The boundary values of solutions of an elliptic equation

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

The paper is devoted to the study of the boundary behaviour of solutions of a second-order elliptic equation. Criteria are established for the existence of a boundary value of a solution of the homogeneous equation under the same conditions on the coefficients of the equation as were used to establish that the Dirichlet problem with a boundary function in $L_p$, $p>1$, has a unique solution. In particular, an analogue of Riesz's well-known theorem (on the boundary values of an analytic function) is proved: if a family of norms in the space $L_p$ of the traces of a solution on surfaces ‘parallel’ to the boundary is bounded, then this family of traces converges in $L_p$. This means that the solution of the equation under consideration is a solution of the Dirichlet problem with a certain boundary value in $L_p$. Estimates of the nontangential maximal function and of an analogue of the Luzin area integral hold for such a solution, which make it possible to claim that the boundary value is taken in a substantially stronger sense. Bibliography: 57 titles.

作者简介

Anatolii Gushchin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: akg@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

参考

  1. В. П. Михайлов, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Дифференц. уравнения, 12:10 (1976), 1877–1891
  2. А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 137(179):1(9) (1988), 19–64
  3. А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из $L_p$”, Матем. сб., 203:1 (2012), 3–30
  4. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения”, Матем. сб., 182:6 (1991), 787–810
  5. А. К. Гущин, “Труды В. А. Стеклова по уравнениям математической физики и развитие его результатов в этой области”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Тр. МИАН, 289, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 145–162
  6. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 185:1 (1994), 121–160
  7. А. К. Гущин, “Оценки некасательной максимальной функции решений эллиптического уравнения второго порядка”, Докл. РАН, 446:5 (2012), 487–489
  8. А. К. Гущин, “$L_p$-оценки некасательной максимальной функции для решения эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 207:10 (2016), 28–55
  9. А. К. Гущин, “Интеграл площадей Лузина и некасательная максимальная функция для решений эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 209:6 (2018), 47–64
  10. L. Carleson, “An interpolation problem for bounded analytic functions”, Amer. J. Math., 80:4 (1958), 921–930
  11. L. Carleson, “Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem”, Ann. of Math. (2), 76:3 (1962), 547–559
  12. L. Hörmander, “$L^p$-estimates for (pluri-)subharmonic functions”, Math. Scand., 20 (1967), 65–78
  13. А. К. Гущин, “$L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 174:2 (2013), 243–255
  14. А. К. Гущин, “О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка”, Сиб. матем. журн., 46:5 (2005), 1036–1052
  15. А. К. Гущин, “Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гeльдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 157:3 (2008), 345–363
  16. E. De Giorgi, “Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3), 3 (1957), 25–43
  17. J. Nash, “Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations”, Amer. J. Math., 80:4 (1958), 931–954
  18. В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 202:7 (2011), 75–94
  19. В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 180:2 (2014), 189–205
  20. В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле с граничной функцией из $L_2$ для эллиптического уравнения второго порядка”, Изв. НАН Армении. Матем., 50:4 (2015), 3–22
  21. Л. М. Кожевникова, “Энтропийные и ренормализованные решения анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей”, Матем. сб., 210:3 (2019), 131–161
  22. Ф. Х. Мукминов, “Существование ренормализованного решения анизотропной параболической задачи с переменными показателями нелинейности”, Матем. сб., 209:5 (2018), 120–144
  23. М. О. Катанаев, “Действие Черна–Саймонса и дисклинации”, Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Тр. МИАН, 301, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 124–143
  24. М. О. Катанаев, “Векторные поля Киллинга и однородная и изотропная вселенная”, УФН, 186:7 (2016), 763–775
  25. М. О. Катанаев, “Космологические модели с однородными и изотропными пространственными сечениями”, ТМФ, 191:2 (2017), 219–227
