Antisymmetric paramodular forms of weight 3

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problem of the construction of antisymmetric paramodular forms of canonical weight 3 has been open since 1996. Any cusp form of this type determines a canonical differential form on any smooth compactification of the moduli space of Kummer surfaces associated to $(1,t)$-polarised abelian surfaces. In this paper, we construct the first infinite family of antisymmetric paramodular forms of weight $3$ as automorphic Borcherds products whose first Fourier-Jacobi coefficient is a theta block. Bibliography: 32 titles.

About the authors

Valerii Alekseevich Gritsenko

Université de Lille, Laboratoire Paul Painlevé; HSE University

Haowu Wang

Université de Lille, Laboratoire Paul Painlevé

Email: yanis19931007@gmail.com

References

  1. A. Ash, P. E. Gunnells, M. McConnell, “Cohomology of congruence subgroups of $operatorname{SL}_4(mathbb Z)$. III”, Math. Comp., 79:271 (2010), 1811–1831
  2. R. E. Borcherds, “Automorphic forms on $operatorname{O}_{s+2,2}(mathbb R)$ and infinite products”, Invent. Math., 120:1 (1995), 161–213
  3. R. E. Borcherds, “Automorphic forms with singularities on Grassmannians”, Invent. Math., 132:3 (1998), 491–562
  4. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, Гл. IV–VI. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней, Элементы математики, Мир, М., 1972, 334 с.
  5. J. Breeding II, C. Poor, D. S. Yuen, “Computations of spaces of paramodular forms of general level”, J. Korean Math. Soc., 53:3 (2016), 645–689
  6. A. Brumer, K. Kramer, “Paramodular abelian varieties of odd conductor”, Trans. Amer. Math. Soc., 366:5 (2014), 2463–2516
  7. F. Clery, V. Gritsenko, “Modular forms of orthogonal type and Jacobi theta-series”, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg., 83:2 (2013), 187–217
  8. M. Eichler, D. Zagier, The theory of Jacobi forms, Progr. Math., 55, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985, v+148 pp.
  9. E. Freitag, Siegelsche Modulfunktionen, Grundlehren Math. Wiss., 254, Springer-Verlag, Berlin, 1983, x+341 pp.
  10. В. А. Гриценко, “Модулярные формы и пространства модулей абелевых и $K3$ поверхностей”, Алгебра и анализ, 6:6 (1994), 65–102
  11. V. Gritsenko, “Irrationality of the moduli spaces of polarized abelian surfaces”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1994:6 (1994), 235–243
  12. В. А. Гриценко, “Рефлективные модулярные формы и их приложения”, УМН, 73:5(443) (2018), 53–122
  13. V. Gritsenko, K. Hulek, “Minimal Siegel modular threefolds”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 123:3 (1998), 461–485
  14. V. Gritsenko, K. Hulek, “Uniruledness of orthogonal modular varieties”, J. Algebraic Geom., 23:4 (2014), 711–725
  15. V. Gritsenko, K. Hulek, G. K. Sankaran, “Abelianisation of orthogonal groups and the fundamental group of modular varieties”, J. Algebra, 322:2 (2009), 463–478
  16. V. A. Gritsenko, K. Hulek, G. K. Sankaran, “The Kodaira dimension of the moduli of K3 surfaces”, Invent. Math., 169:3 (2007), 519–567
  17. В. А. Гриценко, В. В. Никулин, “Модулярные формы Игузы и “самые простые” лоренцевы алгебры Каца–Муди”, Матем. сб., 187:11 (1996), 27–66
  18. V. A. Gritsenko, V. V. Nikulin, “Automorphic forms and Lorentzian Kac–Moody algebras. II”, Internat. J. Math., 9:2 (1998), 201–275
  19. V. Gritsenko, V. V. Nikulin, “Lorentzian Kac–Moody algebras with Weyl groups of 2-reflections”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 116:3 (2018), 485–533
  20. V. Gritsenko, C. Poor, D. S. Yuen, “Borcherds products everywhere”, J. Number Theory, 148 (2015), 164–195
  21. V. Gritsenko, C. Poor, D. S. Yuen, “Antisymmetric paramodular forms of weights 2 and 3”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2019, rnz011, published online
  22. V. Gritsenko, N.-P. Skoruppa, D. Zagier, Theta blocks
  23. В. А. Гриценко, Х. Ванг, “Гипотеза о тэта-блоках первого порядка”, УМН, 72:5(437) (2017), 191–192
  24. V. Gritsenko, Haowu Wang, “Theta block conjecture for paramodular forms of weight 2”, Proc. Amer. Math. Soc. (to appear)
  25. M. Gross, S. Popescu, “Calabi–Yau three-folds and moduli of abelian surfaces. II”, Trans. Amer. Math. Soc., 363:7 (2011), 3573–3599
  26. В. В. Никулин, “Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:1 (1979), 111–177
  27. C. Poor, J. Shurman, D. S. Yuen, “Siegel paramodular forms of weight 2 and squarefree level”, Int. J. Number Theory, 13:10 (2017), 2627–2652
  28. C. Poor, D. S. Yuen, “Paramodular cusp forms”, Math. Comp., 84:293 (2015), 1401–1438
  29. N. R. Scheithauer, “On the classification of automorphic products and generalized Kac–Moody algebras”, Invent. Math., 164:3 (2006), 641–678
  30. N. R. Scheithauer, “The Weil representation of $operatorname{SL}_2(mathbb Z)$ and some applications”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2009:8 (2009), 1488–1545
  31. N. R. Scheithauer, “Some constructions of modular forms for the Weil representation of $operatorname{SL}(2,mathbb Z)$”, Nagoya Math. J., 220 (2015), 1–43
  32. N. R. Scheithauer, “Automorphic products of singular weight”, Compos. Math., 153:9 (2017), 1855–1892

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Gritsenko V.A., Wang H.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».