First integrals and asymptotic trajectories

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We discuss the relationship between the singular points of an autonomous system of differential equations and the critical points of its first integrals. Applying the well-known Splitting Lemma, we introduce local coordinates in which the first integral takes a “canonical” form. These coordinates make it possible to introduce a quasihomogeneous structure in some neighbourhood of any singular point and so to prove general theorems on the existence of asymptotic trajectories which go into or out of that singular point. We consider quasihomogeneous truncations of the original system of differential equations and show that if the singular point is isolated, the quasihomogeneous system is Hamiltonian. For a general mechanical system with two degrees of freedom, we prove a theorem on the instability of an equilibrium when it is neither a local minimum nor a local maximum of the potential energy.Bibliography: 21 titles.

About the authors

Valery Vasil'evich Kozlov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: kozlov@pran.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. В. В. Козлов, “Линейные системы с квадратичным интегралом”, ПММ, 56:6 (1992), 900–906
  2. В. В. Козлов, А. А. Карапетян, “О степени устойчивости”, Дифференц. уравнения, 41:2 (2005), 186–192
  3. В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко, “Особенности. I. Локальная и глобальная теория”, Динамические системы – 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 6, ВИНИТИ, М., 1988, 5–250
  4. Т. Постон, И. Стюарт, Теория катастроф и ее приложения, Мир, М., 1980, 608 с.
  5. В. В. Козлов, “О неустойчивости равновесий консервативных систем при типичных вырождениях”, Дифференц. уравнения, 44:8 (2008), 1033–1040
  6. J. Williamson, “An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems”, Amer. J. Math., 62 (1940), 881–911
  7. H. Kocak, “Linear Hamiltonian systems are integrable with quadratics”, J. Math. Phys., 23:12 (1982), 2375–2380
  8. V. V. Kozlov, “Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability”, Regul. Chaotic Dyn., 23:1 (2018), 26–46
  9. В. В. Козлов, С. Д. Фурта, Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений, 2-е изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2009, 312 с.
  10. А. М. Молчанов, “Разделение движений и асимптотические методы теории нелинейных колебаний”, Докл. АН СССР, 136:5 (1961), 1030–1033
  11. Л. Г. Хазин, Э. Э. Шноль, Устойчивость критических положений равновесия, ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1985, 216 с.
  12. А. Н. Кузнецов, “О существовании входящих в особую точку решений автономной системы, обладающей формальным решением”, Функц. анализ и его прилож., 23:4 (1989), 63–74
  13. В. В. Козлов, “Асимптотические решения уравнений классической механики”, ПММ, 46:4 (1982), 573–577
  14. S. Bolotin, P. Negrini, “Asymptotic solutions of Lagrangian systems with gyroscopic forces”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 2:4 (1995), 417–444
  15. M. Brunella, “Instability of equilibria in dimension three”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48:5 (1998), 1345–1357
  16. V. V. Kozlov, D. V. Treschev, “Instability, asymptotic trajectories and dimension the phase space”, Mosc. Math. J., 18:4 (2018), 681–692
  17. В. В. Козлов, Д. В. Трещев, “О неустойчивости изолированных равновесий динамических систем с инвариантной мерой в нечетномерном пространстве”, Матем. заметки, 65:5 (1999), 674–680
  18. Л. Зигель, Ю. Мозер, Лекции по небесной механике, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001, 384 с.
  19. В. В. Козлов, “Гироскопическая стабилизация вырожденных равновесий и топология вещественных алгебраических многообразий”, Докл. РАН, 420:4 (2008), 447–450
  20. А. Пуанкаре, “О тернарных и кватернарных кубических формах. I”, Избранные труды, т. II, Наука, М., 1972, 819–860
  21. H. Matsumura, P. Monsky, “On the automorphisms of hypersurfaces”, J. Math. Kyoto Univ., 3:3 (1963/1964), 347–361

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2020 Kozlov V.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».