Asymptotic evaluation of three-dimensional integrals with singularities in application to wave phenomena

Cover Page

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider a three-dimensional Fourier integral in which the exponent in the exponential factor is the product of some phase function and a large parameter. The asymptotics of this integral is sought when the large parameter tends to infinity. In the one-dimensional case, the asymptotics of such an integral is constructed by the points of stationary phase and singularities of the integrand. The three-dimensional case is more complicated: special points such as points of stationary phase in the domain, on singularity, on the crossing of singularities, points of triple crossing of singularities, and also conical points of the singularities, can contribute to the asymptotics. For all these types of singularities, topological conditions for the existence of nonzero asymptotics are constructed, and the asymptotics themselves are derived. The proposed technique is tested on the example of the classical problem of Kelvin waves on the surface of a deep fluid behind a towed body.

About the authors

A. V. Shanin

Moscow State University

Author for correspondence.
Email: laptev97@bk.ru

A. Yu. Laptev

Moscow State University

Email: laptev97@bk.ru

References

  1. Martin P.A. Kelvin's method of stationary phase? // Wave Motion. 2025. V. 134. P. 103481.
  2. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.
  3. Mironov M.A., Shanin A.V., Korolkov A.I., Kniazeva K.S. Transient processes in a gas/plate structure in the case of light loading // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2021. V. 477. P. 20210530.
  4. Assier R.C., Shanin A.V., Korolkov A.I. A contribution to the mathematical theory of diffraction: A note on double fourier integrals // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2022. V. 76. № 1. P. 1–47.
  5. Shanin A.V., Assier R.C., Korolkov A.I., Makarov O.I. Double Floquet-Bloch transforms and the far-field asymptotics of Green's functions tailored to periodic structures // Physical Review B. 2024. V. 110. № 2. P. 024310.
  6. Poincare H. Sur la diffraction des ondes electriques: ? propos d'un article de M. Macdonald // Proceedings of the Royal Society of London. 1904. V. 72. № 477–486. P. 42–52.
  7. Павлов В.И., Сухоруков А.И. Переходное излучение акустических волн // Успехи физ. наук. 1985. Т. 147. № 1. С. 83–115.
  8. Ерофеев В.И., Колесов Д.А., Лисенкова Е.Е. Особенности генерации волн источником, движущимся по одномерной гибкой направляющей, лежащей на упруго-инерционном основании // Акустич. журн. 2016. Т. 62. № 6. С. 639–647.
  9. Руденко О.В., Гусев В.А. Движущийся объект: спектры сигналов пассивной, активной локации и переходное излучение // Акустич. журн. 2020. Т. 66. № 6. С. 599–609.
  10. Thomson W. On ship waves // Proceedings of the institution of mechanical engineers. 1887. V. 38. № 1. P. 409–434.
  11. Lord Kelvin. Deep sea ship-waves // Proceedings of the royal society of Edinburgh. 1906. V. 25. № 2. P. 1060–1084.
  12. Lamb H. LXV. On wave-patterns due to a travelling disturbance // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1916. V. 31. № 186. P. 539–548.
  13. Lamb H. Hydrodynamics. New York, Dover Publications, 1945.
  14. Stoker J.J. Water waves: The mathematical theory with applications. Interscience Publishers, Inc., New York, 1957.
  15. Wehausen J.V., Laitone E.V. Surface waves. Fluid Dynamics/Str?mungsmechanik, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1960. P. 446–778.
  16. Liu M., Tao M. Transient ship waves on an incompressible fluid of infinite depth // Physics of Fluids. 2001. V. 13. № 12. P. 3610–3623.
  17. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1992.
  18. Huybrechs D., Vandewalle S. The construction of cubature rules for multivariate highly oscillatory integrals // Mathematics of computation. 2007. V. 76. № 260. P. 1955–1980.
  19. Chapman C.J. The wavenumber surface in blade–wortex interaction // Proceedings of the IUTAM symposium on diffraction and scattering in fluid mechanics and elasticity, Manchester, UK 2000, ed. by Abrahams I.D., Martin P.A., Simon M.J. 2002. P. 169–178.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».