].

Реальная атмосфера неизотермическая, и коэфициенты уравнений (3) зависят от координаты $z$ и могут варьироваться в широких пределах. Анализ показал, что у системы уравнений (3) существуют решения двух типов, которые различаются по функциональной зависимости от горизонтального масштаба возмушения, и у волны каждого типа динамические переменные связаны парой характерных только для волн данного типа стационарных соотношений.

Эти стационарные соотношения, связывающие гидродинамические переменные у волны каждого типа, вычислены асимптотически при $\beta \to 0$. В динамике атмосферы большую роль играют волны, у которых $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{l_z}{l_x}\mathrm{<mo><</mo><mo><</mo>1}$. Поэтому выведенные стационарные соотношения конструктивны.

Мы получили, что частные решения системы уравнений (3), которые при $\beta \to 0$ асимптотически удовлетворяют соотношениям

 $\frac{\partial P}{\partial z}+{\rho }_{0}g\psi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$             (26)

$\frac{\partial }{\partial z}\left[\gamma H\frac{\partial {\rho }_{0}u}{\partial x}+\gamma H\frac{\partial {\rho }_{0}w}{\partial z}+\alpha {\rho }_{0}w\right]+\frac{\partial {\rho }_{0}u}{\partial x}+\frac{\partial {\rho }_{0}w}{\partial z}\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

можно ассоциировать с внутренними гравитационными волнами. Частные решения системы уравнений (3), которые при $\beta \to 0$ асимптотически удовлетворяют соотношениям

$\frac{\partial f}{\partial z}-{\rho }_0\psi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$   (27)

$\frac{\partial }{\partial z}\left[\frac{\gamma H}{\alpha }\frac{\partial {\rho }_{0}u}{\partial z}-\frac{\gamma H}{\alpha }\frac{\partial {\rho }_{0}w}{\partial x}\right]+\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\alpha +1}{\alpha }{\rho }_{0}u\right)-\frac{\partial {\rho }_{0}w}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

можно ассоциировать с акустическими волнами.

Соотношения (26), (27) не содержат время $t$ явно. Первое из соотношений (26) совпадает с квазистатическим приближением, широко используемым при моделировании крупномасштабных и среднемасштабных атмосферных и океанических процессов [7, 9, 10, 11]. Второе уравнение в (26) - следствие первого. Оно выводится из первого с помощью уравнений для плотности и температуры. Это уравнение часто называют диагностическим [11].

Уравнения (27) выведены в [12]. Ниже покажем, что в случае бесконечной атмосферы множество решений уравнений (27) дает ортогональное дополнение к множеству решений уравнений (26) до полного функционального пространства. Следовательно, формулы (27) важны.

Формулы (27), (26) выведены для волн с ${\beta }^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{l_z}{l_x}\right)}^2\ll 1$. Однако применимость этих формул шире. Рассмотрим короткие волны, переход к пределу которых соответствует $\frac{l_z}{H}\mathrm{,}\frac{l_x}{H}\to 0$. Из (27) в этом пределе получаются классические для акустики формулы [14] $P_A\mathrm{<mo>=</mo>}{c}_s^2{\rho }_0{\psi }_A\mathrm{,}\frac{\partial u_A}{\partial z}-\frac{\partial w_A}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (28)

Здесь $P_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\varphi }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - волновая добавка к фоновому давлению; ${\rho }_0{\psi }_A$ - массовая плотность возмущения; $c_s$ - скорость звука. Таким образом, формулы (27) можно рассматривать как уточнение формул классической акустики. Аналогичное замечание касается внутренних гравитационных волн: формулы (26) выведены для волн с ${\beta }^2\ll 1$, но применимы и к коротким волнам.

Соотношения (26), (27) можно использовать для выделения в начальных условиях вкладов, ответственных за возникновение акустических и гравитационных волн, по отдельности.

Рассмотрим такие 4-столбцы $X_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\psi }_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ u_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ w_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\varphi }_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\in h$, компоненты ${\psi }_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $w_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\varphi }_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ которых удовлетворяют соотношениям (26). Пусть $h_G$ обозначает подмножество гильбертова пространства $h$, состоящее из таких столбцов $X_G\in h$. Пространство $h$ было введено ранее. Каждый элемент $X_G\in h_G$ можно записать следующим образом:

 $X_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}-\frac{\partial P_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}\frac{1}{{\rho }_{0}gH}\\ \\ u_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \\ -{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{z}{\int }}}\frac{\partial u_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}d\xi -{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{z}{\int }}}\frac{1}{\gamma H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{\infty }{\overset{\xi }{\int }}}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}d\eta d\xi \\ \\ \left(P_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\partial P_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}\right)\frac{1}{{\rho }_{0}gH}\end{array}\right)\mathrm{.}$   (29)

В формулах (29) функции ${\psi }_G$, ${\varphi }_G$, $w_G$ выражены через $P_G$, $u_G$ с использованием соотношений (26).

Будем искать ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\perp }\subset h$. Элементы $X_{G\perp }\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\perp }\subset h$ удовлетворяют условию ортогональности  $\left\{X_G\mathrm{,}{X}_{G\perp }\right\}\mathrm{<mo>=</mo>0}$          (30)

для каждого $X_G\in h_G$. Скалярное произведение $\left\{\cdot \mathrm{,}\cdot \right\}$ в (30) понимается в смысле (6).