  26. В. В. Жаринов, “Структуры Ли–Пуассона над дифференциальными алгебрами”, ТМФ, 192:3 (2017), 459–472
  27. В. В. Жаринов, “О преобразовании Беклунда”, ТМФ, 189:3 (2016), 323–334
  28. В. В. Жаринов, “Законы сохранения, дифференциальные тождества и связи уравнений в частных производных”, ТМФ, 185:2 (2015), 227–251
  29. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О граничных значениях в $L_p$, $p>1$, решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 108(150):1 (1979), 3–21
  30. Ю. А. Михайлов, “О граничных значениях в $L_p$, $p>1$, решений линейного эллиптического уравнения второго порядка”, Дифференц. уравнения, 19:2 (1983), 318–337
  31. И. М. Петрушко, “О граничных значениях в $mathscr L_p$, $p>1$, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей”, Матем. сб., 120(162):4 (1983), 569–588
  32. А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле с граничной функцией из $L_p$ для эллиптического уравнения второго порядка”, Докл. РАН, 437:5 (2011), 583–586
  33. А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле для неоднородного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 206:10 (2015), 71–102
  34. Ю. А. Алхутов, В. А. Кондратьев, “Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области”, Дифференц. уравнения, 28:5 (1992), 806–818
  35. Ю. А. Алхутов, “$L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 189:1 (1998), 3–20
  36. P. Fatou, “Series trigonometriques et series de Taylor”, Acta Math., 30:1 (1906), 335–400
  37. F. Riesz, “Über die Randwerte einer analytischen Funktion”, Math. Z., 18:1 (1923), 87–95
  38. J. E. Littlewood, R. E. A.Ċ. Paley, “Theorems on Fourier series and power series”, J. London Math. Soc., 6:3 (1931), 230–233
  39. J. E. Littlewood, R. E. A.Ċ. Paley, “Theorems on Fourier series and power series. II”, Proc. London Math. Soc. (2), 42:1 (1936), 52–89
  40. J. E. Littlewood, R. E. A.Ċ. Paley, “Theorems on Fourier series and power series. III”, Proc. London Math. Soc. (2), 43:2 (1937), 105–126
  41. J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, “A theorem of Lusin. Part I”, Duke Math. J., 4:3 (1938), 473–485
  42. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. II, Мир, М., 1965, 537 с.
  43. И. И. Привалов, Граничные свойства аналитических функций, 2-е изд., ГИТТЛ, М.–Л., 1950, 336 с.
  44. И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973, 342 с.
  45. В. Г. Мазья, “О вырождающейся задаче с косой производной”, Матем. сб., 87(129):3 (1972), 417–454
  46. В. П. Михайлов, “О граничных свойствах решений эллиптических уравнений”, Докл. АН СССР, 226:6 (1976), 1264–1266
  47. В. П. Михайлов, “О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей”, Матем. сб., 101(143):2(10) (1976), 163–188
  48. В. П. Михайлов, “О граничных свойствах решений эллиптических уравнений”, Матем. заметки, 27:1 (1980), 137–145
  49. И. М. Петрушко, “О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей”, Матем. сб., 119(161):1(9) (1982), 48–77
  50. Я. А. Ройтберг, “О предельных значениях по поверхностям, параллельным границе, обобщенных решений эллиптических уравнений”, Докл. АН СССР, 238:6 (1978), 1303–1306
  51. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О граничных значениях решений эллиптических уравнений”, Обобщенные функции и их применения в математической физике (Москва, 1980), ВЦ АН СССР, М., 1981, 189–205
  52. О. И. Богоявленский, В. С. Владимиров, И. В. Волович, А. К. Гущин, Ю. Н. Дрожжинов, В. В. Жаринов, В. П. Михайлов, “Краевые задачи математической физики”, Теоретическая и математическая физика, Сборник обзорных статей 3. К 50-летию института, Тр. МИАН СССР, 175, 1986, 63–102
  53. В. А. Кондратьев, И. Копачек, О. А. Олейник, “О наилучших показателях Гeльдера для обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 131(173):1(9) (1986), 113–125
  54. А. К. Гущин, “Критерий существования граничных значений в $L_p$ решений эллиптического уравнения”, Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Тр. МИАН, 301, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 53–73
  55. А. К. Гущин, О существовании граничных значений в $L_2$ решений эллиптического уравнения, Тр. МИАН, 306, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2019 (в печати)
  56. А. К. Гущин, “$L_p$-оценки некасательной максимальной функции для решений эллиптического уравнения второго порядка”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 1(30) (2013), 53–69
  57. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Gushchin A.K., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».