Алгоритмы вычисления гамильтоновой нормальной формы

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Обсуждается метод инвариантной нормализации, предложенный В.Ф. Журавлевым, используемый для вычисления нормальных или симметризованных форм автономных систем Гамильтона. Нормализующее каноническое преобразование представлено рядом Ли с помощью порождающего гамильтониана. Этот метод имеет обобщение, предложенное А.Г. Петровым, которое нормализует не только автономные, но и неавтономные гамильтоновы системы. Нормализующее каноническое преобразование представлено рядом с использованием параметрической функции. Для автономных систем Гамильтона первые два шага аппроксимации в обоих методах одинаковы, а остальные шаги различны. Нормальные формы обоих методов идентичны. Также предлагается метод тестирования программы нормализации. Для этого находится гамильтониан сильно нелинейной гамильтоновой системы, для которой нормальная форма является квадратичным гамильтонианом. Нормализующее преобразование выражается в терминах элементарных функций.

About the authors

A. G. Petrov

Institute of Mechanics named after A.Yu. Ishlinskiy RAS

Author for correspondence.
Email: batkhin@gmail.com
Moscow, Russia

A. B. Batkhin

Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS; Samarkand State University named after Sharof Rashidov

Email: batkhin@gmail.com
Moscow, Russia; Samarkand, Uzbekistan

References

  1. Аппель П. Теоретическая механика. Статика. Динамика точки. Т. 1. М.: Физ.-мат. лит., 1960. 515 с.
  2. Батхин А.Б., Батхина Н.В., Сумароков С.И. Применение метода Депри–Хори для исследования периодических решений задачи Хилла // Вестн. ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. 2001. Т. 6. С. 6–11.
  3. Батхин А.Б., Батхина Н.В. Задача Хилла. Волгоград: Волгоградское науч. изд-во. 2009. 200 с.
  4. Батхин А.Б. Поиск периодических решений с особой симметрией в задаче Хилла // Математич. физ. и компьютер. моделир. 2019. Т. 22. № 3. С. 5–25. https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.3.1.
  5. Батхин А.Б. Гомологическое уравнение произвольного порядка и вычисление нормальной формы системы Гамильтона // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша. 2022а. № 19. 24 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2022-19.
  6. Батхин А.Б. Символьное вычисление гомологического уравнения произвольного порядка и приведение системы Гамильтона к ее нормальной форме // Программирование. 2022б. Т. 48. № 2. С. 7–15. https://doi.org/10.31857/S0132347422020042.
  7. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский ун-т”, 1999. 408 с.
  8. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений (I) // Тр. Моск. математич. общества. 1971. Т. 25. С. 119–226.
  9. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений (II) // Тр. Моск. математич. общества. 1972. Т. 26. С. 199–239.
  10. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 296 с.
  11. Брюно А.Д., Петров А.Г. Вычисление гамильтоновой нормальной формы // Докл. РАН. 2006. Т. 410. № 4. С. 474–478.
  12. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, Физ.-мат. лит., 1979. 320 с.
  13. Журавлев В.Ф. Новый алгоритм нормализации гамильтоновых систем по Биркгофу // Прикл. мат. и мех. 1997. Т. 61. № 1. С. 12–17.
  14. Журавлев В.Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоновых систем // Прикл. мат. и мех. 2002. Т. 66. № 3. С. 356–365.
  15. Журавлев В.Ф., Петров А.Г., Шундерюк М.М. Асимптотическая симметризация гамильтоновых систем: Учебно-методическое пособие по курсу Аналитическая механика. М.: МФТИ, 2010. 53 с.
  16. Журавлев В.Ф., Петров А.Г., Шундерюк М.М. Избранные задачи гамильтоновой механики. М.: ЛЕНАНД, 2015. 304 с.
  17. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: “Мир”, 1984. 530 с.
  18. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 352 с.
  19. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: “Мир”, 1976. 456 с.
  20. Петров А.Г. Об инвариантной нормализации неавтономных гамильтоновых систем // Прикл. мат. и мех. 2004. Т. 68. № 3. С. 402–413.
  21. Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины при резонансе // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 5. С. 18–28.
  22. Петров А.Г. Асимптотическое решение гамильтоновой системы Хенона–Хейлеса // Докл. РАН. 2007. Т. 417. № 3. С. 342–346.
  23. Петров А.Г., Шундерюк М.М. О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 27–40.
  24. Петров А.Г. О повороте плоскости колебаний тяжелой материальной точки на пружине при резонансе // Докл. РАН. 2014.Т. 454. № 1. С. 42–46.
  25. Петров А.Г. О таутохронных движениях // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2024. Т. 518. № 1. С. 22–28. https://doi.org/10.31857/S2686954324040045.
  26. Прокопеня А.Н. Нормализация гамильтониана в ограниченной задаче многих тел методами компьютерной алгебры // Программирование. 2012. Т. 38. № 3. С. 65–78.
  27. Шевченко И.И. Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике // Дисс. д-ра физ.-мат. наук: 01.03.01. СПб: ГАО РАН, 2000. 257 с.
  28. Batkhin A.B. Computation of homological equations for Hamiltonian normal form // Contemp. Math. 2023. V. 782. P. 7–20. https://doi.org/10.1090/conm/782/15718.
  29. Cabral H.E., Brandão Dias L. Normal forms and stability of Hamiltonian systems. Applied Mathematical Sciences. Switzerland: Springer Nature, 2023. 349 p. https://doi.org/10.1007/978-3-031-33046-9.
  30. Collins P., Burbanks A.D., Wiggins S., Waalkens H., Schubert R. Background and documentation of software for computing Hamiltonian normal forms. Bristol: School of mathematics. Univ. Bristol, 2008. 97 p.
  31. Cherry T.M. On the solution of Hamiltonian systems of differential equations in the neighbourhood of a singular point // Proc. London Math. Soc. 1928. V. s2-27. № 1. P. 151–170. https://doi.org/10.1112/plms/s2-27.1.151.
  32. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter // Celest. Mech.1969. V. 1. № 1. P. 12–30. https://doi.org/10.1007/BF01230629.
  33. Gustavson F.G. On constructing formal integrals of a Hamiltonian system near an equilibrium point // Astron. J. 1966. V. 71. № 8. P. 670–686. https://doi.org/10.1086/110172.
  34. Haro À. An algorithm to generate canonical transformations: Application to normal forms // Physica D. 2002. V. 167. P. 197–217.
  35. Hori G. Theory of general perturbation with unspecified canonical variable // Publ. Astron. Soc. Japan. 1966. V. 18. № 4. P. 287–296.
  36. Jorba À. A methodology for the numerical computation of normal forms, centre manifolds and first integrals of Hamiltonian systems // Experimental Mathematics. 1999. V. 8. № 2. P. 155–195.
  37. Kamel A.A. Expansion formulae in canonical transformations depending on a small parameter // Celest. Mech. 1969. V. 1. № 2. P. 190–199. https://doi.org/10.1007/bf01228838 .
  38. Mersman W. A new algorithm for the Lie transformation // Celest. Mech. 1970. V. 3. № 1. P. 81–89. https://doi.org/10.1007/BF01230434.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».