Если подставить (29) в (30) и проинтегрировать по частям, получим:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}\frac{P_G}{{\rho }_0}\left[\frac{\partial }{\partial z}\left({\rho }_0{\varphi }_{G\perp }\frac{H}{\alpha }-\right.\right.\\ \left.\left.-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{H}{\alpha }{\rho }_0{\psi }_{G\perp }\right)-{\rho }_0{\psi }_{G\perp }\right]d\Omega +\end{array}$       (31)

$+{\displaystyle \underset{R^2}{\int }}{\rho }_0{u}_G\left[u_{G\perp }-\frac{1}{{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{\infty }{\overset{z}{\int }}}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial x}{w}_{G\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi +\right.$

$+\left.{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{z}{\int }}}\frac{1}{\gamma H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{\infty }{\overset{\xi }{\int }}}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial x}{w}_{G\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta d\xi \right]d\Omega \mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Первая часть формулы (31) получается просто. Вторая часть выводится сначала для функций $X_G\in C_0^{\infty }$. Затем, используя непрерывность скалярного произведения и то, что $C_0^{\infty }$ всюду плотно в $h$, получаем остальную часть формулы (31). Вследствие произвольности функций $P_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (31) следует:

$\frac{\partial }{\partial z}{f}_G{}_{\perp }-{\rho }_0{\psi }_G{}_{\perp }\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

${\rho }_0{u}_G{}_{\perp }-{\displaystyle \underset{\infty }{\overset{z}{\int }}}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\left(w_G{}_{\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)d\xi +$          (32)

$+{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{z}{\int }}}\frac{1}{\gamma H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{\infty }{\overset{\xi }{\int }}}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\left(w_G{}_{\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)d\eta d\xi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$

где $f_{G\perp }\equiv \frac{{\rho }_{0}H}{\alpha }\left({\varphi }_G{}_{\perp }-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_G{}_{\perp }\right)$. Первая формула в (32) совпадает по форме с первым уравнением в (27). Вторая формула после двойного дифференцирования дает некоторое выражение, аналогичное второму уравнению в (27). Таким образом,

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\perp }\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_A\mathrm{,}{h}_A\cup h_G\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}$     (33)

где $h_A$ - множество столбцов $X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in h$. Компоненты столбцов $X_A$ удовлетворяют соотношениям (27).

Вследствие (33) каждое начальное условие $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гидродинамической задачи можно однозначно представить в виде суммы:

$X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{X}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (34)

Любой момент времени может быть выбран в качестве начального; поэтому $X_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in h_G$, $X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in h_A$ и эти волны можно рассматривать как параметризованные временем $t$ кривые в $h_A$, $h_G$, и $\left\{X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{X}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Свойства (33) доказывают полноту предложенного раздельного описания внутренних гравитационных и акустических волн, т.е. никакие иные решения не существуют ни при какой стратификации.

Чтобы вычислить начальные условия для акустической и гравитационной подзадач, составим замкнутую систему уравнений, состоящую из (26), (27) и естественного условия (34).

На основании (33), решение системы уравнений (26), (27), (34) существует и единственно. Здесь в качестве неизвестных функций подразумеваются компоненты вектор-функций $X_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $X_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

На основе полученных результатов построим следующую теорему:

Теорема 3. Пусть начальные условия

$X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\beta }{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$       (35)

для системы (3) удовлетворяют следующим ограничениям:

 $\begin{array}{c}{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in h\mathrm{,}\frac{\partial }{\partial x}{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in h\mathrm{,}\\ \frac{\partial }{\partial z}{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in h\mathrm{,}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{X}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in h\mathrm{.}\end{array}$ (36)

Тогда при $t\le t_0\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ решение $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (3) можно асимптотически представить в виде суммы

$\begin{array}{l}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to {\overline{X}}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\overline{X}}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \text{ïðè}\beta \to 0\end{array}$   (37)

решений усеченных уравнений (12), (20). Решения всех выписанных задач существуют. Начальные условия для (12), (20) могут быть получены решением замкнутой системы уравнений (26), (27), (34).

Мы здесь не касаемся методов решения системы уравнений (26), (27), (34).

4.1. Распределение энергии начального возмущения между волнами различных типов

Пусть $E$ - энергия начального возмущения, и $E_A$, $E_G$ - энергии акустической и гравитационной волн. Из физических соображений ясно, что $E\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_A+E_G$. Формулы (33) позволяют доказать это соотношение для произвольной стратификации; доказательство очевидное и здесь не приводится.

Соотношения (26), (27) можно использовать для получения количественной оценки энергий $E_A$, $E_G$. Для иллюстрации рассмотрим случай

 $\begin{array}{c}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,}t\mathrm{,<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \mathrm{0,}\\ \varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\varphi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (38)

Рассмотрим простой случай, когда атмосфера изотермическая, $H\mathrm{<mo>=</mo>}const$. Решение уравнений (26), (27), (34) дает начальные условия для акустических и гравитационных волн:

$\begin{array}{c}{u}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}{w}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{w}_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\end{array}$

 $\begin{array}{c}{\varphi }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\gamma -1}{\gamma }{\varphi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ {\varphi }_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\gamma }{\varphi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$        (39)

$\begin{array}{l}{\psi }_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-{\psi }_G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\varphi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{z}{\int }}}{\varphi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz\frac{1}{H}\right)\mathrm{.}\end{array}$

Для энергий $E_A$, $E_G$ получаем формулы: