Vector Laplacian in spherical coordinates: on one uncorrected misprint in “Fluid mechanics” by L.D. Landau and E.M. Lifshitz

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problems of acoustic physics describing the propagation of acoustic effects or associated flows rely on the equations of hydroaeromechanics, in particular, on the Navier–Stokes equations containing the vector Laplacian of the velocity of a liquid or gaseous medium. One of the most commonly used coordinate systems is spherical one. The paper discusses a fundamental misprint in “Fluid mechanics” by L.D. Landau and E.M. Lifshitz (Course of Theoretical Physics, Volume VI), which has been replicated up to the 6th revised edition of 2021, and which also made it into the English version of the Course published by Pergamon. It concerns the Navier-Stokes equation in spherical coordinates (15.21), which describes the r-component of the vector Laplacian. A typo migrates to secondary publications and can complicate theoretical studies related to the application of the Navier–Stokes equations, which the author of this note has personally encountered. The r-component of the vector Laplacian is derived in detail from general principles to show what the corresponding Navier–Stokes equation should look like and that the typo is indeed present. In addition, more compact equivalent forms of the Navier–Stokes equations in spherical coordinates are proposed.

About the authors

P. V. Lebedev-Stepanov

National Research Center “Kurchatov Institute”

Author for correspondence.
Email: petrls@mail.ru
Moscow, 119333

References

  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.; под ред. Питаевского Л.П. Теоретическая физика в 10 т. Т. VI. Гидродинамика. 6-е изд., испр. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2021.
  2. Arfken G.B., Weber H.-J., Harris F.E. Mathematical methods for physicists: a comprehensive guide. Elsevier, 2012.
  3. Moon P., Spencer D.E. Field theory handbook including coordinate systems, differential equations and their solutions. 2nd Edition. Springer-Verlag, 1971.
  4. Moon P., Spencer D.E. The meaning of the vector Laplacian. J. Franklin Inst. 1953. 256. P. 551.
  5. Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics. Course of theoretical physics. V. 6. Pergamon, 1987.
  6. Лебедев-Степанов П.В., Руденко О.В. Акусто-микро-флюидика: капиллярные волны и вихревые течения в сферической жидкой капле // Акуст. журн. 2016. Т. 62. № 4. С. 408-411.
  7. Лебедев-Степанов П.В. Акустические течения в полусферической капле жидкости на вибрирующей подложке // Акуст. журн. 2025. Т. 71. № 3. С. 347–359.
  8. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 2000.
  9. Happel J., Brenner H. Low Reynolds number hydrodynamics with special applications to particulate media. Springer, 1983.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».