Email this article First integrals and asymptotic trajectories
- Authors: Kozlov V.V.1
-
Affiliations:
- Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 211, No 1 (2020)
- Pages: 32-59
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0368-8666/article/view/133303
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9291
- ID: 133303
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We discuss the relationship between the singular points of an autonomous system of differential equations and the critical points of its first integrals. Applying the well-known Splitting Lemma, we introduce local coordinates in which the first integral takes a “canonical” form. These coordinates make it possible to introduce a quasihomogeneous structure in some neighbourhood of any singular point and so to prove general theorems on the existence of asymptotic trajectories which go into or out of that singular point. We consider quasihomogeneous truncations of the original system of differential equations and show that if the singular point is isolated, the quasihomogeneous system is Hamiltonian. For a general mechanical system with two degrees of freedom, we prove a theorem on the instability of an equilibrium when it is neither a local minimum nor a local maximum of the potential energy.Bibliography: 21 titles.
About the authors
Valery Vasil'evich Kozlov
Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
Email: kozlov@pran.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- В. В. Козлов, “Линейные системы с квадратичным интегралом”, ПММ, 56:6 (1992), 900–906
- В. В. Козлов, А. А. Карапетян, “О степени устойчивости”, Дифференц. уравнения, 41:2 (2005), 186–192
- В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко, “Особенности. I. Локальная и глобальная теория”, Динамические системы – 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 6, ВИНИТИ, М., 1988, 5–250
- Т. Постон, И. Стюарт, Теория катастроф и ее приложения, Мир, М., 1980, 608 с.
- В. В. Козлов, “О неустойчивости равновесий консервативных систем при типичных вырождениях”, Дифференц. уравнения, 44:8 (2008), 1033–1040
- J. Williamson, “An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems”, Amer. J. Math., 62 (1940), 881–911
- H. Kocak, “Linear Hamiltonian systems are integrable with quadratics”, J. Math. Phys., 23:12 (1982), 2375–2380
- V. V. Kozlov, “Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability”, Regul. Chaotic Dyn., 23:1 (2018), 26–46
- В. В. Козлов, С. Д. Фурта, Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений, 2-е изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2009, 312 с.
- А. М. Молчанов, “Разделение движений и асимптотические методы теории нелинейных колебаний”, Докл. АН СССР, 136:5 (1961), 1030–1033
- Л. Г. Хазин, Э. Э. Шноль, Устойчивость критических положений равновесия, ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1985, 216 с.
- А. Н. Кузнецов, “О существовании входящих в особую точку решений автономной системы, обладающей формальным решением”, Функц. анализ и его прилож., 23:4 (1989), 63–74
- В. В. Козлов, “Асимптотические решения уравнений классической механики”, ПММ, 46:4 (1982), 573–577
- S. Bolotin, P. Negrini, “Asymptotic solutions of Lagrangian systems with gyroscopic forces”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 2:4 (1995), 417–444
- M. Brunella, “Instability of equilibria in dimension three”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48:5 (1998), 1345–1357
- V. V. Kozlov, D. V. Treschev, “Instability, asymptotic trajectories and dimension the phase space”, Mosc. Math. J., 18:4 (2018), 681–692
- В. В. Козлов, Д. В. Трещев, “О неустойчивости изолированных равновесий динамических систем с инвариантной мерой в нечетномерном пространстве”, Матем. заметки, 65:5 (1999), 674–680
- Л. Зигель, Ю. Мозер, Лекции по небесной механике, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001, 384 с.
- В. В. Козлов, “Гироскопическая стабилизация вырожденных равновесий и топология вещественных алгебраических многообразий”, Докл. РАН, 420:4 (2008), 447–450
- А. Пуанкаре, “О тернарных и кватернарных кубических формах. I”, Избранные труды, т. II, Наука, М., 1972, 819–860
- H. Matsumura, P. Monsky, “On the automorphisms of hypersurfaces”, J. Math. Kyoto Univ., 3:3 (1963/1964), 347–361
Supplementary files
